2023年北京中考数学一模试题分类汇编-圆综合含详解

2023年北京中考数学一模分类汇编一一圆综合

1.(2023•海淀区一模)如图，AB为。。的直径，C为。。上一点，。为踊的中点，DE

交AC的延长线于点E.

(1)求证：直线。E为。。的切线;

(2)延长48,交于点F.若B尸=2,sin/AFE」，求AC的长.

3

2.(2023•西城区一模)如图，AB是。。的直径，C是。。上一点，NAC8的平分线交。。

于点D,过点D作。O的切线交CB的延长线于点E.

(1)求证：DE//AB；

(2)若OA=5,sinNBAC=3,求线段QE的长.

3.(2023•东城区一模)如图，AB是。。的直径，点C,。在。。上，点。为宜的中点,

。。的切线OE交BA的延长线于点E,连接AC,BC,CD.

(1)求证：NE=NBAC；

(2)若。0的半径长为5,COS£=A,求C£＞和OE的长.

4.(2023•朝阳区一模)如图，A8是。。的弦，过点。作0CLA8,垂足为C,过点A作

。。的切线，交OC的延长线于点。，连接。B.

(1)求证：NB=ND；

(2)延长BO交于点E,连接AE,CE,若4。=2代，$出8=近＞,求CE的长.

5

5.(2023•丰台区一模)如图，A8是。。的直径，AD,8c是。。的两条弦，ZABC=2Z

A,过点D作。。的切线交CB的延长线于点E.

(1)求证：CELDE；

(2)若tanA=1，BE=1,求CB的长.

DE

6.(2023•石景山区一模)如图，AB是。0的直径，点。是弦4c延长线上一点，过点。

作。EJ_AB于点E,过点C作。。的切线，交。E于点F.

(1)求证：FC=FD；

(2)若E是。8的中点，sinO=3,04=2,求尸。的长.

5

7.(2023•通州区一模)如图，△ABC是圆内接三角形，过圆心。作。E_LAC,连接。4,

OC,过点C作CD〃AO,交B4的延长线于点。，NCOE=45°.

(1)求证：DC是。。的切线；

(2)如果BC-CE=8,求。。半径的长度.

8.(2023•平谷区一模)如图，AB是0。的直径，C、。是。。上的两点，且笳=位，过

点D作。。的切线交AC的延长线于点E.

(1)求证：ZE=90°；

(2)连接CD,若cos/ECD上，A8=9,求CE的长.

3

9.(2023•门头沟区一模)如图，AB是。0的直径，点。在。。上，连接A。并延长到C,

使AC=AB,连接3c交。。于E,过点5作O。的切线交0E的延长线于点F.

(1)求证：OEUAC：

(2)如果48=10,AD=6,求EF的长.

10.(2023•房山区一模)如图，△4BC中，AB=AC,以BC为直径作。0,与边AC交于

点。，过点。的。。的切线交的延长线于点E.

(1)求证：/BAC=2/DBC；

(2)若COS/8AC=3,DE=4,求BE的长.

5

ZADO=ZBOC.

(1)求证：AO是。。的切线；

(2)若tanNB4C=!，AD=3,求。。的半径.

12.(2023•大兴区一模)如图，AB是。。的直径，C为圆上一点，连接AC,BC,过点。

作0CAC于点£>.过点A作。。的切线交。。的延长线于点P,连接CP.

(1)求证：C尸是。。的切线；

(2)过点B作BEJ_PC于点£,若CE=4,cosNCA8=&,求。£)的长.

P

13.(2023•顺义区一模)如图，在。。中，A8是直径，是弦，点C在。。上，CEL

A8于点E,CFA,AD,交AO的延长线于点F,且CE=CF.

(1)求证：CF是。。的切线：

(2)若CF=1,ZBAF=60°,求BE的长.

14.(2023•北京一模)如图，AB为。。的直径，C为。。上一点，点。为黄的中点，连

接AD,过点。作。ELAC,交AC的延长线于点E.

