2025届新高考数学精准冲刺复习立体几何综合问题

2025届新高考数学精准冲刺复习立体几何综合问题

考点梳理考情回顾高考预测探究性问

题2022全国乙卷

（文、理）第18题考查背景是平面图形折叠成立体图

形、考查形式包括存在、探究性问

题.

（2022·全国乙卷）如图，在四面体

A

－

BCD

中，

AD

⊥

CD

，

AD

＝

CD

，∠

ADB

＝∠

BDC

，

E

为

AC

的中点.（1）

求证：平面

BED

⊥平面

ACD

；解：（1）

证明：因为

AD

＝

CD

，

E

为

AC

的中

点，所以

DE

⊥

AC

.

在△

ABD

和△

CBD

中，因

为

AD

＝

CD

，∠

ADB

＝∠

CDB

，

DB

＝

DB

，

所以△

ABD

≌△

CBD

.

所以

AB

＝

CB

.

又因为

E

为

AC

的中点，所以

BE

⊥

AC

.

因为

DE

⊂平面

BED

，

BE

⊂平面

BED

，

DE

∩

BE

＝

E

，所以

AC

⊥平面

BED

.

因为

AC

⊂平面

ACD

，所以平

面

BED

⊥平面

ACD

.

（2）

设

AB

＝

BD

＝2，∠

ACB

＝60°，点

F

在

BD

上，当△

AFC

的面积

最小时，求

CF

与平面

ABD

所成的角的正弦值.

1.立体几何中的折叠问题，需要画好折叠前后的平面图形与立体图形，

并抓住两个关键点：不变的线线关系、不变的数量关系.2.解决存在、探究性问题，通常假设题中的数学对象存在或结论成立，

然后在这个前提下进行逻辑推理.3.立体几何中的存在、探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置

关系；另一类是探究线面角或两平面的夹角满足特定要求时的问题.处

理方法：先建立空间直角坐标系，引入参数（有些题中已给出），设出

关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从

而作出判断.

热点

立体几何综合问题

（1）

求证：

AP

⊥

CM

；[思维导图]

总结提炼

解决立体几何中的折叠问题，关键是搞清楚折叠前后图形中线

线、线面位置关系和线线数量关系的变换情况.[对点训练]1.（2023·苏州二模）如图①，在矩形

ABCD

中，

AB

＝2，

BC

＝1，

E

为

CD

的中点，

F

为线段

EC

上（端点

E

，

C

除外）的动点，过点

D

作

AF

的

垂线分别交

AF

，

AB

于

O

，

K

两点.如图②，将△

DAF

折起，使得

DK

⊥

AB

.

（1）

求证：平面

ABD

⊥平面

ABC

；解：（1）

证明：因为

AF

⊥

OD

，

AF

⊥

OK

，

OD

⊂平面

ODK

，

OK

⊂

平面

ODK

，

OD

∩

OK

＝

O

，所以

AF

⊥平面

ODK

.

因为

DK

⊂平面

ODK

，所以

AF

⊥

DK

.

又因为

DK

⊥

AB

，

AB

⊂平面

ABC

，

AF

⊂平面

ABC

，

AB

∩

AF

＝

A

，所以

DK

⊥平面

ABC

.

因为

DK

⊂平面

ABD

，所

以平面

ABD

⊥平面

ABC

.

（2）

求直线

DF

与平面

ABC

所成角的最大值.解：（2）

如图②，连接

FK

.

因为

DK

⊥平面

ABC

，所以直线

DF

与平

面

ABC

所成的角为∠

DFK

.

记∠

DFK

＝θ.在题图①中，因为

DK

⊥

AF

，所以∠

DFA

＋∠

FDK

＝90°.又因为∠

FDA

＝∠

FDK

＋∠

ADK

＝

90°，所以∠

DFA

＝∠

ADK

.

又因为∠

FDA

＝∠

DAK

＝90°，所以△

FDA

∽△

DAK

.

（1）

求证：平面

PAD

⊥平面

ABCD

.

（2）

在棱

PC

上是否存在点

M

，使二面角

M

－

BQ

－

C

的大小为30°？

若存在，确定点

M

的位置；若不存在，请说明理由.[思维导图]由几何关系得

PQ

⊥

AD

，

PQ

⊥

BQ

→

PQ

⊥平面

ABCD

→

平面

PAD

⊥平

面

ABCD

利用两平面的法向量夹角的余弦值列出方程并求解→

[对点训练]2.（2023·沈阳三模）如图，在三棱锥

P

－

ABC

中，

AC

＝

BC

＝2，∠

ACB

＝90°，

AP

＝

BP

＝

AB

，

PC

⊥

AC

，

D

为

BC

的中点.（1）

求二面角

A

－

PD

－

B

的余弦值.解：（1）

因为

AC

＝

BC

，

PA

＝

PB

，

PC

＝

PC

，所以

△

PCA

≌△

PCB

.

所以∠

PCA

＝∠

PCB

.

因为

PC

⊥

AC

，所以∠

PCA

＝∠

PCB

＝90°.所以

PC

⊥

BC

.

又因为

∠

ACB

＝90°，所以

AC

⊥

BC

.

[典例设计]例3

（2022·汕头模拟）如图，

D

为圆锥的顶点，

O

是圆锥底面圆的圆

心，

AE

为底面圆的直径，

AE

＝

AD

，△

ABC

是底面圆的内接正三角

形，且

DO

＝6，

P

是线段

DO

上一点.（1）

是否存在点

P

，使得

PA

⊥平面

PBC

？若存在，求出

PO

的值；若

不存在，请说明理由.（2）

当

PO

为何值时，直线

EP

与平面

PBC

所成的角的正弦值最大.[思维导图]假设存在点

P

→由

PA

⊥平面

PBC

，得

PA

⊥

PB

→计算得

PO

的值建系设点→求直线

EP

的方向向量，平面

PBC

的法向量→计算求最大值