河北省保定市部分高中2023-2024学年高二年级上册开学考试数学试题

新高二年级开学考

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册，选择性必修第一册第一章.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.若Z=（2-i）（3+i）,则Z的虚部为（）.

A.ɪB.-1C.-iD.7

2.已知向量α=（x,2）,b=（3,6）,若G〃方，贝IJX=（）.

A,-4B.4C.-1D.1

3.在aABC中，角4,8,C的对边分别是α,b,c,已知α=8,COSA='，则AABC外接圆的半径为

3

（）.

A.3√2B.6√2C.2√2D.3

4.下列说法正确的是（）.

A.若一条直线与一个平面有公共点，则这条直线在该平面内

B.若平面外一条直线有两个点到该平面的距离相等，则这条直线与该平面平行

C.垂直于同一条直线的两条直线互相平行

D,垂直于同一条直线的两个平面互相平行

5.若｛α,Ac｝构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）.

A.a-3b,d+2b-c,5a-3b-2cB.a-2>b,a+2b-c,5a-4b-3c

C.a-3bftz+2⅛-c,5a-5b-2cD.a-3b,a+2b-c,4。一5。一3i

6.已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为3π,12π,母线长为2,则该圆台的体积为（）.

A.6πB.18πC.7兀D.21π

7.如图，A1B1,AB分别是圆台上、下底面的两条直径，且A3=2Aιq,AB//∖By,Cl是弧AI与靠近

点用的三等分点，则Ae在AB上的投影向量是（).

C.-ABD.-AB

83

8.正方体ABeo-AgC∣A的棱长为2,P是空间内的动点,且∣P8+PRI=26,则APPB的最小值

为().

A.1—ʌ/ɜ—'Jτ,B.1+∙∖∕3—V2C.—4—2∙∖∕6D.-4+2√6

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.在空间直角坐标系中，已知A(2,l,l),8(1,3,2),C(3,2,2),则().

A.点A关于XoZ平面对称的点是4(2,—1,1)

B.点B关于X轴对称的点是8'(1,—3,2)

C.AB+BC=(0,3,2)

D.ABBC=-4

10.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.某地8月1日到10日的

PM2.5日均值(单位：/√g∕m3)分别为36,32,38,34,32,88,42,36,30,32,则关于这10天中

PM2.5日均值的说法正确的是().

A.众数为32B.第80百分位数是38

C.平均数是40D.前4天的方差比后4天的方差小

11.己知甲盒中有五个相同的小球，标号为1,2,3,4,5,乙盒中有五个相同的小球，标号为3,4,5,

6,7.现从甲、乙两盒中分别随机抽取1个小球，记事件A="抽取的两个小球标号相同"，事件B="抽取

的两个小球标号之和为奇数”，事件C="抽取的两个小球标号之和大于8"，则().

A.事件A与事件B是互斥事件B.事件A与事件8是对立事件

C.P(AuC)=P(B)D.P(BoC)=P(A)

12.如图，在菱形ABC。中，AB=2,ZfiAD=60°,将AABD沿直线BZ)翻折成4~BO(P不在平

面ABCZ)内)，则().

P

A.BDVPC

B.点B到直线PC的距离为定值

C.当依与CD所成的角为60°时，二面角P-BO-C的余弦值为‘

3

D.当依与平面BCD所成的角最大时，三棱锥P-BCD外接球的表面积为竺

3

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.在AABC中，AB=2.BC=3>AC—4,则CoSC=.

14.在空间直角坐标系。孙Z中，A(2,5,-1),3(1,3,1),C(0,0,4).D(-∖,m,n),若四边形ABDC为

平行四边形，则(m,")=.

15.已知空间中有三点A(9,l,2),3(8,0,1),C(5,0,l),则直线AB与C4的夹角的余弦值为

；点人到直线BC的距离为..(本题第一空2分，第二空3分)

16.已知复数Z满足|z—l+i∣=2及，5为Z的共在复数，则z∙彳的最大值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)如图，在底面为菱形的四棱锥E—ABC。中，5E_L底面ABC。，尸为CO的中点，且

AB=BE=2,ZABC=120°.以8为坐标原点，84的方向为X轴的正方向，建立如图所示的空间直角

坐标系.

(1)写出A,B,D,E四点的坐标；

(2)求COS(AJB,DE).

18.(12分)在aABC中，内角A,B,C的对边分别为α,b,c,若A+C=2B,

2sin(A-B)-SinC=O.

