二次函数压轴题带详细答案

第页二次函数压轴题强化训练（带具体答案）一．解答题（共30小题）1．（2016•深圳模拟）已知：如图，在平面直角坐标系中，直线及x轴,y轴的交点分别为A,B，将∠对折，使点O的对应点H落在直线上，折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A,B,C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线上是否存在点P，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴及直线的交点为T，Q为线段上一点，直接写出﹣的取值范围．2．（2015•枣庄）如图，直线2及抛物线26（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段上异于A,B的动点，过点P作⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△为直角三角形时点P的坐标．3．（2007•玉溪）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线及该二次函数的图象交于A,B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段上的一个动点（点P及A,B不重合），过P作x轴的垂线及这个二次函数的图象交于点E，设线段的长为h，点P的横坐标为x，求h及x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）D为直线及这个二次函数图象对称轴的交点，在线段上是否存在一点P，使得四边形是平行四边形？若存在，恳求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2013•凉山州）如图，抛物线2﹣2（a≠0）交x轴于A,B两点，A点坐标为（3，0），及y轴交于点C（0，4），以,为边作矩形交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l在边（不包括O,A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交于点F，交于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示的长；（3）在（2）的条件下，连结，则在上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P,C,F为顶点的三角形和△相像？若存在，求出此时m的值，并直接推断△的形态；若不存在，请说明理由．5．（2009•綦江县）如图，已知抛物线（x﹣1）2+3（a≠0）经过点A（﹣2，0），抛物线的顶点为D，过O作射线∥．过顶点平行于x轴的直线交射线于点C，B在x轴正半轴上，连接．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O动身，以每秒1个长度单位的速度沿射线运动，设点P运动的时间为t（s）．问当t为何值时，四边形分别为平行四边形，直角梯形，等腰梯形？（3）若，动点P和动点Q分别从点O和点B同时动身，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接，当t为何值时，四边形的面积最小？并求出最小值及此时的长．6．（2013•天水）如图1，已知抛物线2（a≠0）经过A（3，0）,B（4，4）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线向下平移m个单位长度后，得到的直线及抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠∠，则在（2）的条件下，求出全部满意△∽△的点P坐标（点P,O,D分别及点N,O,B对应）．7．（2014•河南）如图，抛物线﹣x2及x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线﹣3及y轴交于点C，及x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作⊥x轴于点F，交直线于点E．设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）若5，求m的值；（3）若点E′是点E关于直线的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2013•德州）如图，在直角坐标系中有始终角三角形，O为坐标原点，1，∠3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△，抛物线2经过点A,B,C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，①设抛物线对称轴l及x轴交于一点E，连接，交于F，求出当△及△相像时，点P的坐标；②是否存在一点P，使△的面积最大？若存在，求出△的面积的最大值；若不存在，请说明理由．9．（2013•河南）如图，抛物线﹣x2及直线2交于C,D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作⊥x轴于点E，交于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O,C,P,F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．（3）若存在点P，使∠45°，请直接写出相应的点P的坐标．10．（2013•重庆）如图，已知抛物线2的图象及x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且及y轴交于点C（0，5）．（1）求直线及抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作∥y轴交直线于点N，求的最大值；（3）在（2）的条件下，取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上随意一点，以为边作平行四边形，设平行四边形的面积为S1，△的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．11．（2013•徐州）如图，二次函数2﹣的图象及x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以为边在x轴上方作正方形，点P是x轴上一动点，连接，过点P作的垂线及y轴交于点E．（1）请直接写出点D的坐标：；（2）当点P在线段（点P不及A,O重合）上运动至何处时，线段的长有最大值，求出这个最大值；（3）是否存在这样的点P，使△是等腰三角形？若存在，恳求出点P的坐标及此时△及正方形重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．12．（2013•泰安）如图，抛物线2及y轴交于点C（0，﹣4），及x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是上的一动点，过点P作∥，交于E，连接，求△面积的最大值．（3）若点D为的中点，点M是线段上一点，且△为等腰三角形，求M点的坐标．13．（2014•广元）如图甲，四边形的边,分别在x轴,y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A,D，交y轴于点E，连接,,．已知∠，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）求证：是△外接圆的切线；（3）摸索究坐标轴上是否存在一点P，使以D,E,P为顶点的三角形及△相像，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设△沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△及△重叠部分的面积为s，求s及t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．14．（2014•成都）如图，已知抛物线（2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）及x轴从左至右依次交于A，B两点，及y轴交于点C，经过点B的直线﹣及抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形及△相像，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段上一点（不含端点），连接，一动点M从点A动身，沿线段以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？15．