福建省福州金山中学2022-2023学年九年级上学期月考数学试题 一（含答案解析）

福建省福州金山中学2022-2023学年九年级上学期月考数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史.如图为某对战局部

棋谱，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）

2.如图，圆。是ABC的外接圆，连接。4、OB,且点C、。在弦A8的同侧，若

NA80=50。，则/AC8的度数为（）

A.50°B.45°C.30°D.40°

3.用反证法证明时，假设结论“点在圆外'‘不成立，那么点与圆的位置关系只能是（）

A.点在圆内B.点在圆上C.点在圆中D.点在圆上或圆

内

4.对于抛物线y=2/+4,以下说法正确的是（）

A.图象关于y轴对称

B.顶点坐标为（-2,4）

C.将原抛物线向左平移两个，再向上平移三个单位长度得到抛物线y=2（x-2）2+7

D.当尤＜0时，y随x的增大而增大

5.如图，在中，ZACB=90°,NBAC=25°,以C为旋转中心逆时针旋转后得

到.OEC,且点B在边ED上,则旋转角的度数为（）

EB

D

A.65°B.60°C.50°D.40°

6.简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1,筒车盛水桶的运行轨道是以轴

心O为圆心的圆，如图2.已知圆心。在水面上方，且圆O被水面截得的弦AB长为6

米,半径长为4米.若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）

A.1米B.（4一77）米C.2米D.（4+疗）米

7.某商场销售的某种商品每件的标价是80元，若按标价的八折销售，仍可盈利24元，

市场调查发现：在以标价打八折为销售价的基础上，该种商品每星期可卖出220件，该

种商品每降价1元，每星期可多卖20件.设每件商品降价x元（x为整数），每星期的

利润为y元.以下说法错误的是（）

A.每件商品进价为40元

B.降价后每件商品售价为（64-力元

C.降价后每周可卖（220+20x）件

D.每星期的利润为y=（84-司（220+20y）

8.如图，A是O外一点，AB,AC分别与圆O相切于B,C,P是BC上任意一点,

过点P作。的切线，交AB于点M,交AC于点M若。的半径为4,Zfi4C=60°,

则..AAW的周长为（）

B

试卷第2页，共6页

A.4百B.8C.873D.12

9.已知。。的半径为2,弦A3、AC长分别为2应和26,则NB4C的度数为（）

A.30°B.45°C.15。或75°D.30°或45°

10.已知二次函数），=-产+"+。，当x<0时，函数的最大值为2,当xNO时，函数

的最大值为1.若点A（4，y“），B（xB,yB）,%在该二次函数图象上，且乙+》8<-2,

则力,力的大小关系是（）

A.B.以>%C.%=%D.<yB

二、填空题

11.若点A（-2,3）与点B关于原点对称，则点B坐标为

12.如图，A,B,C,。四点都在O上，则图中一定和相等的角是

13.在平面直角坐标系xO.y中，已知抛物线y=2（x-l）2的顶点为A,与y轴交于点B,

则AO8外接圆的半径为.

14.如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'BC,其中点4与A是对应点，点与

B是对应点，点9落在边AC上，连接48,若NACB=45。，AC=3,BC=2,则48的

长为一.

15.已知圆内接正方形边长为2,则该圆外切等边三角形的边长为.

16.如图，等边三角形ABC的边长为4,C的半径为由，P为AB边上一动点，过点

P作C的切线PQ,切点为。，则PQ的最小值为.

三、解答题

17.解方程：x2-4x-1=0.

18.如图，在RIZXA8C中，ZC=90°,AO平分284C交8C于点O,以。为圆心，OC

为半径作半圆O.求证：直线AB与半圆O相切.

19.已知圆锥侧面展开图的扇形圆心角为120。，弧长为2乃.

(1)求该圆锥的母线长和底面圆半径；

(2)求该圆锥的全面积.

20.如图，将；ABC绕点A顺时针旋转60。得到VA£)E,点B的对应点为D

(1)作出旋转后的图形(尺规作图，保留作图痕迹)；

(2)连接CE,若NCED=60。，请判断直线BC是否经过点E,并说明理由.

21.如图，A8是半圆O的直径，点C在半圆外，AC,BC与半圆交于。点和E点,

连接DE.