(1)求tanA；

(2)若b=7,求AABC的面积.

19.(12分)为了解网民对某专辑的满意度，某机构从网络上随机选取了IoOO名网民进行问卷调查，并将问

卷中的这IOOO人根据其满意度评分值(百分制，满意度评分值均在［50,1(X)］内)分成［50,60),［60,70),

［70,80),［80,90),［90,1()()］5组，制成如图所示的频率分布直方图.

［微率/组距

0.0401∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙*∙∙∙∙∙∣--1

0.025......................

θ≡rjF....∣^""p-∣

°v5O60708090IOO满意度评分

(I)求”的值，并求出满意度评分值的平均数和中位数(同一组数据用该组区间的中点值为代表)；

(2)用分层抽样的方法从满意度评分值在［5(),60),［90,100］内的网民中抽出6人，再从这6人中随机抽取

3人进行专访，求抽到的3人满意度评分值均在［90,1(X)］内的概率.

o

20.(12分)如图1,在直角梯形。［鸟々中，P,C∕/P2P3,Ie_L《舄，ACPiP2=60,《C=2,A,B

分别为《鸟，鸟鸟的中点.将直角梯形CIA与沿AB,BC,AC折起，使得P2,&重合于点P,得

到如图2所示的三棱锥P-ABC.

图1图2

(1)证明：APLBC.

(2)求点B到平面APC的距离.

21.(12分)投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏.假设甲、乙、丙、丁是四位投壶游戏

参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中的机会是均等的，丁每次投壶时，投中的慨率为』.甲、

3

乙、丙、丁每人每次投壶是否投中相互独立，互不影响.

(1)若甲、乙、丙、丁每人各投壶1次，求只有一人投中的概率；

(2)甲、丁进行投壶比赛，若甲、丁每人各投壶2次，投中次数多者获胜，求丁获胜的概率.

22.(12分)如图，在直四棱柱ABC。—ΛlgG2中，底面ABCD是菱形，AB=BD=BBI=3,E为棱

GQl上一点，F为4。的中点.

(1)若E为棱GA的中点，证明：EF上BD.

(2)若三棱锥E-ABO的体积为qA,求平面AOE与平面A/。夹角的余弦值.

新高二年级开学考数学参考答案

1.B因为z=(2-i)(3+i)=7-i,所以Z的虚部为—I.

2.D因为。〃〃，所以2χ3=6x,解得X=L

3.A

因为CoSA=L,所以SinA=JI-COS2A=冬工

33

设AABC外接圆的半径为R,

因为α=8,所以R=-^=―^-==3√2.

2sinAC2√2

2×----

3

4.D

若一条直线与一个平面有公共点，则这条直线在该平面内或与该平面相交，A不正确.

若平面外一条直线有两个点到该平面的距离相等，则这条直线与该平面平行或与该平面相交，B不正确.

垂直于同一条直线的两条直线可能平行，异面或相交，C不正确.

垂直于同一条直线的两个平面互相平行，D正确.

5.C因为3(a-3Z?)+2(a+2Z?-C)=5a-5/7-2c,

所以α-3Z?,ci+2b-C,5々-5/7—23共面.

6.C

因为圆台的上底面和下底面的面积分别为3兀，12π,

所以该圆台上底面和下底面的半径分别为百，2√3,

所以该圆台的高为,22-06—Gy=1,

故该圆台的体积丫=；〃(51+6^+52)=9以(3兀+历荷元+1271)=771.

7.C

如图，取Cl在下底面的投影C,作COLAB,垂足为D连接C4,CO,CC1,

TT

则NC。。=§,AG在AB上的投影向量是AO.

设上底面的半径为厂，则OO='r,AD=-r=-AB.

228

5

故AG在AB上的投影向量是.

8.C

取BDl的中点M,连接PM(图略)，

则PB+PD∣=2PM,则pB+PD∣卜∣2尸M=2百，即WM=6,

故动点P的轨迹为以M为球心，G为半径的球.

由正方体ABeo-ABCa的棱长为2,可知正方体ABa)-AgCQ外接球的半径为3,

即动点尸的轨迹为正方体ABCo-ABeq的外接球.

取AB的中点M连接PN(图略)，

则AP∙P8=-(PN+Λ¾)∙(PN+NB)=-(PN+M4)∙(PN-ΛM)

.22___.2

=NA-PN-=I-PN.

