湖南省湘潭市县第五中学2022年高二数学文测试题含解析

湖南省湘潭市县第五中学2022年高二数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知直线l1经过A（﹣3，4），B（﹣8，﹣1）两点，直线l2的倾斜角为135°，那么l1与l2（）A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直参考答案：A【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】直线与圆．【分析】由斜率公式可得直线l1的斜率，由倾斜角可得直线l2的斜率，可判垂直关系．【解答】解：由题意可得直线l1的斜率k1==1，又∵直线l2的倾斜角为135°，∴其斜率k2=tan135°=﹣1，显然满足k1?k2=﹣1，∴l1与l2垂直故选A【点评】本题考查直线的垂直关系的判断，属基础题．2.（5分）（2014?郑州模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（﹣5，0）和C（5，0），顶点B在双曲线﹣=1，则的值为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：根据双曲线的定义，以及正弦定理，即可得到结论．解：∵在双曲线﹣=1，∴a=4，b=3，c=5，即A，C是双曲线的两个焦点，∵顶点B在双曲线﹣=1，∴|BA﹣BC|=2a=8，AC=10，则由正弦定理得=，故选：C．【点评】：本题主要考查双曲线的定义的应用，利用正弦定理将条件转化是解决本题的关键．3.随机变量X～B(n，p)且E(X)=3．6，D(X)=2．16，则

A．n=4，p=0．9

B．n=9，p=0．4

C．n=18，p=0．2

D．n=36，P=0．l参考答案：B4.若，则等于（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D5.下列说法中正确的是(

)A．经过三点确定一个平面

B．两条直线确定一个平面C．四边形确定一个平面

D．不共面的四点可以确定4个平面参考答案：D略6.已知如图所示的程序框图(未完成)，设当箭头a指向①时，输出的结果为S＝m，当箭头a指向②时，输出的结果为S＝n，则m＋n的值为（

）A．12

B．30

C．24

D．20参考答案：D7.NBA全明星周末有投篮之星、扣篮大赛、技巧挑战赛和三分大赛四种项目，某高中为了锻炼学生体质，也模仿全明星周末举行“篮球周末”活动，同样是投篮之星，扣篮大赛、技巧挑战赛和三分大赛四种项目，现在高二某班有两名同学要报名参加此次活动，每名同学最多两项（至少参加一项），那么他俩共有多少种不同的报名方式A．96

B．100

C．144

D．225参考答案：B8.函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在R上不单调，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]∪[，+∞） B．（﹣∞，﹣）∪（，+∞） C．[﹣，]

D．（﹣，）参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，由题意得函数的导数在R上至少有一个零点，主要不能有两个相等的零点，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1，∴f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1，∵若函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在R上不是单调函数∴f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1=0有两个不等的根，即△=4a2﹣12＞0，解得a＜﹣，或a＞，故选：B．9.复数，则的共轭复数对应点在（

）A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

参考答案：B略10.设全集U=R，集合，，则（

）A.{－1} B.{－1,2} C.{－2,0} D.{－2,－1,0,2}参考答案：B【分析】先求出集合A，再求集合A的补集，然后求出交集.【详解】因为，,所以，又因为，所以，故选A.【点睛】本题主要考查集合的交集补集运算，侧重考查数学运算的核心素养.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在区间（0，4）内任取一个实数x，则使不等式x2﹣2x﹣3＜0成立的概率为．参考答案：【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】先利用不等式求出满足不等式成立的x的取值范围，然后利用几何概型的概率公式求解．【解答】解：由题意知0＜x＜4．由x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3，所以由几何概型的概率公式可得使不等式x2﹣2x﹣3＜0成立的概率为=，．故答案为：．【点评】本题主要考查几何概型，要求熟练掌握几何概型的概率求法．12.若点分别是双曲线的左、右焦点，点P为双曲线上一点且满足△的面积为5，则双曲线左焦点F1到其中一条渐近线l的距离为

