期中期末复习之全等三角形-中考数学复习（苏科版）（解析版）

专题7.1全等三角形十六大必考点

【苏科版】

【考点I全等图形的识别】.....................................................................1

【考点2全等三角形性质的运用】..............................................................3

【考点3一次证明全等】.......................................................................6

【考点4两次证明全等1..........................................................................................................11

【考点5利用全等图形求网格中的角度和】.....................................................18

【考点6将已知图形分割成几个全等的图形】...................................................21

【考点7添加条件使三角形全等】.............................................................24

【考点8灵活选用判定方法证明全等】.........................................................28

【考点9尺规作图与全等的综合运用】.........................................................33

【考点10证明全等的常见辅助线的作法】.......................................................36

【考点11证一条线段等于两条线段的和（差）】.................................................44

【考点12全等中的倍长中线模型】.............................................................56

【考点13全等中的旋转模型】..................................................................66

【考点14全等中的垂线模型1....................................................................................................73

【考点15全等中的其他模型】..................................................................81

【考点16全等三角形的动点问题】.............................................................87

【考点13尺规作图作角平分线】...............................................................93

【考点14角平分线的判定与性质的综合求值】...................................................96

【考点15角平分线的判定与性质的综合证明】..................................................102

【考点16角平分线的实际应用】..............................................................Ill

AWf二

【考点1全等图形的识别】

【例1】（2022•全国•八年级单元测试）下列图形：①两个正方形；②底边相等的两个等腰三角形；③每

边都是2cm的两个三角形；④半径都是1.5Cm的两个圆.其中是一对全等图形的有（）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

【答案】B

【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合各项说法作出判断即可.

【详解】解：①两个正方形，但不一定全等，

②底边相等的两个等腰三角形，但不一定全等，

③每边都是2cm的两个三角形，是两个全等的等边三角形，

④半径都是1.5cm的两个圆是全等形，

其中是一对全等图形的有2个，

故选B

【点睛】本题考查了全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形，熟练掌握基本图形的性质是解

题关键.

【变式1-1]（2022•陕西•西安市东元中学七年级阶段练习）下列四组图形中，是全等图形的一组是（）

【答案】C

【分析】认真观察图形，可以看出选项中只有C中的两个可以旋转后重合，其它三个大小或形状不一致.

【详解】解：由全等形的概念可知；A、B中的两个图形大小不同，D中的形状不同，C则完全相同

故选：C.

【点睛】本题考查的是全等形的识别，做题时要注意运用定义，注意观察题中图形，属于较容易的基础题.

【变式1-2]（2022•全国•八年级专题练习）如图，有四张小画片，画的都是用七巧板拼成的人物图形，与

另外三张与众不同的是（）

【分析】分析题目信息，要得到与另外三张不同的卡片，即依据全等图形的概念及旋转变换进行判断.

【详解】解：可知将选项A中的图形顺时针旋转180。，即可与选项B中的图形重合，

将选项B中的图形顺时针旋转90。，即可得到选项D中的图形，

故A、B、D中的三个图形全等，

分析C中图片人物，结合四个图片可以看出C选项中图形与其他三个不同.

故选：C.

【点睛】本题考查了图形全等及变换，常见的图形变换包括平移、旋转、对称等几种情况，掌握图形全等

的概念是解本题的关键.

A.a,b,c,dB.α与bC.b,c,dD.α与C

【答案】D

【分析】根据全等图形的概念求解即可.

【详解】解：由图可知，α与C是全等图形,

故选：D.

【点睛】本题考查了全等图形的识别，熟知能够完全重合的图形叫全等图形是解题的关键.

【考点2全等三角形性质的运用】

【例2】（2022•山东•峰城区吴林街道中学七年级阶段练习）如图，^ABC^AEF,则对于结论：（T）AC=AF;

②W%8=0E48;③EF=BC；④0E45=W%C,其中正确结论的个数是（）

C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据全等三角形的性质即可进行判断.

【详解】豳JBCEEWM,

SAC=AF,EF=BC,

故①③正确；

WEAF=^BAC,

^EAF-WAF=WAC-^BAF,

AB=^FAC,

故④正确;

SIaI8=S)E∕8不一定相等，故②不符合题意：

综上：正确的有3个，

故选：C.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等，对应角相等是解题的关键.

【变式2-1](2022•广东湛江•八年级期中)如图，WIB(^ADE,BC的延长线交加于点F,交QE于点G,

ELOG8=66°,0£=105°,肛4C=16°,则回8的度数为()

A.24oB.25oC.30oD.35°

【答案】B

【分析】根据全等三角形对应角相等可得mCB=0£,0S=0Z),再求出然后根据三角形的内角和定

理列式计算即可得解.