（2014•南宁）在平面直角坐标系中，抛物线2+（k﹣1）x﹣k及直线1交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）如图1，当1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线下方，试求出△面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）及x轴交于点C,D两点（点C在点D的左侧），在直线1上是否存在唯一一点Q，使得∠90°？若存在，恳求出此时k的值；若不存在，请说明理由．16．（2013•防城港）如图，抛物线﹣（x﹣1）2及x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，及y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．（1）求点B，C的坐标；（2）推断△的形态并说明理由；（3）将△沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△．△及△重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S及t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．17．（2014•重庆）如图，抛物线﹣x2﹣23的图象及x轴交于A,B两点（点A在点B的左边），及y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A,B,C的坐标；（2）点M为线段上一点（点M不及点A,B重合），过点M作x轴的垂线，及直线交于点E，及抛物线交于点P，过点P作∥交抛物线于点Q，过点Q作⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形的周长最大时，求△的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形的周长最大时，连接．过抛物线上一点F作y轴的平行线，及直线交于点G（点G在点F的上方）．若2，求点F的坐标．18．（2014•钦州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线﹣x2及x轴交于A,D两点，及y轴交于点B，四边形是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段上的动点，过点E作⊥x轴交抛物线于点P，交于点G，交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P在直线上方时，请用含m的代数式表示的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P,B,G为顶点的三角形及△相像？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．19．（2014•昆明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2﹣3（a≠0）及x轴交于点A（﹣2，0）,B（4，0）两点，及y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点动身，在线段上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点动身，在线段上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△存在时，求运动多少秒使△的面积最大，最大面积是多少？（3）当△的面积最大时，在下方的抛物线上存在点K，使S△：S△5：2，求K点坐标．20．（2013•恩施州）如图所示，直线l：33及x轴交于点A，及y轴交于点B．把△沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B,C和D（3，0）．（1）求直线和抛物线的解析式．（2）若及抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N,B,D为顶点的三角形及△相像，求全部满意条件的点N的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P，使S△6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．21．（2013•毕节地区）如图，抛物线2及x轴交于点A,B，且A点的坐标为（1，0），及y轴交于点C（0，1）．（1）求抛物线的解析式，并求出点B坐标；（2）过点B作∥交抛物线于点D，连接,,，求四边形的周长；（结果保留根号）（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作垂直于x轴，垂足为点E，使以B,P,E为顶点的三角形及△相像？若存在恳求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2014•德州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且4，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得△是以为直角边的直角三角形？若存在，求出全部符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作垂直于y轴于点E，交直线于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接，当线段的长度最短时，求出点P的坐标．23．（2014•吉林）如图①，直线l：（m＜0，n＞0）及x，y轴分别相交于A，B两点，将△绕点O逆时针旋转90°得到△，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．（1）若l：﹣22，则P表示的函数解析式为；若P：﹣x2﹣34，则l表示的函数解析式为．（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；（3）如图②，若l：﹣24，P的对称轴及相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；（4）如图③，若l：﹣4m，G为中点，H为中点，连接，M为中点，连接．若，直接写出l，P表示的函数解析式．24．（2013•武汉）如图，点P是直线l：﹣2x﹣2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线2于A,B两点．（1）若直线m的解析式为﹣，求A，B两点的坐标；（2）①若点P的坐标为（﹣2，t）．当时，请直接写出点A的坐标；②试证明：对于直线l上随意给定的一点P，在抛物线上能找到点A，使得成立．（3）设直线l交y轴于点C，若△的外心在边上，且∠∠，求点P的坐标．25．（2013•遂宁）如图，抛物线2及x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．直线过点A及y轴交于点C，及抛物线的另一个交点是D．（1）求抛物线2及直线的解析式；（2）设点P是直线上方的抛物线上一动点（不及点A,D重合），过点P作y轴的平行线，交直线于点M，作⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形是平行四边形？若存在恳求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作⊥于点N，设△的周长为l，点P的横坐标为x，求l及x的函数关系式，并求出l的最大值．26．（2013•舟山）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（x﹣m）2﹣m2的顶点为A，及y轴的交点为B，连结，⊥，交y轴于点C，延长到点D，使，连结．作∥x轴，∥y轴．（1）当2时，求点B的坐标；（2）求的长？（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作的平行线，及第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？27．（2006•重庆）已知：m,n是方程x2﹣65=0的两个实数根，且m＜n，抛物线﹣x2的图象经过点A（m，0）,B（0，n）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线及x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C,D的坐标和△的面积；（3）P是线段上的一点，过点P作⊥x轴，及抛物线交于H点，若直线把△分成面积之比为2：3的两部分，恳求出P点的坐标．28．