二次函数与一元二次方程第2课时利用二次函数求方程的近似根课件北师大版数学九年级下册

2.5.2利用二次函数求方程的近似根

九年级下

北师版学习目标难点重点1.经历探索二次函数与一元二次不等式关系的过程，体会不等式与函数之间的联系.2.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.二次函数y=ax2+bx+c和一元二次方程ax2+bx+c=0有什么关系？新课引入二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数一元二次方程ax2+bx+c=0的根△=b2-4ac有两个交点有两个不相等的实数根△=b2-4ac>0有两个重合的交点（或有一个交点）有两个相等的实数根△=b2-4ac

=0没有交点没有实数根△=b2-4ac<01.若方程的根为和，则二次函数的图象与x轴交点坐标是

.2.二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解为

.(-2，0)，(3，0)一

利用二次函数求一元二次方程的近似解你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗?分析：由图象可知，方程x2+2x-10=0有_____根，一个根在____和____之间，另一个根在____和____（填两个整数）.两个－5－423新知学习（1）先求－5和－4之间的根.xy－4.1－1.39－4.2－0.76－4.3－0.11－4.40.56y对应的值由负变为正因此，x=－4.3是方程的一个近似根.y值更接近0（2）另一个根可以类似地求出:xy2.12.22.32.4－1.39－0.76－0.110.56因此，x=2.3是方程的另一个近似根.归纳利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根1.用描点法作二次函数的图象；2.观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标；由图象可知，图象与x轴有两个交点,其横坐标的取值范围，通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围（可将单位长再十等分，借助计算器确定其近似值）；3.确定方程的解；由此可知，使二次函数的函数值更接近0的数，即为方程的近似解.利用二次函数的图象求一元二次方程

的近似根.由图象可知方程有两根，一个在－5和－4之间，另一个在2和3之间.xy－4.91.21－4.80.44－4.7－0.31近似根：－4.72.92.82.7近似根：2.7做一做你还能利用二次函数

的图象求一元二次方程的近似根吗？

和直线

交点和横坐标就是方程

的根做一做x1≈2.7，x2≈-4.7你还能利用其他方法二次函数

的图象求一元二次方程

的近似根吗？做一做x1≈2.7，x2≈-4.7x2+2x-10=3即x2+2x=7画出y1=x2+2x,y2=3的图象，交点的横坐标为解利用二次函数求一元二次方程的近似根的一般方法：直接作出二次函数y=ax2+bx+c的图象；图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.先将一元二次方程变形为ax2+bx=－c，再在同一直角坐标系中画出抛物线y=ax2+bx

和直线y=－c；两图象的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根.方法一：方法二：归纳例1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(

)A．x1≈－2.1，x2≈0.1B．x1≈－2.5，x2≈0.5C．x1≈－2.9，x2≈0.9D．x1≈－3，x2≈1B例2.利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(结果保留小数点后一位).解：画出函数y=x²-2x-2的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间，另一个在2与3之间.

先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.8或-0.7，利用计算器进行探索，见下表：x…-0.8-0.7…y…0.24-0.11…观察上表可以发现，当x分别取-0.8和-0.7时，对应的y由负变正，可见在-0.8与-0.7之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-2的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.8或x=-0.7都符合要求.但当x=-0.7时更为接近0.故x1≈-0.7.同理可得另一近似值为x2≈2.7.方法总结

解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．四

利用二次函数求一元二次不等式的近似解

函数

y=ax2+bx+c的图象如图，那么方程

ax2+bx+c=0的根是

___________;不等式

ax2+bx+c>0的解集是_____________;不等式

ax2+bx+c<0的解集是___________.3-1Oxyx1=-1，x2=3x<-1或

x>3-1<x<3思考1函数

y=ax2+bx+c的图象如图，那么方程

ax2+bx+c=2的根是______________;不等式

ax2+bx+c>2的解集是___________;不等式

ax2+bx+c<2的解集是_________.

3-1Ox2(4,2)(-2,2)x1=-2，x2=4x<-2或

x>4-2<x<4y思考2如果不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集是x≠1的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有____个交点，坐标是______.方程ax2+bx+c=0的根是______.1(1,0)x=1思考3Ox如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根，那么函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有______个交点；不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？0解：(1)当

a>0时,ax2+bx+c<0无解；(2)当

a＜0时,ax2+bx+c<0的解集是一切实数.思考4Ox二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交点图象不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集

有两个交点x1,x2(x1＜x2)有一个交点x0没有交点二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与一元二次不等式的关系x＜x1或

x>x2.x1＜x＜x2.x0之外的所有实数无解所有实数无解归纳x2x1xyOx0xyOxyO二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴交点图象不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集不等式ax2+bx+c<0(a<0)的解集

有两个交点x1,x2(x1＜x2)有一个交点x0没有交点x＜x1或

x>x2.x1＜x＜x2.x0之外的所有实数无解所有实数无解x2x1xyOx0xyOxyO随堂练习1.根据下表判断方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的取值范围是_______________x0.40.50.60.7ax²+bx+c-0.64-0.250.160.590.5＜x＜0.62.小颖用计算器探索方程

ax2+bx+c=0

的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根

x=-3.4，则方程的另一个近似根（精确到

0.1）为（）A．4.4

B．3.4 C．2.4

D．1.4D3.若函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b

的取值范围是()AA.b<1且

b≠0 B.b>1C.0<b<1D.b<1与坐标轴有三个交点与x轴有两个交点与y轴有一个交点4.已知二次函数y=x²-6x+8的图象，利用图象回答问题：(1)方程x²-6x+8=0的解是什么？(2)x取什么值时，y>0

？(3)x取什么值时，y<0

？xyO248解：(1)x1=2,x2=4;(2)x<2或x>4;(3)2<x<4.5.二次函数y=x2＋bx+c的图象经过点A（1，0），B（0，3），点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数y=mx＋n的图象经过A，C两点.（1）求二次函数与一次函数的解析式；解：(1)∵二次函数y=x2＋bx+c的图象经过点A(1，0)，B(0，3)，∴y=x2-4x+3=(x-2)2-1,∴二次函数的对称轴为直线x=2，∵B(0，3)，点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，∴点C(4，3)，设一次函数y=mx+n的图象经过A，C两点，∴一次函数y=x-1，即二次函数的解析式