试卷第4页，共6页

C

D.

(1)若CE=DE,求证：点E为3c中点；

⑵在(1)的条件下，连接80,若AB=10,BC=2>/10,求80的长.

22.如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为9m)围成中间隔有

一道篱笆的长方形养鸡场，设养鸡场的宽为初，面积为)，m.

9m

B'--------------1c

(1)求y与x的函数关系及自变量x的取值范围；

(2)求养鸡场面积的最大值.

23.定义：有一组对角互余的凸四边形叫做对余四边形.

理解：(1)①若四边形ABC。是对余四边形，ZA=130。，则/C=；

②若四边形ABC。是对余四边形，则NA与NC的度数之和为；

证明：(2)如图1,MN是半圆0的直径，点A,B,C在半圆。上，CN,40相交于

点D.

求证：四边形43co是对余四边形；

探究：(3)如图2,在对余四边形ABC。中，AB=BC,ZABC=60°,探究线段A£),CD

和8。之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由.

图2

24.(1)问题：如图1,在。。中，A3=4C,点尸在弧上，村_1尸。于用，求证:

PB+PM=CM；

(2)运用：如图2,AB.PC为。。的弦，且PC_LAB于M,过4点的切线AE〃8C,

PM=3,CM=8,求A8的长.

图I

25.已知抛物线y=x■：2+bx+c.

(1)当抛物线对称轴为y轴，且经过点(-2,1)时，求抛物线解析式；

(2)已知直线y=x-2与该抛物线交于A,B两点.

①当线段AB被x轴平分时，求匕的值；

②若抛物线y=V+/w+c与x轴相交，且当x<-1时，y随x的增大而减小，一AO8的面

积为2,求c的取值范围.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.A

【分析】根据中心对称图形的概念判断.把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图

形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.

【详解】解：选项B、C、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度

后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形.

选项A的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所

以是中心对称图形.

故选：A.

【点睛】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自

身重合.

2.D

【分析】先根据等腰三角形的性质得出NAOB=80。，再根据圆周角定理，即可解答.

【详解】解：：04=08,

二ZABO=ABAO=5Q°,

：.ZAOB=180°-50°x2=80°,

/.ZACB=izL40B=ix80°=40°.

22

故选：D.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，解题的关键是掌握等边对等角，

同弧所对的圆周角是圆心角的一半.

3.D

【分析】根据反证法定义：先假设命题结论不成立，然后经过推理，得出矛盾的结果，最后

断言结论一定成立，这样的证明方法叫做反证法；据此即可求解.

【详解】解：假设结论“点在圆外”不成立，

•・•点在圆上或圆内；

故选：D.

【点睛】本题考查了反证法的定义，理解定义是解题的关键.

4.A

【分析】根据二次函数解析式结合二次函数的性质以及平移的规律，即可得出结论.

答案第1页，共20页

【详解】解：A、二次函数）=依2+加+。（。片0）,当8=0时，对称轴x=-^=0,故图象

关于y轴对称，故A正确；

B、x=-^--0,y="；b=4x：；0=4,故顶点坐标为（0,4）,故B错误；

C、将原抛物线向左平移两个，再向上平移三个单位长度得到抛物线得到

y=2（x+2）-+4+3=2（x+2）-+7,故C错误；

D、.y=2x?+4,

•••开口向上，对称轴为直线x=0（y轴），

・・・当x<0时，y随X的增大而减小，故D错误.

故选:A.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴、顶点、图像平移、增减性，根据

二次函数的性质和平移的规律逐一对照四个选项即可得出结论.

5.C

【分析】直接利用旋转的性质得出EC=8C,进而利用三角形内角和定理得出

AE=ZABC=65°,即可得出ZECB的度数，得出答案即可.

【详解】解：以点C为旋转中心，将，ABC旋转到，）EC的位置，点B在边上，

:.EC=BC,NE=ZABC,

即ZEBC=ZE=ZABC,

ZACB=90°,ZA=25°,

/.ZABC=65°,

NEBC=NE=65。,

ZECB=180°-65°-65°=50°,

•••则旋转角的度数是50°.

故选：C.

【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及三角形内角和定理，得出N£BC=NE=WC是解题

的关键.