（2015•阜新）如图，抛物线﹣x2交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在抛物线上，且S△4，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段上的一动点，作⊥x轴，交抛物线于点D，求线段长度的最大值．29．（2014•白银）如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线是由抛物线2﹣3向右平移一个单位后得到的，它及y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3．（1）求点M,A,B坐标；（2）连接,,，求∠的正切值；（3）点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设及x正半轴的夹角为α，当α=∠时，求P点坐标．30．（2014•宿迁）如图，已知抛物线2（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆及y轴的另一个交点为D．（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；①求此抛物线的表达式及点D的坐标；②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△面积的最大值；（2）如图2，若1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．二次函数压轴题强化答案一．解答题（共30小题）1．（2016•深圳模拟）已知：如图，在平面直角坐标系中，直线及x轴,y轴的交点分别为A,B，将∠对折，使点O的对应点H落在直线上，折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A,B,C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线上是否存在点P，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴及直线的交点为T，Q为线段上一点，直接写出﹣的取值范围．【考点】二次函数综合题．菁优网版权全部【专题】压轴题；开放型．【分析】（1）点A的坐标是纵坐标为0，得横坐标为8，所以点A的坐标为（8，0）；点B的坐标是横坐标为0，解得纵坐标为6，所以点B的坐标为（0，6）；由题意得：是∠的角平分线，所以，6∵10，∴4，设，则8﹣x由勾股定理得：3∴点C的坐标为（3，0）将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得；（2）求得直线的解析式，依据平行四边形的性质，对角相等，对边平行且相等，借助于三角函数即可求得；（3）如图，由对称性可知，﹣﹣．当点Q及点B重合时，Q,H,A三点共线，﹣取得最大值4（即为的长）；设线段的垂直平分线及直线的交点为K，当点Q及点K重合时，﹣取得最小值0．【解答】解：（1）点C的坐标为（3，0）．（1分）∵点A,B的坐标分别为A（8，0），B（0，6），∴可设过A,B,C三点的抛物线的解析式为（x﹣3）（x﹣8）．将0，6代入抛物线的解析式，得．（2分）∴过A,B,C三点的抛物线的解析式为．（3分）（2）可得抛物线的对称轴为直线，顶点D的坐标为，设抛物线的对称轴及x轴的交点为G．直线的解析式为﹣26.4分）设点P的坐标为（x，﹣26）．解法一：如图，作∥交直线于点P，连接，作⊥x轴于点M．即．解得．经检验是原方程的解．此时点P的坐标为．（5分）但此时，＜．∴＜，即四边形的对边及平行但不相等，∴直线上不存在符合条件的点P（6分）解法二：如图，取的中点E，作点D关于点E的对称点P，作⊥x轴于点N．则∠∠，．可得△≌△．由，可得E点的坐标为（4，0）．∴点P的坐标为．（5分）∵时，，∴点P不在直线上．∴直线上不存在符合条件的点P．（6分）（3）﹣的取值范围是．（8分）当Q在的垂直平分线上及直线的交点时，（如点K处），此时，则﹣0，当Q在的延长线及直线交点时，此时﹣最大，直线的解析式为：﹣6，直线的解析式为：﹣26，联立可得：交点为（0，6），∴6，10，∴﹣4，∴﹣的取值范围是：0≤﹣≤4．【点评】此题考查了二次函数及一次函数以及平行四边形的综合知识，解题的关键是仔细识图，留意数形结合思想的应用．2．（2015•枣庄）如图，直线2及抛物线26（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段上异于A,B的动点，过点P作⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△为直角三角形时点P的坐标．【考点】二次函数综合题．菁优网版权全部【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）已知B（4，m）在直线2上，可求得m的值，抛物线图象上的A,B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．（2）要弄清的长，实际是直线及抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，依据直线和抛物线的解析式表示出P,C的纵坐标，进而得到关于及P点横坐标的函数关系式，依据函数的性质即可求出的最大值．（3）当△为直角三角形时，依据直角顶点的不同，有三种情形，须要分类探讨，分别求解．【解答】解：（1）∵B（4，m）在直线2上，∴4+2=6，∴B（4，6），∵A（，）,B（4，6）在抛物线26上，∴，解得，∴抛物线的解析式为2x2﹣86．（2）设动点P的坐标为（n，2），则C点的坐标为（n，2n2﹣86），∴（2）﹣（2n2﹣86），=﹣2n2+9n﹣4，=﹣2（n﹣）2+，∵＞0，∴当时，线段最大且为．（3）∵△为直角三角形，i）若点P为直角顶点，则∠90°．由题意易知，∥y轴，∠45°，因此这种情形不存在；）若点A为直角顶点，则∠90°．如答图3﹣1，过点A（，）作⊥x轴于点N，则，．过点A作⊥直线，交x轴于点M，则由题意易知，△为等腰直角三角形，∴，∴3，∴M（3，0）．设直线的解析式为：，则：，解得，∴直线的解析式为：﹣3①又抛物线的解析式为：2x2﹣86②联立①②式，解得：3或（及点A重合，舍去）∴C（3，0），即点C,M点重合．当3时，2=5，∴P1（3，5）；）若点C为直角顶点，则∠90°．∵2x2﹣86=2（x﹣2）2﹣2，∴抛物线的对称轴为直线2．如答图3﹣2，作点A（，）关于对称轴2的对称点C，则点C在抛物线上，且C（，）．当时，2=．∴P2（，）．∵点P1（3，5）,P2（，）均在线段上，∴综上所述，△为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）．【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定,二次函数最值的应用以及直角三角形的判定,函数图象交点坐标的求法等知识．3．（2007•玉溪）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线及该二次函数的图象交于A,B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段上的一个动点（点P及A,B不重合），过P作x轴的垂线及这个二次函数的图象交于点E，设线段的长为h，点P的横坐标为x，求h及x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）D为直线及这个二次函数图象对称轴的交点，在线段上是否存在一点P，使得四边形是平行四边形？若存在，恳求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．菁优网版权全部【专题】压轴题．【分析】（1）因为直线过点A，将A点坐标直接代入解析式即可求得m的值；设出二次函数的顶点式，将（3，4）代入即可；（2）由于P和E的横坐标相同，将P点横坐标代入直线和抛物线解析式，可得其纵坐标表达式，h即为二者之差；依据P,E在二者之间，所以可知x的取值范围是0＜x＜3；（3）先假设存在点P，依据四边形是平行四形的条件进行推理，若能求出P点坐标，则证明存在点P，否则P点不存在．【解答】解：（1）∵点A（3，4）在直线上，∴4=3．∴1．设所求二次函数的关系式为（x﹣1）2．∵点A（3，4）在二次函数（x﹣1）2的图象上，∴4（3﹣1）2，∴1．∴所求二次函数的关系式为（x﹣1）2．即2﹣21．（2）设P,E两点的纵坐标分别为和．=（1）﹣（x2﹣21）=﹣x2+3x．即﹣x2+3x（0＜x＜3）．（3）存在．解法1：要使四边形是平行四边形，必需有．∵点D在直线1上，∴点D的坐标为（1，2），∴﹣x2+32．即x2﹣32=0．解之，得x1=2，x2=1（不合题意，舍去）∴当P点的坐标为（2，3）时，四边形是平行四边形．解法2：要使四边形是平行四边形，必需有∥．设直线的函数关系式为．∵直线经过点C（1，0），∴0=1，∴﹣1．∴直线的函数关系式为﹣1．得x2﹣32=0．解之，得x1=2，x2=1（不合题意，舍去）∴当P点的坐标为（2，3）时，四边形是平行四边形．