专题01 五大类解三角形题型-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练（新高考新题型专用）（教师解析版）

专题01五大类解三角形题型-2024年高考数学大题秒杀技巧及专项训练（解析版）【题型1三角形周长定值及最值】【题型2三角形涉及长度最值问题】【题型3三角形涉及中线长问题】【题型4三角形涉及角平分线问题】【题型5三角形面积最值问题】三角形周长定值及最值：已知一角与两边乘积模型 第一步：求两边乘积第二步：利用余弦定理求出两边之和：已知一角与三角等量模型 第一步：求三角各自的大小第二步：利用正弦定理求出三边的长度最值步骤如下：第一步：先表示出周长第二步：利用正弦定理将边化为角第三步：多角化一角+辅助角公式，转化为三角函数求最值已知的内角的对边分别为，且．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的周长．解：（Ⅰ）由已知得，，，∵，∴，，，∴，∴．（Ⅱ）第一步：求两边乘积又第二步：利用余弦定理求出两边之和∵，∴，∴，∴为等边三角形．故三角形的周长为．在中，角的对边分别为，.（1）求；（2）若，，求的周长.解：（1）求角根据，可得所以.又因为，所以.（2）第一步：求三角各自的大小，，所以，，第二步：利用正弦定理求出三边的长度因为，所以，，则的周长为.在中,角的对边分别为.(1)求;(2)若,且,求的周长.解：⑴因为，所以.又，解得.又，为锐角，所以.⑵第一步：求两边乘积因为，又，所以或者，第二步：利用余弦定理求出两边之和，即，所以周长为.在中，，且（1）求；（2）若，求的周长.解：（1）在中，则，，，，，，，由正弦定理得，，.（2）第一步：求两边乘积由（1）得，，，，，，第二步：利用余弦定理求出两边之和在中，由余弦定理得，，又，，解得（负值舍去），故.1．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．(1)证明：是锐角三角形；(2)若，求的周长．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1），由正弦定理得，整理得．由余弦定理得．，．，，，，均小于，是锐角三角形．（2），，又，，在中，由正弦定理得，即，，，的周长为．2．的内角的对边分别为．(1)求；(2)若，求的周长最小值．【答案】(1)(2)9【详解】（1）因为，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理知，且，所以．（2）由（1）可知：，整理得，且，当且仅当时，等号成立，则，即，可得，所以的周长最小值.3．已知函数的最小正周期为．(1)求的值；(2)已知分别为中角的对边，且满足，求的周长的最大值．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为最小正周期为，所以，解得，所以，所以．（2）由得，由余弦定理有，即（当且仅当时取“=”），故，即为等边三角形时，周长有最大值4．的内角A，，的对边分别为，，，已知.(1)求；(2)若，的面积为，求的周长.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得.又，所以.因为，所以；（2）的面积，则.由余弦定理：，得，所以，故的周长为.5．在锐角中，，，(1)求角A；(2)求的周长l的范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）∵，，所以，所以，因为，所以，，所以.（2），所以,所以，，所以,因为是锐角三角形，且，所以，解得，所以，所以，所以.6．记的内角，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．(1)求a；(2)若，求的周长l的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，又，，所以，根据正弦定理可得，所以．（2）解法一：因为，，所以由余弦定理可得，即．因为，所以，所以，当且仅当时，取到最值又，所以，即周长l的取值范围为．解法二：由正弦定理知，，所以，，所以，因为，所以，所以,，所以,，所以,，故的周长的取值范围为,．7．设的内角所对边分别为，若．(1)求的值;(2)若且三个内角中最大角是最小角的两倍，当周长取最小值时，求的面积．【答案】(1)2(2)【详解】（1）因为，所以，因为，所以，所以，由正弦定理，得，即．（2）由可得：，故，于是，由正弦定理及余弦定理可得：，解得：(舍)或者，故，因为，所以当时，周长最小，此时，所以，所以的面积为．8．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求角的大小；(2)若，求的周长l的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：因为，可得，即，即，所以，又因为，所以.（2）解：由正弦定理，可得，所以三角形的周长，因为，可得，所以，因为，可得，所以，所以，故的周长的取值范围为.三角形涉及长度最值问题解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值在中，角所对的边分别为.若.(1)求；(2)若为锐角三角形，求的取值范围.破解：（1）第一步：因为，整理得，所以，第二步：由正弦定理得：，因为，所以，所以.（2）第一步：因为为锐角三角形，，所以，且，所以，第二步：解法，因为，所以，第三步：所以，即的取值范围是.第一步：解法，因为，所以，得，第二步：所以，即的取值范围是.在中，已知，且.(1)试确定的形状；(2)求的值．破解：（1）第一步：在中，设其外接圆半径为R，根据正弦定理得，，代入，得，所以①，第二步：因为，所以，所以，由正弦定理，得，所以②，把②代入①得，，即，所以是直角三角形；（2）第一步：由（1）知，即，所以，第二步：又，所以，所以.