(1)求证：QE是。。的切线；

(2)延长交A8的延长线于点F,若BF=2,DF=4,求。0的半径和OE的长.

2023年北京中考数学一模分类汇编一一圆综合

参考答案与试卷解析

1.(2023•海淀区一模)如图，A8为。。的直径，C为。。上一点，O为食的中点，DE

±AC交AC的延长线于点E.

(1)求证：直线OE为。。的切线；

(2)延长4B,EO交于点尸.若BF=2,sin/AFE」，求AC的长.

3

【分析】(1)连接OD,连接8c交0£＞于点F,证明。E〃BC,由垂径定理得出。

CB,得出由切线的判定可得出答案；

(2)连接BC,OD,根据锐角三角函数求出OB=1,AB=2,根据平行线的性质得出N

ABC=NAFE,根据锐角三角函数求解即可.

【解答】(1)证明：连接OD,连接8C,

是。。的直径,

AZACB=90°,

：.BCLAE,

'JDEVAC,

：.DE//BC,

;点。是它的中点,

J.ODYCB,

：.OD±DE,

又为。。的半径，

...DE是。。的切线；

(2)解：如图，连接8C,0D,

由(1)知，ODLEF,BC//EF,

VsinZAFE—A,

3

•-•一0,D-_-1，

OF3

,:BF=2,OB=OD,

•OB=1,

-，0B+2京，

OB=1,

，AB=2,

\'BC//EF,

：.NA8C=ZAFE,

；.sin/ABC=sinN4FE,

•AC=1,

ABT

：.AC=2L.

3

【点评】此题考查了切线的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质、

解直角三角形是解题的关键.

2.(2023•西城区一模)如图，AB是。0的直径，C是。0上一点，NACB的平分线交

于点D,过点D作。O的切线交CB的延长线于点E.

(1)求证：DE//AB-,

(2)若。4=5,sin/BAC=3,求线段OE的长.

5

【分析】（1）连接0D,根据圆周角定理得到/ACB=90°,根据角平分线的定义得到N

ACD^ZBCD=45°,根据切线的性质得到/OOE=90,根据平行线的判定定理即可得

到结论；

（2）过B作BHA.DE于H,根据正方形的判定定理得到四边形ODHB是正方形，根据

正方形的性质得到OD=DH=BH=OB=5,/。8"=90°,根据勾股定理得到AC=

VAB2-BC2=8）根据相似三角形的性质即可得到结论.

【解答】（1）证明：连接。

是。。的直径，

：.ZACB=90°,

平分/AC8,

AZACD=ZBCD=45°,

・・・NAOD=2/ACO=90°,

TOE是。。的切线，

・・・NOOE=90,

：.ZODE=ZAOD,

：.DE//AB；

（2）解：过B作BHLDE于H,

VOD1DE,

・•・OD//BH,

■:DE//AB、OD=OB,

，四边形ODHB是正方形，

；.OD=DH=BH=OB=5,NOBH=90°,

TAB是。。的直径，

AZACB=90°,

，sin/BAC=W=3,

AB5

：.BC=6,

•'•^C=VAB2-BC2=8,

'JAB//DE,

N48C=NE,

•.,NBHE=/4CB=90°,

.、△ABCs△BE”，

•ACBC

"BH'EH"

•.•—8=--6-,

5EH

.•.£7/=耳

4

.•.OE=Z)H+EH=5+工=至

44

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，解直角三角形,

正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键.

3.(2023•东城区一模)如图，A8是。O的直径，点C,。在00上，点力为众的中点,

。。的切线QE交区4的延长线于点E,连接AC,BC,CD.

(1)求证：ZE=ZBAC；

(2)若G)O的半径长为5,cosE="l,求CD和。E的长.

5

E

e

------^B

【分析】（1）先根据垂径定理得到OOLAC,再根据切线的性质得到OOJ_OE,所以OE

//AC,然后根据平行线的性质得到结论；

⑵。。交AC于尸点，如图，在RgOAQE中利用余弦的定义求出0£=丝，则利用

4

勾股定理可计算出DE=西,再在RtAOAF中利用余弦的定义求出A尸=4,则利用勾股

4

定理计算出。尸=3,所以。尸=2,接着根据垂径定理CF=AF=4,然后利用勾股定理可

计算出CD的长.