【详解】解：^AB(^ADE,EIE=Io5°,

0EL4C5=0£=1O5°,0β=HD,

EEwCE=180°-105°=75°,

在A4b和AOG/中，EWFC=QFG,

B0Z)+0Z)G5=^DAC+EL4CF,即0Z)+66°=16°+75°,

的9=25°,

EB8=25°,

故选：B.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键.

【变式2-2](2022•广东•深圳市宝安中学(集团)实验学校七年级期中)如图所示，已知△?!BE三ACCF,

且B,F,E,C在同一条直线上.

⑴求证:AB∖∖CD.

(2)若BC=IO,EF=7,求BE的长度.

【答案】⑴见解析

(2)BE=8.5

【分析】（1）根据全等三角形的性质得48=ZC,根据平行线的判定即可得力BiICD；

（2）根据全等三角形的性质得BE=CF,根据线段之间的的关系得CE=BF,可求出CE的长，即可得.

（1）

证明：0Δ½BE≤∆DCF,

⑦匕B=乙C,

^AB∖∖CD.

（2）

W：^ABE≡ΔDCF9

团BE=CF,

团BE—EF=CF—EF9

ME=BF,

团BC=10,EF=7,

EICE=BF=TX（Io-7）=1.5,

ME=BC-CE=10-1.5=8.5.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，解题的关键是掌握这些知识点.

【变式2-3］（2022•全国•八年级课时练习）如图，D、A、E三点在同一条直线上，BD皿）E于点、D,CE^DE

于点E,且SBCAC=4.

S

⑴求回员4C的度数；

(2)求EL48C的面积.

【答案】(1)90。

(2)8

【分析】(1)根据垂直的定义得到00=90。，求得0DA4+054)=9CΓ,根据全等三角形的性质得到SOA4=I3C4E,

等量代换即可得到结论；

(2)根据全等三角形的性质得4C=AB=4,再根据三角形的面积求出答案.

(1)

解：^BD^DE,

EB£>=90°,

IW彻+血。=90。，

mABD^∖CAE,

EELo8/=团。E

E08∕C+ElC∕E=90°,

EEL£40=90°；

(2)

解：EEL48Q00C4E,

EL4C=42=4,

X00βJC=9O°

国J8C是直角三角形，

0EW5C的面积=4χ4÷2=8.

【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形的面积公式，证得西BC是直角三角形是解决本题的关键.

【考点3一次证明全等】

【例3】(2022・广东•儒林中学八年级阶段练习)如图，点8、C、E、F在同一直线上，点力、。在BC的异侧,

AB=CD1BF=CE,LB=zC.若+4。=144。，求4。的度数.

【答案】72。

【分析】由8尸=CE可得BE=CR然后利用S/S可得的8£盟DeR即EW=HZ),最后代入乙4+ND=144。

计算即可.

【详解】解：@BF=CE,

岫F+EF=CE+EF,即BE=CF,

在EL48E与此。尸中，

ZB=CD

乙B=ZC

♦BE=CF

^ABE^DCF(.SAS'),

团0J=团。，

团乙A+ZD=144°

0ZD=72°.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据题意证得S48E0aDb是解答本题的根据.

【变式3-1](2022•重庆市第H^一中学校七年级阶段练习)如图，在AABC中，∆ACB=90o,AC=BC,

延长N8至点。，连接CQ,以8为直角边作等腰直角三角形ACDE,Z.DCE=90°,连接BE.试说明：

(I)AD=BE；

(2)BE1AD.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

【分析】(1)根据等腰直角三角形CDE得出CD=CE,0DCE=9Oo,结合SWC8=90。可证a4CE>=0BCE,然后

根据"SAS”证明EL4Q)E08CE即可得出AD=BE:

(2)由(1)知2L4CZ≡15CE,则助DC=!≡8EC,⅛0DCE=9Oouʃ^CEB+BBED+3CDE=90°,从而求得EL4OC

+鲂EC+EICOE=90°,即可得证.

(1)

证明：画CZ)E是等腰直角三角形，

SCD=CE,回OCE=90°,

又EL4CB=90°,

mDCE=^ACB,

BSACD=^BCE,

在EWS和EI8CE中，

,AC=BC

Z.ACD=乙BCE，

CD=CE

^ACDmBCE9

^AD≈BE;

(2)

证明：WACDWBCE,

^∖ADC=^BEC,

回)CE=90°,

00C££)+0C£)£=9OO,

^CEB+^BED^CDE=90o,

^ADC+骷£7)+团CD£>90°,

o

mDBE=9Qf

WE^AD.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等，通过"SAS"

证明BWCfHWCE是解题的关键.

【变式3-2](2022•江苏省兴化市大垛中心校七年级期末)如图，AC1BC,DC1EC,AC=BC,DC=EC.

D

(1)求证：XBCD三AACE.

(2)图中ZE、BD有怎样的关系？试证明你的结论.