【点评】此题考查了用待定系数法求函数解析式以及函数图象上点的坐标特征，结合图形有利于解答；（3）是一道存在性问题，有肯定的开放性，须要先假设点P存在，然后进行验证计算．4．（2013•凉山州）如图，抛物线2﹣2（a≠0）交x轴于A,B两点，A点坐标为（3，0），及y轴交于点C（0，4），以,为边作矩形交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l在边（不包括O,A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交于点F，交于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示的长；（3）在（2）的条件下，连结，则在上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P,C,F为顶点的三角形和△相像？若存在，求出此时m的值，并直接推断△的形态；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．菁优网版权全部【专题】压轴题．【分析】（1）将A（3，0），C（0，4）代入2﹣2，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）先依据A,C的坐标，用待定系数法求出直线的解析式，进而依据抛物线和直线的解析式分别表示出点P,点M的坐标，即可得到的长；（3）由于∠和∠都是直角，F和E对应，则若以P,C,F为顶点的三角形和△相像时，分两种状况进行探讨：①△∽△，②△∽△；可分别用含m的代数式表示出,,,的长，依据相像三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再依据相像三角形的性质，直角三角形,等腰三角形的判定推断出△的形态．【解答】解：（1）∵抛物线2﹣2（a≠0）经过点A（3，0），点C（0，4），∴，解得，∴抛物线的解析式为﹣x24；（2）设直线的解析式为，∵A（3，0），点C（0，4），∴，解得，∴直线的解析式为﹣4．∵点M的横坐标为m，点M在上，∴M点的坐标为（m，﹣4），∵点P的横坐标为m，点P在抛物线﹣x24上，∴点P的坐标为（m，﹣m24），∴﹣（﹣m24）﹣（﹣4）=﹣m2+4m，即﹣m2+4m（0＜m＜3）；（3）在（2）的条件下，连结，在上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P,C,F为顶点的三角形和△相像．理由如下：由题意，可得3﹣m，﹣4，，若以P,C,F为顶点的三角形和△相像，状况：①P点在F上，﹣m24﹣4=﹣m2．若△∽△，则：：，即（﹣m2）：（3﹣m）：（﹣4），∵m≠0且m≠3，在直角△中，∵∠∠90°，∴∠∠90°，即∠90°，∴△为直角三角形；②P点在F下，4﹣（﹣m24）2﹣m若△∽△，则：：，即（m2﹣m）：（3﹣m）：（﹣4），∵m≠0且m≠3，∴（不合题意舍去）．∵∠90°，∴∠∠＞90°，∴△为钝角三角形；③若△∽△，则：：，即m：（3﹣m）=（﹣m2）：（﹣4），∵m≠0且m≠3，∴1．∴△为等腰三角形．综上所述，存在这样的点P使△及△相像．此时m的值为或1，△为直角三角形或等腰三角形．【点评】此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数,一次函数的解析式，矩形的性质，相像三角形的判定和性质，直角三角形,等腰三角形的判定，难度适中．要留意的是当相像三角形的对应边和对应角不明确时，要分类探讨，以免漏解．5．（2009•綦江县）如图，已知抛物线（x﹣1）2+3（a≠0）经过点A（﹣2，0），抛物线的顶点为D，过O作射线∥．过顶点平行于x轴的直线交射线于点C，B在x轴正半轴上，连接．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O动身，以每秒1个长度单位的速度沿射线运动，设点P运动的时间为t（s）．问当t为何值时，四边形分别为平行四边形，直角梯形，等腰梯形？（3）若，动点P和动点Q分别从点O和点B同时动身，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接，当t为何值时，四边形的面积最小？并求出最小值及此时的长．【考点】二次函数综合题．菁优网版权全部【专题】压轴题．【分析】（1）将A的坐标代入抛物线（x﹣1）2+3（a≠0）可得a的值，即可得到抛物线的解析式；（2）易得D的坐标，过D作⊥于N；进而可得,,的长，依据平行四边形，直角梯形，等腰梯形的性质，用t将其中的关系表示出来，并求解可得答案；（3）依据（2）的结论，易得△是等边三角形，可得,关于t的关系式，将四边形的面积用t表示出来，进而分析可得最小值及此时t的值，进而可求得的长．【解答】解：（1）∵抛物线（x﹣1）2+3（a≠0）经过点A（﹣2，0），∴0=93，∴﹣（1分）∴二次函数的解析式为：﹣x2；（3分）（2）①∵D为抛物线的顶点，∴D（1，3），过D作⊥于N，则3，3，∴6，∴∠60°．（4分）①当时，四边形是平行四边形，∴6，∴6（s）．（5分）②当⊥时，四边形是直角梯形，过O作⊥于H，2，则1（假如没求出∠60°可由△∽△（求1）∴5，5（s）（6分）③当时，四边形是等腰梯形，易证：△≌△′，∴﹣26﹣2=4，∴4（s）综上所述：当6,5,4时，对应四边形分别是平行四边形,直角梯形,等腰梯形；（7分）（3）由（2）及已知，∠60°，，△是等边三角形则6，，2t，∴6﹣2t（0＜t＜3）过P作⊥于E，则（8分）∴×6×3×（6﹣2t）×t=（t﹣）2+（9分）当时，四边形的面积最小值为．（10分）∴此时3，，；∴3﹣=，，∴．（11分）【点评】本题考查学生将二次函数的图象及解析式相结合处理问题,解决问题的实力．6．（2013•天水）如图1，已知抛物线2（a≠0）经过A（3，0）,B（4，4）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线向下平移m个单位长度后，得到的直线及抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠∠，则在（2）的条件下，求出全部满意△∽△的点P坐标（点P,O,D分别及点N,O,B对应）．【考点】二次函数综合题．菁优网版权全部【专题】压轴题．【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）依据已知条件可求出的解析式为，则向下平移m个单位长度后的解析式为：﹣m．由于抛物线及直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标；（3）综合利用几何变换和相像关系求解．方法一：翻折变换，将△沿x轴翻折；方法二：旋转变换，将△绕原点顺时针旋转90°．特殊留意求出P点坐标之后，该点关于直线﹣x的对称点也满意题意，即满意题意的P点有两个，避开漏解．【解答】解：（1）∵抛物线2（a≠0）经过A（3，0）,B（4，4）∴将A及B两点坐标代入得：，解得：，∴抛物线的解析式是2﹣3x．（2）设直线的解析式为1x，由点B（4，4），得：4=4k1，解得：k1=1∴直线的解析式为，∴直线向下平移m个单位长度后的解析式为：﹣m，∵点D在抛物线2﹣3x上，∴可设D（x，x2﹣3x），又∵点D在直线﹣m上，∴x2﹣3﹣m，即x2﹣40，∵抛物线及直线只有一个公共点，∴△=16﹣40，解得：4，此时x12=2，2﹣3﹣2，∴D点的坐标为（2，﹣2）．（3）∵直线的解析式为，且A（3，0），∴点A关于直线的对称点A′的坐标是（0，3），依据轴对称性质和三线合一性质得出∠A′∠，设直线A′B的解析式为23，过点（4，4），∴4k2+3=4，解得：k2=，∴直线A′B的解析式是，∵∠∠，∠A′∠，∴′和重合，即点N在直线A′B上，∴设点N（n，），又点N在抛物线2﹣3x上，∴2﹣3n，解得：n1=﹣，n2=4（不合题意，舍去）∴N点的坐标为（﹣，）．方法一：如图1，将△沿x轴翻折，得到△N11，则N1（，），B1（4，﹣4），∴O,D,B1都在直线﹣x上．∵△P1∽△，△≌△N11，∴△P1∽△N11，∴点P1的坐标为（，）．将△1D沿直线﹣x翻折，可得另一个满意条件的点P2（，），综上所述，点P的坐标是（，）或（，）．方法二：如图2，将△绕原点顺时针旋转90°，得到△N22，则N2（，），B2（4，﹣4），∴O,D,B1都在直线﹣x上．∵△P1∽△，△≌△N22，∴△P1∽△N22，∴点P1的坐标为（，）．将△1D沿直线﹣x翻折，可得另一个满意条件的点P2（，），综上所述，点P的坐标是（，）或（，）．方法三：∵直线：是一三象限平分线，∴A（3，0）关于直线的对称点为A′（0，3），∴得：x1=4（舍），x2=﹣，∴N（﹣，），∵D（2，﹣2），∴：﹣x，∴N（﹣，）旋转90°后N1（，）或N关于x轴对称点N2（﹣，﹣），∵4，2，∵P为1或2中点，∴P1（，），P2（，）．【点评】本题是基于二次函数的代数几何综合题，综合考查了待定系数法求抛物线解析式,一次函数（直线）的平移,一元二次方程根的判别式,翻折变换,旋转变换以及相像三角形等重要知识点．