2023(正)线性代数练习册答案

第一章行列式

学问点：

全排列及逆序数，〃阶行列式的定义，对换

行列式的性质

行列式按行（列）绽开

克拉默法则及其相关理论

克拉默法则解线性方程组

学习目标：

1.理解行列式的定义和性质，驾驭行列式的计算方法.

2.驾驭二、三阶行列式的计算法.

3.驾驭行列式的性质，会计算简洁的〃阶行列式.

4.驾驭Gramer法则及其相关理论.

5.驾驭应用Gramer法则解线性方程组的方法.

1-1二阶、三阶行列式

一、填空题

25

1.=

37

125

3.O31=

002

1.—12.ab(b-a)

1-2逆序数与n行列式的定义

填空题

L排列5371246的逆序数为

2.排列1,3,∙,(2"-l),2,4,,2〃的逆序数为

六阶行列式中，∣的符号为

3.α3α25036α41054α60

〃("1)

IO23.负

2

1-3行列式的性质与计算

一、利用行列式的性质计算下列各行列式:

102100204

1.199200397

301300600

102100204CLC221004214

C

3-2C2

1.199200397—-1200-3=100-12-3

30130060013000130

0-54

z2+z3-54

=10005-3=100-500

5-3

130

Xy000

0Xy00

2.00X00

000Xy

y000X

Xy000Xy000y0000

0Xy000Xy00Xy000

2.00X00-X00X00+(-i)π+'y0Xy00

000XV000Xy00Xy0

X.VX

y0000000/:-1000y

=x,,+(-l)n+1/

2341234

3411341

c∣÷1010

4121412

123123

234

I1-3

=160

0-4-8

00-4

:、试将下列式化为三角形行列式求值:

2-512

-37-14

5—927

4-612

2-5121-5221-522

4+4

-37-14-17-3402-16

C∣ʤG——

5-9272-9570113

4-6121-6420-120

1-5221-5221-522

0-120rr0-1204-<j0-120

i+2=-9

0113八+2(00330033

02-1600360003

三、用降阶法计算下列行列式:

-22-40

4-135

31-2-3

2051

-22-40-200

4-135c2+ci43-5

31-2-3C3-2C[34-8

2051221

-7-105

c,2q—7一10

'3-210-5-3=-2=-270

C-,C-,10-5

四、计算下列行列式:

21000

12100

01210

00120

00002

2100.011000

1210.002100

0121.001210

解：D=2=2D,ι-D7

n0012.000120

•••••••・•••••

0000.200002

=>Dn-D1,^=D,—Dn-2ɔ==D2-D»,=3-2=1

=>£>“=，+"—1=〃+1

Cramer法则

一、利用Cramer法则解下列方程组

xi+x2+xi+x4=5

√v∣+2%2—玉+4%=-2.

2%—3X9一刍-5%4=-2'

3XI+X2+2X3+11Λ4=0

解因为

D==-142,

5I1

1T41

2TT

Λ=-142,D2=-2-5

3-O2211

151i15

J24l12

M∙

l2-252-2I42

-726,D4=

3-13-O2113-13-O2

所以％=苗=1'/=无^=2,W=方=3,⅞=-^-=-l.

(1一丸)西一2Λ^+4f—O

二、问/1取何值时，齐次线性方程组(2%+(3—4)々+七=0有非零解?

xl+Λ2+(1-Λ)Λ⅛=0

解系数行列式为

4

D-1--3+Λ4

-λl-ΛI

O1-Λ

=(I-A)3+(2-3)-4(1-Λ)-2(l-∕l)(-3-Λ)

=(l-Λ)3+2(l-Λ)2+Λ-3.

令》0,得

Λ=0,2=2或Λ=3.

于是，当&0,A=2或2=3时，该齐次线性方程组有非零解.

