专题06 五大类导数题型-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练（新高考新题型专用）（教师解析版）

专题06五类导数题型-2024年高考数学大题秒杀技巧及专项训练（解析版）【题型1利用导函数图象研究函数的单调性问题（含参讨论问题）】【题型2利用导函数研究恒成立能成立问题】【题型3利用导函数研究函数零点问题】【题型4利用导函数研究函数切线问题】【题型5利用导函数研究函数的极值点偏移问题】题型1利用导函数图象研究函数的单调性问题（含参讨论问题）含参问题讨论单调性第一步：求的定义域第二步：求（导函数中有分母通分）第三步：确定导函数有效部分，记为对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负.第四步：确定导函数有效部分的类型：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）借助导函数有效部分的图象辅助解题：①令，确定其零点，并在轴上标出②观察的单调性，③根据①②画出草图导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型借助导函数有效部分的图象辅助解题：①对因式分解，令，确定其零点，并在轴上标出这两个零点②观察的开口方向，③根据①②画出草图导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型①对，求②分类讨论③对于，利用求根公式求的两根，④判断两根，是否在定义域内：对称轴+端点正负⑤画出草图已知函数，.讨论函数的单调区间.解：第一步：函数定义域是，，草稿纸：，，试卷上：①当时，即时，当或时，；当时，.此时，的增区间是和，减区间是，②当时，对任意的恒成立，此时，函数增区间，无减区间；③当时，即时，当或时，；当时，.此时，函数的增区间是和，减区间是.综上，当时，函数的增区间是和，减区间是；当时，函数的增区间是；当时，函数的增区间是和，减区间是；已知(为常数)，求函数的单调区间.解：第一步：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，＋＝，草稿纸：，试卷上：当时，，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＜0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，由于＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，①当，即时，g(x)≤0，则，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；②当－＜a＜0时，＞0，设x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)的两个零点，则x1＝，x2＝，由x1＝＝＞0，x2＝＞0，且，所以当时，g(x)＜0，，函数f(x)单调递减，当时，g(x)＞0，，函数f(x)单调递增，当时，g(x)＜0，，函数f(x)单调递减，综上可得：当时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－＜a＜0时，f(x)在，上单调递减，在上单调递增.已知函数.求函数的单调区间；解：求导,当时，令，，解得：，所以的单调递增区间为，递减区间为当时，令，解得：或，所以的单调递增区间为和，的单调减区间为当时，上恒成立，所以的单调递增区间为；无递减区间当时，令，解得：或，所以的单调递增区间为和，的单调减区间为.综上：当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为和；当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为和；1．已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【详解】（1），当在上恒成立，故在上单调递增；当时，令得；令得，故在上单调递增，在上单调递减．（2）证明：由（1）知，当时，，所以．令，则．令，则．因为，所以，所以在上单调递增．又，所以，所以在上单调递减．因为，所以，所以，即当时，．2．已知函数，．(1)若曲线在处的切线与轴垂直，求实数的值；(2)讨论函数的单调性．【答案】(1)1(2)答案见解析【详解】（1）依题意，，则，因为在处的切线与轴垂直，所以，解得；（2）由（1）知，当时，由得，由得，所以的单调递增区间为，单调递减区间，当时，分以下三种情况：若，则在定义域内恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间；若，令得或，令得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，若，令得或，令得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，综上所述，当时，在区间单调递增，在区间单调递减；当时，在区间单调递增，无递减区间；当时，在区间单调递增，在区间单调递减；当时，在区间单调递增，在区间单调递减.3．已知函数.(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论的单调性；(3)若存在，且，使得，求证：.