本题将初中阶段重点代数,几何知识熔于一炉，难度很大，对学生实力要求极高，具有良好的区分度，是一道特别好的中考压轴题．7．（2014•河南）如图，抛物线﹣x2及x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线﹣3及y轴交于点C，及x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作⊥x轴于点F，交直线于点E．设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）若5，求m的值；（3）若点E′是点E关于直线的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．菁优网版权全部【专题】代数几何综合题；压轴题．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）用含m的代数式分别表示出,，然后列方程求解；（3）解题关键是识别出当四边形′是菱形，然后依据的条件，列出方程求解；当四边形′是菱形不存在时，P点y轴上，即可得到点P坐标．【解答】方法一：解：（1）将点A,B坐标代入抛物线解析式，得：，解得，∴抛物线的解析式为：﹣x2+45．（2）∵点P的横坐标为m，∴P（m，﹣m2+45），E（m，﹣3），F（m，0）．∴﹣（﹣m2+45）﹣（﹣3）﹣m22|，﹣（﹣3）﹣0﹣3|．由题意，5，即：|﹣m225|﹣315|①若﹣m2215，整理得：2m2﹣1726=0，解得：2或；②若﹣m22=﹣（15），整理得：m2﹣m﹣17=0，解得：或．由题意，m的取值范围为：﹣1＜m＜5，故,这两个解均舍去．∴2或．（3）假设存在．作出示意图如下：∵点E,E′关于直线对称，∴∠1=∠2，′，′．∵平行于y轴，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴，∴′′，即四边形′是菱形．当四边形′是菱形存在时，由直线解析式﹣3，可得4，3，由勾股定理得5．过点E作∥x轴，交y轴于点M，易得△∽△，∴，即，解得，∴，又由（2）可知：﹣m22|∴|﹣m22．①若﹣m22，整理得：2m2﹣7m﹣4=0，解得4或﹣；②若﹣m22=﹣m，整理得：m2﹣6m﹣2=0，解得m1=3+，m2=3﹣．由题意，m的取值范围为：﹣1＜m＜5，故3+这个解舍去．当四边形′是菱形这一条件不存在时，此时P点横坐标为0，E，C，E'三点重合及y轴上，菱形不存在．综上所述，存在满意条件的点P，可求得点P坐标为（﹣，），（4，5），（3﹣，2﹣3）方法二：（1）略．（2）略．（3）若E关于直线的对称点E′在y轴上，则直线及直线关于轴对称．∴点D关于直线的对称点D′也在y轴上，∴′⊥，∵﹣3，∴D（4，0），5，∵3，∴′=8或′=2，①当′=8时，D′（0，8），设P（t，﹣t2+45），D（4，0），C（0，3），∵⊥′，∴×′=﹣1，∴2t2﹣7t﹣4=0，∴t1=4，t2=，②当′=2时，D′（0，﹣2），设P（t，﹣t2+45），∵⊥′，∴×′=﹣1，∴=﹣1，∴t1=3+，t2=3﹣，∵点P是x轴上方的抛物线上一动点，∴﹣1＜t＜5，∴点P的坐标为（﹣，），（4，5），（3﹣，2﹣3）．【点评】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数及一次函数的图象及性质,点的坐标,待定系数法,菱形,相像三角形等多个知识点，重点考查了分类探讨思想及方程思想的敏捷运用．须要留意的是，为了避开漏解，表示线段长度的代数式均含有肯定值，解方程时须要分类探讨,分别计算．8．（2013•德州）如图，在直角坐标系中有始终角三角形，O为坐标原点，1，∠3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△，抛物线2经过点A,B,C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，①设抛物线对称轴l及x轴交于一点E，连接，交于F，求出当△及△相像时，点P的坐标；②是否存在一点P，使△的面积最大？若存在，求出△的面积的最大值；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．菁优网版权全部【专题】压轴题．【分析】（1）先求出A,B,C的坐标，再运用待定系数法就可以直接求出二次函数的解析式；（2）①由（1）的解析式可以求出抛物线的对称轴，分类探讨当∠90°时，当∠90°时，依据相像三角形的性质就可以求出P点的坐标；②先运用待定系数法求出直线的解析式，设及的交点为N，依据的解析式表示出点N的坐标，再依据S△△△就可以表示出三角形的面积，运用顶点式就可以求出结论．【解答】解：（1）在△中，1，∠3，∴33．∵△是由△绕点O逆时针旋转90°而得到的，∴3，1，∴A,B,C的坐标分别为（1，0），（0，3）（﹣3，0）．代入解析式为解得：．∴抛物线的解析式为﹣x2﹣23；（2）①∵抛物线的解析式为﹣x2﹣23，∴对称轴﹣=﹣1，∴E点的坐标为（﹣1，0）．如图，当∠90°时，△∽△．此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P（﹣1，4）；当∠90°时，△∽△，过点P作⊥x轴于点M，则△∽△．∴3．∵P的横坐标为t，∴P（t，﹣t2﹣23）．∵P在第二象限，∴﹣t2﹣23，﹣1﹣t，∴﹣t2﹣23=﹣（t﹣1）（3），解得：t1=﹣2，t2=﹣3（因为P及C重合，所以舍去），∴﹣2时，﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=3．∴P（﹣2，3）．∴当△及△相像时，P点的坐标为：（﹣1，4）或（﹣2，3）；②设直线的解析式为，由题意，得解得：，∴直线的解析式为：1．设及的交点为N，则点N的坐标为（t，1），∴1．∴﹣﹣t2﹣23﹣（1）=﹣t2﹣+2．∵S△△△，∴S△••=×3（﹣t2﹣+2）=﹣（）2+，∴当﹣时，S△的最大值为．【点评】本题考查了相像三角形的判定及性质的运用，待定系数法求函数的解析式的运用，三角形的面积公式的运用，二次函数的顶点式的运用，解答本题时，先求出二次函数的解析式是关键，用函数关系式表示出△的面积由顶点式求最大值是难点．9．（2013•河南）如图，抛物线﹣x2及直线2交于C,D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作⊥x轴于点E，交于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O,C,P,F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．（3）若存在点P，使∠45°，请直接写出相应的点P的坐标．【考点】二次函数综合题．菁优网版权全部【专题】压轴题．【分析】（1）首先求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）本问采纳数形结合的数学思想求解．将直线2沿y轴向上或向下平移2个单位之后得到的直线，及抛物线y轴右侧的交点，即为所求之交点．由答图1可以直观地看出，这样的交点有3个．联立解析式解方程组，即可求出m的值；（3）本问符合条件的点P有2个，如答图2所示，留意不要漏解．在求点P坐标的时候，须要充分挖掘已知条件，构造直角三角形或相像三角形，解方程求出点P的坐标．【解答】解：（1）在直线解析式2中，令0，得2，∴C（0，2）．∵点C（0，2）,D（3，）在抛物线﹣x2上，解得，2，∴抛物线的解析式为：﹣x22．（2）∵∥，且以O,C,P,F为顶点的四边形是平行四边形，∴2，∴将直线2沿y轴向上,下平移2个单位之后得到的直线，及抛物线y轴右侧的交点，即为所求之交点．由答图1可以直观地看出，这样的交点有3个．将直线2沿y轴向上平移2个单位，得到直线4，联立，解得x1=1，x2=2，∴m1=1，m2=2；将直线2沿y轴向下平移2个单位，得到直线，联立，解得x3=，x4=（在y轴左侧，不合题意，舍去），∴m3=．∴当m为值为1，2或时，以O,C,P,F为顶点的四边形是平行四边形．（3）存在．理由：设点P的横坐标为m，则P（m，﹣m22），F（m，2）．如答图2所示，过点C作⊥于点M，则，2，∴∠2．在△中，由勾股定理得：．过点P作⊥于点N，则•∠•∠2．∵∠45°，而2，∴，2，在△中，由勾股定理得：．∵﹣（﹣m22）﹣（2）=﹣m2+3m，∴﹣m2+3，整理得：m2﹣0，解得0（舍去）或，∴P（，）；同理求得，另一点为P（，）．∴符合条件的点P的坐标为（，）或（，）．【点评】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象及性质,一次函数的图象及性质,解方程（方程组）,平行四边形,相像三角形（或三角函数）,勾股定理等重要知识点．第（2）问采纳数形结合思想求解，直观形象且易于理解；第（3）问中，符合条件的点P有两个，留意不要漏解．10．（2013•重庆）如图，已知抛物线2的图象及x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且及y轴交于点C（0，5）．