新高考数学一轮复习题型归类与强化测试（新高考专用） 空间向量及其应用

专题45空间向量及其应用

知考纲要求

识考点预测

梳常用结论

理方法技巧

题题型一：空间向量的线性运算

型题型二：共线、共面向量定理的应用

归题型三：空间向量数量积的运算

类题型四：利用向量证明平行与垂直

训练一：

培训练二：

优训练三：

训训练四：

练训练五：

训练六：

强单选题：共8题

化多选题：共4题

测填空题：共4题

试解答题：共6题

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐

标表不.

2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.

3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.

4.理解直线的方向向量及平面的法向量.

5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系6能用向量方法证明立体几何中有关

线面位置关系的一些简单定理.

【考点预测】

L空间向量的有关概念

名称定义

空间向量在空间中，具有大小和方向的量

相等向量方向相同且模相等的向量

相反向量方向相反一模相等的向量

共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相断或重

(或平行向量)合的向量

共面向量平行于同一个平面的向量

2.空间向量的有关定理

(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a,的充要条件是存在实数人使得好

並

(2)共面向量定理：如果两个向量4,〃不共线，那么向量P与向量"，8共面的充要条件是存

在唯二的有序实数对(X,y),使〃=xa+M.

⑶空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量p,存在唯一

的有序实数组｛x,y,z),使得〃=xa+m+zc,其中，｛a,b,c｝叫做空间的一个基底.

3.空间向量的数量积

(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作晶=a,OB=b,则N/O8

叫做向量a与〃的夹角，记作〈a,b),其范围是［0,R,若〈a,b>则称”与b互相垂

直,记作a丄力.

(2)两向量的数量积：已知两个非零向量a,b,则|姉b|cos｛a,b)叫做a,6的数量积,记作。力,

即a力=|後|画cos〈s,b).

(3)空间向量数量积的运算律

①结合律：(痴)力=4“切；

②交换律：ab=ba；

③分配律：a-(h+c)=a'b+a-c.

4.空间向量的坐标表示及其应用

设a=(a”。2,6)，b=(b\,bi,bi).

向量表示坐标表示

数量积a・b。上］+4262+4363

共线a=%(bWO,AGR)，2=%>2,，3=%>3

垂直a协=O(aWO,bWO)+0262+4363=。

模l«l、/屛+潴+44

/八061+0262+4363

夹角(a,b}(aWO,bWO)cos\a,b)——/-------------।-------------

N屛++*7尻+庆+员

5.直线的方向向量和平面的法向量

(1)直线的方向向量：如果表示非零向量4的有向线段所在直线与直线/平行或重合,则称此向

量。为直线/的方向向量.

(2)平面的法向量：直线/丄a,取直线/的方向向量a,则向量a叫做平面a的法向量.

6.空间位置关系的向量表示

位置关系向量表示

l\//hU\//〃2=〃1=2〃2

直线厶,厶的方向向量分别为的,U2

厶丄厶U\丄〃2="1丄2=0

直线/的方向向量为〃，平面a的法向1//a〃丄〃=〃〃=0

量为n/丄。u//〃=〃=%〃

a//pn\//〃2=〃i=/2

平面a,4的法向量分别为〃1,“2

a邛n1丄n2<=>ni712—0

【常用结论】

1.在平面中，A,B,C三点共线的充要条件是：扇=》%+歹沆'(其中工+丁=1),。为平面内

任意一点.

2.在空间中，P,A,B,C四点共面的充要条件是：流=工总+丁命+z困其中x+y+z=l),

。为空间中任意一点.

【方法技巧】

1.用基向量表示指定向量的方法

(1)结合已知向量和所求向量观察图形.

(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.

(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.

2.证明空间四点P,M,A,8共面的方法

{\}MP=xMA+yMB-,

⑵对空间任一点。，OP=OM+xMA+yMB:

（3）对空间任一点。，OP=xOM+yOA+zOB（x+y+z=1）：

（4）加■〃力（或再//施或麻〃河.

