一元二次方程的根与系数的关系第1课时课件沪科版八年级数学下册

17.4一元二次方程的根与系数的关系第1课时第十七章一元二次方程学习导航学习目标新课导入自主学习合作探究当堂检测课堂总结一、学习目标1.熟知一元二次方程的根与系数的关系,并能证明这一结论2.会运用根与系数的关系解决有关问题二次方程（重点）二、新课导入快速填写：(1)x2+3x-4=0,x1=

,x2=

,x1+x2=

,x1x2=

;(2)x2-5x+6=0,x1=

,x2=

,x1+x2=

,x1x2=

;(3)x2-2x-8=0,x1=

,x2=

,x1+x2=

,x1x2=

.

-4123-24-35-42-86观察x1+x2、x1x2与方程系数有什么关系？三、自主学习将上述数据整理成如下表格：一元二次方程两根x1+x2x1x2x1x2x2+3x-4=0-41-3-4x2-5x+6=02356x2-2x-8=0-242-81.观察x1+x2的值与方程系数，有什么发现？形如方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2=-p2.观察x1x2的值与方程系数，有什么发现？形如方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1x2=q三、自主学习证一证：方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1x2=q.证：若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0去括号，得x2-x1x-x2x+x1x2=0即x2-(x1+x2)x+x1x2=0又方程为x2+px+q=0故x1+x2=-p,x1x2=q猜一猜：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、x2，那么x1+x2与x1x2与系数有什么关系呢？解：将方程两边同时除以a,得故x1+x2=,x1x2=韦达定理：如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、x2，那么x1+x2=,三、自主学习x1x2=问题提出：关于x的方程(a-1)x2+2ax=1-a，下列说法是否正确.①一定是一个一元二次方程；②a=-1时，方程的两根x1和x2满足x1+x2=-1;③a=3时，方程的两根x1和x2满足x1x2=1;④a=1时，方程无实数根.四、合作探究探究一：不解方程,求方程的两根之和与两根之积问题探索：考虑该方程是一元一次方程还是一元二次方程:(1)是一元一次方程，则二次项系数

为0，此时a=

；(2)是一元二次方程，则a-1

,即a

，根与系数的关系的前提是方程Δ

0，此时x1+x2=

，x1x2=

.1a-1≠0≠1≥1(a-1)x2+2ax=1-a

a=1,a=-1,a=3四、合作探究探究一：不解方程,求方程的两根之和与两根之积问题解决：a=1时，方程为2x=0,是一元一次方程，解为0，故①和④错误；a=-1时，方程为-2x2-2x=2,即x2+x+1=0,此时Δ=b2-4ac=12-4×1×1=-3<0，方程无实数根，即不存在x1和x2,故②错误；a=3时，方程为2x2+6x=-2，即x2+3x+1=0，此时Δ=b2-4ac=32-4×1×1=5>0，所以方程存在两根，x1x2=1,故③正确.注意事项：1.将一元二次方程转化为一般形式；2.验证Δ≥0，以确保方程确实有两个根.练一练1.方程x2+2x-4=0有两根x1和x2，则x1+x2的值为（）A.2B.-2C.4D.-4B四、合作探究探究二：根据方程根与系数的关系求未知系数的值

已知关于x的方程x2+2(a-1)x+a2-7a-4=0问题提出1：当方程有两个不等根时，求a的取值范围；四、合作探究问题探索：方程有两个不等根表明方程Δ

0>问题解决：a=1,b=2(a-1),c=a2-7a-4∴Δ=b2-4ac=[2(a-1)]2-4(a2-7a-4)=20a+20依题有：Δ>0，即20a+20>0解得a>-1已知关于x的方程x2+2(a-1)x+a2-7a-4=0问题提出2：方程两根为x1,x2,且满足x1x2-3x1-3x2-2=0.求a的值.四、合作探究问题探索：方程形如x2+px+q=0,则两根之和为

，两根之积为

，则题目中的x1+x2=

，x1x2=

.-p问题解决：x1x2-3x1-3x2-2=0可写成：x1x2-3(x1+x2)-2=0即a2-7a-4-3(2-2a)-2=0a2-a-12=0因式分解，得(a+3)(a-4)=0有a+3=0或a-4=0解得a=-3或a=4根据问题1可知：a>-1∴a=4q2-2aa2-7a-4十字相乘法求解探究二：根据方程根与系数的关系求未知系数的值

2.已知关于x的方程x2+(m2-4)x-1=0的两个根互为相反数，则m=（）A.2或-2B.-2C.2D.4练一练A四、合作探究五、当堂检测1.一元二次方程x2-3x+1＝0的两个根为x1,x2，则x1+x2+x1x2-2的值是()A.1B.2C.3D.4B2.(1)已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2和1，则p=

,q=

.(2)如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m=____.1-2-33.关于x的一元二次方程：x2-6x+p2-2p+5=0的一个根为2.(1)求方程的另一个根;解：(1)设另一个根为a根据根与系数的关系可知：2+a=6解得：a=4(2)由(1)可知：2、4是方程的根根据根与系数的关系可知：2×4=p2-2p+3即p2-2p-3=0因式分解，得(p-3)(p+1)=0有p-3=0或p+1=0解得p=3或