第一章复习题

一、选择题(选项不唯一)

41。12.132《12al22《3

a;那么。］=(

1.D=2∖。22。23=M≠0;D1-2。3|2。322。33

。31。32。332。21

A2MB-2M

C8MD-8M

aWa∖2"134aιι2q1一3弓2Q∣3

二;那么D]=(

2.D]6?22。23=1;D1=4。212。21。23

1&a334%

A8B-12

C24D-24

3.下列n阶行列式的值必为零的是()

(A)行列式主对角线的元素全为零

(B)三角形行列式主对角线有一个元素为零

(C)行列式零元素的个数多于n个

(D)行列式非零元素的个数小于n个

4.假如

3x+6一Z二O

<4y+z=0有非零解，则()

kx-5y-Z-O

(A)k=Q(B)k=∖

(C)k=-∖(D)k=-3

1.D2.B3.B,D4.C,D

二、填空题

3421536215

1.行列式：

2809230092

2.已知4阶方阵A,其中第三列元素分别为1,3,-2,2,它们的余子式的值分别为3,-2,

1,1,则行列式IAI=

ab0

3.若α,0均为整数，而—ba0=0,则a=；b=

1000-1

234

4•若4阶行列式为:678

Aij为其代数余子式,

348

6789

贝11243+10Λ3+4A33+12A43=

1.122460002.530；04.0

三.计算下列行列式

5042

1-121

I.

4120

Illl

504250

2542

1-121r+r1-1

i2=-l(-l)2+254

1.1r2-η-Q0-1

412Oq+250

2232

111120

2+354

1)23=-7

11.1

222.2"

2.332.3"

nn2.n"

11111

2222"12

2.3323"=2χ3χ×Z713

nn2n"1n

=nln(7-Z)=rt!(n-l)!2!1!

l≤<<7≤n

1+0∣11…11

11+nɔ1...1

3.11l+tz311(a,∙≠O,Z=1,2,••>,«)

1

111…11+4

解：

111111

∖+a1111

i01+41111

11+%111

-011+4,111

111+/J11—

011l+α311

ɪ1

01

1111l+α,,

0111

各行减去第一行得行列式:

I111111÷Σ⅛11111

/=1

-1a.I0000

0czl0000

-10a200011

C∣H------C>2++—ς.00000

-100«300q%

000∩C*∖00

■(

♦•

••

-10000a,H,

000004

=d÷∑⅛)∏^

a

Z=Ii/=I

四、证明题

x-1000

0X—100

.证明............,

1x"÷<7∣√V'+...+dn_\X+dn

000x-1

ana,1a„_2a2x+al

证：将行列式从最终一列起先渐渐将后一列的X倍加到前一列上去，得到原行列式等于

0-10...00

00-1...00

000...0-1

,1...x1+ax+ax+a

x"+tz∣x+...+fl,,-∣x+<Λnl2i

-100

0-10

=(-l),l+l(%n+ax"^i+...+a_x+a)=Xn+6Fx"^'+

ln}ll1..+an^x+an

0

00-ɪn-∖

笫一章自测题

一、填空题

L若。"=卜/=a,则Z)=I-%I=_______

IllO

Olll

12345

77733

3.设M=32452则4+&+&=---------------------------'&4+

33322

46523

00010

00200

4.D=

02007000

20080000

00001

l.(-l),,a2.-33.0；04.2008!

二、选择题

103100204

L三阶行列式A=199200395的值为()

301300600

A.0B.1C.2000D.1000

Ioc-Vz=0

2.当()时,2x+6+z=O仅有零解

kx-2y+z=O

(A)Zr≠0(B)k≠

(C)k≠-2(D)k≠2

ahcd

cbd

3.设四阶行列式£，。,反Gd各不相同，则44+A24+A4+A44

dbCa

abd

A.0B.abedC.abc1D.abd2

λx+x

4.方程组∖'^0有非零解，则Λ=_____________

xl+λx2=0

A.1B.±1C.0D.-1

ɪi4⅞

.设£是方程=。的三个根，则行列式x

5x∣,x2,x'+'x+Pɪɜ∖*2=

々⅞玉

A.0B.pC.p2D.p3

1.C2.D3.A4.B5.A

三、计算题（每小题10分，共30分）

5231

8111

523155

01-11c+c00

D=23-l(-l)2+37-11

7-101C4+Cj7—1

811182

q+7c,4059

C3+c2409

=0-10==38

224

2224

解：从最终一行起先，渐渐往前做相邻交换，然后从最终一列起先，做相同的变换，得原行

列式等于：

111

a-na-n+]a

JI(Xj-Xj)=2!1!

