高考数学二轮总复习训练 几何证明选讲理

高考专题训练二十八几何证明选讲（选修4—1）

班级某某时间：45分钟分值：100分总得分

一、填空题（每小题6分，共30分）

1.（2011•某某）如图，NB=ND,AE±BC,NACD=90°,且AB=6,AC=4,AD=12,

则BE=.

解析：由NB=ND,AE±BC,知△ABEs^ADC,

.••煞=黑•AC=^^=2,BE=dAB2-AE2=，§^=4啦.

/iUJAUADINYvv

答案：44

2.（2011•某某）如图，A、E是半圆周上的两个三等分点，直线BC=4,AD±BC,垂足为

D,BE与AD相交于点F,则AF的长为.

解析:

如图所示，:A、E是半圆周上两个三等分点,

/•AAB0和AAOE均为正三角形.

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AAE=B0=^BC=2,VADXBC,

・・*。=，22—12=，§,BD=L

又NB0A=N0AE=60°,AE/7BD.

DFBD1

.,.△BDF^AEAAF,・••而=在=5

・・・AF=2FD,,・・3AF=2(FD+AF)=2AD=24,

.•・AF=¥.

答案：¥

3.(2011•某某卷)如图，A,B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和

CB的延长线与大圆的交点，已知AC=4,BE=10,且BC=AD,则DE=.

解析：连接AB,设BC=AD=x,结合图形可得

△CAB与4CED相似，于是乔=而.

EUCD

4x

即H7=H-nx=2.

x+104+x

又因为AC是小圆的直径，所以/CBA=90°,

由于/CDE=/CBA,所以/CDE=90°.

在直角三角形CDE中，DE=yCE2—CD2=y122-62=6-^3.

答案：6小

4.（2011•某某卷）如图，过圆外一点P作。。的割线PBA与切线PE,E为切点，连接

AE、BE,/APE的平分线分别与AE、BE相交于点C、D,若/AEB=30°,则/PCE=.

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解析:由切割线性质得：P&=PB.PA,即.密,

AAPBE^APEA,AZPEB=ZPAE,又4PEA的内角和为2(/CPA+/PAE)+30°=

180°,所以NCPA+NPAE=75°,即/PCE=75°.

答案：75°

5.如图，在直角梯形ABCD中，DC/7AB,CB±AB,AB=AD=a,CD=|,点E,F分别为线

段AB,AD的中点，贝|EF=.

分析：本题考查勾股定理及三角形中位线的性质.

BC=DE=^a,

解析：连接BD、DE,由题意可知DE±AB,DE=更a,BD=

2

二、解答题（每小题10分，共70分）

6.如图，已知aABC的两条角平分线AD和CE相交于H,/B=60°,F在AC上，且AE

=AF.

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(1)求证：B,D,H,E四点共圆;

⑵求证：CE平分NDEF.

证明：⑴在△ABC中，因为/B=60°,所以/BAC+/BCA=120°.因为AD,CE是角

平分线，所以NHAC+NHCA=60°,故NAHC=120°.于是NEHD=/AHC=120°.因为NEBD

+ZEHD=180°,所以B,D,H,E四点共圆.

⑵连接BH,贝!JBH为NABC的平分线，所以NHBD=30°.由(1)知B,D,H,E四点共圆，

所以NCED=/HBD=30°.

又/AHE=/EBD=60°,由已知可得EF,AD,

可得/CEF=30°,

所以CE平分NDEF.

7.如图所示，。。为AABC的外接圆，且AB=AC,过点A的直线交。。于D,交BC的

延长线于F,DE是BD的延长线，连接CD.

(1)求证：ZEDF=ZCDF；

(2)求证：AB2=AF•AD.

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证明：(1)VAB=AC,

ZABC=ZACB."/四边形ABCD是。。的内接四边形，，ZCDF=ZABC,又/ADB与/EDF

是对顶角，

ZADB=ZEDF,又/ADB=ZACB,

.\ZEDF=ZCDF.