【答案】⑴证明见解析

(2)AE=BD,AE1BD,理由见解析

【分析】(1)根据4C∙LBC,QCIEC并结合图形可推出ZBCD=N4CE,再根据AC=BC,DC=EC,结

论即可得证；

(2)如图，设BD交AC于点N,交AE于点0,由(1)的结论可推出NB=BD=AE,由NBNC=NAND,

NB+NBNC=90。，可得出乙4+乙4ND=90。，可得乙4ON=90。，由此即可解决问题.

(1)

证明：EL4C1BC,DCA.EC,

^∆ACB=Z.DCE=90°,

^∆ACB+Z.ACD=乙DCE+∆ACD,

回乙

BCD=∆ACEf

在ABCD和AACE中，

BC=AC

Z-BCD=∆ACE,

DC=EC

田ABCD≤Δ/ICF(SAS).

(2)

解：结论：AE=BD1/ElBD.理由如下：

如图，设BD交ZC于点N,交4E于点。，

l2]∆BCD三ΔACE,

团N8=ZJ4,BD=AE,

团乙BNC=乙AND,Z-B+∆BNC=90°,

团乙4+Z-AND=zβ÷乙BNC=90°,

团乙AON=180o-(∆A+乙AND)=90°,

国BD1AE.

D

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的两锐角互余，三角形的内角和定理，垂直的定

义.解题的关键是正确寻找判定三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题.

【变式3-3](2022•山东•新泰市羊流镇初级中学七年级阶段练习)如图，已知点。、E是aiδC内两点，且

AE=SCAD,5W8C=a4C8,AB=AC,AD=AE.

(1)求证：^ABD^ACE∙,

(2)延长50、CE交于点、F,若EI8/C=86。，EL480=20。，求05FC的度数.

【答案】⑴见解析

(2)回8尸C=I26。

【分析】(1)Æ∖∖∖^BAE-^DAE=^CAD-'BiDAE^.^^BAD^CAE,再根据全等三角形的判定定理"SAS"证明

EL480βEWCE;

(2)由aδ∕C=86°求得0J8C+a4C8=94)再由全等三角形的对应角相等求得a48Z)=a4CE=20°,则

0F8C+瓯C8=54。，再由0βFC=18C∣J(MBC+回RrB)求得回8尸。的度数.

(1)

证明：AE=^CAD,

EBBNE-^∖DAE=^CAD-^DAE,

mBAD=^CAE,

在EL48。和HJCE中，

-AB=AC

/.BAD=∆CAE，

,AD=AE

EEW8ZBEL4CE(SAS).

(2)

解：Iaaa4C=86°,

EEW8C+a4C8=180°-0β∕lC=18Oo-86°=94°,

QBABD^lACE

EEL48D=0∕4CE=2O°,

O0FβC+(3FC5=(SABC+SACB)-^ABD-GWCE=94°-20°-20°=54°,

EBBFC=180°-(0Λ5C+0FC8)=180°-54°=126°.

【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，正确的找出全等三角形的对应

边和对应角是解题的关键.

【考点4两次证明全等】

【例4】(2022•江苏南京・八年级阶段练习)如图，AC,8。相交于点O,AB=AD,BC=CD.求证：AC^∖BD.

【答案】见解析

【分析】先证得国48C1≡]∕OC,再证明团480M4。。，山全等的性质证得

【详解】0在团46C和团/OC中

AB=AD

BC=DC

AC=AC

^ABC2^ADC(SSS)

BAC=^DAC

团在团450和班。。中

AB=AD

乙BAO=乙DAC

、AO=AO

ABO^ADO(SAS)

^∖^AOB=^AOD

又皿08+的。。=180°

由团408=90°

团4CW5Q

【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，找对应边和对应角是解题关键，一般在找边找角时如果存

在公共边、对顶角，则公共边与对顶角是一组对应边和对应角.

【变式4-1](2022♦广东•佛山市顺德养正学校七年级阶段练习)如图，EWBC中，。是BC的中点，过点。

的直线GF交XC于凡交/C的平行线BG于G点，DESiGF,交/8于点E,连接EG,EF.

⑴说明：BG=CF;

(2)若13CEO=100。，EI£77)=35°,求l≡8GE的度数.

【答案】⑴见解析

(2)65°

【分析】(1)先利用ASA判定鲂GZ≡3CFZ),从而得出BG=CR

(2)先证明EIcU>=I38GO=100°,再证明血)GS3£Z>尸(SAS),可得贴尸G=SEGr)=35。，再利用角的和差运算

可得答案.

(1)

解：RIBGIlAC,

褪DBG=^DCF,

又皿)为BC中点，

岫D=CD,

又008DG=0COG

W1BGDWCFD(ASA).