(a-ri)n~'+Tl<i<y≤Λ+l

(a-ιι)"(α-n+l)”

其次章矩阵及其运算

学问点：

矩阵的概念，矩阵的运算

逆矩阵，矩阵分块法

学习目标：

L理解矩阵的概念，了解单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵及其性质.

2.娴熟驾驭矩阵的线性运算、乘法运算、转置及其运算规律，对矩阵的乘法应重点讲解.

3.理解逆矩阵的概念，驾驭逆矩阵存在的条件及求逆的方法、矩阵分块法.

2-1矩阵的运算

1-11、(\23

设矩阵4B=,求A+28,2A-3B∙

U1-M-24

337-1-8—7、

解答:

1-1-37)58-14；

二.计算下列矩阵的乘积

'13，3

f210、1-P

1.0-12.0

4>-iθ>

lɪ-i、4,2

’65-3、

(25、

解答:1.2.0-10

1174,

、4-2-2?

三、选择题

1.对随意〃阶方阵A8总有（）

A.AB=BAB.IABI=I刚C.(AB)τ=AτBτD.(AB)2=A2B2

2.设AB是两个〃阶方阵，若AB=O则必有（）

A.A=O且8=0B.A=O或B=OC.M=O且恸=0D.∣A∣=0或冏=0

3.设A,B均为〃阶方阵，则必有()

A.(AB)r=BτArB.∣A+β∣=∣A∣+∣B∣C.(A+B)τ=A+BD.(AB)T=ATBT

4.下列结论中，不正确的是()

(A)设A为〃阶矩阵，贝IJ(A-E)(A+E)=A?-E

(B)设AB均为〃xl矩阵，则A'8=F4

(C)设A,B均为〃阶矩阵，且满意AB=0,51∣J(A+β)2=A2+fi2

(D)设AB均为〃阶矩阵,且满意AB=B4,^AkBn,=BmAk,(k,meN)

'200、

5.设A=O01,则/=()

、01Oj

(A)-32(B)32(C)IO(D)-IO

答案：1.B2.D3.A4.C5.A

'120、

23-1

四.设A=340,B=.求⑴ABr;(2)∣4A∣

1—240

2"

五.1.设AB为同阶对称矩阵，证明AB+84也为对称矩阵.

2.设48为"阶矩阵，且4为对称矩阵，证明比仿也是对称矩阵.

证明：因为/=4所以

(JfAS)7=Ar(Ml)r=^ArB=lfAB,

从而U/8是对称矩阵.

2-2逆矩柞

一.填空题

1.若AB都是方阵,且同=2,恸=一1,则IATM=。

(-331、

2.已知网=4,且AT=L-404,贝∣JA*=________,det(A*)

%—1—3,

3.若A?=?!,且A不是单位阵，则IAI=

"12-2、

4.设A=4α-1,8为三阶非零矩阵，且AB=O,则α=

<3-11>

5.设A是三阶方阵，且IAl=Ty,求∣(3A)T-18A*)∣

(-331、

答案：1.--2.-4O4,163.O4.15.-1

I5T9

二.选择题

1.设〃阶方阵A,6,C满意ABC=£,则必有()

A.ACB=EB.CBA=EC.BAC=ED.BCA=E

2.设A为〃阶可逆矩阵，下列运算中正确的是()

A.(2A)τ=2ArB.(3A)^1=3A^'C.[((A)r∕Γ'=[(A^')^l]rD.(AT)T=A

3.设A,8均为〃阶可逆矩阵，则下列各式中不正确的是()

A.(A+B)τ=Ar+BτB.(A+B)^l=A^l+B^'

C.(AB)T=BTATD.(AB)τ=BτAr

答案：1.D2.A3.B

≡.计算题

'112、'100、

1.设A=223B=211,矩阵X满意方程AX=3,求X.