(2)由(1)知NADB=ZABC.又：ZBAD=ZFAB,

Z\ADBs△ABF,.*.AB2=AF•AD.

8.（2011•某某）如图，A,B,C,D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于

E点，且EC=ED.

⑴证明:CD〃AB；

⑵延长CD到F,延长DC到G,使得EF=EG,证明：A,B,G,F四点共圆.

证明：（1）因为EC=ED,所以/EDC=/ECD.

因为A,B,C,D四点在同一圆上，所以/EDC=/EBA,

故NECD=/EBA.

所以CD〃AB.

⑵由(1)知,AE=BE,因为EF=EG,故NEFD=/EGC,

从而/FED=/GEC.

连接AF,BG,则△EFAgZXEGB,故/FAE=/GBE.

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又CD〃AB,ZEDC=ZECD,所以/FAB=/GBA,

所以/AFG+/GBA=180°,

故A,B,G,F四点共圆.

9.已知，如图，AB是。。的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是。。的割线，过点G

作AB的垂线，交直线AC于点E,交AD于点F,过G作。。的切线，切点为H.求证：

4

(DC,D,F,E四点共圆；

(2)GH==GE-GF.

证明：⑴连接CB,VZACB=90°,AGXFG,又：NEAG=/BAC,

AZABC=ZAEG.VZADC=180°-ZABC=180°-ZAEG=ZCEF,ZADC+ZFDC=

ZCEF+ZFDC=180°,

AC,D,F,E四点共圆.

(2)由C,D,F,E四点共圆，知/GCE=/AFE,ZGEC=ZGDF,.-.AGCE-AGFO,故9

GE

=而,即GC-GD=GE•GF.为圆的切线，GCD为割线,

G&=GC-GD,GH==GE•GF.

10.(2011•课标)如图，D,E分别为aABC的边AB,AC上的点，且不与aABC的顶点

重合.已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于x的方程xz—14x+mn=0的两个

根.

(1)证明：C,B,D,E四点共圆；

(2)若/A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圆的半径.

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解：(1)证明：连接DE,根据题意在4ADE和4ACB中,

ADXAB=mn=AEXAC,

即，瑞又/DAE=/CAB,从而△ADEs^ACB.

因止匕NADE=NACB.

所以C,B,D,E四点共圆.

(2)m=4,n=6时，方程X2—14x+mn=0的两根为x=2,x=12.故AD=2,AB=12.

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取CE的中点G,DB的中点F,分别过G,F作AC,AB的垂线，两垂线相交于H点，连

接DH.因为C,B,D,E四点共圆，所以C,B,D,E四点所在圆的圆心为H,半径为DH.

由于/A=90°,故GH〃AB,HF〃AC.从而HF=AG=5,DF=1(12-2)=5.

故C,B,D,E四点所在圆的半径为5班.

11.(2011•哈师大附中、东北师大附中、某某省实验中学第一次联考)已知四边形PQRS

是圆内接四边形，NPSR=90°,过点Q作PR、PS的垂线，垂足分别为点H、K.

(1)求证：Q、H、K、P四点共圆；

(2)求证：QT=TS.

证明：(1)：/PHQ=/PKQ=90°,

.•.Q、H、K、P四点共圆.

(2)VQ>H、K、P四点共圆，；./HKS=/HQP,①

VZPSR=90°,；.PR为圆的直径，；./PQR=90°,ZQRH=ZHQP,②

而/QSP=/QRH,③

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由①②③得，ZQSP=ZHKS,TS=TK,

又/SKQ=90°,VZSQK=ZTKQ,；.QT=TK,.\QT=TS.

12.（2011•某某省教学质量调研）如图，已知AD是4ABC的外角/EAC的平分线，交

BC的延长线于点D,延长DA交4ABC的外接圆于点F,连接