【解答】（1）证明：•••点。为京的中点，

：.OD±AC,

为。。的切线，

，ODLDE,

.,.DE//AC,

：.ZE=ZBAC；

（2）解：0。交AC于尸点，如图，

在Rt/\OADE中，•/COSE=®.=A,

0E5

：.0E=^-X5=^-,

44

2T（晋）2-52=号，

在RtZkOAF中，cosZOAF=cosE=A=

5OA

.'.AF=—OA=4,

5

°F=VOA2-AF2=VB2-42=3'

：.DF=OD-OF=5-3=2,

'：OD±AC,

：.CF=AF=4,

22=2

在RtZXCD/中，^=^2+4^5)

即CD的长为2炳,DE的长为三.

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了垂径定理

和解直角三角形.

4.(2023•朝阳区一模)如图，AB是。0的弦，过点。作。C_LA8,垂足为C,过点4作

。。的切线，交OC的延长线于点。，连接。8.

(1)求证：ZB=ZD；

(2)延长BO交。。于点E,连接AE,CE,若4。=2泥，sinB=恒，求CE的长.

5

【分析】(1)如图，连接OA,根据切线的性质得到NOAD=90°,根据余角的性质得到

NOAB=ND,根据等腰三角形的性质即可得到结论；

(2)解直角三角形即可得到结论.

【解答】(1)证明：如图，连接04

B

A

••NO是OO的切线,

：.ZOAD=90Q,

：.ZCAD+ZOAB=90°,

'/OC_LAB,

・•・ZACD=90,

AZCAD+ZD=90°,

：.ZOAB=ZD,

・・・OA=OB,

：・/OAB=/B,

:・/B=ND；

(2)解：如图，在RtZVlCZ)中，AD=2后,sin£>=sinB=^,

5

・・・A8=2AC=4,

•,-C£>=7AD2-AC2=4,

，tanB=tanZ)=

2

,•♦BE为。。的直径,

：.ZEAB=90°,

在RtAABE中，AE=A3・tanB=2,

在RdACE中，根据勾股定理得CE=2近.

【点评】本题考查了切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的性质，正

确地作出辅助线是解题的关键.

5.(2023•丰台区一模)如图，A3是。0的直径，AD,BC是00的两条弦，/ABC=2/

A,过点。作。。的切线交CB的延长线于点E.

(1)求证：CE1DE；

(2)若tanA=2，BE=1,求CB的长.

DE

【分析】(1)连接。。，证出/ABC=NOO8,由平行线的判定得出0£>〃CE,由切线的

性质得出OD1.DE,则可得出结论；

(2)过点。作OELBC于尸，证出=得出tan4=tan/BOE=巨支:Ji,求出

DE3

DE=3,由勾股定理求出的长，证出四边形OOEF为矩形，得出EF=OD=5,则可

得出答案.

【解答】(1)证明：连接OD,

'：AO=DO,

：.ZA=ZADO,

：.NBOD=ZA+ZADO=2ZA,

又；ZABC=2ZA,

：.NABC=NDOB,

：.OD//CE,

〈DE是。。的切线，

:.0D上DE,

.\CE1DE；

(2)解：过点。作0FJ_8C于F,

VZODE=90°,

：./ODB+NBDE=90°,

又〈AB是。。的直径，

AZADB=90°,

AZA+ZABD=90°,

又•:OD=OB,

：・NODB=NOBD,

：.NA=NBDE,

/.tanA=tanZBDE==A,

DE3

•：BE=\,

：.DE=3,

22

•*-BD=7BE+DE=Vl2+32=，

：.AD=3-/wf

:・AB=dAD?+BD2=10，

・•・00=08=5,

•：/0DE=NE=/OFB=90°,

・・・四边形ODE尸为矩形，

:・EF=0D=5,

：・BF=EF・BE=5-1=4,

,：0F1.BC,

:・BC=2BF=8.