【答案】(1)(2)函数在区间上单调递减，在区间上单调递增(3)证明见解析【详解】（1）当时，，所以，又，所以，曲线在点处的切线方程为：；（2）因为，且，令，，因为，，即函数在上单调递增，由，得，所以函数在上小于零，在上大于零，因为，的符号和函数的符号一致，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；（3）因为，所以时，，且，则，即，若，且，，所以，取自然对数得：，即，由得：，即，所以，令，设，所以，所以时，，函数单调递减；时，，函数单调递增；下面证明：，又，即证，即证，即证，令，，所以在区间上单调递增，所以，从而得证；故，即，所以，所以，得证.4．已知函数(1)讨论函数的单调性；(2)证明：当时，【详解】（1）依题意，，当时，，当时，由得，由得，即当时函数在是减函数；当时在是减函数，在是增函数；（2）由（1）知当时，的最小值为，，设，则，∴函数在是减函数，在是增函数，即的最小值为，即，∴，即的最小值，∴．5．已知函数.(1)判断的单调性；(2)当时，求函数的零点个数.【答案】(1)在上单调递减，在上单调递减(2)2【详解】（1）函数的定义域为.令，则.当时，单调递增，当时，单调递减，所以，所以在上恒成立，所以在上单调递减，在上单调递减.（2）且的零点等价于且的零点.,令，易知，因为，所以存在，使得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增.当时，，当时，，所以在，上不存在零点.取，则，所以在上存在一个零点，设为.又，所以，因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以在上存在一个零点.综上所述，当时，函数的零点个数为2.6．已知函数．(1)若，曲线在点处的切线斜率为1，求该切线的方程；(2)讨论的单调性．【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）当时，，解得又因为，所以切线方程为：，即（2）的定义域为，当时，得恒成立，在单调递增当时，令，（i）当即时，恒成立，在单调递增（ii）当即时，由得，或，由得，所以在，单调递增，在单调递减综上：当时，在单调递增；当时，在，单调递增；在单调递减7．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若不等式恒成立，求的取值范围；(3)当时，试判断函数的零点个数，并给出证明．【答案】(1)答案见解析(2)(3)有且仅有2个零点，证明见解析【详解】（1）因为，所以，当时，恒成立，所以；当时，令，解得（舍去负根），令，得；令，得．综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）由恒成立，得在上恒成立，所以在上恒成立．令，则．令，易知在上单调递减．又，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，也是最大值，即，所以，即的取值范围为．（3）当时，，则，令，则，当时，，所以在上单调递减．又，所以在上存在唯一的零点．设在上的零点为，可得当时，，单调递增；当时，单调递减，解法一：，因为，所以，故．又，所以．又，所以在上有一个零点．又，所以在上有一个零点．当时，，所以在上没有零点．当时，令，则，所以在上单调递减，所以，所以，所以，而，所以，故在上没有零点．综上所述，在定义域上有且仅有2个零点．解法二：因为，，所以在上有一个零点．又，所以在上有一个零点，当时，，易证，所以，从而在上恒成立，故在上没有零点．当时，，设，则，所以在上单调递减．又，则在上恒成立，所以在上恒成立，故在上没有零点．综上所述，在定义域上有且仅有2个零点．8．已知函数(1)讨论的单调性.(2)证明:当时,(3)证明:【详解】（1），，当时，易知，所以函数在R上单调递减，当时，令，解得，令，解得，即在上单调递增，令，得，即在上单调递减，综上，当时，函数在R上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）令，，，令，，则，所以在上单调递增，当时，，又，有，，即单调递减，，，即单调递增，所以，而此时，所以当时，成立；当时，可得，，所以又，所以存在，使得，即，，，，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，，由可得，，下面证明，，令，，所以在上单调递增，，即得证，即成立，综上，当时，成立.（3）由（2），当时，有，即，令，，得，，，即.题型2利用导函数研究恒成立能成立问题①在证明或处理含对数函数的不等式时，通常要将对数型的函数“独立分离”出来，这样再对新函数求导时，就不含对数了，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导.这种相当于让对数函数“孤军奋战”的变形过程，我们形象的称之为“对数单身狗”.由（这里设），则不含超越函数，求解过程简单.②在证明或处理含指数函数的不等式时，通常要将指数型的函数“结合”起来，即让指数型的函数乘以或除以一个多项式函数，这样再对新函数求导时，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导.这种相当于让指数函数寻找“合作伙伴”的变形过程，我们形象的称之为“指数找朋友”.