广州培英中学2023年高二年级上册10月月考数学试题含答案

广州培英中学2023年高二上学期10月月考数学试题

2023学年第一学期10月质量检测

高二数学

满分：150分时间：120分钟

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知点码回川-L）,则直线A3的倾斜角为（）

A.寻B.-C.工D.

3636

2.已知2=（—3,2,5）3=（1,7—1）,若d/B，则丁=（）

A.4B.6C.5D.3

3.已知｛ZH｝是空间的一组基底，则下列向量中能与Z+B，构成一组基底的是（）

A.aB.BC.cD.a+lb

4.已知£、B都是空间向量，且=则（2a,-3可=（）

A；B.2C.2D.

3636

5设直线4,5的斜率和倾斜角分别为匕，网和4，4,则满〉卷是“4>8”的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.设点A（4,—3）,8（—2,—2）,直线/过点P（l,l）且与线段A3相交，贝心的斜率上的取值范围是（）

44

A.Z21或左W—4B.k>l^k<一一C.-4<Z:<1D.一一<A:<-1

33

7.“堑堵”“阳马”和“鳖席”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术•商功》中描述：“斜解

立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖腌.”一个长方体ABC。-R沿对角面斜解（图

1）,得到两个一模一样的堑堵（图2）,再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2）,得到一个四棱锥，

称为阳马（图3）,一个三棱锥称为鳖腌（图4）.若鳖膈的体积为4，AB=4,BC=3,则在鳖腌中，平

面BCR与平面3cA夹角的余弦值为（）

67652765

656565

8.在RtOABC中，ZACB=9Q°,AC=],BC=2,CD是/ACB的角平分线(如图①).若沿直线

CO将口ABC折成直二面角8-CD-A(如图②).则折叠后A,B两点间的距离为()

A.V2B.0C.2D.3

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.

9.已知4(2,0,4),6(1,1,3),4一1,1,一2),则()

A.AB+AC^(-4,2,-7)B.|flc|=29

C.若向量机=(2,-2,2),则晟//而D,若向量加=(1,2,1),则右J,而

10.已知直线4的方程是以-y+b=0」2的方程是"一y—。=0(。匕/0,。。份，则下列各示意图中，不

正确的是()

A.B.

11.在长方体A8CZ）—ABCQI中，BC=2A8=2BA=6,点七为棱上靠近点。的三等分点，点F

是长方形AO0A内一动点（含边界），且直线4F,EF与平面所成角的大小相等，则（）

A.A///平面Bee4B.三棱锥尸-的体积为4

-525

C.不存在点E,使得AF//AED.线段4尸的长度的取值范围为

2o

12.很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面

体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24,棱长为

2后的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四

A

A.该半正多面体的表面积为48+326

B.46_1平面8。。6

C.若E为线段BC的中点，则异面直线。E与A尸所成角的余弦值为述

10

D.点8到平面ACO的距离为逑

3

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.过点（-1,-2）斜率为3的直线的点斜式方程是

14.已知直线/的方向向量e=（〃z,l,2）,平面a的法向量〃=（2,〃,一4）,若/_La,则2加+〃=.

15.若三个向量之=（3,3,2）,B=（6jn,7）,=（0,5,1）共面，则实数机的值为.

16.长方体ABC。—A耳CQ中，AB=\,AD=2,A4,=2,P是棱。A上的动点，则△丛6的面积

最小值是一.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知坐标平面内三点A（-l,l）,8（1,1）,C（2,V3+1）.

（1）求直线AB,BC,4c的斜率和倾斜角；

（2）若。为口48。的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围.

18.如图，在正四面体A8CO中，E是棱6C的中点，AF=2FD＞分别记而，而，而为工友口

（1）用表示而；

（2）若忖=6,求而百.