（1）求直线及抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作∥y轴交直线于点N，求的最大值；（3）在（2）的条件下，取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上随意一点，以为边作平行四边形，设平行四边形的面积为S1，△的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．【考点】二次函数综合题．菁优网版权全部【专题】压轴题．【分析】（1）设直线的解析式为，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线的解析式；同理，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入2，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）的长是直线的函数值及抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于的长和M点横坐标的函数关系式，依据函数的性质即可求出的最大值；（3）先求出△的面积S2=5，则S1=6S2=30．再设平行四边形的边上的高为，依据平行四边形的面积公式得出3，过点D作直线的平行线，交抛物线及点P，交x轴于点E，在直线上截取，则四边形为平行四边形．证明△为等腰直角三角形，则6，求出E的坐标为（﹣1，0），运用待定系数法求出直线的解析式为﹣x﹣1，然后解方程组，即可求出点P的坐标．【解答】解：（1）设直线的解析式为，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，得，解得，所以直线的解析式为﹣5；将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入2，得，解得，所以抛物线的解析式为2﹣65；（2）设M（x，x2﹣65）（1＜x＜5），则N（x，﹣5），∵（﹣5）﹣（x2﹣65）=﹣x2+5﹣（x﹣）2+，∴当时，有最大值；（3）方法一：∵取得最大值时，2.5，∴﹣5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）．解方程x2﹣65=0，得1或5，∴A（1，0），B（5，0），∴5﹣1=4，∴△的面积S2=×4×2.5=5，∴平行四边形的面积S1=6S2=30．设平行四边形的边上的高为，则⊥．∵5，∴•30，∴3．过点D作直线的平行线，交抛物线及点P，交x轴于点E，在直线上截取，则四边形为平行四边形．∵⊥，∠45°，∴∠45°，∴△为等腰直角三角形，6，∵B（5，0），∴E（﹣1，0），设直线的解析式为﹣，将E（﹣1，0）代入，得10，解得﹣1∴直线的解析式为﹣x﹣1．解方程组，得，，∴点P的坐标为P1（2，﹣3）（及点D重合）或P2（3，﹣4）．方法二：∵取得最大值时，2.5，∴﹣5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）．解方程x2﹣65=0，得1或5，∴A（1，0），B（5，0），∴5﹣1=4，∴△的面积S2=×4×2.5=5，∴平行四边形的面积S1=6S2=30．∵S△1，∴该问题等价于在抛物线上找到一点P，使得S△15，过点P作x轴垂线交直线于点H，设P（t，t2﹣65），∴H（t，﹣5），∴S△15，∴×（5﹣0）×[（﹣5）﹣（t2﹣65）]=15，∴t2﹣56=0，∴点P的坐标为P1（2，﹣3）或P2（3，﹣4）．【点评】本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数,二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，平行四边形的判定和性质等知识点，综合性较强，考查学生运用方程组,数形结合的思想方法．（2）中弄清线段长度的函数意义是关键，（3）中确定P及Q的位置是关键．11．（2013•徐州）如图，二次函数2﹣的图象及x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以为边在x轴上方作正方形，点P是x轴上一动点，连接，过点P作的垂线及y轴交于点E．（1）请直接写出点D的坐标：（﹣3，4）；（2）当点P在线段（点P不及A,O重合）上运动至何处时，线段的长有最大值，求出这个最大值；（3）是否存在这样的点P，使△是等腰三角形？若存在，恳求出点P的坐标及此时△及正方形重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．菁优网版权全部【专题】压轴题．【分析】（1）将点A的坐标代入二次函数的解析式求得其解析式，然后求得点B的坐标即可求得正方形的边长，从而求得点D的纵坐标；（2），，利用△∽△得到比例式，从而得到有关两个变量的二次函数，求最值即可；（3）分点P位于y轴左侧和右侧两种状况探讨即可得到重叠部分的面积．【解答】解：（1）（﹣3，4）；（2）设，由∠∠∠90°得△∽△∴﹣﹣（t﹣）2+∴当时，l有最大值即P为中点时，的最大值为；（3）存在．①点P点在y轴左侧时，交于点G，P点的坐标为（﹣4，0），∴﹣4﹣3=1，由△≌△得1∴：：4：1∴重叠部分的面积②当P点在y轴右侧时，P点的坐标为（4，0），此时重叠部分的面积为【点评】本题考查了二次函数的综合知识，及二次函数的最值结合起来，题目的难度较大．12．（2013•泰安）如图，抛物线2及y轴交于点C（0，﹣4），及x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是上的一动点，过点P作∥，交于E，连接，求△面积的最大值．（3）若点D为的中点，点M是线段上一点，且△为等腰三角形，求M点的坐标．【考点】二次函数综合题．菁优网版权全部【专题】压轴题．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出△面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；（3）△为等腰三角形，可能有三种情形，须要分类探讨．【解答】解：（1）把点C（0，﹣4），B（2，0）分别代入2中，得，解得∴该抛物线的解析式为2﹣4．（2）令0，即x2﹣4=0，解得x1=﹣4，x2=2，∴A（﹣4，0），S△•12．设P点坐标为（x，0），则2﹣x．∴，即，化简得：S△（2﹣x）2．S△△﹣S△•﹣S△×（2﹣x）×4﹣（2﹣x）22﹣=﹣（1）2+3∴当﹣1时，S△的最大值为3．（3）△为等腰三角形，可能有三种情形：（I）当时，如答图①所示．2，∴∠∠45°，∴∠90°，∴M点的坐标为（﹣2，﹣2）；（）当时，如答图②所示．过点M作⊥于点N，则点N为的中点，∴1，3，又△为等腰直角三角形，∴3，∴M点的坐标为（﹣1，﹣3）；（）当时，∵△为等腰直角三角形，∴点O到的距离为×4=，即上的点及点O之间的最小距离为．∵＞2，∴的状况不存在．综上所述，点M的坐标为（﹣2，﹣2）或（﹣1，﹣3）．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象及性质,待定系数法,相像三角形,等腰三角形等知识点，以及分类探讨的数学思想．第（2）问将面积的最值转化为二次函数的极值问题，留意其中求面积表达式的方法；第（3）问重在考查分类探讨的数学思想，留意三种可能的情形须要一一分析，不能遗漏．13．（2014•广元）如图甲，四边形的边,分别在x轴,y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A,D，交y轴于点E，连接,,．已知∠，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）求证：是△外接圆的切线；（3）摸索究坐标轴上是否存在一点P，使以D,E,P为顶点的三角形及△相像，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设△沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△及△重叠部分的面积为s，求s及t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．【考点】二次函数综合题．菁优网版权全部【专题】代数几何综合题；压轴题；分类探讨．【分析】（1）已知A,D,E三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，进而能得到顶点B的坐标．（2）过B作⊥y轴于M，由A,B,E三点坐标，可推断出△,△都为等腰直角三角形，易证得∠90°，即△是直角三角形，而是△外接圆的直径，因此只需证明及垂直即可．,长易得，能求出∠的值，结合∠的值，可得到∠∠，由此证得∠∠∠∠∠90°，此题得证．（3）△中，∠90°，∠，即3，若以D,E,P为顶点的三角形及△相像，那么该三角形必需满意两个条件：①有一个角是直角,②两直角边满意1：3的比例关系；然后分状况进行求解即可．