EBG=CF;

(2)

WBGD^∖CFD,

团GD=DF,团CTT)=鲂GZ)=IO0°,

0££氾GF,

o

WEDG=^EDF=90f

又盟:D=ED,

mEDG^∖EDF(SAS),

o

W∖EFG=^EGD=35f

WBGE=WGD-^EGD=100o-35o=65o.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握"利用SAS,AAS,ASA证明三角形全等”是解本题的

关键.

【变式4-2](2022•全国•八年级专题练习)如图，是0/I8C的高，AD=BD=4,E是/D上一点，BE=

4C=5,S∕8C=14,8E的延长线交NC于点F.

⑴求证：*OS≡40C;

⑵求证：BE^AC-,

⑶求£产与AE的长.

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析；

(3)£F=|,AE=I.

【分析】(1)利用直角三角形的判定定理证明即可；

(2)利用全等三角形的性质证明0EB。=团。Q,再利用对顶角相等证明回8EZ)=0∕IEF,进一步可证明胡必

=EWo2=90°,BRBE^ACi

(3)利用三角形面积求出8C=7,进一步求出S=3,mRtLBDERtHADC,

证明Ez)=CZ)=3,进一步求出［力E=40—E£>=4—3=1,再利用三角形面积求出3尸=§,即可求出IEF=

BF-BE=-S=-.

55

(1)

证明：的。是血18C的高，

®ZM=C=90。，

在Rt^BDE和Rf^ADC中，

(BE=AC

=AD'

回Rt△BDE三Rt△ADC(HL).

(2)

证明：^∖Rt^BDE^Rt^ADC,

幽EBD=团C4D,

,

WβED=^L4EFf

mAFE=^ADB=3Q∖

^∖BE^AC.

(3)

解：^SΔABC=^-AD∙BC=14,4。=4,

国BC=7,

勖0=4,

0CZ)=3,

团Rt△BDE=Rt△ADC,

BED=CD=3,

蜘E=AD—ED=4—3=1,

'3∖SΔABC^F∙AC^14,BE=AC=5,

SEF=BF-BE=^ɔp-5=^.Q

【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，时顶角相等，垂直的定义，解题的关键是掌握全等三角形的

判定及性质.

【变式4-3]（2022•四川•西川中学南区七年级期中）如图,在等腰△4BC中，BA=BC,∆ABC=100o,AB平

分4MMC.在线段4C上有一动点。，连接BD,E为直线AW上异于4的一点，连接BE、DE.

⑴如图1,当点E在射线4W上时，若OE+4E=DC,直接写出：乙EBD=

⑵如图2,当点E在射线4W的反向延长线上时，

①若（1）中的结论仍成立，则。E、AE.DC应满足怎样的数量关系，请证明；

②若S四边形48DE—SABCD=6,且2DE=54E,AD=-AE,求S—BC的值.

【答案】⑴50。

⑵①DE=4E+DC,证明见解析（2）5=T

ΔΛBCO

【分析】⑴在aC上取一点7,使得CT=AE,连接87,ffi∆BAE^∖Δ,BCT{ASA),得乙ABE=乙CBT,再证△

DBES∆DBT(SSS),得4EBD=ITBD,进而得出结论；

(2)①在4C的延长线上取一点T,使得NrBD=T乙48C,连接87,^feiiE∆B½F0ΔBCT(ASA),得TC=4E,

BE=BT,再证明△DBEElACBT(SAS),得DE=DT,即可得出结论;

②)由(ɪ)可知，S>ABE=SABCτ，SABDE=S则S=ɜ,设DE=5∕c,则4E=2k,得4。=W匕CD=3k,

则AC=AD+CD=再由三角形面积关系即可得出结论.

(1)

解：在4C上取一点7,使得CT=AE,连接8。如图1所示：

：,Z-BAC=Z-C.

平分NWMC,

・••乙BAE=∆BAC,

：•Z-BAE=Z-C1

•••△BAE^BCT(ASA)t

:•乙ABE=乙CBT,BE=BT.

-DE+AE=DCtCT+DT=DC,

・•・DE=DT.

∙.∙BD=BD,

・•.△DBE^DBT(SSS),

・•・乙EBD=乙TBD.

•・・乙EBD=∆ABE+乙ABD=乙CBT+乙ABD,乙CBT+乙ABD+乙TBD=∆ABC=100°,

I1

・•・(EBD=-∆ABC=-×100°=50°,

22

故答案为：50°；

/B

E

图2

(2)

解：①若(I)中的结论仍成立，则DE、AE.DC应满足怎样的数量关系为：DE=AE+DC,理由如下:

在4C的延长线上取一点7,使得4BD=卜ABC,连接B7,如图2所示：

∙.∙∆TBD=-∆ABC,∆DBE=50o=-∆ABC.

22

1

・•・乙CBT+乙CBD=Z-CBD÷Z,ABE=上乙ABC,

2

:、Z-ABE=Z.CBT.

VBA=BJ

・∙・Z-BAC=Z-ACB.

%-Z-BAC=LWAB.