19.如图，在多面体ABC-44G中，四边形AB4A是正方形，C4_L平面ABga，AC=AB=1.,

B]CJ/BC,BC=2B\C\

(1)求证：

(2)求A到平面BCG的距离•

20.在三棱锥P—ABC中，EMBC是边长为2的等边三角形，BP=1,PC=6平面PBC1平面

ABC,E为线段CP的中点.

(1)证明：AE1CP.

(2)在直线BC上是否存在点F,使得直线AF与平面ABP所成角的正弦值为好？若存在，求竺的

5FC

值；若不存在，请说明理由.

21.如图，梯形ABC。所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB//CD//EF,

AB1AD,\CD\=\DA\=\AF\=\FE\=2,|AB|=4.

(1)求证：DF〃平面BCE；

(2)求二面角C—BE—A的余弦值；

(3)线段CE上是否存在点G,使得AG,平面BCF?请说明理由.

22.如图，四棱锥S-ABC力的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱上的点.

(1)求证：AC±SD；

(2)若SZ)J_平面％C,求平面B4C与平面AC£＞的夹角大小；

(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E,使得BE〃平面用C.若存在，求SE：EC的值：若

不存在，试说明理由.

2023学年第一学期10月质量检测

高二数学

满分：150分时间：120分钟

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知点人(1网判-L),则直线的倾斜角为()

A.4B.-C.工D.

3636

【答案】A

【解析】

【分析】

由两点坐标，求出直线A8的斜率，利用k=tana,结合倾斜角的范围即可求解.

【详解】设直线A3的倾斜角为a,

因为网-1,38),

所以直线A2的斜率1=36-6=—0,即tana=一百，

-1—1

因为所以a=与.

故选:A

2.已知2=(—3,2,5)石=(1,%—1),若a",则丁=()

A.4B.6C.5D.3

【答案】A

【解析】

【分析】等价转化为五3=0,利用空间向量的坐标运算得到关于)’的方程，解之即可.

【详解】由得方方=0,

又•••々=(一3,2,5)，B=

5-/?=-3xl+2xy+5x(-l)=2y-8=0,

解得m=4,

故选：A.

3.已知｛£,瓦,是空间的一组基底，则下列向量中能与£+B，构成一组基底的是（）

A.aB.BC.cD.a+2b

【答案】C

【解析】

【分析】根据空间向量共面基本定理可知Z，b，Z+2B均与Z+加，2-各共面即可得出答案.

—♦I—•—•I—•-*—*I««-I—•—•—*—•5—♦―*I—♦—»

【详解】因为。=一(。+〃)+—(。一〃)，b=—(a+b)---(a-h),a+2b=—(a+b)——(a-b),

222222

所以由空间向量共面基本定理可知Z，%,Z+2B均与Z+＞共面，不能构成一组基底，故A、

B、D错误，C正确.

故选：C.

4.己知£、B都是空间向量，且=则侬,—3%（）

A.—712万D.5万

36T~6

【答案】A

【解析】

【分析】利用空间向量的数量积运算即可得到答案

【详解】解：•••（〃»=

2展(-3“_-6a-b।

CCC/0ZI-2/1\-

cob\乙c/,J—

下司卜3可6|同2

,.122一3坂）£[0,句，（2a,-3h^=,

故选：A

5.设直线4，4的斜率和倾斜角分别为匕，总和4，。2，则＞%2是“4＞。2”的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】

对直线的倾斜角分锐角和钝角进行讨论，再结合正切函数的性质，即可得答案；

【详解】解：：直线4,4的斜率和倾斜角分别为K，h和4,优,

当倾斜角均为锐角时，和均为钝角时，若“人＞网"，贝/4〉%”，

若“仇＞口’'，则"左

当倾斜角一个为锐角一个为钝角时，若“匕〉女2"，贝『避与2”的大小不能确定，

若“4＞%”，则"人与月”的大小也不能确定,

故则＞右”是“4＞为”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

【点睛】直线的斜率k=tana,将斜率视为倾斜角的函数，再利用正切函数的性质进行求解.