由题可知，MM=JL则6-√Σ≤pM≤百+√Σ,5-2√6≤∣PΛ^∣2≤5+2√6,

则一4一2遥≤1-PN?≤-4+2√6.

9.ACD

点A关于xθz平面对称的点是A,(2,-l,l),A正确.

点B关于X轴对称的点是B,(l,-3,-2),B不正确.

AB=(-1,2,1),AC=(1,I,1),BC=(2,-1,0),

AB+AC=(0,3,2),AB∙BC=-lx2+2x(-1)=T,D均正确.

10.ACD

这10天PM2.5日均值(单位：/∕g∕m3)从小到大为30,32,32,32,34,36,36,38,42,88,

所以众数为32,故A正确：

因为第80百分位数为也士=40,所以B错误；

2

HIΛL∙FJ√岫,30+32+32+32+34+36+36+38+42+88ULll~,--⅛

因为平均数λ为l---------------------：---------------------=40,所以zC正r确rt;

10

>>ɔɪ..-J-,ʃjι-.>136+32+38+34∣^..T-AA,-J-⅛⅛>∣,1÷9+9+1

因m为刖4天的均7值t为----------------=35,所RR以R刖4天的方差为-----------=5,

44

因为后4天的均值为42+36+30+32=35,所以后4天的方差为4Q9+1+i25+9=21,故D正确.

44

11.AC

事件A的所有基本事件为甲3乙3,甲4乙4,甲5乙5,共3个;

事件B的所有基本事件为甲1乙4,甲1乙6,甲2乙3,甲2乙5,甲2乙7,甲3乙4,甲3乙6,甲4乙

3,甲4乙5,甲4乙7,甲5乙4,甲5乙6,共12个；

事件C的所有基本事件为甲2乙7,甲3乙6,甲3乙7,甲4乙5,甲4乙6,甲4乙7,甲5乙4,甲5乙

5,甲5乙6,甲5乙7,共10个.

从甲、乙两盒中各取1个小球共有25个基本事件.

因为事件A与事件8不可能同时发生，所以事件A与事件8互斥，故A正确;

a1?

因为P(A)=4P(B)=AP(A)+P(B)≠1,所以B错误;

因为事件ADC的所有基本事件共有12个，所以P(ADC)=12,

所以P(AUC)=P(3),故C正确;

因为事件BCC的所有基本事件共有6个，所以尸(BCC)=W

所以P(BCC)HP(A),故D错误.

12.AD

连接AC交Bo于点。，连接PO,则BD_LAC,BDLPO.

因为POCOC=O,且PO,OC均在平面PoC内，

所以8£>_L平面POC.

因为PCU平面PoC,所以LPC,故A正确.

在APBC中，PB=BC=2,PC为变量，所以点3到直线PC的距离不为定值，故B错误.

连接24(图略).因为C£>〃45,所以PB与CD所成的角为NP84,

当NP84=60°时(当NPBA=I20°时，点尸与点C重合，舍去)，PA=2.

易知二面角P-BO-A的平面角为NPoA.

在APOA中，由余弦定理得CoSNpOA='.

3

因为二面角P-BO—。的平面角为/POC,

所以二面角P—BO-。的余弦值为一,，故C错误.

3

因为PB与平面BCD所成的角最大，即点P到平面BC。的距离最大，

所以平面PBDJ_平面BCD.

如图，设M为三棱锥P—BCD外接球的球心，N为ABCD外接圆的圆心，连接MN,MC.

设外接球的半径为/?,易知MN=B,NC=-,

33

所以R2=MC2=MN'+NC2^-,

3

所以三棱锥P-BCD外接球的表面积为二幺，故D正确.

3

CAC2+BC2-AB216+9-47

13.ɪcosC=----------------------=------------=—

2ACBC2×3×48

14.(-2,6)

AB=(-1,-2,2),CD=(-l,m,n-4),

因为四边形ABDC为平行四边形，所以AB=CO,

所以zn=-2,n—4=2,则(〃?,〃)=(-2,6).

*5∙与五

因为A8=(T,-C4=(4,l,l),所以CoS(A8,C4)=-6

√3×3√2

所以直线AB与C4的夹角的余弦值为逅

因为BA=(LI,1)，BC=(-3,0,0),所以CoS(BABC)=^=

√6

因为Sin(BA,BC)=

3，

所以点A到直线BC的距离为IBA卜in（BA,BC）=KX曰=J5.