・•・∆WAB=∆ACBi

：•Z-BAE=Z.BCT,

BAE^ΔBCT(ASA)9

∙.TC=AE9BE=BT.

•.・BD=BD,乙DBE=乙DBT,

・•・△DBE国ADBT(SAS)f

・・・DE=DT,

ΛDE=TC+DC=AE+DC；

②由①可知：SMBE=S>BCT'SABDE=^BDT9

vS四边形ABDE_SABCD=6»

λS>BDC+2SABCT-SbBDC=6,

λS^BCT=3.

9∩

•・•2DE=SAE,AD=-AE,

9

二设DE=5k,则4E=2k,AD=^fc,

.∙.CD=DT-CT=DE-AE=5k-2k=3k,

：.AC=AD+CD=-k+3k=-k,

99

67,

.AC_《卜_67

:∙,

CT2k18

r,O/c,UZCO/

,=

∙*∙ɔʌΛpr=XκCRT=Xɔ∙

δλhc18δcwz186

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了四边形的面积、等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，

三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

【考点5利用全等图形求网格中的角度和】

[例5]（2022•山东・禹城市督杨实验学校八年级阶段练习）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则

【答案】B

【分析】首先利用SAS定理判定ElABCEEIDBE,根据全等三角形的性质可得E13=I3ACB,再由ElACB+回1=回1+回3=90。,

可得回1+回3旬2.

【详解】

团在I3ABC和回DBE中

(AB=BD

{∆A=U),

VAC=ED

EBABO≡DBE(SAS),

003=0ACB,

00ACB+Ell=9Oo,

001+03=90°,

(301+03-a2=9Oo-45o=45o,

故选B.

【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等.

【变式5-1］（2022•江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习）如图，由4个相同的小正方形组成的格

点图中，EIi+回2出3=度.

【答案】135

【分析】首先利用全等三角形的判定和性质求出41+43的值，即可得出答案;

【详解】如图所示，

在回ACB和团DCE中，

AB=DE

{Z.J4—4D,

AC=DC

◎△ACB≥ΔDCE（SAS）,

Ξ∆ABE=Z3,

0Z1+Z.2+Z.3=（41+43）+45°=90°+45°=135°；

故答案是：135。.

【点睛】本题主要考查了全等图形的应用，准确分析计算是解题的关键.

【变式5-2］（2022・江苏•八年级单元测试）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则胪

【答案】45

【分析】如图，直接利用网格得出对应角NP=44QC,进而得出答案.

如图，易知AABP三A4CQ,0ZP=∆AQC,

团8。是正方形的对角线，

叫LBQC=∆BQA+∆AQC=NP+“=45°,

故答案为：45.

【点睛】本题考查了全等三角形，正确借助网格分析是解题关键.

【变式5-3]（2022・山东•济南市槐荫区教育教学研究中心二模）如图，在4X4的正方形网格中，求α+

β=度.

Ji

LE

【答案】45

【分析】连接48,根据正方形网格的特征即可求解.

团图中是4X4的正方形网格

^∖AD=CE,∆ADB=∆AEC,DB=AE

Ξ∆ADB≡ΔCEA（SAS）

^∖∆EAC=∆ABD=Q,AB=AC

©乙ABD+乙BAD=90o

配EAC÷∆BAD=90°,即NC4B=90°

团乙ACB=Z.ADC=45°

D∖∖CE

配BCE=乙DBC=β

团乙ABC=Z-ABD+∆DBC=a+0

Ξα+/?=45°

故答案为：45.

【点睛】本题考查了正方形网格中求角的度数，利用了平行线的性质、同角的余角相等、等腰直角三角形

的性质等知识点，解题的关键是能够掌握正方形网格的特征.

【考点6将已知图形分割成几个全等的图形】

【例6】（2022•全国•八年级专题练习）沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成四个全等的图形.

---1---ɪ------

II

——I—1------------

III

------------1-----1-4-------

II

------1---1----

【答案】见解析

【分析】直接利用图形总面积得出每一部分的面积，进而求出答案.

【详解】•：共有3×4=12个小正方形，

・•・被分成四个全等的图形后每个图形有12÷4=3,

如图所示：

__

【点睛】本题主要考查了应用设计图作图，正确求出每部分面积是解题关键.

【变式6-1］（2022•江苏•八年级专题练习）方格纸上有2个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全

相同的两个部分吗？请画出分割线.

【答案】见解析

【分析】观察第一个图，图中共有20个小方格，要分成完全相同两部分，则每个有10个小格，则可按如

图所示，沿力玲BfC玲。分割；第二个图同理沿E好尸∙÷G玲〃玲Pf0分割即可.

【详解】解：如图所示，第一个图，图中共有20个小方格，要分成完全相同两部分，则每个有10个小格,

则可按如图所示，沿力玲8∙⅜C玲。分割；第二个图同理沿E好广÷G玲，好尸玲。分割即可.