6.设点4（4,一3）,8（-2,-2）,直线/过点P（l,l）且与线段相交，则/的斜率左的取值范围是（）

44

A.左21或攵W-4B.或44一一C.-4＜A:＜1D.一一＜A:＜-1

33

【答案】B

【解析】

【分析】根据斜率公式，结合数形结合思想进行求解即可.

【详解】如图所示：

1-(-3)^4^1-(-2)

因为原＞

41-4-35PB~1-(-2)

所以当直线/过点P。,1）且与线段AB相交时，/的斜率k的取值范围是％21或kK—g,

故选：B

7.“堑堵”“阳马”和“鳖膈”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术•商功》中描述：“斜解

立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖膈.”一个长方体A8C。-A4GR沿对角面斜解（图

1）,得到两个一模一样的堑堵（图2）,再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2）,得到一个四棱锥，

称为阳马（图3）,一个三棱锥称为鳖腌（图4）.若鳖膈的体积为4，AB=4，BC=3,则在鳖腌中，平

【笞案】B

【解析】

【分析】利用三棱锥体积公式可求得CG,以。为坐标原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法可

求得结果.

【详解】由切割过程可知：8cl平面。69，

V=

^B-CC.D,^：cc,Dl-5C=1X^-XCC1X4X3=4,CCt=2;

在长方体A8CD-4旦C|0］中，以。为坐标原点，血，反，函正方向为x，y，z轴可建立如图所示空间直

角坐标系，

则8(3,4,0),C(0,4,0),R(0,0,2),C,(0,4,2),

.-.BC=(-3,0,0),西=(-3,-4,2),冠=(0,4,0),

设平面8C。的法向量n=（x,y,z）,

[BC-n=-3x=0

则<___，令y=i,解得：x=oZ=2,A72=(0,1,2)；

[BZ)1-n=-3x-4y+2z=0

设平面3GA的法向量而=（a，b,c）,

BD1•m二一3。-4。+2c=0

则，令a=2、解得：b=0,c=3/.777=(2,0,3)；

前.玩=48=0

口叫二66病

cos<m,n>

ml-IniV5xV1365

即平面BCD,和平面BCQi夹角的余弦值为小叵.

65

故选：B.

8.在RtDABC中，^ACB=90°,AC=l,BC=2,CO是/AC8的角平分线（如图①）.若沿直线

C。将口ABC折成直二面角8—CD-A（如图②）.则折叠后A8两点间的距离为（）

A.72B.V3C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】过A作CD的垂线AG,过B作CD的延长线的垂线8”，分别交CO于G,”，由向量的运算

可得答案.

B

【详解】

'：CD是ZACB的角平分线，.•.ZACD=NBCD=45"，

过A作CO的垂线AG,过8作。。的延长线的垂线8”，分别交CO于G,",

AAG=lxsin45°=—«CG=lxcos45°=—>8H=2xsin45°=0，C”=2xcos45°=夜，

22

HG=CH-CG=旦,

2

直线AG和8”是异面直线，所成的角为90"，线段例是公垂线段,

网=yl(AG+GH+HB)2=VAG2+而°+HG

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.

9.已知A(2,0,4),8(1,1,3),C(-l,l,-2),则()

A.AB+IC=(-4,2,-7)B.同=29

C.若向量机=(2,-2,2),则云〃而D.若向量加=(1,2』)，则记_1_而

【答案】ACD

【解析】

【分析】由向量加法和模长的坐标运算、向量共线与垂直的坐标表示依次判断各个选项即可.

【详解】对于A,vAB=(-1,1,-1),AC=(-3,1,-6),丽+/=(-4,2,—7),A正确;

对于B,•.•就=(—2,0,—5),阿卜卜2)2+02+(_5『=牺，B错误；

对于C’,"3=(-LL-1),.•.玩=-2而,.•.而/而，C正确;

对于D,•.•五.丽=一1+2-1=0，.•.而_L而，D正确.