由，则是一个多项式函数，变形后可大大简化运算.③设为可导函数，则有,若为非常数函数，求导式子中还是含有,针对此类型，可以采用作商的方法，构造从而达到简化证明和求极值、最值的目的，腻在一起，常常会分手.已知函数，当时，，则的取值范围是.解：第一步：变形等价于.设函数，第二步：求导则第三步：讨论（穿针引线）（i）若，即，则当时，.所以在单调递增，而，故当时，，不合题意.（ii）若，即，则当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增.由于，所以当且仅当，即.所以当时，.（iii）若，即，则.由于，故由（ii）可得.故当时，.综上，的取值范围是.解决形如常见结论（有时甚至），从形的角度看，它揭示了曲线与其切线的位置关系，从数的角度看，它提供了一种将指数型结构转化为多项式型结构的方法，从而顺利突破难点．若不等式对所有都成立，则实数的取值范围是．解：第一步：变形原问题等价于对所有都成立，第二步：求导令，则．第三步：分类讨论（1）当时，恒成立，即在上单调递增，因而恒成立；（2）当时，令，则，在上单调递减，在上单调递增，，不合题意．综上所述，实数的取值范围是．上述解法优势在于，将的系数化“1”后，就可以有效避免求导后再出现对数函数，避免了隐性零点的出现,这是解决对数型函数的精华所在．已知函数(1)若，判断函数有几个零点，并说明理由:解：第一步：变形(1)令，则由于当且仅当.第二步：求导求斜率因为，，第三步：分类讨论所以当时，且等号成立当且仅当，当时，．因此，在上单调递减，在上单调递增．取，则，又，，根据零点存在定理，在，上各有一个零点．因此，有且只有两个零点，进而有且只有两个零点．1．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若，，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，则，所以，，所以曲线在点处的切线方程；（2）因为，且，所以当时，，单调递减，当或时，，单调递增；不妨令，当，即时，在单调递增，在单调递减，且，所以，此时符合题意；当，即时，在和单调递增，在单调递减，显然在处取得极小值，此时极小值为，而，所以，要使，则必有，解得，故，综上:的取值范围是.2．设函数(1)讨论的单调性;(2)若为正数，且存在，使得求的取值范围.【答案】(1)当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，在上单调递增.(2)【详解】（1）①当时，，在上单调递增;②当时，，，，，所以在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，在上单调递增;当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）因为，由上问知的最小值为由题意得即令则所以在上单调递增，又所以时，，于是当时，，于是故的取值范围为.3．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)【详解】（1）的定义域为，则，当时，恒成立，故在上单调递增，当时，令，解得，令，解得，故在上单调递增，在上单调递减，综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）由题意得，对任意的，存在，使得，即，由（1）知，时，在上单调递增，在上单调递减；故在处取得极小值，也是最小值，故，即证，令，，则，当时，，当时，，故在上单调递增，在单调递减，故，令，，则，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，也是最小值，且，综上，都在上取得最值，从而，解得，故实数的取值范围为.4．已知，函数，.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：存在唯一的极值点；(3)若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)证明见解析(3)【详解】（1）由题意知，，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）证明：由，，①当时，，则在上单调递增，②当时，设，则，所以，故在上单调递减，又，，所以由零点存在性定理可知，存在唯一，使得，即.所以当时，，即；当时，，即，所以在上单调递增，在上单调递减，综述：在上单调递增，在上单调递减，存在唯一，使得.故存在唯一的极值点.（3）由（2）可知，在上单调递增，在上单调递减，故，因为，所以，由题意知，，即，化简得，，设，，由题存在，使得，所以，.又设，，则，所以在上单调递减，故，当时，，；当时，，，故在上单调递减，在上单调递增，所以，所以.故的取值范围为.5．已知函数．(1)若存在唯一的负整数，使得，求的取值范围；(2)若，当时，，求的取值范围．【答案】(1)(2)．【详解】（1），当时，，当，，故在上单调递减，在上单调递增，令，作出与的大致图象如图所示，因为存在唯一的负整数，使得，则，故，即，解得，故的取值范围为．（2）根据题意，对恒成立，等价于对恒成立，令，则有，令，则，所以在上单调递增，又时，时，，从而存在唯一的，使得，即，可得，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，故，故原不等式恒成立只需，即．