已知函数.在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足.(1)求A的值；(2)若，求的取值范围.破解：（1）第一步：.由，即.第二步：为锐角三角形，，..（2）第一步：由正弦定理，.，.第二步：，.第三步：是锐角三角形，，且.，，，...综上，的取值范围为.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为(1)求角A的大小；(2)当时，求的取值范围.破解：（1）第一步：由正弦定理得：，所以，即，第二步：因为，所以，又，所以（2）第一步：，，由正弦定理，所以，第二步：因为为锐角三角形，所以，则，所以，所以已知为锐角三角形，角的对边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若，求的取值范围.破解：（1）第一步：在中，由余弦定理得，，所以，所以，第二步：又因为为锐角三角形，所以，所以.（2）第一步：在中，由正弦定理得，，所以，第二步：因为为锐角三角形，所以，解得，所以，则，所以的取值范围为.1．在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求角B的值；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理边化角可得，所以，又，所以，又为锐角，则；（2）由正弦定理，则，所以，，因为在锐角三角形中，得，所以，则，所以的取值范围为.2．已知的内角的对边分别为，且满足．(1)求角的大小；(2)已知是的中线，求的最小值．【答案】(1)(2)【详解】（1）因，由正弦定理，，由余弦定理，，又代入化简得，因，则（2）因是的中线，故,两边平方可得：，即，由（1）知，则，又因，即，当且仅当时等号成立，此时，即.故当时，的最小值为.3．在锐角中，已知.(1)求；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意，根据正弦定理可得，则，展开可得，.（2）由正弦定理，则，其中，是锐角三角形，，.，，显然，当时，，.4．已知在锐角三角形中，边，，对应角，向量，，且与垂直，．(1)求角；(2)求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为与垂直，所以，即，即，即，即，又，所以，所以，即；（2）由正弦定理得，根据三角形是锐角三角形得，解得，则，所以，所以，则，则的取值范围为.5．记△的内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若，求的范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理得，，因为，所以，所以，则，因为，所以，所以，所以.（2）因为，则，因为,所以.所以.因为.所以.所以，所以.6．已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A；(2)若外接圆的直径为，求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由可得：，所以，所以，，，由正弦定理可得，因为，所以，所以，因为，所以.（2）由正弦定理可得，所以，故，又，所以，所以，又，所以，所以，所以的取值范围为.7．在中，角，，所对的边分别为，，，已知.(1)求的值；(2)若为的中点，且，求的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理及，得，又，所以，又，∴，∴，即，又，∴.（2）由为的中点，得，而，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，．(1)若，求的面积；(2)若为钝角三角形，求a的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由及正弦定理，则．当时，，，由余弦定理，，从而，此时的面积．（2）由于，，由三角形三边关系可得，即，解得．由于C为的最大内角，故，即，解得．由于，则．三角形涉及中线长问题①中线长定理：（两次余弦定理推导可得）+（一次大三角形一次中线所在三角形+同余弦值） 如：在与同用求 ②中线长常用方法 ③已知，求的范围∵为定值，故满足椭圆的第一定义∴半短轴半长轴中，，，，则边上的中线长_______.解：法一：两次余弦定理设，，，由余弦定理得：，所以，或（舍去），在中，，由余弦定理得：，所以.法二：一次余弦定理+一次中线长定理设，，，由余弦定理得：，所以，或（舍去），中线长定理在中，，．边上的中线，则_____．解：中线常用方法设，中，，中，，重点，解得：，，中，,,.中，，则边上中线的长为_____．解：中线常用方法由余弦定理可知：,设，由余弦定理可知：而重点即解得，故边上中线的长为．1．已知的内角的对边分别为，且满足．(1)求角的大小；(2)已知是的中线，求的最小值．【答案】(1)(2)【详解】（1）因，由正弦定理，，由余弦定理，，又代入化简得，因，则（2）因是的中线，故,两边平方可得：，即，由（1）知，则，又因，即，当且仅当时等号成立，此时，即.故当时，的最小值为.2．在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中S为的面积）.问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______.(1)求角B的大小；(2)AC边上的中线，求的面积的最大值.【答案】(1)(2).【详解】（1）解：若选①：在中，因为，由，可得，由正弦定理得，即，则，又因为，故.若选②：由，可得，所以，因为，所以.若选③：因为，正弦定理得，又因为，所以，即，因为，，所以，又因为，可得；综上所述：选择①②③，都有.（2）解：由，可得，所以，可得，当且仅当时取等号，