将分割出的两个图形，逆时针旋转90度，再通过平移，两部分能够完全重合，所以分割出的两部分完全相

同.

【点睛】本题考查图形全等，掌握全等图形的定义是解题的关键.

【变式6-2］（2022♦江苏•八年级课时练习）试在下列两个图中，沿正方形的网格线（虚线）把这两个图形

分别分割成两个全等的图形，将其中一部分涂上阴影.

【答案】见解析（第一个图答案不唯一）

【分析】根据全等图形的定义，利用图形的对称性和耳补性来分隔成两个全等的图形.

【详解】解：第一个图形分割有如下几种：

第二个图形的分割如下:

【点睛】本题主要考查了学生的动手操作能力和学生的空间想象能力，牢记全等图形的定义是解题的重点.

【变式6-3］（2022•全国•八年级专题练习）知识重现："能够完全重合的两个图形叫做全等形.”

理解应用：我们可以把4x4网格图形划分为两个全等图形.

范例：如图1和图2是两种不同的划分方法，其中图3与图1视为同一种划分方法.

图4

【答案】见解析

【分析】根据网格的特点和全等形的定义进行作图即可.

【详解】依题意，如图

图4

【点睛】本题考查了全等图形的定义，熟练掌握网格特点作图和全等图形的概念是解题的关键.

【考点7添加条件使三角形全等】

【例7】（2022•全国•八年级专题练习）如图，13C=IaZ）=90。，添加下列条件：@AC=AD-,②a48。=酎8。；

③BC=BD,其中能判定RZEWBC与RBWBO全等的条件有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】D

【分析】根据已知条件与全等三角形的判定定理即可分别判断求解.

【详解】解：EBC=00=90°,AB=AB,

团①NC=/£）,可用HL判定Rt"8C与RtA48D全等；

②0J8C=SW8D,可用44S判定RtA/8C与RtUBD全等;

③BC=BD,可用HL判定RtΔ∕15C与Rt∆J5D全等；

故选：D.

【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理.

【变式7-1］（2022•重庆•中考真题）如图，点B,F,C,E共线，回B=回E,BF=EC,添加一个条件，不能判

断SMBCIMOEF的是（）

C.AC=DFD.ACSiFD

【答案】C

【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题.

【详解】解：---BF=EC,

.∙.BC=EF

A.添加一个条件ZB=DE,

又∙.∙BC=EF,/.B=乙E

.∙.ΔABC≤ΔDEF(SASy)

故A不符合题意；

B.添加一个条件创=回。

又∙.∙BC=EF,ZB=Zf

.∙.ΔABC≤ΔDEFG44S)

故B不符合题意；

C.添加一个条件ZC=Z)E,不能判断0zfBC≡Z)EF,故C符合题意；

D.添加一个条件∕CWV>

.∙.∆ACB=LEFD

XvBC=EF,乙B=ZE

.∙.ΔABC≤ΔDEF(‹ASA)

故D不符合题意，

故选：C.

【点睛】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识

是解题关键.

【变式7-2](2022•安徽淮南•八年级期末)如图，点P是18上任意一点，βABC=^ABD,还应补充一个条

件，才能推出加尸而4PD从下列条件中补充一个条件，不一定能推出a4PC0a4P。的是()

A.BC-BDiB.AC-ADx

C.^ACB=^ADB-,D.^CAB=^DAB

【答案】B

【分析】根据题意，^ABC=SiABD,45是公共边，结合选项，逐个验证得出.

【详解】解：A、补充BC=BD,先证出0SPCia38PQ,后能推出EWpamWPD,故正确，不符合题意；

B、补充ZC=/。，不能推出EWPa3EWP。，故错误，符合题意；

C、补充EL4C8=EL4O8,先证出EW8。2匹18。，后能推出S4PC≡WPZλ故正确，不符合题意；

D、补充I3C48=0D48,先证出EM8C≡M8C,后能推出EWPSEWPZ）,故正确，不符合题意.

故选B.

【点睛】本题考查了三角形全等判定，解题的关键是知道有AAS,SSS,ASA,SAS.注意S"是不能证明三

角形全等的，做题时要逐个验证，排除错误的选项.

【变式7-3]（2022•全国•八年级课时练习）如图，AB,CD相交于点E,且AB=CD,试添加一个条件使得

0ADESBCBE.现给出如下五个条件：①EIA=EIC;②13B=IaD;③AE=CE;④BE=DE;⑤AD=CB.其中符合要求有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】D

【分析】延长DA、BC使它们相较于点F,首先根据AAS证明AFAB瓯FCD,然后根据全等三角形的性质即

可得到AF=FC,FD=FB,进而得到AD=BC,即可证明AADEEBCBE,可判断①、②的正误；根据SAS证明

∆ADE00CBE,即判断③、④的正误；连接BD,根据SSS证明AADBEEICBD,根据全等三角形的性质得到团A=12C,

结合①即可证明⑤.