构造函数，可得，当时，令，因为，从而可得在时恒成立，又，所以的解集为，又因为，令，易得在定义域内单调递减，所以，所以，故的取值范围为．6．已知函数.(1)求函数的极值；(2)若对任意有解，求的取值范围.【答案】(1)极小值为1，无极大值；(2).【详解】（1），得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以的极小值为，无极大值；（2）对任意即，设，，①当时，单调递增，单调递增，，成立；②当时，令单调递增，单调递增，，成立；③当时，当时，单调递减，单调递减，，不成立.综上，.7．已知函数.(1)当时，存在，使得，求M的最大值；(2)已知m，n是的两个零点，记为的导函数，若，且，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）当时，，则的定义域为，且，当时，，所以在上单调递增，所以在上的最大值为，最小值为，由题意知，故M的最大值为.（2）证明：由题意知，，所以，所以.因为，所以，所以要证，只要证，因为，所以只要证，令，则，即证，令，则，因为，所以，所以在上单调递增，所以，所以，所以.8．已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【详解】（1）由题意知的定义域为，

，当时，，在上单调递减；

当时，令，，故方程有两个不同的实数根，分别为，，且，，

当时，，单调递减，当时，，单调递增.综上可知，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）由可得，即，设，，则，设，，因为，则在上单调递减，且，所以当时，，即，所以在上单调递增，当时，，即，所以在上单调递减，所以的最大值为，所以，即的取值范围为.题型3利用导函数研究函数零点问题Ⅰ：找点能够解决以下几类问题：问题1：结合零点存在定理讨论或证明函数在目标区间的零点情况（常考题型）问题2：以零点个数为限制条件求解参数范围问题到底如何找点呢？方法1：分类讨论、放缩取点（放缩前面已讲述，这里简单阐述一下）技巧如下：第一步：猜猜根及猜零点所在区间第二步：能猜出根则需验证，猜不出则放缩取点注意：①常见猜根为②猜零点所在区间往往利用单调性求最值③若最值不易表示出，则对函数进行放缩，使得函数形式简单步骤如下：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用方法二：参变分离，由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.已知函数有两个零点，的取值范围是_____；解：因为所以．（i）设，则，只有一个零点．（ii）设，则当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．又，，取满足且，则，故存在两个零点．（iii）设，由得或．若，则，故当时，，因此在上单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．若，则，故当时，；当时，．因此在上单调递减，在上单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．综上可得的取值范围为．故答案为：函数有两个零点，则的取值范围是___________.解：由题知，与有两个交点，，由得；由得，在上单调递增，在上单调递减，又，且当时，，函数图象如下所示：所以；故答案为：已知函数．若关于的方程有两个不等实根，求实数的取值范围解：因为，所以的定义域为，，当时，当时所以在内单调递增，在内单调递减，，当时，因为关于的方程有两个不等实根，所以实数的取值范围是．1．已知函数，．(1)若存在零点，求a的取值范围；(2)若，为的零点，且，证明：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【详解】（1）的定义域为，令，即，等价于，设，则（），令，可得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，则的最小值为，，要使得存在零点，则，即，得．（2）由为的零点，得，即，即两式相减得，即.要证当时，，只需证，只需证，，，．令，，只需证，，则在上单调递增，∴，即可得证.2．已知a为常数，函数.(1)当时，求的图象在处切线方程；(2)讨论函数的零点个数；(3)若函数有两个极值点，（），求证.【答案】(1)(2)答案见解析(3)证明见解析【详解】（1）当时，，故，而，故，故的图象在处切线方程为即.（2）的定义域为，的零点等价于的解即的解，令，，故，当时，，故在上为增函数，而，，故在上有且只有一个实数解，即有且只有一个零点，当时，当时，；当时，，故在上为增函数，在上为减函数，故，若即，此时，故无零点，故无零点.若即，此时，故有且只有一个零点，故有且只有一个零点.若即，此时.而，故在有且只有一个零点；又，设，则，故在上为减函数，故，因为，故，而，故在有且只有一个零点；故此时有且只有两个不同的零点即有且只有两个不同的零点.综上，当时，无零点；当或时，有且只有一个零点；当时，有且只有两个不同的零点.（3）的定义域为，而，由题设可得有两个变号零点，设，故在上有两个变号零点，而，若，则在上为增函数，在上至多一个零点，舍；若，当时，；当时，，故在上为增函数，在上为减函数，故，所以即，而，且，故.又，而，故，因为，故，故，要证：，即证，即证：在上恒成立.