陕西省安康市2023-2024学年度高二年级上册开学摸底考试数学试题【解析版】

陕西省安康市2023-2024学年度高二上学期开学摸底考试

数学试题【解析版】

注意事项：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅

笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨

水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效,

在试题卷、草稿纸上作答无效.

3.本试卷命题范围：必修第一册，必修第二册.

一、选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个

选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.已知集合A=集合B={X|4<X<6},则AB=()

A.(3,6)B.[3,6)C.(4,5]D.(4,5)

2.在,ABC中，角4,5,。所对的边分别是〃也4。=",％=2,4=£,贝i」sinB=()

4

A.BB.一走C.远D.-亚

3333

3.我国传统文化中有天干地支之说，天干为“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、

癸''.其中甲、乙五行属木，归东方，丙、丁五行属火，归南方，戊、己五行属土，归中

央，庚、辛五行属金，归西方，壬、癸五行属水，归北方.在天干十个字中随机取两个，

则它们五行属性相同的概率是

A.-B.-C.—D.一

9876

4.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，

隔裂分家万事休在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常

用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标八人中抽象出一个图象

B

,\x-\\-.谄

C./(》)=士

X-1

5.已知向量。=(1,1),〃•/?=布,欠=2,则向量a，/7的夹角为（）

3.三c.£D.空

433

6.已知某圆锥的侧面积为扃，该圆锥侧面的展开图是弧长为2兀的扇形，则该圆锥的

体积为（）

,ji2兀

A.—B.—C.兀D.27r

33

7.在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化，太阳直射点回归

运动的一个周期就是一个回归年.某科研小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直

射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度值（太阳直射

北半球时取正值，直射南半球时取负值）.设第X天时太阳直射点的纬度值为y,该科研

小组通过对数据的整理和分析.得到）与X近似满足y=23.4392911sin0.01720279%.则每

1200年中，要使这1200年与1200个回归年所含的天数最为接近.应设定闰年的个数为

（）（精确到1）参考数据可=182.6211

A.290B.291C.292D.293

8.某校高二年级学生举行中国象棋比赛，经过初赛，最后确定甲、乙、丙三位同学进

入决赛.决赛规则如下，累计负两场者被淘汰，比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一

人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘

汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，最后的胜者获得冠

军，比赛结束.若经抽签，已知第一场甲，乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜

的概率都为则（）

A.甲获得冠军的概率最大B.甲与乙获得冠军的概率都比丙大

C.丙获得冠军的概率最大D.甲、乙、丙每人获得冠军的概率都一

样大

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项

中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的

得0分.

9.已知复数2=二，则下列说法正确的是（）

A.z?侬是纯虚数B.|z+i|=2

C.z,z=—1D.在复平面内，复数W+z.i对应的点位

于第三象限

10.下列不等式一定成立的是()

A.lg^x2+^>lgx(x>0)

B.sinx+——>2(x^k7r,keZ}

sinx

C.->-(x>0)D.——<l(xeR)

x2+l2、'2A+1''

11.沙糖桔网店2019年全年的月收支数据如图所示,则针对2019年这一年的收支情况,

A.月收入的最大值为90万元，最小值为30万元

B.这一年的总利润超过400万元

C.这12个月利润的中位数与众数均为30

D.7月份的利润最大

12.在锐角三角形ABC中，角AB,C所对的边分别为a,b,c,若方+AosA=acosB,则

()

A.A=23B.—<B<一

64

C.g£(l,D.cr=b2+be

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量”，6满足。=卜1,6),b=(l,o),则向量a在人上的投影向量为.

14.某同学5次上学途中所花的时间(单位：分钟)分别为x,V,8,10,12.已知这

组数据的平均数为10,标准差为则x-y的值为.

—尸一2x+l,x«0,/、

15.已知函数f(x)=・I.J.C若方程f(X)=。有四个不同的解工］，工2，尤3，工4，且

X,<x2<x3<x4,则a的最小值是.

16.如图，正四面体48co的体积为空，E、F、G、H分别是棱A。、BD、BC、AC

3

的中点，则EF=,多面体AB-E尸G”的外接球的体积为.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明

过程及演算步骤.

17.某超市从2019年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位：箱)的数据中分别随机抽取

100个,并按[0,10]，(10,20],(20,30],(30,40],(40,50]分组，得到频率分布直方图

如下，假设甲、乙两种酸奶的日销售量相互独立.

(1)写出频率分布直方图(甲)中的。的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量(单位:

箱)的方差分别为s：,学，试比较s；与s；的大小；(只需写出结论)

(2)用频率估计概率，求在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于

20箱的概率.

18.设/(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x,恒有〃x+2)=-/(x).当xe[0,2]

时，f(x)=2x-x2.