、433,‹-122,

'3-31Yl2f(34-7、

T.A

τ1,

解：2.AX=B'X=A''B=r7B-65-1012=-6-814

A272

IIJ-1θΛθ13-4;

(\2、(10)

2.设P=,B=且AP=P3,求A”

Vlθ2)

'12Y1011(4-T

解：3.AP=PB=>A=PBP-'nA"=PB"P'

4乂O2n)2[-2I

J7

2-2"2,1-l

2-2n+'

四.证明题

1.设方阵A满意证明A及4+22都可逆，并求A-'及(J+2£)-'.

证明由#-4-2丘。得

A2-A=2E,即力(小区=2瓦

或A∣(Λ-E)=f>

由定理2推论知/1可逆,且AT*(A-E)∙

由才一4-2丘0得

才-/-6氏-4£即(4+290-39=-4£

或(A+2E)~(3E-A)=E

由定理2推论知(4+2£)可逆，且(A+2E)T=i(3E-A)

证明由/-力-2氏0得才-1=2£两端同时取行列式得

I/-J1-2,

即∣J∣∖A-E∖=2,

故∣J∣≠0,

所以力可逆，而4+2氏J2,力+2£|=|川=㈤》0,故∕f+2f也可逆.

由Ai-A-2E=O=A(A-⑥=2E

=2∕4-1fi=>AT=g(A—F?),

又由才-4-2氏3(1+2£)4-3(4+2^=-4/

=>(A+2β㈤3£)=-4E,

所以α+2i)-l(A+2E)(4-3£)=-4(J+2E)」，

(A+2E)-'=∣(3E-A)∙

2-3分块矩阵

一.填空题

1.设3阶矩阶A=(α∣,Ay),5=他,6,7)且W=2,忸|=一1,则|4+邳=

'121、

2.设行矩阵A=(q,%q),3=(4也,4),且A/B=-1-2-1,ABT=.

,121.

830、

0、A

3.若A,B520C=,则Iq

【32JB)

00V10

4.设3阶方阵A按列分块为A=(α∣,4)(其中%是A的第，列)，且∣A∣=5,又设

B=(a1+2a2,3al+4a3,5α2),则忸I=

034、

5.设A为加阶矩阵，B为〃阶矩阵，且∣A∣=α,忸|=从若C=，则ICl

BOJ

I.42.03.64.-IOO5.(-l)mn3mab

计算题

-4200、

2000

L设A且84=A+6,求同，∣4Tl和矩阵B.

00-73

005-1>

'-4200、'-1-200、0-200\

2000-2-500-2-400

解：B=A(A-E)

00-7300-2-500-1-3

,005-b,00-3-8700-5-7

-4200

2000-42-73\

H==-4x(-8)=32,”

00-73205-1M32

005-1

200

r5

2100

2.求矩阵O083的逆阵∙

052

解

832-3

5258

I

200fZ1200

r5、

是2100zAY-z2500

dl-∕-

O083-BAn-—-0023

∖y∖-

"052B-Il/0058

<-

3.设下加⅛A,其中尸=（一I一），A=，1°｝求

解由尸/代A,得A=PAPj,所以/=J=∕Λ"Λ'.

(27312734

1-683-684j

第三章矩阵的初等交换与线性方程组

学问点：

矩阵的初等变换、矩阵的秩

初等矩阵

线性方程组的解

学习目标：

I.驾驭矩阵的初等变换.

2.理解矩阵秩的概念及求法.

3.驾驭初等矩阵的运算.

4.理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解非齐次线性方程组有解的充要条件.

5.驾驭用行初等变换求线性方程组通解的方法.

