常数变易法课件

第五章微分方程初步在许多实际问题中，会遇到复杂的运动过程，表达运动规律的函数往往不能直接得到。但是根据问题所给的条件，有时可以得到含有自变量与未知函数及其导数（微分）的关系式。这样的关系式叫做微分方程。微分方程建立后，对它进行研究，即找出未知函数，这就是解微分方程。本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常用的微分方程的解法。1第一节微分方程的基本概念

下面通过几何、物理学、电学的几个具体例题来阐明微分方程的基本概念。§5.1.1基本概念2例1

已知曲线上任一点出的切线斜率等于这边横坐标的两倍，试建立曲线满足的关系式。根据导数的几何意义，我们知道所求曲线应满足关系

3例2.

质量为m的物体只受重力的作用而自由降落，试

建立物体所经过的路程s与时间t的关系。

把物体降落的铅垂线取作s轴，其指向朝下（朝向地心）。设物体在时刻t的位置为s＝s(t)。物体受重力

F=mg的作用而自由下落，物体下落运动的加速度

由牛顿第二定律F=ma，得物体在下落过程中满足的关系式为4凡表示未知函数与未知函数导数以及自变量之间的关系式，叫做微分方程

.微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做(n

阶显式微分方程)微分方程的基本概念一般地,n

阶常微分方程的形式是微分方程的阶.或5例4—满足微分方程的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程—确定通解中任意常数的条件.n阶方程的初始条件(或初值条件):的阶数相同.特解例3通解:特解:微分方程的解

—不含任意常数的解,定解条件

其图形称为积分曲线.6例5.

验证函数是微分方程的解,的特解.解:

这说明是方程的解.是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:故所求特解为故它是方程的通解.并求满足初始条件7第二节一阶微分方程一阶微分方程是含及

的方程。它的一般形式是最简单的一阶微分方程是8§5.2.1解的存在与唯一性定理定理

解的存在与唯一性定理对于微分方程和初值条件如果，在矩形区域内连续，而且对于适合利普希茨条件则初值问题在区间上存在唯一解，其中常数9解分离变量方程可分离变量方程§5.2.2解的存在与唯一性定理10微分方程分离变量是否可分离变量

y

2xy

3x2

5x

y

0

x2

y2)dx

xydy=0

y

1

x

y2

xy2

y

10x

y

如果一个一阶微分方程能写成g(y)dy

f(x)dx

(或写成y

(x)

(y))的形式

那么原方程就称为可分离变量的微分方程

可分离变量的微分方程讨论下列方程那些是可分离变量的微分方程:

是不是不是是是是y

1dy

2xdxdy

(3x2

5x)dxy

(1

x)(1

y2)10

ydy

10xdx————————11可分离变量的微分方程的解法两端积分

方程G(y)

F(x)

C

y

F(x)或x

Y(y)都是方程的通解

其中G(y)

F(x)

C称为隐式(通)解

求显式解

求方程由G(y)

F(x)

C所确定的隐函数

y

F(x)或x

Y(y)

如果一个一阶微分方程能写成g(y)dy

f(x)dx

(或写成y

(x)

(y))的形式

那么原方程就称为可分离变量的微分方程

可分离变量的微分方程分离变量

将方程写成g(y)dy

f(x)dx的形式

12例1.

求微分方程的通解，和满足初值条件的特解.例2.

求方程的通解.可化为分离变量的微分方程作变量代换例5.

求微分方程的通解.13补例1.

求微分方程的通解.解:

分离变量得两边积分得即(C

为任意常数)或说明:

在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0

)14补例2.

解初值问题解:

分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C

为任意常数)故所求特解为152.一阶齐次微分方程形如的方程叫做齐次方程

.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:16原方程可写成

解

分离变量

得

两边积分

得u

ln|u|

C

ln|x|

或写成ln|xu|

u

C

17例2

求解微分方程解微分方程的解为18一阶线性微分方程一般形式:若Q(x)

0,若Q(x)

0,称为非齐次方程

.称为齐次方程

;考察下列方程是否是(或能否化为)线性方程？是非齐次线性方程

y

3x2

5x

是非齐次线性方程

(2)3x2

5x

y

0

(3)y

ycosx

e

sinx

§5.2.3

一阶线性微分方程191.一阶线性齐次微分方程的通解分离变量两边积分得故通解为

2.一阶线性非齐次微分方程的通解（1）定理一阶线性非齐次微分方程的通解，等于它的任意一个特解加上与其相应的一阶线性齐次微分方程的通解.20对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解（2）常数变易法则故原方程的通解即即作变换两端积分得21例1.

解方程

解:

方法一先解即积分得即用常数变易法求特解.令则代入非齐次方程得解得故原方程通解为22

方法二(公式法)

由通解公式得例2.

解方程

23解:

可化为关于

x

的一阶线性方程例3.