则，当且仅当时取等号，则的面积的最大值为.3．在中，(1)若，求的面积；(2)求边上的中线的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，若，则，又，所以，所以；（2）因为，由正弦定理得，所以，所以，又，所以，所以，由余弦定理得，因为，则，因为，所以，因为，所以，则，所以，所以，所以，即边上的中线的取值范围为．

4．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)若，求边上的中线的长．【答案】(1)(2)【详解】（1）∵，∴，∴，∴，即，由正弦定理可得，∵，∴，又∵，∴，∴．∴.（2）∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴.5．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求A；(2)若，求中BC边中线AD长．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理得，即，即，所以，又，所以，又，所以；（2）由余弦定理得，即，所以，因为为中BC边的中线，所以，则，所以.

6．在锐角中，角、、所对的边分别为、、．①；②；③．在以上三个条件中选择一个，并作答．(1)求角；(2)已知的面积为，是边上的中线，求的最小值．【答案】(1)条件选择见解析，(2)【详解】（1）解：若选①，因为，即，则，即，所以，，因为，故；若选②，原式等价于，即，即，因为、，则，所以，，则，故；若选③，原式等价于，即所以，，即，即，因为，故.（2）解：因为，所以，，因为为的中点，则，所以，，则，则，当且仅当时，即当时，等号成立.因此，长的最小值为.7．记的内角的对边分别为，面积为，已知.(1)求的值；(2)若边上的中线，求周长的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1）∵面积为，，且，得，，由正弦定理得：，，，，，.（2）边上中线，，，得，，，，且，即，，当且仅当时，“=”成立.又，由余弦定理得，，，设，，设，，在单调递减，又，，，在单调递减，则最小值为，所以当时，的最小值为，故周长最小值为.8．已知中，角所对的边长分别为，且，为边上一点，且.(1)若为中线，且，求；(2)若为的平分线，且为锐角三角形，求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）如下图所示，

在中，设，由余弦定理得即，得，所以，在中，由余弦定理得，则，所以（2）设，则，如下图所示，

在和中，由正弦定理得，，得，因为为锐角三角形，所以均为锐角，所以，则，所以，又因为，所以，所以的取值范围是三角形涉及角平分线问题张角定理如图，在中，为边上一点，连接,设，则一定有证明过程：∵∴同时除以得在中，角所对的边分别为，，交于点D，且，则的最小值为________．解：如图所示,根据张角定理故：，根据柯西不等式故，当且仅当时等式成立在中，角所对的边分别为，点在边上，，，，则的长为________．解：，根据张角定理故：已知在中，角所对的边分别为.为上一点且则的最小值为__________.解：法一：等面积法+基本不等式（张角定理的推导方法），，，又，故即，所以.又，当且仅当，时等号成立，故的最小值为方法二：张角定理+基本不等式又，当且仅当，时等号成立，故的最小值为在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点，且，则的最小值为______．解：法一：等面积法+基本不等式（张角定理的推导方法）如图：因为可得即，所以所以当且仅当时取等号.故答案为18方法二：张角定理+基本不等式所以当且仅当时取等号.故答案为181．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且．(1)求证：；(2)若的平分线交AC于D，且，求线段BD的长度的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：由余弦定理可得，

故，由正弦定理得．

所以在中，或．

若，又，故，因为，所以，故不满足题意，舍去，所以．（2）在中，由正弦定理可得，即

所以

因为是锐角三角形，且，所得，

所以．所以线段BD长度的取值范围是．

2．如图,在中,的平分线交边于点,点在边上,,,.