3.由向量数量积的定义知，要求a与力的数量积，需已知同，冋和〈%b〉,n与〃的夹角与方

向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使4协计算准确.

4.利用向量法证明平行问题

①线线平行：方向向量平行.

②线面平行：平面外的直线方向向量与平面法向量垂直.

③面面平行：两平面的法向量平行.

5.利用向量法证明垂直问题的类型及常用方法

证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积

线线垂直问题

为零

直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的

线面垂直问题

判定定理转化为证明线线垂直

两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化

面面垂直问题

为证明线面垂直

二、【题型归类】

【题型一】空间向量的线性运算

【典例11在空间四边形N8CO中）若丽=（一3，5，2），CD=（-7，-1，-4），点£，E分

别为线段8C，的中点，则寿的坐标为（）

A.（2，3，3）B.（-2，-3，-3）

C.（5，一2，1）D.（-5>2'-1）

【解析】因为点分别为线段的中点，设。为坐标原点，所以丽=而一无，历7

=-（OA+OD）,0£=丄（08+。0.所以£/=丄（04+00—丄（08+00=丄（8/+。0=丄［（3,一5'

22222

-2）+（-7，-1，-4）］

=1（-4，-6，-6）=（-2，-3，-3）.

故选B.

【典例2】正方体N8CD-481GD1中点E为上底面NQ的中心.若向量能=爲1+X懑+回)，

则实数x，y的值分别为()

A.x=1>y=1B.x=1>y=^

C.x=~1'y=~1D.x=n~'y=1,

2'22丿

【解析】如图'AE=AA\-\-A\E=AA\-\--yi\C\=AA\-\-^AB-\~AD)，故x=y=；

故选C.

［典例3］在三棱锥。-ABC中，M，N分别是。4，8C的中点，G是△/8C

的重心，用基向量万4OB，沆1表*3示(1)戒7；(2)死.

【解析】⑴京=応+元

J2—

=-OA+-AN

23

1-►2■—►―►

=^OA+^ON-OA)

="+4(场+友一可

=--OA+-OB-\--OC.

633

(2)OG=OM+MG

1-1-►1-►1-►

=丄。/--0A+-OB+-OC

2633

I—1-►।—

=-OA+LOB+kOC.

333

【题型二】共线、共面向量定理的应用

【典例1］已知48,。三点不共线，对平面外的任一点。，若点M满足而=/a+为

+OQ.

(1)判断応，施，庆三个向量是否共面；

(2)判断点”是否在平面/8C内.

【解析】(1)由题知为+彷+沆1=3而，

所以届一血=（而一油）+（原一的，

即必=筋+5/=一诚一前，

所以応，施，流共面.

（2）由（1）知，応，而，庆共面且基线过同一点A/,

所以W,A,B,。四点共面，从而点〃在平面N8C内.

【典例2］如图所示，已知斜三棱柱4?。一/山Ci,点/，N分别在/G和6c上，且满足加

=反1,BN=kBC（O^k^\）.判断向量痰是否与向量弱，力।共面.

【解析】因为斎=而乙，BN=kBC,

所以访/=必+崩+的=做工4+AB-\-kBC

=«（54+画+港=曲理4+瓦G）+养=加4+為

—AB—kAB\=AB-k{AA\-\-AB）

=（T-k瀛一k刀i,

所以由共面向量定理知向量而与向量1瓦疝I共面.

【典例3］已知Z，B，。三点不共线，对平面/6C外的任一点O，若点M满足而=；（1+彷

+OC）.

（1）判断必，就B，加三个向量是否共面；

（2）判断点M是否在平面/BC内.

【解析】（1）由已知得届+/+灰1=3兩，

所以易一痂=（加一份）+（而一南.

即応=施+汉/=一施一統，

所以曲'MB，統共面.

⑵由（1）知必而，就共面且过同一点

所以M，/，8，C四点共面，从而点M在平面N6C内.

【题型三】空间向量数量积的运算

【典例1］如图所示，已知空间四边形力88的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别

是AD,CD的中点，计算：

(\)EFBA.

