刚体的转动课件

§5–4绕定轴转动的刚体的角动量和角动量守恒定律§5–1刚体的平动、转动和定轴转动§5–2力矩转动定律转动惯量§5–3转动的动能力矩的功1.理解描述刚体定轴转动的基本物理量的定义和性质；2.理解力矩、转动动能和转动惯量的物理意义；3.掌握定轴转动的转动定律和角动量定理；4.掌握定轴转动的角动量守恒定律和机械能守恒定律。教学基本要求§5–1刚体的平动、转动和定轴转动一、刚体前面几章，研究对象抽象为质点，本章考虑物体有形状和大小；为简单，不计入物体形变。定义在外力作用下形状和大小都不变化的物体称为刚体刚体是一种理想模型。刚体是在任何外力作用下任意两点间均不发生位移，形状大小均不发生改变的物体。二、刚体的平动和转动平动如果刚体运动时，它里面任一直线的方位始终保持不变，则其运动称为平动。水平飞行看成质点刚体作平动，其上所有点的速度、加速度相等，运动轨迹都相同，整个刚体可当作质点来处理，满足牛顿定律。转动刚体运动时，如果刚体中所有质点都绕着一直线作圆周运动，则这刚体的运动称为转动，这条直线称为转轴。转轴固定的转动叫定轴转动。转轴地球仪转动一般情况下，刚体十分复杂，同时存在平动和转动；可以证明，刚体的一般运动可以当作由一平动和一绕瞬时轴的转动组合而成。平动和转动（转轴位置变）跳水运动员三、定轴转动轴PQ轴转轴固定的刚体转动叫定轴转动。如图，定轴转动特点刚体中任一点都在垂直于轴的平面内作半径不同的圆周运动；在同一时间间隔内，各质点的角位移相等；同一时刻，各质点的角速度和角加速度。因此，用

、

和

作为描写刚体绕定轴转动的物理量，称为刚体的角位移、角速度和角加速度。刚体中各质点的速度和加速度，因其位置和到转轴的距离不同而不同。如图，对质点P，有P轴对一定的质点r为常量例题5–1§5

2力矩转动定理 转动惯量一、力对转轴的力矩力可以使刚体转动，经验表明其效果不仅取决于力的大小而且还与力的方向和作用点的位置有关。下面将证明，力使刚体转动决定于力对转轴的力矩大小，如图所示。哪个力容易将门关好？转轴如图，对于力在垂直于转轴的平面的情况，力对转轴的力矩定义为其中d是力的作用线与转轴的距离，称为力臂，等于显然，如果力的作用线通过转轴，力臂为零，力对转轴的力矩等于零。转轴对于的作用线不在垂直于转轴的平面内，可将分解为二个分力和，在垂直于转轴的平面内，与转轴平行，这样对转轴的力矩为一般规定如力矩使刚体沿反时针方向转动，力矩为正；如力矩使刚体沿顺时针方向转动，力矩为负；这样，几个力作用在刚体上，刚体所受的合力矩等于各个力对转轴的力矩的代数和式中按一定的规定（如上面的约定）有正负之分。问题：与转轴垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩；(为什么?)与转轴平行的力对转轴不产生力矩；(为什么?)刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。(为什么?)二、转动定理静止刚体在力的作用下，如果力矩不等于零，将转动，角加速度与力矩的有什么关系？将刚体划分成很多质点，每个质点随刚体绕轴作半径不同的圆周运动，通过考察质点的运动（牛顿定律）来找出刚体角加速度与力矩的关系。如图，研究质点，受力为外力内力之和

质点对质点的作用。如图，考虑质点切线方向运动有上式对所有质点求和，得两边乘以外力合力矩可提出求和号外可以证明内力产生的力矩和等于零，即（内力成对出现）ij外力合力矩对一定的转轴，量为恒量，称为刚体对该转轴的转动惯量，用J表示归纳有或转轴即刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比，这一关系称为转动定律。转动定律是研究刚体绕定轴转动的基本定律；知道了刚体的角加速度，各质点的运动情况也就知道了。三、转动惯量转动惯量与物体的惯性物理意义一致，转动惯量大，欲改变其转动状态越困难；反之，转动状态容易改变。根据转动惯量的定义刚体的转动惯量取决于转轴刚体的总质量;刚体的质量分布;转轴的位置.转轴转轴转轴三个刚体，质量相等，因转轴位置或质量分布不同，转动惯量不相等；例如图刚体的转动惯量可用实验测量，某些情况也可理论计算。质量离散分布的物体:转轴转动惯量的计算例如图可视为质点质量连续分布的物体（记住：棒、圆盘和圆柱体的I）线积分面积分体积分例题5-2例题5-3例题5-4例题

求质量为m，长为l的均匀细棒对下面转轴的转动惯量：1)转轴通过棒的中心并和棒垂直；2)转轴通过棒的一端并和棒垂直。有将代入上式，得：（2）当转轴通过棒的一端A并与棒垂直时X’O’解：1)在棒上离轴x处，取一长度元dx（如图所示），如果棒的质量线密度为

，则长度元的质量为dm=

dx，根据转动惯量计算公式：例题

求质量为m、半径为R、厚为h的均质圆盘对通过盘心并与盘面垂直的轴的转动惯量。其中：dm为薄圆环的质量。以

表示圆盘的质量体密度，则有代入得解：如图所示，将圆盘看成许多薄圆环组成。取任一半径为r，宽度为dr的薄圆环，此薄圆环的转动惯量为转动定律的应用基本步骤隔离法选择研究对象；受力分析和运动情况分析；对质点用牛顿定理，对刚体用转动定理；建立角量与线量的关系，求解方程；结果分析及讨论。例题

