2024年高考数学重难点突破第12讲 极值点偏移

第12讲极值点偏移前面所学内容可以归结为一元等式或者不等式问题，从本节开始要进入双元问题，也可以概括为双元等式或者双元不等式问题，其中极值点偏移是比较简单的，处理方法也相对容易，但其中体现的整体换元思想是需要认真体会的，这也是本书一贯强调的思想，难题就是把简单题整体代换一下，这是出题套路，也是解题之法.在学习极值点偏移的时候，同样要从概念、题型、解法的逻辑来学习.下面讲解极值点偏移的一些概念和定理，相对比较抽象，如果开始不太看得明白，可以先做几个题目，再反复理解!极值点偏移的相关推导一、极值点偏移的含义极值点不偏移:函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称，必为的极值点.若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.简单来说，如果图像关于极值点处对称，则不偏移，否则偏移.极值点偏移:若则为极值点偏移，单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系:若，则称为极值点左偏，即极值点在两根中点的左边.若，则称为极值点右偏，即极值点在两根中点的右边.二、极值点偏移的判定定理求证:对于可导函数，在上只有一个极大值点，方程的解分别为，且.(1)若，则，即函数在上极大值点右偏.(2)若，则，即函数在上极小值点左偏.证明:(1)对于可导函数，在上只有一个极大值点，则函数的单调递增区间为，单调递减区间为.由于，有，且.又，，即函数极大值点右偏.(2)极小值可自行推导.三、对数平均不等式的介绍与证明两个正数和的对数平均定义:对数平均不等式为:.取等条件:当且仅当时，等号成立.只证:当时，，不失一般性，可设.证明:(1)先证:=1\*GB3①=1\*GB3①式(其中).构造函数:1)，则.当时，，函数在上单调递减.故，不等式=1\*GB3①成立.(2)再证:.=2\*GB3②=2\*GB3②式(其中.构造函数1)，则.当时，函数在上单调递增，故，从而不等式=2\*GB3②成立.综合=1\*GB3①=2\*GB3②知，对，都有对数平均不等式成立，当且仅当时，等号成立.无参极值点偏移的方法总结关于极值点偏移常考的题型如下:题型一:若函数存在两个零点，且，求证:为函数的极值点.题型二:若函数中存在且满足，求证:为函数的极值点.对于极值点偏移来说，所有方法的核心都是为了把双元问题转化为一元问题，那么在转换过程中常用如下方法:证法一:单调性放缩转化法，一般有两种构造函数的方式构造方式一:非对称构造(1)构造函数.(2)判断函数的单调性.(3)证明[或即[或.(4)结合函数的单调性，通过整体代换即可证，或.构造方式二:对称构造(1)求出函数的极值点，及单调区间.(2)作差比较:构造一元差函数.(3)确定函数的单调性.(4)结合，判断的符号，从而确定的大小关系，结合函数的单调性，通过整体代换即可证，或.证法二:引参消元法，一般有两种引参方式引参方式一:差式引参一般步骤如下:第一步:根据和的关系式，一般为，通过变形，构造出.第二步:通过整体代换，令，引入参数，如果可以直接构造一元函数就直接计算，如果不行再进入第三步.第三步:用参数表示出变量，进而构造一元函数.第四步:按照一元函数处理方式处理.引参方式二:齐次引参消元一般步骤如下:第一步:先根据已知条件确定出变量，满足的等式，并变形出，然后令.第二步:用参数表示出变量，进而构造一元函数，将关于待求的问题转化为关于的函数问题.第三步:构造关于的一元函数求解.证法三:齐次分式整体代换消元法一般步骤如下:第一步:先根据已知条件确定出变量，满足的条件.第二步:通过将所有涉及的式子转化为关于的式子，将问题转化为关于自变量（亦可）的函数问题.第三步:整体代换，构造关于的一元函数求解.证法四:对数平均不等式法一般步骤如下:第一步:通过等式两边同取自然对数或相减等配凑出“”及“”.第二步:通过等式两边同除以“”构建对数平均数.第三步:利用对数平均不等式将转化为后再证明，或.【例1】已知函数，如果，且，证明:.【解析】证明法一：对称构造法易得在上单调递增，在上单调递减.时，.时，.函数在时取得极大值:.由不妨设.则必有.构造函数，.则.在上单调递增，，即对恒成立.由，则.，即.又，且在上单调递减，，即.法二:非对称构造法欲证，即证.由“法一”可知，故，.又在上单调递减，故只需证明.又，证明即可.构造函数，.等价于证明恒成立..在上单调递增.，即以证明，对恒成立.故原不等式成立.法三:差式引参换元法由，得，化简得.=1\*GB3①不妨设，由“法一”知，.令，则，代入=1\*GB3①式，得，反【解析】出.则，故要证，即证.又，等价于证明=2\*GB3②构造函数，则，故在上单调递增，.从而也在上单调递增，，即=2\*GB3②式成立，故原不等式成立.法四:齐次分式整体消元法由“法三”中=1\*GB3①式，两边同时取自然对数，可得.即，从而令，欲证，等价于证明.=3\*GB3③构造，，则.又令，则.由于对恒成立，故在上单调递增.，从而，故在上单调递增.由洛必达法则知，,(下一章会讲)

可得,即证=3\*GB3③式成立,即原不等式成立.