【详解】延长DA、BC使它们相较于点F

DB

≡DAB=0DCB,团AED二团BEC

Ξ0B=13D

又跑F=团F,AB=CD

团ZkFAB团团FCD

0AF=FC,FD=FB

0AD=BC

团AADE酿CBE,即①正确;

同理即可证明②正确；

团AE=CE,AB=CD

0DE=BE

又随AED=回BEC

团ZkADE能ICBE,③正确；

同理即可证明④正确；

连接BD,

0AD=CB,AB=CD,BD=BD

0∆ADB≡CBD

≡DAB=0BCD

团ZkADE酿CBE,⑤正确；

故选D.

【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，主要包括：SSS、SAS、AAS、ASA,难点在于添加辅助线来构

造三角形全等，关键在于应根据所给的条件判断应证明哪两个三角形全等.

【考点8灵活选用判定方法证明全等】

【例8】（2022・湖南•八年级单元测试）具备下列条件的两个三角形一定是全等三角形的是（）.

A.有两个角对应相等的两个三角形

B.两边及其中一条对应边上的高也对应相等的两个三角形

C.两边分别相等，并且第三条边上的中线也对应相等的两个三角形

D.有两边及其第三边上的高分别对应相等的两个三角形

【答案】C

【分析】选项A,选项B和选项D分别举出反例的图形即可；选项C根据题意画出图形，延长40至E,使

DE=AD,延长至E',使DF=4'。',连接BE和B'E',根据全等三角形的判定，可证得△BCE三△CZM,

根据全等三角形性质得BE=AC,NE=ΛCAD,同理可得B'E'=A'C',NE'=ΛC'A'D',再由全等三角形的

判定得△4BE=ΛA'B'E',根据全等三角形性质得NE=ZEz,LBAE=∆B'A'E',进而证得NB4C=∆B'A'C',

最后根据全等三角形的判定证得AABC≤ΔA'B'C'.

【详解】A.如图1所示，

在AADE和AABC中，∆A=∆A,∆ADE=∆ABC,/.AED=∆ACB,但△4DE和A4BC不全等，故本选项不

符合题意；

B.如图2所示，

在AABC和AEFG中，BC=FG,AC=EG,AD1BC,EH1FG,AD=FG,但△4BC和△EFG不全等,

故本选项不符合题意；

C.如图3所示,

在△ABC和A4B'C'中，点。和点。'分别平分线段BC和B'CΛAB=A'B,,AC=A'C',AD=A'D',延长TW至

E,^.DE=AD,延长A'D'至E',使D'E'=A'D',连接BE和&E',

13点。平分线段BC,

邕BD=CD,

SDE=AD,4BDE=4CDA

0ΔBDE≡ΔCDA

ElBE=AC,∆E=Z.CAD

同理B'E'=4'C',∆E'=∆C'A'D'

EL4C=A'C'

WE=B'E'

^AD=A1D1

βAE=A'E'

EL4β=A'B'

^ABE≤Δ½,β,Γ

0ZE=/-E',∆BAE=∆B,A'E'

SZ.CAD=∆C'A'D'

^∆BAE+/.CAD=ΛB'A'E'+∆C'A'D'

SiΛBAC=ΛB'A'C'

EL4B=A'B'

0Δ›4BC≡ΛA'B'C'

故本选项符合题意;

D.如图4所示，

A'B'C^,AB=A,B',AC=A'C',AD1BC,A'D'1B,C',AD=4'。'，但此时A4BC和△AB'C'

不全等，故本选项不符合题意;

故选：C.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，熟记全等三角形的性质定理与判定定理是解本题

的关键.

【变式8-1]（2022•广东・佛山市南海区瀚文外国语学校七年级阶段练习）我国传统工艺中，油纸伞制作非

常巧妙，其中蕴含着数学知识.如图是油纸伞的张开示意图，AE=AF,GE=GF,则AAEG三4AFG的依

A

C.AASD.SSS

【答案】D

【分析】根据全等三角形的判定定理推出即可.

【详解】解：在MEG和^AFG中,

EG=FG

AE=AF,

.AG=AG

^AEGB^AFG(SSS),

故选：D.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等

三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,两直角三角形全等还有HL等.

【变式8-2］（2022•江苏•泰州市姜堰区第四中学八年级）如图，已知/施CO,AD^∖BC,4C与BD交于点、O,

N比于点E,CR38。于点E那么图中全等的三角形有（）

A.5对B.6对C.7对D.8对

【答案】C

【分析】根据平行四边形的性质，以及全等三角形的判定即可求出答案.

【详解】解：①A48E三ACDF.

0AB∖∖CD,AD∖∖BC,

团AB—CD,Z-ABE—乙CDF.