故选：ACD.

io.已知直线4的方程是办一丁+。=0,/2的方程是"一^一。=0（。匕/0,。。份，则下列各示意图中，不

正确的是（）

【答案】ABC

【解析】

【分析】对A、B、C、D四个选项中的直线方程入手分别分析出。，匕与0的大小且是否满足题干中的条

件，进而找到不正确的选项.

【详解】对于A选项：从4可以看出。〉0,*>0,从4可以看出a<0,b<Q,矛盾，A选项错误；

对于B选项：从4可以看出。>0,b<Q,从4可以看出。<0，。>0,矛盾，B选项错误；

对于C选项：从4可以看出a<0,b>0,从4可以看出a<0,b<0,矛盾，C选项错误；

对于D选项：从4可以看出a<0,b>0,从4可以看出a<0，b>o,且满足出;#0,a*b,选项D正

确.

故选：ABC

11.在长方体48。。一4片。1，中，BC=24B=2B耳=6,点E为棱6C上靠近点。的三等分点，点产

是长方形AOR4内一动点（含边界），且直线4F,Ef与平面AO"A所成角的大小相等，则（）

A.4///平面3CG4B.三棱锥尸—84E的体积为4

'525'

C.不存在点F,使得AF//BED.线段4尸的长度的取值范围为

_2o

【答案】AD

【解析】

【分析】由面面平行的性质可判断A项，由等体积法可判断B项，由直线男尸，EE与平面AORA所成

角相等可得点尸在4G的中垂线上，通过证明四边形AgEG为平行四边形进而证得AG〃旦E,进而可

得点尸位置即可判断C项，由点F的轨迹为〃/,进而可得4尸的范围即可判断D项.

【详解】对于A项，因为面AOAA〃面BCG4，AFu面AO4A，所以A尸〃面3CG4,故A项正

确；

对于B项，因为面面8与E,所以匕.即£=匕.叫E=；xgx3x4x3=6,故B项错误；

对于C项，连接4尸，作EG〃C。交AO于G,连接FG,如图所示，

因为4旦，面AOAA，所以N4尸四为87与平面所成角,

又EG_L面ADD,A,,所以NEFG为EF与平面ADD}\所成角,

因为直线87，EF与平面所成角相等，所以/4尸四=/石尸6,

则tanZA,FB]=4^=tanNEFG=,

AFFG

又4^=EG,所以A/=FG,

则点尸在4G的中垂线上，如图所示，"/_LAG交4G于点K,

即点尸在线段印上运动，

因为ABJ/EG,\BX=EG,所以四边形A4EG为平行四边形，

所以AG〃与E,

所以当点尸与点K重合时，&FHB\E,故C项不正确；

对于D项，由题意知，A4,=3,AG=4,贝UAG=5,

/…AGKG15

因为。05/464='^^=77^，KG=—AG=—,

AQHG2t2

2.25

所以42,解得〃G=上，

—=———2

5HG

25

所以A/="G=」，

8

25

当点厂在点/或点”处时，线段AF的长度取得最大值为不，

当点尸在点K时，线段A尸的长度取得最小值为g，

525

所以线段A尸的长度的取值范围为，故D项正确.

故选：AD.

12.很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面

体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24,棱长为

2血的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四

面体所得的，下列结论正确的有（）

A

A.该半正多面体的表面积为48+326

B.AG_L平面8COG

C.若E为线段的中点，则异面直线与A尸所成角的余弦值为垣

10

D.点B到平面ACO的距离为述

3

【答案】BC

【解析】

【分析】根据题意作图，结合正方体的几何性质，可得AB的正误，建立空间直角坐标值，利用线线角与点

面距的公式，可得CD的正误.