6.B

【分析】连接OC交A8于。，连接。4,根据垂径定理得到=根据勾股定理求出

OD,结合图形计算，得到答案.

答案第2页，共20页

【详解】解：如图2,连接OC交A8于。，连接。4,

图2

点C为运行轨道的最低点，

:.OCLAB,

AD=-AB=3（米），

2

在RtZXOAD中，ODKO从-AD?="2-32=日（米），

•••点C到弦AB所在直线的距离CO=0C-0。=（4-近）米，

故选：B.,

【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对

的两条弧是解题的关键.

7.D

【分析】设商品进价为。元，根据“按标价的八折销售，仍可盈利24元”，列出方程求出商

品进价，即可逐个进行判断.

【详解】解：A、设商品进价为。元，

80x0.8-4=24,

解得：6（=40,

，每件商品进价为40元，故A正确，不符合题意；

B、降价后每件商品售价为（64-x）元，故B正确，不符合题意；

C、降价后每周可卖（220+20力件，故C正确，不符合题意；

D、每星期的利润为y=（64-x）（220+20x）,故D错误，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是求

出商品进价，根据题意，找出等量关系.

8.C

答案第3页，共20页

【分析】连接0C,证明BAfigRrACO（〃L）,得到N8AO=30。，从而求得。4的值,

再利用切线的性质得到08,4?，则利用勾股定理计算A3的长，再根据切线长定理得到

AB=AC,MB=MP,NC=NP,然后利用等线段代换求得..AMV的周长.

【详解】解：连接。C，

AB,AC分别与。切于点8、C,

：.AB^AC,OB1AB,OC1AC,

在用,430和吊ACO中，

fAB=AC

[AO=AO>

：.RtABO^RtACO（HL）,

ZBAO=ZCAO=-ABAC=30°,

2

40=230=8,

在RfA03中，AB=\IOA2-OB2=>/82-42=4X/3>

与（。相切于点P,

:.MB=MP,NC=NP,

.'.CAMN=AM+MN+AN

=AM+MP+NP+AN

=AM+BM+NC+AN

=AB+AC

=2AB

=2x46

=86，

故选：C.

M

B

答案第4页，共20页

【点睛】本题考查切线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、切线长定理，熟练掌

握切线的性质是解题的关键.

9.C

【分析】根据圆的轴对称性知有两种情况：两弦在圆心的一侧和两弦在圆心的两侧，再根据

垂径定理，含30度角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的判定和性质解答即可.

【详解】解：过点。作OE1AC于E,于D,

分类讨论：当两弦在圆心的同一侧，如图，

**.OA=2,AE=-AC=\/3,AD=—AB=\[2,

22

•*-OE=y/o^-AE2=bOD=>JOA2-AD2

A=OD=AD,

2

AZtME=30°,ZOAD=45°,

:.ABAC=ZOAD-ZOAE=15°；

当两弦在圆心的两侧，如图，

D

：.OA=2fAE=-AC=43tAD=-AB=>/2f

・•・OE=do4—AE2=1，OD=do尺一AD?=叵'

：.OE=-OAOD=AD,

29

：.ZOAE=30°fZOAD=45°,

:.ABAC=ZOAD+ZOAE=75°.

答案第5页，共20页

N54C的度数为15。或75。.

故选C.

【点睛】本题考查垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性

质.利用分类讨论的思想并正确的画出图形和作出辅助线是解题关键.

10.A

【分析】根据题意得出，对称轴为直线x=-l,根据已知不等式得出-1-进

而即可求解.

【详解】根据题意可得，抛物线开口向下，顶点纵坐标为2,与y轴的交点为（0,1）,

大致图象如图所示，

将（0,1）代入得，1=2-人2

解得：九=1（负值舍去）

，抛物线对称轴为直线x=-l,

•••/</，则点A在店B的左侧,

<-2,

+1<—1—X/j,

即XA-㈠）<7-，

答案第6页，共20页

即点A,B位于4_1两侧，且点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，

则％<%，

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

11.（2,-3）

【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，即可解答.

【详解】解：•••点4（-2,3）与点8关于原点对称，

.••点8坐标为（2,-3）,

故答案为：（2,-3）.

【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的点

横坐标和纵坐标都互为相反数.