【点评】本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性

质，勾股定理，锐角三角函数的定义，平行线的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解

题的关键.

6.(2023•石景山区一模)如图，AB是。0的直径，点。是弦AC延长线上一点，过点。

作于点E,过点C作。。的切线，交DE于点、F.

(1)求证：FC=FD；

(2)若E是。B的中点，sinO=3,OA=2,求尸。的长.

【分析】(1)连接OC,如图，先根据切线的性质得到/OC广=90°,再证明

FCD,从而得到FC=FQ；

(2)连接3C,过b点作于H,如图，先在RtZ\AOE中利用正弦的定义求出

AD=5,再根据圆周角定理得到/AC8=90°,则乙48c=/。，接着在RtAABC中利

用正弦的定义求出4C=丝，则CD=型，由于FC=FD,FHA.CD,根据等腰三角形

55

的性质得到然后在Rt^DFH中利用解直角三角形可求出DF的长.

10

【解答】(1)证明：连接OC,如图，

为。。的切线，

，OCVCF,

：.ZOCF^9QQ,

：.ZFCD+ZACO=90°,

'：OA=OC,

：.ZOCA=ZA,

.,.ZFCD+ZA=90°,

"：DEI.AB,

.,.ZD+ZA=90°,

：.ZD=ZFCD,

:.FC=FD;

(2)解：连接8C,过尸点作FH_LC。于〃，如图,

是。8的中点，0A=2,

：.OE=\,

；.A£：=3,

在RtAADf中，

•.•sinZ)=^=3,

AD5

：.AD=^-X3=5,

3

为直径，

AZACB=90°,

AZXBC+ZA=90°,

VZD+ZA=900,

：.ZABC=ZD,

在RtAABC中,

VsinZ/lBC=sinD=-^-=—,

AB5

；.AC=3X4=£

55

CD=AD-AC=5-11=旦

55

'：FC=FD,FHLCD,

：.DH=CH^1.CD=H,

210

在RtaOFH中，

VsinD=^.=—,

DF5

...设"/=3x,DF=5x,

：.DH=4x,

即4x=乌

10

解得X=J1,

40

二。尸=5义里=里

408

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定

理和解直角三角形.

7.(2023•通州区一模)如图，△A8C是圆内接三角形，过圆心。作OEJ_AC,连接OA,

OC,过点C作CD〃AO,交BA的延长线于点。，NCOE=45°.

(1)求证：。。是。。的切线；

(2)如果BUCE=8,求。。半径的长度.

【分析】(1)根据同圆的半径相等得等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一性质得出

ZAOE^ZCOE,根据平形线的性质推出/OC£>+NAOC=180°,进而得到NOCD=

90°,证明OC是。0的切线；

(2)根据(1)得/AOC=90°,N。4c=45°,进而得到NABC=/OAC=45°,再

加一个公共角，证明△ABCs^EAC,得比例线段理型，再根据BC・CE=8,求出

ACCE

AC的长，再根据勾股定理得OA的长.

【解答】(1)证明：：OA=OC,

：./\AOC为等腰三角形，

'：OE±AC,

：.ZAOE=ZCOE,

：NCOE=45°,

AZAOC=2ZCOE=90a,

'JCD//AO,

：.ZOCD+ZAOC=\SO°,

：.ZOCD=90°,

OC±OD,

•.•点c在。。上，

是。。的切线；

(2)解：由(1)可知NAOC=90°,NOAC=45°,

AZABC=AZAOC=45°,

2

AZABC=ZOAC=45a,

"：ZBCA=ZACE,

.♦.△ABCs/XEAC,

•BCAC

**AC=CE，

：.AC2=BC'CE,

；BC・CE=8,

:.AC=2版,

根据勾股定理得，OA2+OC2=AC2,

；.O4=2,

•••。。半径的长度是2.

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、解直角三角

形，掌握这几个性质定理的综合应用是解题关键.

8.（2023•平谷区一模）如图，AB是0。的直径，C、。是。0上的两点，且笳=防，过

点D作。。的切线交AC的延长线于点E.

