第一章 三角形的证明（单元测试）（解析版）-八年级数学 下册

三角形的证明单元测试参考答案与试题解析一、单选题1．（2022秋·全国·八年级专题练习）下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（

）A．斜边和一直角边对应相等 B．两个锐角对应相等C．一锐角和斜边对应相等 D．两条直角边对应相等【答案】B【分析】根据三角形全等的判定定理即可进行解答．【详解】解：A、斜边和一直角边对应相等可根据判定两个直角三角形全等，故A不符合题意；B、两个锐角对应相等，不能判定两个直角三角形全等，故B符合题意；C、一锐角和斜边对应相等，可根据判定两个直角三角形全等，故C不符合题意；D、两条直角边对应相等，可根据判定两个直角三角形全等，故D不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．三角形全等的判定方法有：．2．（2022秋·河北石家庄·八年级石家庄市第四十中学校考期末）三角形内到三个顶点的距离相等的点是（）A．三条中线的交点 B．三条高的交点C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点【答案】D【分析】利用线段垂直平分线的性质定理的逆定理，即可解答．【详解】解：三角形内到三个顶点的距离相等的点是三条垂直平分线的交点，故选：D．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理以及逆定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理的逆定理是解题的关键．3．（2022秋·全国·九年级专题练习）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（

）A．三边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点【答案】A【分析】根据题意得：当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平，再由线段垂直平分线的性质，即可求解．【详解】解：根据题意得：当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平，∵线段垂直平分线上的到线段两端的距离相等，∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点．故选：A【点睛】本题考查了与三角形相关的线段以及线段的垂直平分线，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．4．（2022秋·广西钦州·八年级校考阶段练习）如图，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（

）A．在边两条高的交点处B．在边两条中线的交点处C．在边两条垂直平分线的交点处D．在两条角平分线的交点处【答案】C【分析】要求到三小区的距离相等，首先思考到A小区、C小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得．【详解】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．则超市应建在，两边垂直平分线的交点处．故选：C．【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解决问题的关键．5．（2011·山东济南·中考真题）工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点重合，则过角尺顶点的射线便是的平分线在证明时运用的判定定理是（）A．SSS B．SASC．ASA D．AAS【答案】A【分析】由作图过程可得，，再加上公共边，可利用定理可判定．【详解】解：在和中，，，，即是的平分线；故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题的一种重要的能力．6．（2022秋·山东菏泽·八年级校考阶段练习）如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（

）A．12米 B．13米 C．14米 D．5米【答案】A【分析】根据题意画出图形，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，∵梯子的底端离建筑物5米，梯子长为13米，∴（米）．∴梯子可以到达建筑物的高度为12米.故选：A．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．7．（2020秋·浙江杭州·八年级统考阶段练习）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰直角三角形，则点C的个数是（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】当AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形；当AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．【详解】解：如图，分情况讨论：①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有2个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．共有6个．故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想．8．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，平分，，，垂足分别为A，B，下列结论中不一定成立的是（）A． B．平分 C． D．垂直平分【答案】D【分析】根据角平分线的性质，垂直平分线的判定和三角形全等的判定和性质逐项进行判定即可．【详解】解：对A、B、C选项，∵平分，，，∴，∵在和中，∴，∴，，∴平分，故A、B、C正确，不符合题意；D．∵，，∴垂直平分，但不一定垂直平分，故D错误，符合题意．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，根据题意证明，是解题的关键．9．（2020秋·山东德州·八年级校考期中）如图：等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（