(1)求的大小;(2)若,求的面积.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为是的角平分线,所以,在中,根据余弦定理得,所以,则,因为,所以.（2）因为,所以,在中,由正弦定理得,在四边形中,,所以,则.3．已知的内角，，的对边分别为，，，．(1)求；(2)若角的平分线交于点，且，求面积的最小值．【答案】(1)(2)【详解】（1）由已知，得，在中，由正弦定理得，即．再由余弦定理得．又，所以.（2）因为是角的平分线，则，又，又，所以，得到，又因为，得到，解得，即，当且仅当时等号成立，所以，即面积的最小值是．4．在中，内角、、的对边分别为、、，若.(1)求角的大小；(2)若，的平分线交于点，求线段长度的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）解：因为，所以：，即，由正弦定理得，即，由余弦定理得，又，所以.（2）解：由余弦定理得，即，所以，即，当且仅当时，即当时，等号成立，因为，所以，解得，因为，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立，所以，线段长度的最大值为.5．已知中，内角所对的边分别为，且.(1)若的平分线与边交于点，求的值；(2)若，点分别在边上，的周长为5，求的最小值.【答案】(1)(2).【详解】（1）可得，解得，设，则，由余弦定理得，所以.因为为的平分线，所以，又，则.（2）因为，由（1）得，设，由余弦定理得，所以，因为，所以，当时取等号，所以，所以，当时取等号，所以的最小值为.6．如图，在平面四边形中，，，的平分线交于点，且．

(1)求及；(2)若，求周长的最大值．【答案】(1)，(2)【详解】（1）在中，由正弦定理得，又，则，于是，∵为角平分线，∴，∴，∴，在中，根据余弦定理得，∴．（2）设，．在中，由余弦定理得，即有，即，∴，当且仅当时，“＝”成立．∴周长的最大值为．7．中，角的对边分别为，的平分线交边于，过作，垂足为点.(1)求角A的大小；(2)若，求的长.【答案】(1)(2)【详解】（1），由正弦定理可得：，即，由余弦定理可得：，.（2），是的角平分线，

，，在中，.8．已知条件：①；②；③.从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：____.(1)求角C的大小；(2)若，与的平分线交于点I，求周长的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）选择条件①，，在中，由余弦定理得，整理得，则，又，所以；选择条件②，，于是，由正弦定理得，因为，则，即，因为，因此，即，又，所以；选择条件③，，则，所以，则，又，即有，则，所以；（2）由（1）知，，有，而与的平分线交于点I，即有，于是，

设，则，且，在中，由正弦定理得，所以，，所以的周长为，由，得，则当，即时，的周长取得最大值，所以周长的最大值为.三角形面积最值问题：面积最值问题技巧：正规方法：面积公式+基本不等式①②③秒杀方法：在中，已知,则：其中分别是的系数三角形面积公式①②其中分别为内切圆半径及的周长推导：将分为三个分别以的边长为底，内切圆与边相交的半径为高的三角形，利用等面积法即可得到上述公式③（为外接圆的半径）推导：将代入可得将代入可得④⑤海伦公式（其中）推导：根据余弦定理的推论令，整理得在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（）解：第一步：观察角化边在中，，由正弦定理，可得，即，又由余弦定理可得，可得，因为，，由余弦定理，可得，即，即，解得，第二步：面积公式所以三角形的面积为.在，角，，的边分别为，，，且，，，则的内切圆的半径为（）解：第一步：观察边化角 由及正弦定理得，整理得．∵，∴，∴，又，∴，故．∴，∴．由余弦定理得，即，解得．第二步：利用三角形面积公式（内切圆公式） ∴．∵，∴．已知在中，角，，的对边分别为，，，，，的面积等于，则外接圆的面积为（）解：第一步：利用面积公式第二步：求 在中，，，，，解得，第三步：求圆的面积 故，外接圆的面积为.在中，角的对边分别为，已知,，则的面积最大值为_____________解：则：其中分别是的系数故故：中，角的对边分别为，且，，则面积的最大值为（）解：第一步：∵，由正弦定理得，即；由余弦定理得，结合，得；又，由余弦定理可得，当且仅当等号成立，第二步：∴，即面积的最大值为．1．中角所对的边分别为，其面积为，且.(1)求；(2)已知，求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为三角形的面积为，则，所以，又，则；（2）由于，所以，即，取等号，故，故2．如图，在四边形中，，，且的外接圆半径为4.(1)若，，求的面积；(2)若，求的最大值.【答案】(1)4；(2).【详解】（1）因为，的外接圆半径为4，所以，解得.在中，，则，解得.又，所以；在中，，，，所以.（2）设，.又，所以.因为，所以.在中，，由正弦定理得，即，解得.在中，，由正弦定理得，即，解得，所以.又，所以，当且仅当，即时，取得最大值1，所以的最大值为.3．已知的内角，，的对边分别为，，，．(1)求；(2)若角的平分线交于点，且，求面积的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由已知，得，在中，由正弦定理得，即