排列 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修三

6.2排列与组合

在上节例8的解答中我们看到，用分步乘法计数原理解决问题时，因做了一些重复性工作而显得烦琐.能否对这类计数问题给出一种简捷的方法呢?6.2.1排列一、探究新知问题1

从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同

学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不

同的选法?

此时，要完成的一件事是“选出2名同学参加活动，1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动”，可以分两个步骤:

第1步,确定参加上午活动同

学,从3人中任选1人,有3种选法；

第2步，确定参加下午活动的

同学,当参加上午活动的同学确定

后,参加下午活动的同学只能从剩

下的2人中去选，有2种选法.

根据分步乘法计数原理,不同

的选法种数为3×2=6.

这6种不同的选法如右图所示.上午下午相应选法甲乙甲乙丙甲丙乙甲乙甲丙乙丙丙甲丙甲乙丙乙

若把上面问题中被取出的对象叫做元素，那么问题可叙述为:从3个不同的元素a、b、c中任意取出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法?

所有不同的排列是

ab、ac、ba、bc、ca、cb.

不同的排列方法种数为

3×2=6.

问题1中的“顺序”是什么?一、探究新知一、探究新知问题2从1、2、3、4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，

共可得到多少个不同的三位数?

显然，从4个数字中，每次取出3个，按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，就得到一个三位数.因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数.可以分三个步骤来解决这个问题:

第1步，确定百位上的数字，从1、2、3、4这4个数字

中任取1个，有4种方法；

第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，

十位上的数字只能从余下的3个数字中去取,有3种方法；

根据分步乘法计数原理，从1、2、3、4这4个不同的数

字中，每次取出3个数字，按“百位、十位、个位”的顺序

排成一列，不同的排法种数为4×3×2=24.

因而共可得到24个不同的三位数，如下图所示.

第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确

定后，个位数字只能从余下的2个数字中去取，有2种方法.百位1234十位234134124123个位342423341413241412231312

由此可写出所有的三位数:

123，124，132，134，142，143，

213，214，231，234，241，243，

312，314，321，324，341，342，

412，413，421，423，431，432.一、探究新知

同样，问题2可以归结为:

从4个不同的元素a、b、c、d中任意取出3个，并按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法?

所有不同的排列是

abc，abd，acb，acd，adb，adc，

bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，

cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，

dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.

不同的排列方法种数为

4×3×2=24.

问题2中的“顺序”是什么?一、探究新知二、排列的概念

上述问题1和问题2的共同特点是什么?

你能将它们推广到一般情形吗?

问题1和问题2都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的顺序排成一列的方法数.

一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.注意1.元素不能重复2.“按一定顺序”就是与位置有关,这是判断一个问题是否是

排列问题的关键——有序性——互异性

根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是:两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同.

例如，在问题1中，“甲乙”与“甲丙”的元素不完全相同，它们是不同的排列;“甲乙”与“乙甲”虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列,又如，在问题2中，123与134的元素不完全相同，它们是不同的排列；123与132虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列.二、排列的概念例1下列问题是排列问题吗？(1)从1、2、3、4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果

有多少种？(2)从1、2、3、4四个数字中，任选两个做除法，其不同结果

有多少种？(3)从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少

个不同的点的坐标？(4)平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多

少条射线？可确定多少条直线？(5)10个学生排队照相，则不同的站法有多少种？三、精典例题例2某省中学生足球赛预选赛每组有6支队,每支队都要与同组的其

他各队在主、客场分别比赛1场,那么每组共进行多少场比赛?三、精典例题例3(1)一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中

各取1盘菜，共有多少种不同的取法?

(2)学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人

从中选一种，共有多少种不同的选法?三、精典例题四、课堂小结

一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一

定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个

排列.

①两个排列的元素完全相同

②元素的排列顺序也相同.

①互异性(