12.NADC

【分析】可求N4BC+ZADC=180。，ZABE+ZABC=,据此即可求解.

【详解】解：由题意得

四边形A8CD是。内接四边形，

ZABC+ZADC=\80°,

ZABE+ZABC=\SO0,

：.ZABE^ZADC；

故答案：^ADC.

【点睛】本题考查了圆的内接四边形的性质，掌握性质是解题的关键.

13.电工下

22

【分析】可求4（1,0）,5（0,2）,从而可求A8=逐，取AB的中点C,则C为.QA8外接圆

的圆心，即可求解.

【详解】解：由y=2（x-l『得

A（l,0）,

当x=0时,

答案第7页，共20页

y=2(0-l)2=2,

.•.8(0,2),

AB=《O4+OB?

=7^77

=石',

如图，

0A5是直角三角形，

•・•取A3的中点C,贝DC为04B外接圆的圆心，

r.OC=—AB=—―，

22

，半径为立；

2

故答案为：立.

2

【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标，勾股定理，直角三角形的性质，三角形外

接圆，理解外接圆的圆心，掌握解法及性质是解题的关键.

14.V13

【分析】由旋转的性质可得AC=A,C=3,NACB=NAC4=45°,可得N4CB=90°,由

勾股定理可求解.

【详解】解：•••将AABC绕点C逆时针旋转得到△/1'B'C,

，AC=A'C=3,/ACB=/ACA'=45°

/A'CB=90°

ylBC2+A'C2=V13

答案第8页，共20页

故答案为布

【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是本题的关键.

15.2限

【分析】如图，作辅助线；根据勾股定理首先求出EG的长度，进而得到E。的长度；根据

直角三角形的边角关系求出AE的长度，即可解决问题.

【详解】解：如图，连接GE、0A-,由题意得EG为直径，GE必过点

B

A8C为二。的外切正三角形，

OE1AB,^OAE=ZOAH=1x60°=30°；

四边形EFG”为。的内接正方形，

:,EF=FG=2,ZEFG=90P,

由勾股定理得：EG2=EF-+FG1=8,

:.EG=242,EO=&;

在直角△AOE中，

OE

tan30°=—,

AE

AE=^-x2=x/6；同理可求BE=后，

AB=25/6,

故答案为：2晚.

【点睛】本题考查了圆的内接正方形、外切正三角形的相关性质、勾股定理，灵活运用这些

知识点是解决问题的关键.

16.3

【分析】连接OC和PC,利用切线的性质得到CQ_LP。，可得当CP最小时，PQ最小，此

时再求出CP,利用勾股定理求出PQ即可.

答案第9页，共20页

【详解】解：连接QC和PC,

和圆c相切，

：.CQ±PQ,即△CP。始终为直角三角形，CQ为定值,

当CP最小时，PQ最小，

•••△A8C是等边三角形，

.•.当CP_LA8时，CP最小,此时CPJ_AB,

•.•A8=BC=4C=4,

：.AP=BP=2,

•*-CP=VAC2-AP-=26，

•圆C的半径CQ=V5，

^PQ=yjCP2-CQ2=3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，以及勾股定理.此题难度适中，注意

掌握辅助线的作法，注意得到当PCLA2时，线段PQ最短是关键.

17.%=2+>/5,X,—2-^5

【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后,

再开方即可得.

【详解】解：•l-4x-l=0,

x2-4x=1,

:.x2-4x+4=l+4,

.•.(x-2)2=5,

x—2=>

答案第10页，共20页

X1-2+5/5，Xj—2—5/5.

【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、配方

法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解.

18.见详解

【分析】作交AB于。，可证8=OC,即可求证.

【详解】解：如图，作交A8于。，

ZACB=90°,

：.AC1BC,

A。平分N8AC,

0D=0C,

OC是。的半径，

.•.8是。的半径，

二直线A8与半圆0相切.

【点睛】本题考查了用圆的切线的判定，“作垂直，证半径”，角平分线的性质定理，掌握定

理及证法是解题的关键.