（1）求证：ZE=90°；

(2)连接CD,若cos/ECD上，A8=9,求CE的长.

3

【分析】（1）连接OD,CD根据圆周角定理得到NEA£>=ND48,证明OO〃AE,根

据平行线的性质得到结论;

（2）求出COS/B=2，由锐角三角函数的定义可得出答案•

3

【解答】（1）证明：连结OD.

•「DE为。。的切线,

：.ZEDO=90Q,

VBD=DC.

：.4EAD=4DAB,

・.・。4=0。,

：.ZOAD=ZADO,

：.ZEAD=ZADOt

：.OD//AEf

：.ZE=ZEDO=90°；

(2)解：连接8。，CD,

•・•四边形ABOC内接于OO,

：./B=NECD,

・・2

,cos/ECDf

•9

,・cosNB二不，

o

TAB是直径，

AZADB=90°,

,.•A8=9,

：.BD=6f

VBD=DC)

：・CD=BD=6,

・・2

,cosNECDf

o

：.CE=4.

【点评】本题考查的是切线的判定，圆周角定理，圆内接四边形的性质，解直角三角

形，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键.

9.(2023•门头沟区一模)如图，AB是。。的直径，点。在。0上，连接AO并延长到C,

使4c=AB,连接BC交。。于E,过点8作。。的切线交OE的延长线于点立

(1)求证：OE〃AC；

(2)如果48=10,AD=6,求EF的长.

【分析】(1)由等腰三角形的性质证出NC=NOEB,由平行线的判定可得出结论；

(2)由勾股定理求出BD=8,由垂径定理求出BM=4,得出sin/0BM=SL=3,证

0B5

出得出sinF=@&=3,则可得出答案.

OF5

【解答】(1)证明：：OB=OC,

；.NOBE=NOEB,

又

：.ZABC=ZC,

：.ZC=ZOEB,

：.OE//AC-,

(2)解：连接BO,交OF于M,

为OO的直径，

：.ZADB=90°,

'：AB=10,AD=6,

•••BD=VAB2-AD2=V102-62=8,

VOE//AC,ADLBD,

：.OELBD,

；.BM=DM=4D=4,

2

°M=7OB2-BM2=VB2-42=3,

.•.sin/O2M=3L=3,

OB5

为。。的切线，

J.OBLBF,

；.NOB尸=90°,

：.ZBOF+ZF=90°,

：NOBM+NBOM=90°,

；.NOBM=NF,

；.sinF=^2m

OF5

••3•5,

5OF

0尸=生，

3

：.EF=OF-OE=^-5=曲.

【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确的

作出辅助线是解题的关键.

10.(2023•房山区一模)如图，ZVIBC中，AB=AC,以BC为直径作O。，与边AC交于

点。，过点。的。。的切线交8c的延长线于点E.

(1)求证：/BAC=2NDBC；

(2)若cos/BAC=&,DE=4,求BE的长.

5

【分析】(1)连接AO,如图，先根据等腰三角形的“三线合一”得到AOLBC,AO平

分NBAC,则NBAC=2/OAC,再根据圆周角定理得到NB£>C=90°,然后根据等角

的余角相等得到NOAC=NO2C,从而得到结论；

（2）连接。£>,如图，先根据切线的性质得到NODE=90°,再根据圆周角定理得到N

C0D=2ZDBC,则NCOQ=/BAC,接着在RtAOD£中利用余弦的定义得到cos/

£0。=型=旦，则设OO=3x,OE=5x,所以£>E=4x=4,解得x=l,然后计算

0E5

OB+OE即可.