【详解】由题意，可作图如下：

对于A,由图可知，该阿基米德体的定点分为为正方体各棱的中点，

则其是由六个正方形和八个正三角形组成的，所以该立体图形的表面积

S=6x（2V2x2V2）+8xfix2V2x2V2xsin60°j=48+16V3,故A错误;

对于B,由图可知，根据正方体的几何性质，易知AGL平面BCOG,故B正确;

建立空间直角坐标系，如下图：

对于C,由阿基米德体的棱长为2后，可知图中正方体的棱长为4,

则4（2,0,0）,尸（4,0,2）,。（4,2,4）,£（1,3,4）,取而=（2,0,2）,=（-3,1,0）,

AFDE|2x(-3)+0xl+2x0|3亚

设异面直线的夹角为则cos6=一।।一-故c

AF\-\DEV22+02+22-^(-3)2+12+02lo

正确；

对于D,有图可知8（0,2,4）,4（2,0,0）,C（2,4,4）,£＞（4,2,4）,

在平面AC。内取而=（2,2,4）,就=（0,4,4）,

_,、五•AO=0

设平面ACD的法向量”=(x,y,z),由＜一

'五AC=O

2x+2y+4z=0fx=y

可得4y+4z=。，化简可得z令"I则I，z-

所以平面AC。的一个法向量3=（1』,一1）,取而=（一2,2,4）

ABn2+2—4|4A/3

设点B到平面ACD的距离d=—prI/=+，故D错误.

HVl+l+l3

故选：BC.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.过点（-1,-2）斜率为3的直线的点斜式方程是.

【答案】y+2=3（x+l）

【解析】

【分析】由点斜式方程的定义和特征即可求解.

【详解】由题意知：斜率为3,点为（一1,一2）,故点斜式方程为：y+2=3（x+l）

故答案为：y+2=3（x+l）

14.已知直线/的方向向量工=（机,1,2）,平面a的法向量7=（2,〃,-4）,若/_La,则2m+〃=

【答案】-4

【解析】

【分析】由/_La,可得工〃百，从而可得3=4工，代入坐标列方程可求出加，〃，从而可求出2机+〃

【详解】因为直线/的方向向量工=（加,1,2）,平面。的法向量3=（2,〃,-4）,/la,

所以e〃n>

所以存在唯一实数;I,使［=4"，

2=Am

所以（2,〃,-4）=〃肛1,2）,所以〈几=4,

—4=24

A=—2

解得<"2=-1,

n=-2

所以2机+〃=-2+（-2）=-4,

故答案为：-4

15.若三个向量2=（3,3,2）,5=（6,m,7）,^=（0,5,1）共面，则实数，"的值为.

【答案】21

【解析】

【分析】根据向量共面基本定理即可求解.

【详解】«=（3,3,2）,B=（6,加,7）,1=（0,5,1）共面，则存在实数匕儿使得B=+即

6=3Xx=2

</n=3x+5yn〈y=3,

7=2x+ym=21

故答案为：21

16.长方体ABC。—A4GA中，48=1，AO=2,44=2,P是棱DR上的动点，则△24（的面积

最小值是一.

【答案】逑

55

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，设PO=z,表示出cos/^PC，求出sinNAPC，即可

表示出S〉AC，结合二次函数知识求得答案.

【详解】以点A为坐标原点，AB,AD,A4,分别为x轴，），轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系,

设PZ)=z,则A(0,0,2),C(1，2,0),P(0,2,Z),(0<z<2),

“=j4+(2-z)2,|AC|=V9=3,|PC|=H7,

1+Z2+4+(2-Z)2-9z2-2z

由余弦定理可得,cosZ^PC=

21PAi|PC|KM

2

1-(z2z2■\/5z-4z+8

/.sinZ^PC=

・・.SPAC=4尸41尸0忖11A\PC=，5Z：4Z+8=V__|__L2|逐，

即当z=g时，△P4,c的面积最小值为(近.

故答案为：—5/5.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.已知坐标平面内三点8（1,1）,C（2,V3+1）.

（1）求直线A8,BC,AC的斜率和倾斜角；

（2）若。为口ABC的AB边上一动点，求直线CQ的倾斜角的取值范围.