(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值.

【解析】设益=4,AC=b,AD—c.

则同=|b|=|c|=l,

〈%b)=〈〃，c〉=(c,a)=60°,

(1)丽=炉=)一),

______n_n

BA=—a,EFBA=b2J,(—a)

111

=一中2—ac=­.

224

f1ff11

(2MG=j(4C+/O)=?+：c,

CE^CA+AE=-h+-a,

2

__AGCE

cos(AG,CE)-

師II西

『+3卜"同

_I

~2=2

亜X近3，

22

晨

由于异面直线所成角的范围是fI02」,

所以异面直线NG与CE所成角的余弦值为

【典例2】已知是正方体内切球的一条直径，点尸在正方体表面上运动，正方体的棱长是

2,则Q林丽的取值范围为()

A」0,4]B,tO,2]c.U，4]D.U，2]

【解析】设正方体内切球的球心为。，

则OM=ON=3

PMPN=(Pb+0M)(Pb+0N)=Pd2+Pb(0M+^)+dM0N,

,：MN为球O的直径，

：.OM+ON=0,OMON=-\,

.,.曲•丽=裕一1,

又P在正方体表面上移动，

当产为正方体顶点时，I劭I最大，最大值为他；当尸为内切球与正方体的切点时，I用I最

小，最小值为1,

APd2-ie[0,2],

即丽•丽的取值范围为[0,2].

【典例3】如图所示，在四棱柱/BCOaSGA中，底面为平行四边形，以顶点N为端点的三

条棱长都为1，且两两夹角为60。.

⑴求ZG的长；

(2)求证：ACi丄BD；

⑶求BDi与AC夹角的余弦值.

【解析】(1)解记懑=“，AD=h,A4i=c,

则同=|b|=|c|=l,

(a,b)=(h,c)=<c,a)=60°,

...1

..ab=bc=ca=-,

2

溢2=m+b+c)2

=a2+b2+c2+2(a'b+b'c+c'a)

nin

=1+1+1+2X(2+2+21=6,

：.\ACi\=\[6,即NG的长为#.

(2)证明'：AC\=a+b+c,BD=b-a,

C.AC\BD=(a+力+c),(A—a)

=ab-^-\b\2+bc-\a\2—ab—ac=0.

：.ACi±BD,：.AC\LBD.

(3)解BD]=b+c~a,AC=a+b,

：.\BDi\=\[2,\AC\=\(3,

BDiAC=(b+c-ay(a-\-b)

—hr—/+/。+力＜=1.

Acos〈前，充〉=竺"=選

\BDi\\AC\6

：.AC与BDi夹角的余弦值为準.

6

【题型四】利用向量证明平行与垂直

【典例1】如图，已知441丄平面ZBC,BB\//AA\,AB=AC=3,BC=2#,

44=布,551=2^7,点E和E分别为8c和NC的中点.

(1)求证：EF〃平面4&B4；

(2)求证：平面ZE4丄平面BCB\.

【证明】因为/8=ZC,E为6C的中点，所以ZE丄8c

因为441丄平面/8C,AA\//BB\,

所以过E作平行于85的垂线为z轴，EC,比1所在直线分别为x轴，y轴,

建立如图所示的空间直角坐标系.

因为48=3,8E=韶，所以ZE=2,

所以E(0,0,0),C他,0,0),4(0,2,0),8(一詛，0,0),5.(-^,0,

僅1回

2®Ai(0,2,S)，则从2'*2J.

⑴昉隼「吗

,AB=(-\[5,-2,0),刀i=(0,0,田).

设平面48山4的一个法向量为〃=(x,y,z),

/i-A5=0,-\[5x_2y=0,

则所以

n-AA\=0,t7z=0,

x——2,

取,丫=弱，所以“=(—2,3,0).

2=0,

因为前•”=^X(-2)+1X3+，X0=0,

所以卽丄〃.

又EFQ平面AiBiBA,

所以小〃平面A\B\BA.