19.（1）3,1

⑵4万

【分析】（1）设底面半径为r,母线长为R,则底面周长为2万厂，由圆锥的侧面展开图扇形

的弧长等于圆锥底面圆的周长，可得2万厂=2乃，即，:1,再由圆锥的侧面展开图扇形的半

径等于圆锥的母线长，可得2万==等，即可求解；

1ot）

（2）根据圆锥的全面积等于侧面展开图的扇形的面积加上底面圆的面积，利用扇形的面积

公式和圆的面积公式计算即可.

答案第II页，共20页

【详解】(1)解：设底面半径为r,母线长为R,则底面周长为2仃,

•••圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，

••2兀r=27T，

r=1,

•.•圆锥的侧面展开图扇形的半径等于圆锥的母线长,

.•.2万=坦*

180

R=3；

(2)解：由(1)可得，R=3,r=l,

2

•c_c_120X^-X32_

••s网锥=S扇形+S底面圆=—+%'X1=4"・

【点睛】本题考查圆锥的侧面展开图、扇形的面积公式及弧长公式，熟练掌握扇形面积公式

和弧长公式是解题的关键.

20.(1)作图见解析

(2)直线经过点E,理由见解析

【分析】(1)分别以点A、8为圆心，AB为半径画弧交于点。，分别以A、C为圆心，AC

为半径画弧交于点E,再连接4、D、E即可求解；

(2)由旋转的性质可得AE=AC,NE4C=60。，^ACB^^AED,可得△AEC是等边三

角形，从而求得NAEC=NACE=60。，再由NCED=60°,可得NAC8=NAE»=120。，再由

ZACE+ZACB=\80°,可证点E、C、B在一条直线上，即可得出结论.

【详解】(1)解：如图，VADE即所求；

A

(2)解：由旋转的性质可得，AE^AC,NE4C=60。，/\ACB^/\AED,

/.△AEC是等边三角形，

，ZAEC=ZACE=ZE4C=60°,

'：NCE£>=60°,

答案第12页，共20页

ZA£3=120。，

，ZACB=ZAED=nO0,

，ZACE+ZACB=60°+120°=180°,

...点E、C、B在一条直线上，

二直线BC经过点E.

【点睛】本题考查作图-旋转变换、旋转的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握旋转

的性质是解题的关键.

21.⑴见详解

⑵6

【分析】（1）连接AE、BE、DE,可证N84£+/4B£=90°,NCDE+NBDE=90。,

ZBAE=ZBDE,从而可证=再证AB=AC,即可求证；

（2）可求AE=jAB2-BE2=3而由=即可求解.

【详解】（1）证明：连接AE、BD、DE,

AB是半圆。的直径，

ZAEB=90°,

:.ZBDC=90°,

ZR4£+ZAB£=90°,

:.NCDE+NBDE=90。,

BE=BE，

:.ZBAE=ZBDE,

答案第13页，共20页

；.ZABE=NCDE,

CE=DE,

.・.NC=NCDE,

:.ZC=ZABE,

：.AB=ACf

・•・点E为5C中点.

(2)解：

由(1)得，BE=-BC=y/lQ,

2

AC=AB=\O,

ZAEB=90°

AE=[AB2-BE。

=Ji02TMy=3回,

4?是半圆。的直径，

：.ZADB=90°,

ADVAC,

:.-ACBD=-BCAE,

22

.­.-xl0BD=-x2>/i0x3Vi0,

22

：.BD=6.

【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，掌握性质是

解题的关键.

22.(l)y=-3x2+30x(74x<10)

(2)养鸡场面积的最大值为63m2.

【分析】(1)由题意可求出3c=(30-3x)m,则可求出养鸡场的面积为

答案第14页，共20页

Afi-BC=（-3x2+30x）m2.再根据墙的最大可用长度为9m,且BC>Om,即可求出x的取

值范围；

（2）根据二次函数的性质求出y的最大值即可.

【详解】（1）解：:•养鸡场的宽A8为“n,

Z.养鸡场的长3c=（30-3x）m,

养鸡场的面积为ABBC=x（30-3x）=（-3x2+30A）m2.

•••墙的最大可用长度为9m,

A0m<BC<9m,即0<30-3x49,

解得：7<x<10,

y=-3x2+30x（7<x<10）；

（2）解：y=-3f+30x=-3（x-5）2+75,

V-3<0,

该二次函数图象开口向上.