设，则，故在上为减函数，故即成立.综上，.3．已知是自然对数的底数，常数，函数.(1)求、的单调区间；(2)讨论直线与曲线的公共点的个数；(3)记函数、，若，且，则，求实数的取值范围.【答案】(1)的单调递增区间是，单调递减区间是；的单调递减区间是，单调递增区间是(2)无公共点(3)【详解】（1）函数的定义域为.，，当时，，当时，，的单调递增区间是，单调递减区间是；函数的定义域为，常数，当时，，当时，.的单调递减区间是，单调递增区间是；（2）设，它的定义域为，当时，，即单调递减，当时，，即单调递增，的最小值为，不成立，即方程无实数解，故方程无实数解，直线与曲线无公共点；（3）根据已知，的定义域为，设，由（2）得，且，由，记，则，由得，由（1）知在上单调递减，故，，记，则，由，得，，若，且，则，，，设，则，解得，由得，由得，，设，则，，由是自然对数的底数，得，由（1）知，在上单调递减，在上单调递增；由得，又，存在唯一，使，当时，，当时，，当时，，当时，单调递增，故；当时，单调递减，故；当时，单调递增，故.综上所述，当时，，.实数的取值范围为.4．已知函数．(1)求函数的最小值；(2)若，求函数的零点个数．【答案】(1)2(2)有且只有一个零点【详解】（1）解法一：由题，，所以．记，则，①当时，，可得，故函数在区间上单调递减．②当时，，可知函数单调递增，又，所以当时，；当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．由①②知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，故．解法二：由题，，所以．令，则，令，则，当时，单调递减，当时，单调递增，故，所以，故在定义域上单调递增．易知，故当时，单调递减，当时，单调递增，故．（2）由题意知，定义域为，所以，设，所以，所以在区间上是增函数，因为，所以存在唯一的，使得，即，当时，；当时，；当时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当时，取得极大值，且极大值为．设，则，所以在区间上单调递减．所以，所以在内无零点．因为，所以在内有且只有一个零点．综上所述，有且只有一个零点．5．设函数.(1)若，求函数的单调区间；(2)设函数在上有两个零点，求实数的取值范围.（其中是自然对数的底数）【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为(2)【详解】（1）当时，的定义域为，，令，则，解得，令，则，解得.函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）令，则.令，其中，则.令，解得，令，解得.的单调递减区间为，单调递增区间为，.又，函数在上有两个零点，的取值范围是.6．已知函数.(1)判断的零点个数并说明理由；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)一个零点，理由见解析(2)【详解】（1）.当时，.函数在上单调递增；当时，；当时，.在上有且仅有一个零点；（2），.设.①当时，由，当时，不合题意.②当时，由①在上单调递增.又在上恒成立.设.在上恒成立，在上单调递减.又在上恒成立.，满足题意.综上，的取值范围为.7．已知函数(1)讨论函数在区间上的单调性;(2)证明函数在区间上有且仅有两个零点.【答案】(1)单调递增；(2)证明见解析.【详解】（1）函数，当时，，所以在上的单调递增.（2）由（1）知，，当时，，函数在上单调递增，，，因此函数在上有唯一零点；当时，令，求导得，在上单调递增，，则存在，使得，当时，，函数，即单调递减，当时，，函数，即单调递增，又，，则存在，使得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，而，，因此函数上有唯一零点，所以函数在区间上有且仅有两个零点.8．已知函数．(1)当时，判断的零点个数并说明理由；(2)若存在，使得当时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)两个零点，理由见解析(2)【详解】（1）当时，．，令，则，当时，，函数在上单调递增．由，，使得．当时，单调递减；当时，单调递增．又，有两个零点．（2）存在，使得当时，，即存在，使得当时，．设．（i）当时，设．．在上单调递增，又，在上单调递增．又，在上恒成立．．当时，．取，当时，恒成立．当时满足题意．（ii）当时，因为，，，设，，在上恒成立，在上单调递减．又在上恒成立．故恒成立，不合题意．综上，的取值范围为．题型4利用导函数研究函数切线问题与切线有关的题目是导数部分的重要题型，本题型规律性较强，一般都要用到导数的几何意义，不知切点坐标时要设出坐标，切点既在切线上也在曲线上。现结合实例归纳总结如下：在点处的切线方程计算策略第一步：明确点和斜率第二步：利用点斜式写出方程过点的切线方程计算策略第一步：设切点为，第二步：明确点和斜率第三步：利用点斜式写出方程注意：有几个值，就有几条切线③记一些常考的切线斜率1、过原点的切线斜率为2、过原点的切线斜率为3、过原点的切线斜率为4、过原点的切线斜率为5、过的切线斜率为6、过的切线斜率为7、过的切线斜率为8、过的切线斜率为若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（）解：第一步：分析因为点是曲线任意一点，所以当点处的切线和直线平行时，点到直线的的距离最小，第二步：求切点因为直线的斜率等于，曲线的导数，令，可得或（舍去），所以在曲线与直线平行的切线经过的切点坐标为，第三步：利用平行线间距离公式所以点到直线的最小距离为已知曲线的切线过坐标原点，则此切线的斜率为（）解：第一步：设切点设切点为，第二步：求导求斜率由，得，第三步：利用点斜式求切线方程∴，则曲线在切点处的切线方程为，第四步：将已知点代入切线方程把坐标原点代入，可得，解得，∴所求切线的斜率为.