(2)因为EC丄平面

所以氏=印,0,0)为平面/E4的一个法向量.

又E4丄平面BCB\,

所以房1=(0,2,0)为平面8cB的一个法向量.

因为比•瓦1=0,所以比丄及I,

故平面4E/1丄平面BCB\.

【典例2］如图，正方形Z6C。的边长为2/,四边形8DER是平行四边形,

BD与4c交于点G,。为GC的中点，FO=\j3,且R9丄平面Z8CD

⑴求证：4E〃平面8CE；

(2)求证：CF丄平面NEE

【证明】如图，取3。的中点“，连接。冃，则。又四边形/8C。

为正方形，

：.ACLBD,：.OHLAC,

故以。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则力(3,0,0),c(-l,0,0),r>(l,-2,

0),F(0,0,55(1,2,0).

BC—{—2,—2,0),CF=(1,0,4)，BF=(-1,—2,A/3).

(1)设平面8C/7的一个法向量为"=(x,y,z).

n-BC=0,即一公_2)=0'

则.即l+3z=0,

nCF=0,

取z=l,得〃=(一1).

又四边形BDEF为平行四边形,

：.DE=BF=(-1,-2,®

：.AE=AD+DE=BC+BF

=(—2,—2,0)+(—1,—2,3)

=(-3,—4,3),

二元•〃==0,

：.AE±n,又AEQ平面BCF,

.♦.ZE〃平面BCF.

⑵办=(-3,0,回

：.&-AF=-3+3=0,函加=-3+3=0,

CF±JE,KPCFVAF,CFVAE.

)LAEnAF=A,AE,4Fu平面4EF,

.•C丄平面AEF.

【典例3］在底面是矩形的四棱锥尸一/BCD中，山丄底面/8C。，点E，F分别是尸C，

的中点，B4=AB=1，6c=2.求证:

（1）跖〃平面力8；

（2）平面丄平面PDC.

【解析】以/为原、点、，AB所在直线为x轴>AD所在直线为y轴，力P所在直线为z轴，建立

如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则4（0，0，0），3（1，0，0），。（1，2，0），。（0，2，0），

尸（0，0，1），

所以"T，卜7,肆」U'°］，丽=(1,0，-1)，防=(0，2,-1)'AP=

，0

（0，0，1），zb=（0，2，0），皮=（1，0，0），懑=（1，0，0）.

（1）因为卽=一；诵，所以卽〃彘，即EF〃AB.

又“8U平面PAB，EFD平面PAB，

所以ER〃平面PAB.

（2）因为"•反=（0，0>1）-（1>0，0）=0，

所以办丄虎，ADLDC，即NP丄DC，4D丄DC.又4PC4D=4，所以。。丄平面F4D所以平

面以。丄平面PDC.

三、【培优训练】

【训练一】（多选X2020•山东临沂期末）如图，一个结晶体的形状为平行六面体ZBCOZBCQ，

其中，以顶点/为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，则下列说法中正确

的是（）

A.（爲1+崩+蒞）户=2（衣A

B.届•（前一疝）=0

C.向量抗与q1的夹角是60°

D.8。与ZC所成角的余弦值为平

【解析】以顶点〃为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°>可设棱长为1，则

AA\•AB=AA\•AD=ADAB=1X1Xcos60°=:，所以（刀i+港+疝）2=筋『+為2+疝2+

2A4i•AB+2AB*AD+2AA\・历=1+1+1+3X2xg=6.又2（农/=2（篇+在/=2（焉2+疝2

f—h+i+2义―1—►—"»—►

+248/0）=212j=2X3=6，所以（4/I+/8+NO）2=2（ZC）2，所以A正确./g・（/8

-AD）=（AA\+AB-VADy（AB-AD）=AAi>AB-AA\-Ab+AB2-ABAb+AbAB-Ab-=^-^+\

一！+1—1=0，所以B正确.由已知条件，得△44。为等边三角形，则N44LD=60°，所以

22

向量拉与疝1的夹角是120°，向量氤=/力，即向量抗与石I的夹角是120°，所以C不

正确.因为防|=疝+刀।一瀝，AC=AB+AD，所以|防||=%（彳力+而1一弱）2=

A/1+--14--+11+1=^2，园=\/CAB+AD)2=^/l+2X-+1=^/3曲羡=

匝.衣]

（疝+石|一蒞）.（蒞+疝）=：+l+g+g—l-；=l'所以cos〈防読〉=

的I•扁也义\5

=必，所以D不正确.故选AB.