法五:对数平均不等式法由“法三”中=1\*GB3①式,两边同时取自然对数,

可得.即.把代入不等式即可得,即可得.【例2】已知函数,上存在两个不相等的数,满足,求证:.

【解析】证明,令得.

当时,在上单调递增.当时,在上单调递减.为的极大值点,不妨设,由题意可知.,单调递减.

又在上恒成立,即在上恒成立.含参极值点偏移含参极值点偏移问题和无参的证法类似,参数可分为在函数中和在不等式中两种类型,可以通过参变分离,把含参问题转换为无参问题,其处理思路和上一节一样,注意将问题转化为,然后构造函数,利用函数的单调性可得,从而得出结论.

含参型一:函数含参极值点偏移问题

【例1】已知函数有两个零点.

(1)求的取值范围.

(2)设是的两个零点,证明:.

【解析】(1)函数的定义域为.

=1\*GB3①当时,,得,只有一个零点,不合题意.

=2\*GB3②当时,.

i.当时,由得,由得,由得.是的极小值点,也是

的最小值点.

又在上存在一个零点,即.

由

又,在上存在唯一零点,

即,时,存在两个零点.

ii.当时,由得或.

若,即时,0,故在上单调递增,与题意不符.

若,即时,易证,故在上只有一个零点.

若,即时,易证.,故在上只有一个零点.

综上所述,.

（2）证明法一:非对称构造法

由(1)题知,且.,则...在上单调递增....在上

单调递减,,即.

法二:参变分离,再对称构造

由已知得,不难发现,

故可整理得.设,则.那么.

当时,单调递减.当时,单调递增.设,构造代数式.

设.

则,故单调递增,有.

因此,对于任意的.

由可知不可能在的同一个单调区间上,

不妨设,则必有.

令,则有.

而在上单调递增,因此.

整理得.

法三:参变分离,再非对称构造

由法二得,构造.利用单调性可证,此处略.

含参型二:不等式含参极值点偏移问题

【例1】已知函数,.

(1)求函数的单调区间.

(2)若存在两个不相等的正数,满足,求证:.

【解析】(1),定义域为.当时,,.

当时,.

故当时,的单调递减区间是,单调递增区间是.当时,的单调递减区间是,无单调递增区间.

(2)证明由(1)题知当时,的单调递减区间是,无递增区间，不合题意,故,此时在上单调递减,在上单调递增.

若存在两个不相等的正数,满足,不妨设,则有.

要证,即证.

而.

由(1)题知在上单调递增,故只需证.

又,即要证(其中).

考查函数,的定义域是,

【例2】已知,.若有两个极值点,且,求证:(为自然对数的底数).

【解析】证明法一:零点等式相减相加消参换元法

欲证,需证.

若有两个极值点,则函数有两个零点.又,是方程的两个不同实根.

则有，解得.

另一方面,由得,

从而可得.

又,设,则..

要证,即证.即当时,有.设函数,则,为上的增函数..

于是,当时,有...

法二:含参非对称构造

欲证,需证.若有两个极值点,即函数有两个零点.又是方程的两个不同实根.显然,否则,函数为单调函数,不符合题意.由于,故在上单调递增,在上单调递减.

由,

需证明即可.即只需证明.

设,故在上单调递增,即,故.

由于,故在上单调递增,在上单调递减.

设,令,则

又在上单调递减,故有,即.原命题得证.法三:单调性放缩转换法由是方程的两个不同实根得,令,由于,因此,在上单调递增,在上单调递减.设,要证明,只需证明,只需证明,即,即.即,在上单调递增,故,即.

调递减,

法四:差式引参消元法

设,则由得,设,则.欲证,需证,即只需证明..设,故在上单调递减,故,故在上单调递增,因此,命题得证.

法五:分式引参消元法

设,则由得.设,则.欲证,需证,即只需证明,即.设,故在上单调递增,因此,命题得证.

极值点偏移变形

一般题型

1.若函数存在两个零点且,求证:.

2.若函数中存在且,满足,求证:.3.若函数存在两个零点且,求证:.

4.若函数中存在且,满足,求证:.方法核心:要证明,即比较与极值点的大小,得出所在的单调区间,从而得出该处函数导数值的正负,从而结论得证.对于问题,要结合基本不等式,,转换为比较与极值点的大小的问题.【例1】已知函数

(1)求函数的单调区间.

(2)若方程有两个不相等的实数根,求证:.【解析】（1）.

=1\*GB3①当时,,函数在上单调递增,的单调递增区间为.

=2\*GB3②当时,由得.

由得,的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)证明是方程的两个不等实根,.不妨设,

则,

两式相减得,

即.

又,当时,.

当时,.

故只要证明即可,即证,

即证,即.

设,令,则,则在上为增函数,又,时,总成立,得证.【例2】已知函数.

(1)讨论的单调性.

(2)如果方程有两个不相等的解,且,证明:.

【解析】(1).

=1\*GB3①当时,,单调递增.

=2\*GB3②当时,

单调递减;单调递增.

综上,当时,在上单调递增.当时,在上单调递减,在上单调递增.

(2)证明由(1)题知,

当时,在上单调递增,至多有一个根,不符合题意.

当时,在上单调递减,在上单调递增,则.

不妨设,要证,即证,即证,即证.在上单调递增,即证,

又即证,即证,其中

\)

【例3】设函数,其图像与轴交于两点,且.

(1