设曲线的一条切线过点，则此切线与坐标轴围成的三角形面积为（）解：第一步：设切点设切点为，第二步：求导求斜率，第三步：利用点斜式求切线方程切线方程为，第四步：将已知点代入切线方程切线过点，∴，∴，，∴切线方程为，故可得切线在轴上的截距为故三角形面积为1．已知函数，．(1)当时，求曲线与的公切线的方程；(2)若有两个极值点和，且，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，，所以，因为，所以，设曲线上的切点为，则切线方程为，设曲线上的切点为，则切线方程为，由两条切线重合得，解得，所以曲线与的公切线的方程为，（2）由题意可知，，所以，因为有两个极值点和，所以有两个零点和，所以，即，令，则，解得，设则，又令，则，所以在上单调递减，所以，所以所以在上单调递减，所以，易知所以，令，则，当时，，所以在上单调递增，又所以，故实数的取值范围为.2．已知，函数的导函数为．(1)当时，求在处的切线方程；(2)求函数的极值点；(3)函数的图象上是否存在一个定点，使得对于定义域内的任意实数，都有成立？证明你的结论．【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)不存在，理由见解析.【详解】（1）当时，，求导得，切线方程为，所以所求切线方程为.（2）函数的定义域为，求导得，令，即，即，①当时，函数在定义域内严格增,无极值点；②当时，当或时，，当时，，函数在和严格增，在严格减，此时极大值点为，极小值点为；③当时，当时，，当时，，函数在严格减，在严格增的，此时函数无极大值点，极小值点为，所以当时，函数无极值点；当时，函数极大值点为，极小值点为；当时，函数极小值点为，无极大值点.（3）假设存在定点满足条件，由得：，又点在曲线上，则，于是，而，于是，因此，变形得，令，则，令函数，求导得，则在单调递增，又，于是只有唯一解，即，又，则，故不存在定点满足条件.3．已如曲线在处的切线与直线垂直.(1)求的值；(2)若恒成立，求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由于的斜率为，所以，又,故，解得，（2）由（1）知，所以，故当时，单调递增，当时，单调递减，故当时，取最小值，要使恒成立，故，解得，故的取值范围为4．已知函数的图象在处的切线经过点.(1)求的值及函数的单调区间；(2)若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围.【答案】(1)，单调递增区间为，，无单调递减区间(2)【详解】（1）因为，所以，又，则，又函数的图象在处的切线经过点，所以，解得，所以，函数的定义域为，又，令，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以当时恒成立，即恒成立，所以在，上单调递增.即的单调递增区间为，，无单调递减区间.（2）因为不等式在区间上恒成立，因为，则，即在区间上恒成立，所以在区间上恒成立，又，所以，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，由（1）可知在上单调递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，令，，则，所以在上单调递减，所以，即区间上恒成立，所以时在区间上恒成立，即对任意关于的不等式在区间上恒成立.5．已知函数，且．(1)证明：曲线在点处的切线方程过坐标原点．(2)讨论函数的单调性．【详解】（1）因为，所以，则，，所以在处的切线方程为:，当时，，故，所以曲线在点处切线的方程过坐标原点.（2）由（1）得，当时，，则，故单调递减；当时，令则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.6．已知函数．(1)求函数在点处的切线方程；(2)若对于任意，都有恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由于，故，切点为，，所以切线的斜率为0，在点处的切线方程为．（2）令，则，所以为R上单调递增函数，因为，所以时，时，，所以在单调递减，在单调递增．若对于任意，都有恒成立，即只需．因为在单调递减，在单调递增，所以的最大值为和中最大的一个，所以，设，当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增．，故当时，．当时，，则成立．当时，由的单调性，得，即，不符合题意．当时，，即，也不符合题意．综上，的取值范围为.7．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线的方程；(2)讨论的极值.【答案】(1)；(2)极大值为，无极小值.【详解】（1）当时，，求导得，则，而，所以的方程为，即.