6

【训练二】如图，已知四棱柱的底面481cbe>1为平行四

边形，E为棱N8的中点，舒=!疝，衣=2"5I,ZCI与平面EFG交于点则整=

3ACi------------

【解析】由题图知，设前/=4比|(0</1<1),

由已知农1=养+&)+刀।

——3-

=2AE+3AF+-AG,

2

所以瑟/=2流+3爲方+"就.

2

因为M,E,F,G四点共面，所以2人+3/1+〃=1,解得4=4

213

【训练三】已知。点为空间直角坐标系的原点，向量/=(1,2,3),勘=(2,1,2),流=(1,1,2),

且点0在直线OP上运动，当逾•诙取得最小值时，曲的坐标是

【解析】因为点。在直线OP上，所以设点。(九九22),

则1=(1一九2一九3—2z),

诙=(2一九1-A,2—22),

0408=(1—A)(2—4)+(2—2)(1—2)+(3—2z),(2-2A)=6A2—161+10

即当4=3时，逾•①取得最小值一全

[448]

此时苑=1353’34

【训练四】如图，圆锥的轴截面SZ8是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点,

动点尸在圆锥底面内(包括圆周).若丄"尸，则点P形成的轨迹长度为.

【解析】由题意可知，建立空间直角坐标系，如图所示.

则4(0,-1,0),0,¥),

设尸(x,乂0),

二応=(0,T厂嚏

法=/八T,

由AMLMP得必•宓=0,解得y=3,

4

...点尸的轨迹方程为_y=(.

根据圆的弦长公式，可得点P形成的轨迹长度为

邛

【训练五】如图，棱柱囱G"的所有棱长都等于2,NZ6c和

NZiZC均为60。，平面441cle丄平面/BCD

⑴求证：BDVAAw俨、/

⑵在直线CG上是否存在点P,使平面。4G?若存在，求出点P的代匕我

B

位置，若不存在，请说明理由.

【解析】(1)证明设8。与ZC交于点。，

则8。丄4C.连接40,

在△44。中,AAi=2,AO=\,N4/O=60。,

所以NQ2=N4+N02-244I/OCOS60°=3,

所以/。2+402=44彳，所以4。丄zo.

由于平面44CC丄平面ABCD,

且平面AAiCiCH平面ABCD=AC,

小Ou平面AA\C\C,

所以40丄平面ABCD.

以OB,OC,。4|所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则4(0,-1,0),5(3,0,0),C(0,1,0),

D(~00,0),Ji(0,0,峋，Ci(0,2,5

由于訪=(—23，0,0),筋i=(0,1,回Z?r5b=0X(-2^)+lX0+^X0=0,

所以质)丄刀i,EPBDlAAi.

(2)解假设在直线CG上存在点尸，

使8P〃平面DA\C\,

设落后，P（x,y,z）,

则（x,y-1,z）=，0,1,回

从而有P（0,1+2,®,

旃=（-3,l+A,R）.

又疣i=（0,2,0）,风=（怎0,5

设平面04Ci的一个法向量为

“3=（X3,丁3，Z3）,

l/l3-jjC|=0,

则f-

\ttyDA\=0,

3=0,

则厂取“3=（1,0,-1）.

N3X3+V3Z3=0,

因为8P〃平面”41G,所以〃3丄而，

即〃3,8尸=—3—32=0,解得丸=—1,

即点P在GC的延长线上，且。=CG.

【训练六】如图，在底面为直角梯形的四棱锥A48co中'AD//BC，/ABC=90°尸。丄平

面ABCD，AD=1，AB=\[3>BC=4.