16.18

设Z=Q+bi(α,b∈R),

则∣z-l+i∣=20的几何意义为Z在复平面内所对应的点（α1）到（1,-1）的距离为2√L

所以Z所对应的点（a,。）的轨迹是以（1,一1）为圆心，2行为半径的圆,

而Z∙Z=.2+>2可看作该圆上的点（a,。）到原点的距离的平方,

所以(ZN)M=(&+2&)2=18.

17.解：（1）依题意可得ABCO为正三角形，因为A6=2,所以Bf=JL（1分）

所以A(2,0,0),B(0,0,0),Z)(l,√3,θ),£(0,0,2).(5分)

(2)因为AB=(-2,0,0),DE=(-l,-√3,2)，（7分）

ABDE2

所以COSAB,DE)=L~；=-----尸=——.(10分)

\/∖AB^nDE∖2×2√24

Tr

18.解：(1)因为A+C=2B,4+B+C=π,所以B=—.(2分)

3

因为2sin(A-B)-sinC=0,所以2sin∣A-∙∣)=sinC=sin|A+1)，(3分)

3

则SinA-6cosA='sinA+正COSA,即SinA=3百COSA,(4分)

22

所以tanA=36.(5分)

1π

/C、∙Λɜʌ/ɜ尸(ΛπtanA+tan一∕τ∕τ

π-----------£=亚，SinC=半.(8分)

(2)sɪnA=-_7=r'tanC=-tanIA+—

2√731-tanA∙tan—1“

3

由一^=」一=」一，b=7,可得α=3√7,c=2√7.(10分)

sinAsinBsinC

S△ABC=LaCSinB=L又3力又2币X班=^.(12分)

δλbc2222

19.解：(1)由(0.005+0.025+0.040+。+0.010)*10=1,解得α=0.020.(2分)

满意度评分值的平均数亍=55χ0.05+65χ0.25+75χ0.4+85χ0.2+95χ0.1=75.5∙(4分)

设满意度评分值的中位数为％,则x∈［70,80),(%-70)×0.04=0.2,解得x=75,

即满意度评分值的中位数为75.(6分)

(2)这IOOO名网民中，满意度评分值在［50,60)内的有I(X)OXo.05=50人，

满意度评分值在［90,100］内的有IooOXO.1=100人.(7分)

抽取的6人中满意度评分值在［50,60)内的有2人，记这2人分别为A,B,

满意度评分值在［90,100］内的有4人，记这4人分别为α,b,c,d,(8分)

从6人中随机抽取3人的情况为(A,B,α),(A,B,b),(A,B,c),(A,B,d),(Aa力)，(A,α,c),

(A,0,d),(Λ⅛,c),(A,h,d),(A,c,d),(B,a,b),(B,α,c)),(B,a,d),^B,b,c),(B,b,d),

(BCd),(α,⅛,c),(a,b,d),(0,c,d),(b,c,d),共20种.(10分)

其中3人满意度评分值均在［90,100］内的情况为(G,0,c),(a,b,d),(0,c,d),伍,c,d),共4种，(11

分)

所以抽到的3人满意度评分值均在［90,1()0］内的概率为4.(12分)

20.(1)证明：在图1中，APxLCPx,AP2ɪBp2,

所以在图2中，APLCP,APYBP.(2分)

因为BPCeP=P,所以APL平面BCP(3分)

又BCU平面BCP,所以AP_LBC.(5分)

(2)解：在图1中，由题可知，C［=CA=2.

由NC鸟鸟=60。，得耳鸟=JLP［P∖=3.(6分)

在图2中，PC=2,PB=-,PA=—,NBPC=60°,

22

所以Sap8c='x2x3x且=2叵，(8分)

△PBC2224

ULI、1T713λ∕3y/33..

所以^p-ARC=—x-----×----=一∙(9分)

PABC3428

1ʌ/ɜʌ/ɜz∕χ∖

S"4C=/x2x《-二Μ(ι1。n分)

设点8到平面APC的距离为"，由匕“AC=匕-ABC，得:乂¥"=|，（11分）

解得d=£l,即点B到平面4PC的距离为空.（12分）

44

21.解：设甲、乙、丙、丁各自在一次投壶中投中分别记为事件4,B,C,D,

则尸（A）=P（B）=P（C）=g,P（D）=；.（1分）

（1）设只有一人投中为事件E,

则P（E）=P[ABCD+ABCD+ABCD+ABCD）

=P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD),(3分)

工.(6分)

I2)⑶I3)UJ324

（2）若甲投中O次，则丁至少投中1次；若甲投中1次，则丁