^AE1BDTE9CF1BD^E9

团ZTlEB=乙CFD,

0∆ABE=△CDF；

(2)∆AOE=ΛCOF.

EL4B∣∣CD,AD∖∖BC,4C为N8S的对角线，

00/1=0C,∆E0A=Z-FOC.

^∖∆AE0=4CFO,

团AAOE=△C0F；

(3)∆Λβ<9≤∆CDO.

SAB∖∖CD,AD∖∖BC,4C与BD交于点O,

团。。=OB,Z-AOB=乙COD,OA=OC,

国AABO三△CDO；

(4)∆BOC^ΔDOA.

ΞABl∣CD,ADWBC,XC与Bz)交于点O,

团。。=OB,Z-BOC—∆DOA1OC=OA,

BOC三△DOA；

(ζ)^ABC^^CDA.

B∖∖CD,AD∖∖BC,

团BC=AD,DC=AB,∆ABC=∆CDA,

0ΔΛBC≤△CDA；

(6)^ABD^∆CDB.

MBllCD,AD1∣BC,

用乙BAD=4BCD,AB=CD,AD=BC,

0ΔABDZ△CDB；

⑦》ADE"CBF.

的W=BC,DE=BF,AE=CF,

0ΔADE=△CBF.

故选：C.

【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，解题关键找出对应相等的边、角，判定两个三角形全等的一般

方法有：SSS、SAS、A4S,4S4HL,同时考查了平行四边形的性质，题目比较容易.

【变式8-3](2022•浙江•八年级单元测试)根据下列条件不能唯一画出SMBC的是()

A.AB=5,BC=6,4C=7B.AB=5,BC=6,鲂=45°

C./8=5,∕C=4,EIC=90°D.AB=3,NC=4,0C=45o

【答案】D

【分析】根据三角形的三边关系和全等三角形的判定定理逐项分析即可解答.

【详解】解：A.a4C与8C两边之和大于第三边，故能作出三角形，且三边知道能唯一画出的8。，不符合

题意；

B.0S是48、8C的夹角，故能唯一画出SL48C,不符合题意；

C.AB=5,AC=4,ElC=90。，得出8C=3,可唯一画出0JBC,不符合题意；

D.由于是SS/,所以4S=3,NC=4,I3C=45°,不能唯一画出三角形N8C,符合题意.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定等知识点，掌握SS4不能判定三角形全等

是解答本题的关键.

【考点9尺规作图与全等的综合运用】

【例9】（2022•全国•九年级专题练习）如图，在AZBC外找一个点4'（与点Z不重合），并以BC为一边作

△A'BC,使之与AABC全等，且AABC不是等腰三角形，则符合条件的点4'有（）

C.3个D.4个

【答案】C

【分析】本题是开放题，要想使arse与a48C全等，先确定题中条件，再对应三角形全等条件求解.

【详解】解：如图:

以8点为圆心，C4为半径上下画弧，C点为圆心，8/为半径上卜.画弧，两弧相交分别得到点4、41

以C点为圆心，。为半径画弧，以8点为圆心，8/为半径画弧，两弧的交点得到点&'，所以符合条件

的点A，有3种可能的位置.

故选：C.

【点睛】本题考查r全等的判定综合.判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，

然后再根据三角形全等的判定方法去求证.

【变式9-1］（2022•全国•八年级课时练习）如图，以a48C的顶点N为圆心，以8C长为半径作弧；再以顶

点C为圆心，以/8长为半径作弧，两弧交于点。；连结/O,CD.由作法可得：△4BCWACLM的根据是

()

D

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

【答案】D

【分析】根据题意和全等三角形判定的方法可以得到/86I3CD4的根据，本题得以解决.

【详解】解：由题意可得，

AD=BC,AB=CD,

在ELM)C和I3CR4中，

TlD=CB

DC=BA,

.AC=CA

EE4Daa3C8∕(SSS),

故选：D.

【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定方法解答.

【变式9-2](2022•广东•普宁市红领巾实验学校八年级阶段练习)在课堂上，张老师布置了一道画图题：

画一个RtAABC,使NB=90。，它的两条边分别等于两条己知线段.小刘和小赵同学先画出了NMBN=90。

之后，后续画图的主要过程分别如图所示.那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是；

小刘同学小赵同学

【答案】SASHL

【分析】由图可知小刘同学确定的是两条直角边，根据三角形全等判定定理为SAS.

由图可知小赵同学确定了一个直角边和斜边，根据三角形全等判定定理为HL.

【详解】小刘同学画了4MBN=90。后，再截取4B,BC两直角边等于两已知线段，所以确定的依据是S4S定

理;

小赵同学画j'ZMBN=90。后，再截取8C,∕C一直角边和一个斜边，所以确定的依据是HL定理.

故答案为：①&iS；Q）HL.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握每种证明方法，