【解答】（1）证明：连接AO,如图，

'：AB=AC,OB=OC,

：.AO±BC,A。平分NBAC,

：.ZBAC^2ZOAC,

为直径，

AZBDC=90°,

NOBC+N8co=90°,

'：ZOAC+ZBCD=90°,

：.ZOAC=ZDBC,

：.NBAC=2NDBC；

（2）解：连接。£）,如图，

为。。的切线，

".OD1DE,

：.ZODE=90°,

■:NCOD=2NDBC,

NBAC=2NDBC,

，NCOO=NBAC,

/.cosZCOD=cosZBAC=—,

5

在RtZiODE中，VCOSZ£OD=P5.=.3,

OE5

设。O=3x,OE=5x,

。―小⑸产-⑶产=叔，

即4x=4,

解得x=l,

：.OD=3,OE=5,

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了等腰三角

形的性质、圆周角定理和解直角三角形.

（2023•延庆区一模）如图，。0是△ABC的外接圆，A8是。0的直径，OO_LOC,且

ZADO=ZBOC.

（1）求证：是。。的切线;

（2）若tan/BAC=上，AD=3,求。。的半径.

2

【分析】（I）根据OOLOC,得出/DOC=90°,进而得NAOO+NBOC=90°,则N

ZMO=90°,由A8是。。的直径得出结论；

(2)因为AB是。。的直径，推出N8AC+NB=90°,过点C作CE_LAB于点E,则N

ECB+NB=90°,则/B4C=NEC8,贝ijtanNECB=tan/B4C=」，设BE="(a>0),

2

则CE=2a,BC=45a,则AC=2届a,AB=5a,求出OA和OE,由△AOOs4

EOC,得出AD,进而求得OA=4.

【解答】（1）证明：;。。，。。

：.ZDOC=90Q.

AZA0D+ZB0C=9Q°.

'：ZADO=ZBOC,

：.ZAOD+ZADO=90Q.

.,.ND4O=90°.

是O。的直径，

.••AC是。。的切线.

(2)解：是。。的直径,

/.ZACB=90°.

.,.ZBAC+ZB=90°.

过点C作CELAB于点E,

:.NECB+NB=9Q°.

：.ZBAC=ZECB.

.".lanZECB=tanZBAC=—,

2

设BE=a(«>0),则CE=2a,BC=&a.

.,.AC=2-\[5a,AB=5a.

：.OA=OB=2.5a.

.,.0E—\,5a.

,//\ADO^/\EOC,

•ADQE

"AO"EC'

.AD1.5a3

,•而:2aN

\'AD=3,

AOA=4.

•••。0的半径为4.

【点评】本题考查圆周角定理，切线的判定和性质，直角三角形的边角关系以及等腰三

角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系是解决问题的前提.

12.(2023•大兴区一模)如图，AB是。。的直径，C为圆上一点，连接AC,BC,过点。

作OOLAC于点D过点A作。0的切线交0。的延长线于点P,连接CP.

(1)求证：CP是。。的切线；

(2)过点B作BELPC于点E,若CE=4,COSZCAB=A,求OD的长.

P

【分析】(1)连接OC,如图，根据切线的性质得NB4B=90°,再根据垂径定理证明

0。垂直平分AC,则PA=PC,接着证明/PCO=N%O=90°,然后根据切线的判定

方法得到结论；

(2)根据圆周角定理，由AB为直径得到NACB=90°,再证明NA=NBCE,接着在

Rt/XBCE中利用余弦的定义求出BC=5,然后证明。。为△ABC的中位线，从而得到0。

的长.

【解答】(1)证明：连接。C,如图，

为。。的切线，AB为直径，

：.PA1AB,

：.ZPAB=90a,

,CODA.AC,

：.AD=CD,即0。垂直平分AC,

：.PA^PC,

：.ZPCA^^PAD,

'：0A=0C,

：.Z0CA^Z0AC,

：./PC0=ZPCA+ZOCA^ZPAC+ZOAC^ZPAO=90Q,

：.PCL0C,

；oc为oo的半径，

...CP是。。的切线；

(2)解：为直径，

AZACB=90°,

AZA+ZABC=9QQ,

'：OB=OC,

:.NOBC=NOCB,

VZOC£=90°,

：.ZOCB+ZBCE=90°,

：.NA=NBCE,

'：BEICE,

AZ£=90°,

在RdBCE中，VCOSZBCE=COSZBAC=-^-=A,