⑴求证：5/51PC；

（2）设点E在棱PC上，PE=XPC，若OE〃平面PAB，求%的值.

【解析】如图，在平面内过点。作直线。/〃>交BC于点、F，以D为坐标原点，

DA，DF，OP所在的直线分别为x轴少轴，2轴建立空间直角坐标系，则〃（1，0，0），8（1g，

0），。（0，0，0），C（-3电，0）.

设PD=a，则尸（0，0，a），

⑴证明：BD=（~l，-\/3，0），PC=（-3电，一硏，

因为筋•戸白=3-3=0，

所以8。丄PC

（2）由题意知，15=（0访，0），历=（0，0，a），屈1=（1，0，一“），PC=（-3S，一。），

因为屋=/，所以屋=（一32，®，-az），

DE=DP+PE=(O，0，a)+(-32，曲，一曲

=(-32，A/3A，〃一凉).

设〃=(x'y'z)为平面PAB的法向量,

ABn=O，Niy=O，

则二即<'令z=l，得x=a，所以n=（a，0，1），

PA*n=0，\x-az=O.

因为。E〃平面PAB，所以瓦•〃=()，

所以一3。/+。一加=0'即tz(l—4A)=0，

因为aWO)所以2=丄.

4

四、【强化测试】

【单选题】

1.已知向量”=(1,1,0),/>=(-1,0,2),且总十力与2。一力互相垂直，则左的值是()

75

A.-B.2C.-D.1

53

【解析】因为0=(1,1,0),6=(—1,0,2),

所以。6=—1,间=\①，冋=«5,

又ka+b与2a-h互相垂直，

所以依4+。)。4一。)=0,

即24砰—ka-b-\-2a-b一|肝=0,

7

即4人+%—2—5=0,所以左=《.

故选A.

2.如图，在平行六面体48CO-HB'C中，ZC与8。的交点为O,点M在8C'上,

且6M=2MC',则下列向量中与血相等的向量是()

A.--AB+^-AD+^AA^

263

B.--AB+-AD+^AAr

263

263

IfIf1—7*

D.-AB--AD+-AA'

263

【解析】因为8M=2MC',所以反力

3

在平行六面体488一/'B'CD'中，

OM^OB+BM=OB+^2BC^=；舒）=^AB-Ab）+^AD+AA^）

=-A5+-lD+-Z47*.

263

故选C.

3.在空间四边形/8C。中，芥•⑦+太•历+疝•能等于（）

A.-1B.0C.1D.不确定

【解析】如图，

令懑="，AC=b,AD—c,

则/8CZ)+/CZ)8+/Z>6C=a,(c-/>)+/»,(«—c)+c<〃-a)—a'C—(rb+b,a—b・c+c・b-C'a=O.

故选B.

4.如图，在大小为45。的二面角中，四边形/瓦芭，C0EE都是边长为1的正方形,

则8,。两点间的距离是()

A.A/3B.A/2C.1D.43-/

【解析】•.•筋=彷+前+应)，

二|筋|2=I两2+1两2,|,函2+2BFFE+2FE-ED+2BFED=1+1+1-仍=3-也

故曲=、3-也

故选D.

5.已知空间任意一点。和不共线的三点4B,C,若决=x<^+yB+z沆'(x,y,z6R),

则“x=2,y=—3,z=2”是“P,A,B,。四点共面”的()

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】由x+y+2=l,得P,A,B,。四点共面,

当P,A,B,C四点共面时，x+y+z=l,显然不止2,—3,2.

故"x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,。四点共面”的充分不必要条件.

故选B.

6.已知空间向量a=(l,O,l),6=(1,1,“)，且。协=3,则向量Q与力的夹角为()

A兀兀二2兀n5兀

A.1D-C.—D.一

6336

【解析】由题意，GZ>=1+0+”=3,

解得n=2,

又同=11+0+1=\/2,冋=\h+1+4=\6,

所以cos<«,b)=-^-=r(-=—,

\a\\h\/义#2

又〈a,b>e[0,n],

所以a与8的夹角为

故选A.