⑴当xe[2,4]时，求/(x)的解析式；

⑵计算“0)+/⑴+〃2)+…+”2024)的值.

19.如图，直三棱柱ABC-AB©中，AC=8C=1,NACS=120。，的=e.

G

(1)证明：A4〃平面4BG；

(2)求点C到平面ABG的距离.

“、-1…L人AnMFL、上八口、匚IrCsinB+2sin4cos3

20.记:ABC的内角AB,C的对边分।别为a,"c,且:=---——------

b2sinB

(1)求A的大小；

⑵若a=20，-ABC的面积为26，求一ABC的周长.

21.已知向量机=(Gsin；,l),〃=(cos：cos?：｝且函数/(x)=U.

(1)若/(x)=l,求cos-x)的值；

(2)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足acosC+gc=Z?,求

/(B)的取值范围.

22.如图，在四棱锥P-AB8中，底面ABC。是矩形，R4=4)=4,AB=2,PA1

平面ABC。，且M是PO的中点.

p

(1)求证：AMI平面PC。；

(2)求异面直线CQ与所成角的正切值；

(3)求直线C。与平面ACM所成角的正弦值.

1.D

【分析】先求解出分式不等式的解集，然后根据交集的概念求解出AcB的结果.

【详解】因为七（40,所以[（二号-5）"。，

x-59-5工0

所以3Vx<5,所以A=[3,5）

又因为8=（4,6）,所以AcB=（4,5）,

故选：D.

【点睛】本题考查集合的交集运算，其中涉及到分式不等式的解法，难度较易.解分式不等

式时，先将其转化为整式不等式（注意分母不为零），然后再去求解集.

2.A

【分析】根据正弦定理，即可求解.

【详解】解：由正弦定理得，sin8="生攻=噂=且，

aV63

故选：A.

3.A

【解析】根据古典概型概率，结合排列数求法，即可得解.

【详解】从天干十个字中随机取两个，所有取的种类为金,=等=45,

共有金木水火土五行，所以随机取的两个五行相同的概率为盘=2，

459

故选：A.

【点睛】本题考查了古典概型概率求法，组合数计算公式的简单应用，属于基础题.

4.B

【分析】由图象知函数的定义域排除选项选项A、D,再根据/（0）=-1不成立排除选项C,

即可得正确选项.

【详解】由图知“X）的定义域为{x|x#±l},排除选项A、D,

又因为当x=0时，〃0）=-1，不符合图象"0）=1，所以排除选项C,

故选：B.

5.A

【分析】先利用〃得到卜卜啦，然后利用数量积的定义可求出cos(a,6)=等，即可得到答

案

【详解】因为向量a=(l,1),所以卜卜上产+白=近,

由］力=«,W=2可得卜国cos<〃&=2后cos(a,b)=指,

所以COS(4,b)=，

因为。市64兀，所以(。田.，

故选：A

6.B

【分析】根据侧面积公式以及弧长公式即可求解母线和半径长，进而可由勾股定理求解高,

由体积公式即可求解.

【详解】设该圆锥的母线长为/,底面圆的半径为『，

由已知条件可得：［：”=¥，解得尸Z

2口=2兀(/=A/5.

故圆锥的高/；=庐二7二二二？，所以该圆锥的体积为兀Xlx2=^.

故选：B

7.B

【分析】设闰年个数为x,根据闰年个数对应天数一致的原则建立关系式

366x+365(1200-x)=365.2422xl200,求解x即可.

【详解】解：T=—=———~~-=2x182.6211=365.2422,

co0.01720279

所以一个回归年对应的天数为365.2422天

假设1200年中，设定闰年的个数为x,则平年有1200-x个,

所以366x+365（1200-x）=365.2422x1200

解得：x=0.2422x1200=290.64.

故选：B.

【分析】分情况分别求出甲、乙、丙获得冠军的概率即可求解.

【详解】根据决赛规则，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛,

(1)甲获得冠军有两种情况：①共比赛四场结束，甲四连胜夺冠，概率为=5

②共比赛五场结束，并且甲获得冠军.则甲的胜、负、轮空结果共有四种情况：胜胜胜负胜,

胜胜负空胜，胜负空胜胜，负空胜胜胜，概率分别为二?」」二.

32161616

因此，甲最终获得冠军的概率为上+3+上+上+上=j

163216161632

9

(2)乙获得冠军，与(1)同理，概率也为三.

79

(3)丙获得冠军,概率为—>一

1632

・・・丙获得冠军的概率最大.

故选：C

9.ABD

【分析】由复数除法得z=i,根据乘方(乘法)、模长及共舸复数概念判断各项正误.

l+i(1+i)22i.