．参考答案：13.设为正数，，则的最小值为

▲

．参考答案：略14.过点作圆的弦，其中最短的弦长为_________.参考答案：略15.圆的直径是圆周上任意两点的距离的最大值，圆周率是圆的周长与直径的比值。类比圆周率的定义，可得正八边形的周率=

参考答案：16.设点在直线上，且到原点的距离与到直线的距离相等，则点坐标是．参考答案：或17.平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出A的坐标，可得=，利用△OAB的垂心为C2的焦点，可得×（﹣）=﹣1，由此可求C1的离心率．【解答】解：双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，与抛物线C2：x2=2py联立，可得x=0或x=±，取A（，），设垂心H（0，），则kAH==，∵△OAB的垂心为C2的焦点，∴×（﹣）=﹣1，∴5a2=4b2，∴5a2=4（c2﹣a2）∴e==．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列中，.（1）求的值；（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明.参考答案：(I）；

（II）猜想：

证明：①当n=1时，，猜想成立.

②假设n=k时成立，即，

则当n=k+1时，由得

所以n=k+1时，等式成立.

所以由①②知猜想成立.

19.△ABC三边长的倒数成等差数列，求证：角.参考答案：20.从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得＝80，＝20，＝184，＝720.(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程；(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程中，b＝，参考答案：（1）（2）试题分析：（1）先求均值，，，再代公式求系数，最后根据回归直线方程过点求（2）即求自变量为7时对应函数值试题解析：（1）由题意知，，，∴，∴，故所求回归方程为．（2）将代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为（千克）．

22.已知一个口袋中装有n个红球(n≥1且n∈N＋)和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出2个球，若2个球颜色不同则为中奖，否则不中奖．(1)当n＝3时，设三次摸球中中奖的次数为X，求随机变量X的分布列；(2)记三次摸球中恰有两次中奖的概率为P，求当n取多少时，P的值最大．【答案】（1）见解析；（2）1或2【解析】【分析】（1）当n=3时，每次摸出两个球，中奖的概率p==，设中奖次数为ζ，则ζ的可能取值为0，1，2，3．分别求出P（ζ=0），P（ζ=1），P（ζ=2），P（ζ=3），由此能求出ζ的分布列和Eζ．（2）设每次摸奖中奖的概率为p，则三次摸球（每次摸球后放回）恰有两次中奖的概率为P（ζ=2）=?p2?（1﹣p）=﹣3p3+3p2，0＜p＜1，由此利用导数性质能求出n为1或2时，P有最大值．【详解】（1）当n=3时，每次摸出两个球，中奖的概率，；

；；；ξ分布列为：ξ0123p

（2）设每次摸奖中奖的概率为p，则三次摸球（每次摸奖后放回）恰有两次中奖的概率为：，0＜p＜1，P'=﹣9p2+6p=﹣3p（3p﹣2），知在上P为增函数，在上P为减函数，当时P取得最大值．又，故n2﹣3n+2=0，解得：n=1或n=2，故n为1或2时，P有最大值．【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学斯望的求法，解题时要认真审题，解题时要认真审题，注意导数的性质的灵活运用．21.[已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c满足．（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若AB是最大边，求cosC的取值范围．参考答案：【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）由条件利用二倍角的余弦公式，两角和差的三角公式，求得sinBcosA=2sinAcosA，再利用正弦定理求得的值．（Ⅱ）由条件利用余弦定理，求得cosC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵，且，∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=2sin2A，∴sinBcosA=2sinAcosA，因△ABC为锐角三角形，则cosA≠0，由正弦定理有：．（Ⅱ）∵b=2a，且a＜b≤c，则，即，又因，∴cosC的取值范围是．22.已知函数f（x）=ex（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】压轴题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导函数，利用导数的几何意义及曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4，建立方程，即可求得a，b的值；（Ⅱ）利用导数的正负，可得f（x）的单调性，从而可求f（x）的极大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ex（ax+b）﹣x2﹣4x，∴f′（x）=ex（ax+a+b）﹣2x﹣4，∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4∴f（0）=4，f′（0）=4∴b=4，a+b=8∴a=4，b=4；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=4ex（x+1）﹣x2﹣4x，f′（x）