【答案】（1）*=0,&c=6，kAC=—＞直线4?的倾斜角为0,直线8c的倾斜角为?，直线AC

3J

7T

的倾斜角为

6

7T7T

（2）—

l_63J

【解析】

【分析】（1）根据两点间的斜率公式计算斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可；

（2）数形结合，根据斜率与倾斜角变化的规律分析即可.

【小问1详解】

由斜率公式，得时,=-=0,%=避止1=G，kl（.='+111=立，因为斜率

等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是［0"）,所以直线AB的倾斜角为0,直线8C的倾斜角为9，

7T

直线AC的倾斜角为：.

6

【小问2详解】

如图，当直线C£）绕点C由CA逆时针转到C8时，直线C。与线段A8恒有交点，即/）在线段AB上，此

时％由心增大到噎’所以噎的取值范围为件间，即直线8的倾斜角的取值范围为

7171

1与,

18.如图，在正四面体A8Q9中，E是棱BC的中点，/=2丽，分别记而，就，而为ZEA

蟠

(i)用Z,瓦展表示丽;

(2)若卜卜6,求丽.丽.

―-1-1-2-

【答案】(1)EF=--a——h+-c

223

(2)21

【解析】

【分析】(1)根据向量线性运算直接表示即可；

(2)将所求数量积化为伍-+g由向量数量积的定义和运算律可求得结果.

【小问1详解】

EF=AF-AE=-AD--(^B+AC)=--a--b+-c.

32、7223

【小问2详解】

由题意知：,卜W=卜|=6,a-b=a-c=b-c=36cos^=18；

BD=AD—AB=c—a^

"EH-FT/一一、,1一172-11--1工-2-21-21-工2--

/.BD-EF=\c-a]\——a——b+—c=——a-c——b-c+—c-\--a+—a・b——a-c

H223J223223

=—9—9+24+18+9—12=21.

19.如图，在多面体ABC—A4G中，四边形AB44是正方形，C4L平面AB81A，AC=AB=\.f

B\C[〃BC,BC=2BG

（1）求证：

（2）求A到平面BCG的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）也.

2

【解析】

【分析】（1）连接4与，由C4_L平面AB用4,可得AB_LC4,再由四边形AB耳A是正方形，可得

AB.1A.B,再由线面垂直的判定定理可得•平面AB。，从而可得人台上用。；

（2）由已知可得AC,AB,A4,两两垂直，所以以A为坐标原点，AC,AB,AA分别为x,〉,z轴正方向建立

空间直角坐标系，利用空间向量求解即可

【详解】（1）连接A4，

因为。，平面ABU平面

所以A8_LCA,

因为四边形AB4A是正方形，所以

因为C4nA4=A,所以43,平面ABC，

因为BQu平面平面ABC，

所以A3,

（2）四边形ABB同是正方形，则44,LAB,又C4_L平面以A为坐标原点，AC,AB,AA]

分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，

由4C=AB=1,得A（O,O,O）,5（O,1,O）,C（LO,O），A（O，°，1），与（0J1），则/=（1,0,0），

——.......——1—.11一

由线G〃BC,BC=2B©,得BQ=BBaB©=BB]+3BC=(3，-3，1)，BC=(1,-1,O),

所以平面BCG的一个法向量7=(1,1,0),

\n-AC\1J2

所以A到平面BCCi的距离d=匚闩」=-j==—

20.在三棱锥P-ABC中，DABC是边长为2的等边三角形，BP=1,PC=6，平面P6C工平面

ABC,E为线段CP的中点.

(1)证明：AELCP.

（2）在直线BC上是否存在点尸，使得直线A尸与平面48P所成角的正弦值为更？若存在，求处的

5FC

值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析

BF1

（2）存在，&土=士或1

FC2

【解析】

【分析】（1）作PM18C于“，根据勾股定理分别可求得AM,AP的值，只需证得PMLAM,即

可求出AC=AP=2,即可得出△APC为等腰三角形，从而可得AEJ.CP.