【详解】z=---=---------=—=1

1-i(l-i)(l+i)2

A：Z2023=非3=[4*505+3=j3=_i为纯虚数，正确；

B：|z+iR2i|=2,正确;

C：z.I=|z|2=|i|2=l>错误;

D：z+z.i=-i-i，对应点为(-LT)在第三象限,正确.

故选：ABD

10.AD

【分析】根据各选项的条件，结合基本不等式使用的条件“一正、二定、三相等”来进行判断

即可完成求解.

【详解】当x>0时，x2-x+^=(x-^)2>0,所以/+；2彳，此时怆[/+；)2怆》(》>0),

故A正确；

sinx+」一N2此时当xX)(xHE,ZeZ)时成立，取*=-三，则sinx=-l,故B错误；

sinx2

X1<1

当x>0时f+L1-21故C错误；

x-\—

X

当xeR时，2*>0，则」■一<1，故D正确.

2'+1

故选：AD.

11.ACD

【分析】根据折线图中的数据，结合选项即可逐一求解.

【详解】A：由图可知，月收人的最大值为90,最小值为30,故A正确；

B：各个月的利润分别为20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30,

所以总利润为20+30+20+10+30+30+60+40+30+30+50+30=380（万元），故B错误;

C：这12个月利润按从小到大排为：10,20,20,30,30,30,30,30,30,40,50,60,

所以中位数与众数均为30,故C正确；

D：7月份的利润最大，为60万元，故D正确.

故选：ACD

12.ABD

【分析】由正弦定理将条件转化为角的关系，判断A,结合内角和定理和条件及余弦函数的

性质判断B,C,由余弦定理将条件转化为边的关系，判断D.

【详解】因为匕+反osA=acosB,由正弦定理可得

sinB+sin3cosA=sinAcosB,

所以sinB=sin（A-B）,

又.AfiC为锐角三角形，所以

所以正弦函数>=4!^在bH］上单调递增，

所以A—8=8,所以A=28,A正确；

因为一ABC为锐角三角形，所以^<A+B<7r,

TTTTIT

所以0<28<—，0<B<-,-<2B+B<7r,

222

所以,B正确：

64

因为A=2N,所以sinA=sin2B=2sin88sB,

所以a=2Z?cosB,

所以：=2cosB,因为,

b64

所以C错误；

因为力+Z?cosA=acosB，由余弦定理可得

^^^^L

b+b2bc=alac

所以+〃+c2-a2=a2+c2-b2，

所以/二从+权.，D正确,

故选：ABD.

13.(-1,0)

【分析】由“力=MWCOS«W知，”在/，上的投影为|a|cos,力)=背,代入数值计算

得投影，而投影向量与6共线，求出8的单位向量，写出投影向量即可.

【详解】由题知，“在6上的投影为h|cos(a力)=*,又°=卜1,6)，/,=(1,0),

所以a.〃=—lx1+0=—1,忖=+02=]；

所以同cos(a力)=-l,即4在"上的投影为T；

b

又6的单位向量为同=(1，°),所以a在8上的投影向量为(-1,0)

故答案为：(—1,0).

14.±2

【分析】根据平均数和方差的计算方法可列出关于x和y的方程组，解之即可.

【详解】平均数为1x(x+y+10+12+8)=10,即x+y=20①，

方差为3K10)2+(),_]0)2+(10_[0)2+(12-10>+(8_[0)2]=2,

即(x-10)2+(y-10)2=2②，

由①@解得x=9,y=ll或尤=11,>=9,

所以当x=9,y=ll时，x-y=-2-当x=U,y=9,x-y=2

故答案为：±2.

15.1

【分析】首先根据题意画出函数/(X)的图象，再结合函数图象即可得到答案.

【详解】画出।n的图象如图所示.

[|log05x|,x>0

因为方程/(x)=a有四个不同的解芭,々,马,匕，

故的图象与'有四个不同的交点，又由图，/(0)=1,/(-1)=2,

故”的取值范围是口,2),故〃的最小值是1.

故答案为：1

4

16.1—7T

3

【分析】将正四面体放入正方体，利用正方体的性质即得，设AB的中点为。，进而可得多

面体打汨的外接球的球心为。，然后利用体积公式即得.

【详解】如图，将正四面体ABC。嵌入到正方体中，则正四面体的体积为正方体体积

所以A8=2,EF是△AB£)的中位线,

所以EF=-A8=1.

2

D

设AB的中点为O,连接OE,OF,OG,OH,

因为OE=OF=OG=OH=OA=OB=^AB=\,

所以多面体AB-EFG//的外接球的球心为。，半径为1,

44

外接球的体积为:乃内=3".

4

故答案为：I:§乃.

