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第二章分离变量法分离变量法是解偏微分方程定解问题最常用、最基本的方法。分离变量法的物理背景是波动现象,由于一维波动可用波函数表示,它的结构特点是时间函数和位置函数的乘积形式。波动方程的解是否具有变量分离形式的解(时、空分离)。分离变量法的基本思想是:利用变量分离形式的解,将求解偏微分方程的定解问题化为求解常微分方程的问题。分离变量法的核心是变量分离,因此,此方法要求方程和边界条件都是齐次的。另外:使用分离变量法要根据求解域的形状,选择适当坐标系。§2.1分离变量先考察齐次方程的分离变量。任何二阶线性常系数齐次方程(含两个自变量)总可以化为标准形式且知A=-B双曲型A=0或B=0抛物型A=B椭圆形设(2.1.1)解的形式为:代入方程(2.1.1)两端同除以X(x)Y(y),得可以看出,方程中变量已被分离。左边仅是x的函数,右边仅是y的函数,因此,要相等必为常数,记为,从而得到两个常微分方程:可见齐次偏微分方程经变量分离可化为两个常微分方程。任何二阶线性常系数齐次方程(含两个变量)都可以分离变量。
再考察齐次边界条件的变量分离,对于一维空间内,常见的齐次边界条件为
其中表示边界点a或b。假设解为若给定边界条件为由于有
欲求非零解u,只需,得X(x
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