（4）过E作∥x轴交于F，当E点运动在之间时，△及△重叠部分是个四边形；当E点运动到F点右侧时，△及△重叠部分是个三角形．按上述两种状况按图形之间的和差关系进行求解．【解答】（1）解：由题意，设抛物线解析式为（x﹣3）（1）．将E（0，3）代入上式，解得：﹣1．∴﹣x2+23．则点B（1，4）．（2）证明：如图1，过点B作⊥y于点M，则M（0，4）．在△中，3，∴∠1=∠2=45°，3．在△中，﹣1，∴∠∠45°，．∴∠180°﹣∠1﹣∠90°．∴是△外接圆的直径．在△中，∠∠，在△中，∠∠3=90°，∴∠∠3=90°．∴∠90°，即⊥．∴是△外接圆的切线．（3）解：△中，∠90°，∠，∠，∠；若以D,E,P为顶点的三角形及△相像，则△必为直角三角形；①为斜边时，P1在x轴上，此时P1及O重合；由D（﹣1，0）,E（0，3），得1,3，即∠∠，即∠∠满意△∽△的条件，因此O点是符合条件的P1点，坐标为（0，0）．②为短直角边时，P2在x轴上；若以D,E,P为顶点的三角形及△相像，则∠2=∠90°，∠2∠；而，则2÷∠2÷=10，22﹣9即：P2（9，0）；③为长直角边时，点P3在y轴上；若以D,E,P为顶点的三角形及△相像，则∠3=∠90°，∠3∠；则3÷∠3=÷=，33﹣；综上，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，﹣）．（4）解：设直线的解析式为．将A（3，0），B（1，4）代入，得，解得．∴﹣26．过点E作射线∥x轴交于点F，当3时，得，∴F（，3）．状况一：如图2，当0＜t≤时，设△平移到△的位置，交于点H，交于点S．则，过点H作⊥x轴于点K，交于点L．由△∽△，得，即．解得2t．∴S阴△﹣S△﹣S△×3×3﹣（3﹣t）2﹣t•2﹣t2+3t．状况二：如图3，当＜t≤3时，设△平移到△的位置，交于点I，交于点V．由△∽△，得．即，解得2（3﹣t）．∵3﹣t，∴S阴•（3﹣t）22﹣3．综上所述：．【点评】该题考查了二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定,切线的判定,相像三角形的判定,图形面积的解法等重点知识，综合性强，难度系数较大．此题的难点在于后两个小题，它们都须要分状况进行探讨，简单出现漏解的状况．在解答动点类的函数问题时，肯定不要遗漏对应的自变量取值范围．14．（2014•成都）如图，已知抛物线（2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）及x轴从左至右依次交于A，B两点，及y轴交于点C，经过点B的直线﹣及抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形及△相像，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段上一点（不含端点），连接，一动点M从点A动身，沿线段以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？【考点】二次函数综合题．菁优网版权全部【专题】代数几何综合题；压轴题．【分析】（1）首先求出点A,B坐标，然后求出直线的解析式，求得点D坐标，代入抛物线解析式，求得k的值；（2）因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠为钝角．因此若两个三角形相像，只可能是△∽△或△∽△．如答图2，依据以上两种状况进行分类探讨，分别计算；（3）由题意，动点M运动的路径为折线，运动时间：．如答图3，作协助线，将转化为；再由垂线段最短，得到垂线段及直线的交点，即为所求的F点．【解答】解：（1）抛物线（2）（x﹣4），令0，解得﹣2或4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．∵直线﹣经过点B（4，0），∴﹣×40，解得，∴直线解析式为：﹣．当﹣5时，3，∴D（﹣5，3）．∵点D（﹣5，3）在抛物线（2）（x﹣4）上，∴（﹣5+2）（﹣5﹣4）=3，∴抛物线的函数表达式为：（2）（x﹣4）．（2）由抛物线解析式，令0，得﹣k，∴C（0，﹣k），．因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠为钝角．因此若两个三角形相像，只可能是△∽△或△∽△．①若△∽△，则有∠∠，如答图2﹣1所示．设P（x，y），过点P作⊥x轴于点N，则，．∠∠，即：，∴P（x，），代入抛物线解析式（2）（x﹣4），得（2）（x﹣4），整理得：x2﹣6x﹣16=0，解得：8或﹣2（及点A重合，舍去），∴P（8，5k）．∴，即，解得：．②若△∽△，则有∠∠，如答图2﹣2所示．及①同理，可求得：．综上所述，或．（3）如答图3，由（1）知：D（﹣5，3），如答图2﹣2，过点D作⊥x轴于点N，则3，5，4+5=9，∴∠30°．过点D作∥x轴，则∠∠30°．过点F作⊥于点G，则．由题意，动点M运动的路径为折线，运动时间：，∴，即运动的时间值等于折线的长度值．由垂线段最短可知，折线的长度的最小值为及x轴之间的垂线段．过点A作⊥于点H，则t最小，及直线的交点，即为所求之F点．∵A点横坐标为﹣2，直线解析式为：﹣，∴﹣×（﹣2）2，∴F（﹣2，2）．综上所述，当点F坐标为（﹣2，2）时，点M在整个运动过程中用时最少．【点评】本题是二次函数压轴题，难度很大．第（2）问中须要分类探讨，避开漏解；在计算过程中，解析式中含有未知数k，增加了计算的难度，留意解题过程中的技巧；第（3）问中，运用了转化思想使得试题难度大大降低，须要仔细体会．15．（2014•南宁）在平面直角坐标系中，抛物线2+（k﹣1）x﹣k及直线1交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）如图1，当1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线下方，试求出△面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）及x轴交于点C,D两点（点C在点D的左侧），在直线1上是否存在唯一一点Q，使得∠90°？若存在，恳求出此时k的值；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．菁优网版权全部【专题】代数几何综合题；压轴题．【分析】方法一：（1）当1时，联立抛物线及直线的解析式，解方程求得点A,B的坐标；（2）如答图2，作协助线，求出△面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最大值及点P的坐标；（3）“存在唯一一点Q，使得∠90°”的含义是，以为直径的圆及直线相切于点Q，由圆周角定理可知，此时∠90°且点Q为唯一．以此为基础，构造相像三角形，利用比例式列出方程，求得k的值．须要另外留意一点是考虑直线是否及抛物线交于C点，此时亦存在唯一一点Q，使得∠90°．方法二：（1）联立直线及抛物线方程求出点A，B坐标．（2）利用面积公式求出P点坐标．（3）列出定点O坐标，用参数表示C，Q点坐标，利用黄金法则二求出k的值．【解答】方法一：解：（1）当1时，抛物线解析式为2﹣1，直线解析式为1．联立两个解析式，得：x2﹣11，解得：﹣1或2，当﹣1时，1=0；当2时，1=3，∴A（﹣1，0），B（2，3）．（2）设P（x，x2﹣1）．如答图2所示，过点P作∥y轴，交直线于点F，则F（x，1）．∴﹣（1）﹣（x2﹣1）=﹣x22．S△△△（﹣）（﹣）（﹣）∴S△（﹣x22）=﹣（x﹣）2+当时，2﹣1=﹣．∴△面积最大值为，此时点P坐标为（，﹣）．（3）设直线：1及x轴,y轴分别交于点E,F，则E（﹣，0），F（0，1），，1．在△中，由勾股定理得：．令2+（k﹣1）x﹣0，即（）（x﹣1）=0，解得：﹣k或1．∴C（﹣k，0），．Ⅰ,假设存在唯一一点Q，使得∠90°，如答图3所示，则以为直径的圆及直线相切于点Q，依据圆周角定理，此时∠90°．设点N为中点，连接，则⊥，．∵∠∠，∠∠90°，∴，即：，解得：±，∵k＞0，∴存在唯一一点Q，使得∠90°，此时．Ⅱ,若直线过点C时，此时直线及圆的交点只有另一点Q点，故亦存在唯一一点Q，使得∠90°，将C（﹣k，0）代入1中，可得1，﹣1（舍去），故存在唯一一点Q，使得∠90°，此时1．综上所述，或1时，存在唯一一点Q，使得∠90°．方法二：（1）略．（2）过点P作x轴垂线，叫直线于F，设P（t，t2﹣1），则F（t，1）∴S△（﹣）（﹣），∴S△（1﹣t2+1）（2+1），∴S△﹣t23，当时，S△有最大值，∴S△．（3）∵2+（k﹣1）x﹣k，∴（）（x﹣1），当0时，x1=﹣k，x2=1，∴C（﹣k，0），D（1，0），点Q在1上，设Q（t，1），O（0，0），∵∠90°，∴⊥，∴×﹣1，∴（k2+1）t2+31=0有唯一解，∴△=（3k）2﹣4（k2+1）=0，∴k1=，k2=﹣（k＞0故舍去），∴．