17.(1)a=0.015,s；＞s；；(2)0.42

【分析】(1)根据频率之和为1求得叫根据数据的集中程度可比较方差；

(2)分别求出未来的某一天，甲、乙种酸奶的销售量不高于20箱的概率即可求出.

【详解】(1)根据频率分布直方图(甲)可得：(0.02+0.01+0.03+4+0.025)x10=1,解得

a=0.015,

根据两个频率分布直方图可得，乙种酸奶日销售量数据更集中，所以

(2)设事件4在未来的某一天，甲种酸奶的销售量不高于20箱，

事件&在未来的某一天，乙种酸奶的销售量不高于20箱，

事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱，

则P(A)=0.2+0.1=0.3,P(B)=0.1+0.2=0.3,

所以P(C)=P(A)P(B)+P(A)P{B)=0.42.

18.(1)/(X)=X2-6X+8,xe[2,4]

(2)0

【分析】(1)设xw[2,4],则4一xe[0,2],根据/(%)的周期性和奇偶性可知

/(x)=-/(-x)=-/(4-x),从而可得答案；

(2)求出〃0),/(1),”2),“3),再根据周期性即可求解.

【详解】(1)V/(x+2)=-f(x),：./(x+4)=-/(x+2)=/(X),

是周期为4的周期函数.

'/xG[2,4],—Xe[-4,-2],4-xs[0,2],

?./(4-X)=2(4-X)-(4-X)2=-X2+6X-8,

又/(4-x)=f(-x)=-/(x),

-f(x)=-x2+6x-8,BPf(x)=x2-6x+8,xe[2,4].

(2)V/(O)=O,/(1)=1,/(2)=0,/(3)=-/(l)=-l.

又f(x)是周期为4的周期函数，

:./(O)+/(l)+/(2)+/(3)=/(4)+/(5)+/(6)+/(7)

=…=/(2020)+/(2021)+/(2022)+/(2023)=0,

.,./(0)+/(1)+/(2)+-+/(2024)=/(2024)=/(0)=0.

19.(1)证明见解析

⑵叵

13

【分析】(1)利用线面平行的判定定理即可求解；

(2)利用等体积法求解点C到平面A8G的距离即可.

【详解】(1)证明：为直三棱柱，•,•Aq〃AB

又AN&平面ABC-43u平面A8G，

4及〃平面ABG

(2)解：在4?C中，AC^BC=\,NAC8=120°,

।万

则=48c的面积为一xlxlxsinl20°=J

24

・・・43。-486为直三棱柱，・・・。6，平面43。,

/.CQ-LAC,从而ACy=BC}=2

取AB的中点。，连接G。，则0。=孚

/.ABC的面积为工6乂巫=叵，

224

设点C到平面ABQ的距离为h,

由于%板二%..

-4XTX^4X2TX/I,解得让普

20.(1)一

3

Q)6a

【分析】(1)根据正弦定理和三角恒等变换的公式，结合题意化简得到得SinB=2sinBcosA，

得到cosA=:，即可求解;

2

(2)利用三角形的面积公式求得bc=8,再由余弦定理求得从+c2-8=bc，进而求得b+

的值，即可求得ABC的周长.

【详解】⑴解：因为合包与簪鲁巴由正弦定理得sinCsin8+2sinAcosB

b2sm3sinB2sinB

所以sin8+2sinAcos8=2sinC=2sin(A+8)=2sinAcosB+2cosAsinB

可得sin3=2sinBcosA,

因为0＜8＜乃，所以sinBwO,所以cosA=L

2

又因为OvAv%,所以A=?.

(2)解：由A=g,则SASC=4历sinA=26,解得税=8,

又由余弦定理cosA=什―=＜，可得匕2+02一8=尻、，

2bc2

所以(b+c)2=3bc+8=32,可得6+0=4尤，

又因为〃=2&,所以ABC的周长为6夜.

3

21.(1)——；(2)

X7tX7T

【分析】(1)由已知可得/O)=sin+再由/(x)=l得sin—+—p而

2626

2771X71X

cosx=2cos2-1=2sin2—+—-1,从而可求得结果;

~3~262

(2)由acosC+：c=。结合余弦定理可得cosA=1,得角A的值，从而可得角8的范围,

22

进而可求出/(8)的取值范围

X2X杷.XIX1

(

【详解】1)由题意得/(x)=Gsin2cos—Fcos"—=—sin—I—cos—I—

44422222

X71

—+—+—

262

x冗

因为f(x)=l,所以sin—+—

262

浮X兀x万x

所以COS2cos2-1=2sin21=4

3~~262

(2)因为acosC+L=bnax"+"———+—c=b^b2+c2-a2=be

2lab2

所以cosA=，,

2

又Ae(O,乃)，所以A=5.

所以0<8<^n7rB冗冗

6262

1B71B7113

—<sin<1,1<sin+—<—