）A．45° B．55° C．60° D．75°【答案】C【分析】先根据等边三角形的性质可得，，再根据三角形全等的判定定理证出，然后根据三角形全等的性质可得，最后根据三角形的外角性质即可得．【详解】解：∵是等边三角形，∴，，在和中，，∴，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．10．（2022秋·湖北省直辖县级单位·八年级校联考期中）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF．则下列结论中：①AD是△ABC的高；②AD是△ABC的中线；③ED＝FD；④AB＝AE＋BF．其中正确的个数有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【分析】过点D作DG⊥AB于点G，由角平分线的定义及平行线的性质可得∠ADB=90°，然后可证△ADC≌△ADB，△DEC≌△DFB，进而问题可求解．【详解】解：∵AD平分∠BAC，BC平分∠ABF，∴，∵BF∥AC，∴，∴，即，∴，即AD是△ABC的高，故①正确；∵，AD=AD，∴△ADC≌△ADB（ASA），∴，即AD是△ABC的中线，故②正确；∵BF∥AC，∴，∵，∴△DEC≌△DFB（AAS），∴ED＝FD，故③正确；过点D作DG⊥AB于点G，如图所示：∵AD平分∠BAC，BC平分∠ABF，，∴，∵AD=AD，∴（HL），∴，同理可知，∵，∴，故④正确；综上所述：正确的个数有4个；故选A．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质是解题的关键．二、填空题11．（2022春·湖南永州·八年级校考期中）若一个三角形的三边之比为：：，且周长为，则它的面积为______．【答案】120【分析】根据已知可求得三边的长，再根据勾股定理的逆定理得出该三角形是直角三角形，进而根据三角形的面积公式即可求解．【详解】设三边分别为，，，则，，三边分别为，，，，三角形为直角三角形，．故答案为：．【点睛】此题主要考查勾股定理的逆定理的理解及运用，解决本题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．12．（2022秋·八年级单元测试）如图，中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为______．【答案】19cm##19厘米【分析】由线段垂直平分线的性质可得，，结合条件可求得，代入可求得答案．【详解】解：∵是的垂直平分线，∴，，∵的周长为，∴，∴，即的周长为，故答案为：19cm．【点睛】考查线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等把的周长转化成的周长与的和是解题的关键．13．（2022秋·贵州黔东南·八年级校联考期中）如图，是中的角平分线，于点，于点，，，，则长是_____．【答案】3【分析】根据角平分线的性质得出DE=DF，再利用面积求解即可．【详解】解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴S△ABC=×4×2+AC×2=7，解得AC=3．故答案为：3．【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题关键是熟记角平分线上的点到角两边的距离相等．14．（2022秋·山东滨州·八年级校考阶段练习）如图，射线OC是∠AOB的平分线，P是射线OC上一点，PD⊥OA于点D，DP＝6，若E是射线OB上一点，OE＝4，则△OPE的面积是_____．【答案】12【分析】过点P作PF⊥OB于点F，根据角平分线的性质定理，即可求解．【详解】解：如图，过点P作PF⊥OB于点F，∵射线OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，DP＝6，∴PF=PD=6，∴△OPE的面积是．故答案为：12【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．15．（2022春·广东河源·七年级校考期末）如图，在中，cm，AB的中垂线交BC于E，AC的中垂线交BC于G，则的周长等于________．【答案】8【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得：EA=EB，GA=GC，再根据三角形的周长公式计算即可．【详解】解：由AB的中垂线交BC于E，AC的中垂线交BC于G，∴EA=EB，GA=GC，则△AGE的周长=EA+GA+EG=EB+GC+EG=BC=8，故答案是：8．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．16．（2022秋·湖北恩施·八年级校考期中）如图，，则__________．【答案】60°【分析】根据已知条件，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和外角之间的关系进行计算．【详解】解：∵AB=BC=CD=DE=EF，∠A=15°，∴∠BCA=∠A=15°，∴∠CBD=∠BDC=∠BCA+∠A=15°+15°=30°，∴∠BCD=180°-（∠CBD+∠BDC）=180°-60°=120°，∴∠ECD=∠CED=180°-∠BCD-∠BCA=180°-120°-15°=45°，∴∠CDE=180°-（∠ECD+∠CED）=180°-90°=90°，∴∠EDF=∠EFD=180°-∠CDE-∠BDC=180°-90°-30°=60°，∴∠DEF=180°-（∠EDF+∠EFC）=180°-120°=60°．故答案为：60°．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．三、解答题17．（2020秋·天津西青·八年级校考期中）已知如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F．求证：垂直平分．【答案】见解析【分析】根据角平分线的性质可得，易证，即△AEF为等腰三角形，根据三线合一可证结论．【详解】证明：∵是的角平分线，，，∴，∴，∵，∴，∴，∵是等腰三角形的顶角平分线，∴垂直平分（三线合一）【点睛】本题考查了角平分线的性质和等腰三角形的性质—“三线合一”的应用，熟练掌握性质是解题的关键．18．（2022秋·湖南长沙·八年级校考期中）如图所示，中，，于点E，于点D，交于F．(1)若，求的度数；(2)若点F是的中点，求证：．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）求得的度数后利用四边形的内角和定理求得结论即可；（2）连接，根据等腰三角形“三线合一”的性质得到，，又易证，即得出．【详解】（1）∵，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴；（2）如图，连接，∵，且点F是的中点，∴，，∴．∵，∴，∴．【点睛】本题考查四边形的内角和、三角形的内角和及等腰三角形的性质，解题的关键是准确作出辅助线，合理转化角与角之间的关系．19．（2022秋·八年级课时练习）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．(1)求证：AE＝CD；(2)若AC＝12cm，求BD的长【答案】(1)见解析(2)BD=6cm．【分析】（1）利用角角边证明△DBC≌△ECA即可；（2）由（1）得BD=EC=BC=AC，且AC=12，即可求出BD的长．【详解】（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．∴∠D=∠AEC．又∵∠DBC=∠ECA=90°，且BC=CA，在△DBC和△ECA中，∵，∴△DBC≌△ECA（AAS）．∴AE=CD；（2）解：∵△CDB≌△AEC，∴BD=CE，∵AE是BC边上的中线，∴BD=EC=BC=AC，且AC=12cm．∴BD=6cm．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．20．（2022春·贵州毕节·八年级校考阶段练习）如图，为的角平分线，于点，于点，连接交于点．（1）求证：垂直平分；（2）若，猜测与间有何数量关系？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）．理由见解析．【分析】（1）根据角平分线的性质可得，根据等腰三角形的判定定理，可得，结合中垂线的判定定理，即可得到结论；（2）由，可得，同理可得，进而即可得到结论．【详解】（1）证明：为的角平分线，，，，，，，点A、都在的垂直平分线上，垂直平分；（2）解：．理由：，平分，，，，，，，，．