（2）建立空间直角坐标系，利用坐标法即可求解.

【小问1详解】

证明：作PM13C于〃，由平面PBC工平面A8C,且平面PBCc平面ABC=8C,得PM_L平面

ABC,：.PMLAM.

,/PB=\,BC=2,PC=6由勾股定理得？。2+282=8。2,

所以N3PC=9（T，

PM=>BM=4,A”=——.

222

1442.

在直角三角形APM中，由勾股定理可得AP

又AC=2.；.AE1CP.

P

【小问详解】

A.七二二7]/U一2

1/^

C

在平面ABC内，过点M作,垂足为点M,以M为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标

系，

■

（0,0,0）,81；,0,0）,拈,-6,0）,4/0'°），「°。亭，设F&°，°），

.•.丽=（1,一百,0）,丽=-,0,—

、22,

设〃=（九,y,z）是平面ABP的法向量,

n-BA=x-gy=0

取z=-1,得〃=（6,1,一1）,

n-BP=—x+z=0

22

设直线AF与平面ABP所成的角为巴

sin6=cos（=

化简得产+2/-』=0,解得/=1或/=—*.当r=L时，处=1（尸在线段BC上）；

4222FC

5RF1

当/=一士时，—=1（尸在线段C8的延长线上）

2FC2

存在点尸，使得直线AF与平面A3P所成角的正弦值为包，且生=，或L

5FC2

21.如图，梯形ABC。所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB//CD//EF,

ABYAD,\CD\^\DA\^\AF\=\FE\^2,|AB|=4.

（1）求证：OE〃平面BCE；

（2）求二面角C-8/—A的余弦值；

（3）线段CE上是否存在点G,使得AG1平面8CF?请说明理由.

【答案】（1）见解析；

⑵

5

（3）不存在，理由见解析.

【解析】

【分析】（1）证明DF//CE.然后证明。尸〃平面BCE.

(2)在平面48EF内，过A作Az_LAB,建立空间直角坐标系A-孙z.求出平面BCf的法向量，平面

ABF的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可.

(3)解法一：求出平面ACE的法向量通过而工()，说明平面4CE与平面BC尸不可能垂直.

解法二：假设线段CE上存在点G,使得AG_L平面8CF,设函=尤无，其中，［0,H.通过

AG_L平面BCF,AG〃万得方程组，判断方程组无解，说明假设不成立.

【小问1详解】

■:CD//EF,且CD=EF,

四边形CDFE为平行四边形，

DF//CE.

­：DFN平面BCE,

□平面8CE.

【小问2详解】

在平面4BER内，过A作Az_LA8.

；平面A5CD1平面ABEF,平面ABC。c平面ABEF=A8，

又Azu平面ABEF,AzLAB,

'•Az_L平面ABCD,

/.AD±AB,ADJ.Az,Az1AB.

如图建立空间直角坐标系A-xyz：

由题意得，40,0,0),8(0,4,0),C(2,2,0),E(0,3,6)，尸(0,1,百).

ABC=(2,-2,0),而=(0,-3,6).

、n-BC^O]2x—2y=0

设平面8CF的法向量为〃=(x,y,z),则〈一，即〈r

n-BF=0-3y+j3z=0

令y=l,则x=l,Z=V3.An=(1,1,73).

平面ABF的一个法向量为v=(1,0,0),

El--制下石

则cos<n,v>=-----=——.

\n\\v\5

二面角C—B/-A的余弦值正.

5

【小问3详解】

线段CE上不存在点G,使得AGJ•平面BCb,理由如下：

m-^AC-0f2x,+2y.=0

解法一：设平面ACE的法向量为沅=(%，M，zJ,贝H_，即厂

m-AE=0[3y+。3马=0

令X=l,则为=—1,z]=—73,.

玩方*0,

平面ACE与平面BCF不可能垂直，

从而线段C£上不存在点G,使得AG_L平面8cb.

解法二：线段C