（2）函数的定义域为，求导得，而，则当时，，当时，，因此在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得极大值，无极小值.8．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，若函数有最小值2，求的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，的定义域为，则，则，由于函数在点处切线方程为，即.（2）的定义域为，，当时，令，解得：；令，解得：，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，，即则令，设，令，解得：；令，解得：，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，解得：.题型5利用导函数研究函数的极值点偏移问题极值点偏移的含义众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点.如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同.故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系：若，则称为极值点左偏；若，则称为极值点右偏.如函数的极值点刚好在方程的两根中点的左边，我们称之为极值点左偏.极值点偏移问题的一般题设形式：1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）；2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；3.若函数存在两个零点且，令，求证：；4.若函数中存在且满足，令，求证：.函数有两极值点，且.证明：.解：令，则是函数的两个零点令，得令，则，求导可得可得在区间单调递减，在区间单调递增，故令，则当时，，单调递减，有所以，所以，因为，，在上单调递减，所以，即.已知函数.(1)当时，求证：对于任意，都有成立；(2)若函数恰好在和两处取得极值，求证：.解：（1）当时，，则，∴，∴单调递增，∴，∴单调递增，∴，故对于任意，都有成立；（2）∵函数恰好在和两处取得极值∴是方程的两个实数根，不妨设，∵，当时，恒成立，∴单调递增，至多有一个实数解，不符合题意，当时，的解集为，的解集为，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，由题意，应有，解得，此时，∴存在使得，易知当时，.∴存在使得，∴满足题意，∵，∴，∴，∴，设，∴，设，∴，由（1）可知，恒成立，∴单调递减，∴，即，∴∴．过点作曲线的切线．（1）求切线的方程；（2）若直线与曲线交于不同的两点，求证：．解：（1）先根据导数几何意义求切线斜率，设切点为，则解的，故再根据点斜式求切线方程．（2）本题为极值点平移问题，先根据极值点构造函数：，利用导数研究函数单调性：在单调递增，及最小值大于零，即得不等式，根据等量转换及单调性具体操作：设则，分区间所以在单调递减，在单调递增.因为，不妨设设，，当时，，在单调递增，所以，所以当时，．因为，所以，从而，因为，f(x)在单调递减，所以，即．1．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：．【答案】(1)在上单调递增，上单调递减，(2)见解析【详解】（1）由题意可得，所以，的定义域为，又，由，得，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，（2）由，得，设，，由，得，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，又，，且当趋近于正无穷，趋近于，的图象如下图，所以当时，方程有两个根，证明：不妨设，则，，设，，所以在上单调递增，又，所以，即，又，所以，又，，在上单调递减，所以，故.2．已知函数.(1)若时，恒成立，求实数的取值范围；(2)当实数取第（1）问中的最小值时，若方程有两个不相等的实数根，，请比较，，2这三个数的大小，并说明理由.【答案】(1)；(2).【详解】（1）当时，不等式，令，依题意，恒成立，求导得，当时，，当时，，于是函数在上单调递增，在上单调递减，，所以.（2）由（1）知，，此时函数，令，，则，由方程有两个不相等的实数根，得方程有两个不相等的实数根，，要比较，，2这三个数的大小，只需比较，2，这三个数的大小，即比较这三个数的大小，，当时，，当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，显然，，而，由方程有两个不相等的实数根，不妨设，则，令函数，显然，求导得，函数在上单调递增，于是，即，而，在上单调递减，因此，即有，则，令函数，，求导得，函数在上单调递减，，即，而，在上单调递减，因此，即有，则，有，于是，从而，所以.3．设函数.(1)若，求函数的最值；(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：.【答案】(1)无最小值，最大值为(2)证明见解析【详解】（1）由题意得，则.令，解得；令，解得，在上单调递增，在上单调递减，，无最小值，最大值为.（2），则，又有两个不同的极值点，欲证，即证，原式等价于证明①.由，得，则②.由①②可知原问题等价于求证，即证.令，则，上式等价于求证.令，则，恒成立，在上单调递增，当时，，即，