7.如图，在大小为45。的二面角/一所一。中，四边形Z8FE,C0E尸都

是边长为1的正方形，则8,。两点间的距离是()

A.3B矩

C.1D.，3—S

【解析】：防=丽+経+亙),

：.\BD\2=I两2+1兩|2+1防|2+2BF-FE+2FE-ED+2BFED=1+1+1-/=3一3，故|筋尸

—

故选D.

8.如图，正方形/8C。与矩形NCEE所在平面互相垂直，AB=0AF=1,M在跖上，且

AM//平面8OE.则M点的坐标为()

位啦1]

A.(l,1,1)B.[3'3'J

C俘釘]D停轲

【解析】设NC与8。相交于。点，连接OE,由〃平面60E,且ZA/u平面/CEE平面

/CEECI平面C.AM//EO.

又。是正方形Z8CO对角线交点，

二”为线段或7的中点.

在空间直角坐标系中，E(0,0,1),FC也加，1),

他也］

由中点坐标公式，知点”的坐标12'2'J

【多选题】

9.已知空间三点/(1。3),5(-1,1,4),C(2,-1,3),若Q〃的,且|善|=加，则点尸的坐

标为()

A.(4,-2,2)B.(-2,2,4)

C.(-4,2,-2)D.(2,-2,4)

【解析】因为8(—1,1,4),C(2,-1,3)，

所以比=(3,-2,-1),

因为善〃求，

所以可设办=屁=(3九-22,-2),

因为|力|=^(3A)2+(-22)2+(-A)2=\;，14,

解得4=±1，

所以刀=(3,-2,-1)或善=(-3,2,1),

设点P(x,y,z),则。=(x—1,y,z—3),

x—1=3,x—1=-3,

所以,=—2,或,y=2,

z-3=-1z—3=1,

x=4,x——2,

解得＞二-2,或,y=2,

z=2z=4.

所以点尸的坐标为(4,—2,2)或(一2,2,4).故选AB.

10.已知空间中三点2(0,1,0),5(2,2,0),C(—1,3,1),则下列结论正确的有()

A.懑与祀是共线向量

B.与口共线的单位向量是(1,1,0)

C.还与能夹角的余弦值是一邛

D.平面NBC的一个法向量是(1,-2,5)

【解析】对于A,亚=(2,1,0),祀=(—1,2,1),不存在实数九使得养=2衣,

所以而与农不是共线向量，所以A错误;

2朮_近

对于B,因为割=(2,1,0),所以与施共线的单位向量为呼事。U55

所以B错误；

对于C,向量功=(2,1,0),5C=(-3,1,1),

-►-»ABBC、乐

所以cos[AB,BC>=----------=一给

\AB\\BC\11

所以C正确;

对于D,设平面48。的法向量是“=(x,y,z),

因为冠=(2丄0),JC=(-1,2,1),

n-AB=0,2x+y=0,

所以一即

〃•衣=0,—x+2y+z=0.

令x=l,则“=(1,—2,5),所以D正确.

故选CD.

11.下面四个结论正确的是()

A.向量a,b(aW0,6W0),若a丄b,则a力=0

B.若空间四个点P,A,B,C,无=詞+涉，则Z,B,C三点共线

1

C.已知向量。=(1,1,x),〃=(—3,x,9),若了琉，则〈4,b)为钝角

D.任意向量mb,c满足协)・c=a・S・c)

【解析】由向量垂直的充要条件可得A正确;

,：PC^PA+-PB,

44

：.-PC~^PA=^PB--PC,

4444

BPJC=3C5,

：.A,B,C三点共线，故B正确；

当x=—3时，两个向量共线，夹角为兀，故C错误；

由于向量的数量积运算不满足结合律，故D错误.

故选AB.