•••该二次函数对称轴为直线x=5,

.•.当7Mx<10时，y随x的增大而减小，

.•.当x=7时，y最大，此时y01ax=-3（7—5）2+75=63,

/.养鸡场面积的最大值为63m2.

【点睛】本题考查二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用.理解题意，找出等

量关系，正确列出等式和熟练掌握二次函数的性质是解题关键.

23.（1）①140。；②90。或270。；（2）见解析；（3）AD2+CD2=BD2,理由见解析.

【分析】（1）①由对余四边形的定义可得出NA+NC=90。或/3+/D=90。，再根据

ZA=130°>90°,即得出NA+/C=270°,从而得出NC=14O。；②由①可直接得出答案；

（2）连接根据圆周角定理可得出NBQV=2N3CN,NBOM=2ZBAM.再根据

NBON+/BOM=180。,即可求出/BAD+/BCD=90。，即证明四边形A8CD是对余四边

形；

（3）根据对余四边形的定义结合题意可求出Z4DC=30。.将△BCD绕点8逆时针旋转60。，

得到△BAR,连接ED,即得出ZF8O=60。，BF=BD,AF=CD,ZBDC=ZBFA,从而

可证△WT）是等边三角形，得出BF=BD=DF.又可求出/BE4+NAD8=30。，结合

答案第15页，共20页

ZFBD+ABFA+ZADB+ZAFD+ZADF=180°,可求出NA/D+ZA£>F=90°,即440=90。,

最后根据勾股定理证明即可.

【详解】解：（1）①；四边形ABCD是对余四边形，

NA+NC=90。或々+"=90°.

z64=130°>90°,

,ZB+ZD=9Q°,ZA+ZC=360°-90°=270°,

zc=140°.

故答案为：140。；

②由①可知ZA+NC=90°或NA+NC=270。.

答案为：90。或270。；

（2）证明：连接。B,如图，

ZBON=2NBCN,NBOM=2ZBAM.

,/NBON+ZBOM=180°,

二ZBAM+NBCN=90°,即ZBAD+NBCD=90°,

二四边形49co是对余四边形；

（3）解：AD-+CD1=BD-,理由如下：

:对余四边形A8CO中，ZABC=60°,

：.ZADC=30°.

将△38绕点B逆时针旋转60。，得到△BAF,连接FO,如图,

:._BCgjBAF,ZFBD=60°,

:.BF=BD,AF=CD,NBDC=NBFA,

答案第16页，共20页

，是等边三角形，

，BF=BD=DF.

'：ZADC=30°,

：.ZADB+NBDC=30°,

：.ZBFA+ZADB^30°.

'：AFBD+ZBFA+ZADB+ZAFD+ZADF=180°,

，60°+30°+ZAFD+ZADF=180°,

ZAFD+ZADF=90°,

：.ZE4£>=90°,

,AD2+AF-=DF2，

/•AD1+CD1=BDr.

【点睛】本题考查四边形内角和，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识.读

懂题意，理解对余四边形的定义是解题关键.

24.（1）见解析；（2）AB=IO

【分析】（1）过点A作交8P延长线于点O,由圆周角定理及等腰三角形的性质可

得=证明Ar>Pg-AMP（AAS）,再利用全等三角形的判定与性质可得结论;

（2）连接A。并延长交BC于点。，连接4C,由切线的性质及等腰三角形的性质可得

AB=AC,证明,PAMsBCM,得出=,设AM利用勾股定

理联立方程，解方程组即可求解.

【详解】（1）证明：过点A作相>，8尸交8尸延长线于点。，

AMA.PC,

:.ZADP=ZAMP=9O°,

AC=AC'

\?APC2ABC,

答案第17页，共20页

AB=AC,

:.ZABC=ZACB,

:.ZAPC=ZACB,

ZAPB+ZAPD=180°,ZACB+ZAPB=180°,

:.ZAPD=ZACB,

:.ZAPD=ZAPC,

在△AZ»和二AWP中，

ZADP=ZAMP

<ZAPM=NAPD,

AP=AP

ADP^,AMP(AAS),

:.PM=PD,AD=AM9

在RtAOP和RtA也「中，

jAD=AM

[AB=AC'

...RtADB^RtAMC(HL),

:.BD=CM,

:.CM=BP+PD=BP+PM