一个质量为M，半径为R的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳。绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m由静止下落h高度时的速度和此时滑轮的角速度(定滑轮的转动惯量）。解：(1)研究对象：滑轮和物体m;TTmgoMmx(2)受力分析如图：滑轮：T、Mg、和轴的支持力，只有T产生力矩（why?)，顺时针转动；物体：mg和T，向下运动对物体m：①②③（3）对滑轮：（4）以上三式联立，可得物体下落的加速度和速度：这时滑轮转动的角速度为滑轮和物体的运动学关系为:例题:质量M=1.1kg，半径=0.6m的匀质圆盘，可绕通过其中心且垂直于盘面的水平光滑固定轴转动。圆盘边缘绕有轻的柔绳，下端挂一质量m=1.0kg的物体，如图所示，起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率V0=0.6m/s上升，如撤去所加的恒力矩，问经历多少时间圆盘开始作反向转动（）。解：（1）研究对象：物体和圆盘；（2）受力分析如图，设逆时针方向为转动的正向，角加速度为，物体向下的加速度为a。mgTT(3)列方程：（4）解上面的方程组：（5）圆盘作匀加速转动，故有：其中，代如数据，令=0可求得反转时间。请同学求出反转所需时间！！§5-4转动动能力矩的功一、转动动能运动的物体有动能，转动的刚体同样有动能。例如风车发电，水轮机等。一各以角速度转动，转动惯量为的刚体，动能等于多少？转轴刚体中各质点的动能之和即为刚体的转动动能。因此，将刚体分割成很多质点，写出每个质点的动能，相加得刚体得动能。如图，质点的动能为所有质点动能相加，刚体转动动能等于转动惯量所以，刚体的转动动能为

对比质点平动动能转轴二、力矩的功2.WorkdonebytorqueKinetictheoremofrotation(1)

Workdonebytorque

Whenatorqueactsonarigidbody,therigidbodystartstorotatewithanangularaccelerationsothatitstorethekineticenergy.Thisfactshowsthatthetorquehavedoneworkontherigidbody.

Inthefollowing,forsimplicity,weconsideronlyaforceappliedatpointPofarigidbodyrotatingaboutafixedaxisthroughoasshowninFigure.axisInFig.5-14,supposethattherigidbodyactedbyaforceFrotatesthroughaelementangulardisplacement,theworkdonebytheforceisThetotalworkdoneduringafiniteangulardisplacement,isthen(5-18)InthespecialcaseofMisaconstant

(5-19)Fig.5-14axisInstantaneouslypower(5-20)(2)Kineticenergytheoremofrotation

转动动能定理RewritetheelementworkFig.5-14axisWhentheangularspeedchangesfromto,theworkdonebythetorqueis(5-21)Equation(5-21)indicatesthattheworkdonebytorqueequalstotheincrementofkineticenergyofrotation.Thisiskinetictheoremofrotation.末动能初动能3.potentialenergyofweight刚体的重力势能设势能零点在x-axis,

hc为质心到势能零点的距离.y

miChihCoxM如刚体在重力矩作用下转动，计入刚体的重力势能后，如满足守恒条件，即其它力矩作功为零或无其它力矩，机械能守恒定律：Example5-7质量为m、长为L的均质细杆可绕水平光滑轴O在竖直平面内转动。若使杆从水平位置开始由静止释放，试求杆转至铅垂位置时的角速度。

mg解：可利用动能定理来求解。当杆的位置由

转到

+d

时，重力矩所做元功为：两边积分得：（事实上，这就是机械能量守恒）由定轴转动动能定理有：Example5-8:一长为L,质量为m的匀质细杆竖直放置,其下端与一固定铰链o相连,并可绕其转动.当其受到微小扰动时,细杆将在重力的作用下由静止开始绕铰链o转动.试计算细杆转到与铅直线呈角时的角加速度和角速度.解:受力分析如图取任一状态,由转动定律

mg（2）利用机械能守恒求角速度：取o点的重力势能为零，则

mg§5-5AngularMomentum（角动量）ofaRigidbodyConservationofAngularmomentum角动量守恒定律

1.AngularMomentumofaRigidbody

Asshowninthefigure,theangularmomentumoftherigidbodyaboutthefixedaxiswithanangularspeedisdefinedasNote:basedontheconceptofangularmomentumofaparticlewithrespecttoafixedpointwelearnedin§4-4,arigidbodyistreatedasacollectionofparticlestoleadto(seethetext)(5-22)刚体对定轴的角动量轴

对刚体：

areaboutthesameaxis.Thisimpliesthatmaybenegativeorpositivedependingonthechoiceofdirectionofrotation:Counterclockwise：positiveClockwise：negativeTaketimederivativeofequation(5-22),wehaveHence:(5-23)转动定理的另一种形式Itmeansthatthenettorqueactingonarigidbodyequalsthetimerateofchangeofthebody’sangularmomentum.2.ConservationofAngularmomentum角动量守恒定律Ifnoexternaltorqueactsonthebodyorthesystem,thatisWehave:角动量守恒定理Forasystem:(hereirepresentsithrigidbody)whichmeansthatifnoexternaltorqueactingonarigidbodyorasystem,theangularmomentumwillremainsconstant.如果系统不受外力矩的作用，系统的角动量将保持不变。(5-24)动画-1动画-2Examples①thespinoftheearth;②theexampleinFig.5-16;③theexampleinFig