12.给出下列命题，其中为假命题的是()

A.已知"为平面a的一•"个法向量，〃，为直线/的一个方向向量，若〃丄〃1,贝U/〃a

B.已知〃为平面a的一个法向量，"1为直线/的一个方向向量，若(“，m)=亨，则/与a所

成角为/

C.若两个不同的平面a,4的法向量分别为“，V,且“=(1,2,-2),v=(-2,-4,4),则a〃H

D.已知空间的三个向量a,"c,则对于空间的任意一个向量p,总存在实数x,y,z使得p

—xa+yb+zc

【解析】对于A,由题意可得/〃a或/Ua,故A错误；

对于B,由图象可得，ZCAD=^,

则NZM8=2,所以N4D8=四，

36

根据线面角的定义可得，/与a所成角为［故B正确；

6

对于C,因为〃=—2,—4,4)

=(1,2,-2),

所以“〃故a〃尸，故C正确；

对于D,当空间的三个向量明。，c不共面时，对于空间的任意一个向量p,总存在实数X,丹

z使得p=xa+yb+zc,故D错误.

故选AD.

【填空题】

13.如图所示，在四面体。48c中，OA=a,OB=b,OC=c,。为8C的中点，E为的中

点，则无=(用a,b,c表示).

【解析】OE=OA+AE=OA+-AD

2

=OA-\-^OD-OA)=-ai+^}b

=丄①+1x丄(彷+内=丄4+丄方+，C.

222244

14.若“=(1,1,0),6=(—1,0,2),则与a+8同方向的单位向量是.

【解析】与同方向的单位向量是去(0,1,2)=['学1

15.已知3(1,-2,11),3(4,2,3),C(x,%15)三点共线，则刈=.

【解析】由三点共线得向量成与衣共线，

即前=攵就，

X—1v—I—94

(3,4,-8)=网x-l,y+2,4),^=^=—,

解得x=一；,y=-4,.,.xy=2.

16.如图，已知四棱柱的底面481Goi为平行四边形，£为棱N8的中点,

AF=­AD,而=2瓏1，ZG与平面EFG交于点“，则侬=

3AC\-------------

【解析】由题图知，设高/=1^1(0<2<1),

由已知11=弱+历+篇产2。+3赤+扌石，

2

所以新=2金走+3爲R+药号，

2

因为M,E,F,G四点共面，所以24+32+鱼=1,

2

解得力三.

13

【解答题】

17.已知空间三点/(—2，0，2)，5(-1，1，2)，C(-3，0，4)，设a=AB'b=AC.

⑴若|c|=3，且c〃虎，求c；

(2)求a和8的夹角的余弦值；

⑶若ka+b与ka—2b互相垂直，求k的值.

【解析】(1)因为c〃於，

所以c="?8C=〃?(—2，—1»2)=(—2m>-m，2m).

所以|c|=\'（―2加）2+（―/»）2+（2m）2=3|阂=3;即zn=±l,

所以c=（-2，-1，2）或c=（2，1，-2）.

（2）因为a=（l，1，0），6=（—1，0，2）.

所以ab=（l，1，0）（-1>0，2）=-1.

又同=、12+i2+02=/,\b\=\j（—1）2+02+22=\（5，

的〜/卜\_“山__1_V10

所以cos\a>h）=------=~j==--------.

\a\-\h\'71010

所以a和b的夹角的余弦值为一也.

10

（3）因为ka+b=（k—\、k，2），ka—2b=（k+2，k，—4），

所以（公一1，k，2）•（左+2，k，-4）=（左一1）（4+2）+上一8=0，

解得4=2或厶=一5所以当ka+b与ka-2b相互垂直时，

2

k=2或〃=—9.

2

18.如图，已知E，F，G，〃分别是空间四边形/8C。的边ZB，BC，CD，DA的中点.

(1)求证：E，F，G，”四点共面；

(2)求证：平面EFG”.

【解析】(1)连接8G，

则的=就+就

~1~f

=EB+^BC+BD)

=EB+BF+EH

=EF+EH，

由共面向量定理的推论知E，F，G，〃四点共面.

(2)因为丽=彳"一元

1-*,1-►

=