【点评】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数及一次函数的图象及性质,解方程,勾股定理,直线及圆的位置关系,相像等重要知识点，有肯定的难度．第（2）问中，留意图形面积的计算方法；第（3）问中，解题关键是理解“存在唯一一点Q，使得∠90°”的含义．16．（2013•防城港）如图，抛物线﹣（x﹣1）2及x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，及y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．（1）求点B，C的坐标；（2）推断△的形态并说明理由；（3）将△沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△．△及△重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S及t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．【考点】二次函数综合题．菁优网版权全部【专题】压轴题．【分析】（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B，C的坐标；（2）分别求出△三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定△为直角三角形；（3）△沿x轴向右平移过程中，分两个阶段：（I）当0＜t≤时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形；（）当＜t＜3时，如答图3所示，此时重叠部分为一个三角形．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线﹣（x﹣1）2上，∴0=﹣（﹣1﹣1）2，得4，∴抛物线解析式为：﹣（x﹣1）2+4，令0，得3，∴C（0，3）；令0，得﹣1或3，∴B（3，0）．（2）△为直角三角形．理由如下：由抛物线解析式，得顶点D的坐标为（1，4）．如答图1所示，过点D作⊥x轴于点M，则1，4，﹣2．过点C作⊥于点N，则1，﹣﹣1．在△中，由勾股定理得：；在△中，由勾股定理得：；在△中，由勾股定理得：．∵222，∴△为直角三角形（勾股定理的逆定理）．（3）设直线的解析式为，∵B（3，0），C（0，3），解得﹣1，3，∴﹣3，直线是直线向右平移t个单位得到，∴直线的解析式为：﹣（x﹣t）+3=﹣3；设直线的解析式为，∵B（3，0），D（1，4），解得：﹣2，6，∴﹣26．连接并延长，射线交于点G，则G（，3）．在△向右平移的过程中：（I）当0＜t≤时，如答图2所示：设及交于点K，可得，3﹣t．设及的交点为F，则：，解得，∴F（3﹣t，2t）．△﹣S△﹣S△•﹣•﹣•×3×3﹣（3﹣t）2﹣t•22+3t；（）当＜t＜3时，如答图3所示：设分别及,交于点K,点J．∴，3﹣t．直线解析式为﹣26，令，得6﹣2t，∴J（t，6﹣2t）．△﹣S△•﹣•（3﹣t）（6﹣2t）﹣（3﹣t）22﹣3．综上所述，S及t的函数关系式为：【点评】本题是运动型二次函数综合题，考查了二次函数的图象及性质,待定系数法,一次函数的图象及性质,勾股定理及其逆定理,图形面积计算等知识点．难点在于第（3）问，弄清图形运动过程是解题的先决条件，在计算图形面积时，要充分利用各种图形面积的和差关系．17．（2014•重庆）如图，抛物线﹣x2﹣23的图象及x轴交于A,B两点（点A在点B的左边），及y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A,B,C的坐标；（2）点M为线段上一点（点M不及点A,B重合），过点M作x轴的垂线，及直线交于点E，及抛物线交于点P，过点P作∥交抛物线于点Q，过点Q作⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形的周长最大时，求△的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形的周长最大时，连接．过抛物线上一点F作y轴的平行线，及直线交于点G（点G在点F的上方）．若2，求点F的坐标．【考点】二次函数综合题．菁优网版权全部【专题】代数几何综合题；压轴题．【分析】方法一：（1）通过解析式即可得出C点坐标，令0，解方程得出方程的解，即可求得A,B的坐标．（2）设M点横坐标为m，则﹣m2﹣23，（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，矩形的周长﹣2m2﹣82，将﹣2m2﹣82配方，依据二次函数的性质，即可得出m的值，然后求得直线的解析式，把代入可以求得三角形的边长，从而求得三角形的面积．（3）设F（n，﹣n2﹣23），依据已知若2，即可求得．方法二：（1）略．（2）求出P，Q的参数坐标，并得出周长的函数表达式，求出P点，进而求出E点坐标，并求出△的面积．（3）求出D点坐标，并求出长度；再求出F，G的参数坐标，并得到的函数表达式，利用，求点F的坐标．（4）利用点P，B求出直线的斜率及中点坐标，进而的直线方程，再及抛物线联立，进而求出G，H坐标．【解答】方法一：解：（1）由抛物线﹣x2﹣23可知，C（0，3），令0，则0=﹣x2﹣23，解得﹣3或1，∴A（﹣3，0），B（1，0）．（2）由抛物线﹣x2﹣23可知，对称轴为﹣1，设M点的横坐标为m，则﹣m2﹣23，（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，∴矩形的周长=2（）=（﹣m2﹣23﹣2m﹣2）×2=﹣2m2﹣82=﹣2（2）2+10，∴当﹣2时矩形的周长最大．∵A（﹣3，0），C（0，3），设直线解析式为，解得1，3，∴解析式3，当﹣2时，则E（﹣2，1），∴1，1，（3）∵M点的横坐标为﹣2，抛物线的对称轴为﹣1，∴N应及原点重合，Q点及C点重合，把﹣1代入﹣x2﹣23，解得4，∴D（﹣1，4）∵2，∴4，设F（n，﹣n2﹣23），则G（n，3），∵点G在点F的上方，∴（3）﹣（﹣n2﹣23）=4，解得：﹣4或1．∴F（﹣4，﹣5）或（1，0）．方法二：（1）略．（2）设P（t，﹣t2﹣23），Q（﹣2﹣t，﹣t2﹣23），∴矩形周长为：22，∴222（﹣2﹣t﹣t）+2（﹣t2﹣23），∴22﹣2t2﹣82，∴当﹣2时，周长最大，∴P（﹣2，3），∵A（﹣3，0），C（0，3），∴：3，∵点E在直线上，且，把﹣2代入，∴E（﹣2，1），∴S△××1×1=，（3）∵D为抛物线顶点，∴D（﹣1，4），Q（0，3），∵22×=4，∴t2+3t﹣4=0，∴t1=﹣4，t2=1，∴F1（﹣4，﹣5），F2（1，0）．（4）∵点P及点B关于直线L对称，∴被垂直平分，∵P（﹣2，3），B（1，0），∴﹣1，∴×﹣1，∴1，∵F为的中点，∴G（，），H（，）．【点评】本题考查了二次函数及坐标轴的交点的求法，矩形的性质，一元二次方程的解法，二次函数最值的求法，综合性较强，难度适中．运用数形结合,方程思想是解题的关键．18．（2014•钦州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线﹣x2及x轴交于A,D两点，及y轴交于点B，四边形是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段上的动点，过点E作⊥x轴交抛物线于点P，交于点G，交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P在直线上方时，请用含m的代数式表示的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P,B,G为顶点的三角形及△相像？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．菁优网版权全部【专题】代数几何综合题；压轴题．【分析】（1）将A（1，0），B（0，4）代入﹣x2，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）由E（m，0），B（0，4），得出P（m，﹣m2﹣4），G（m，4），则﹣m2﹣4﹣4=﹣m2﹣m，点P在直线上方时，故须要求出m的取值范围；（3）先由抛物线的解析式求出D（﹣3，0），则当点P在直线上方时，﹣2＜m＜0．再运用待定系数法求出直线的解析式为4，于是得出H（m，4）．当以P,B,G为顶点的三角形及△相像时，由于∠∠90°，所以分两种状况进行探讨：①△∽△；②△∽△．都可以依据相像三角形对应边成比例列出比例关系式，进而求出m的值．【解答】解：（1）∵抛物线﹣x2及x轴交于点A（1，0），及y轴交于点B（0，4），∴，解得，∴抛物线的解析式为﹣x2﹣4；（2）∵E（m，0），B（0，4），⊥x轴交抛物线于点P，交于点G，∴P（m，﹣m2﹣4），G（m，4），∴﹣m2﹣4﹣4=﹣m2﹣m；点P在直线上方时，故须要求出抛物线及直线的交点，令4=﹣m2﹣4，解得﹣2或0，即m的取值范围：﹣2＜m＜0，的长度为：﹣m2﹣m（﹣2＜m＜0）；（3）在（2）的条件下，存在点P，使得以P,B,G为顶点的三角形及△相像