3-1矩阵的初等变换

一.推断题

1.初等矩阵都是可逆矩阵。（）

2.初等矩阵乘初等矩阵还是初等矩阵。（）

3.初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵。（）

4.用初等改变法求逆矩阵时，可以同时做初等行改变和初等列改变。（）

5.矩阵可逆的充分必要条件是此矩阵可以表示成有限个初等矩阵的乘积。（）

答案：√×√×√

二.将下列矩阵化成最简形矩阵:

1-15-1

1.3-181

13-97

5-1弓+普

「2-3r∣

t∖+-r

3-181O2-74——22->

13-97O4-148

1O3/2

02-7

OOO

1-11-2

2,-12-12

20-12

1-11-21-11-2

2+c

-12-125-24〉O1OO

2O-12O2-36

101-21OOO

n-1∙

OlOO3O1OO

001-2OO1-2

033、

三.设A=11O,且Aβ=A+26,求8。

1-123；

解：AB=A+2B^(A-2E)B=A

'-233033、"013253、

(Λ-2EA)=I-101101-10110

、—121—123,(011033J

'002220、01110、'100033

——›1-10110——>100033--->010-123

11033,、010-123J001110

、°κ

'033、

所以B=-123

J1

（321}

四.试利用矩阵的初等变换，求方阵315的逆矩阵。

1323）

6

21IO321A1O

r35ol4l

1O07AI0

323oo1002o1

'7

3OO

r3O203/20-1∕2A0To7/21-9/2)

-1011-20ol1O-2

Io02-101-1/21/2,

IOO

olo7/642/3一3/22、

-

oolV2-01

-/2

723

---

632

故逆矩阵为T2

11

--O1-

22

3-2矩阵的秩

一.填空题

L设加X〃矩阵A,且R(A)=r,。为A的一个r+1阶子式，则D=

U-1-P

2.矩阵0-1—1的秩等于.

、00f

'aibialb2。也、

3.设矩阵A=a2bia2b2a2h2,其中4伪声0(i=1,2,3)则R(A)=

a3b2a3b3)

4.设3阶方阵A的秩为2,矩阵

'010、TO0、

P=IoOQ=O1O,若矩阵8=24Q,则R(B)=

、0O1>JO1>

q1-610、

5.已知A=25k7,且其秩为2,则左=—

‹12-13

答案：1.02.33.14.25.3

二.选择题

1.己知A有一个r阶子式不等于零，则R(A)=()

A.B.r+1C.≤rD.≥r

2.设A为3x4矩阵，若矩阵A的秩为2,则矩阵3A7的秩等于（）

A.1B.2C.3D.4

3.设A是九阶阵，且Aβ=AC,则由（）可得出B=C

A.∣A∣≠0B.A≠0C.R（A）<〃D.A为随意N阶矩阵

答案：1.D2.B3.A

三.计算题

1.试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵：

（32n

（D315；

（323）

IOOOO

(3211

5ololo

解

oolOO-1O4-1ol

320

3/2O-4/2、（37/22一9/21

0T02OOTO112

-

0O21Oo1l/2OV2

-ɪ/

OO6

rollo2/T3

7-/42

N。

ol20

-1/

723Λ

--

--

632

72

故逆矩阵为11

--O1-

22

√

(41-2)fl-3)

2.设A=221B=22,求1使4忌8

(31-1J(3-1J

解因为

1IOO10处

-±

f4232^二olo

15

(AB)=231oolI2-3

C-LI

024J

3

以5-

24

244X

-x

T3-3l

o-8l的秩，并求一个最高阶非零子式:

5y

(下一步：r∣-Z2,12-2ΓI,Z⅛-7ΓI.)

44

-

19n

327-51(下一步：23-312.)

-1

/13-4-4lʌ

-O-7119-5,

IOoOOOJ

32

矩阵的秩是2,=-7是一个最高阶非零子式.

2-1

/1-2

4.设A=—12k—3,问A为何值，可使

IZ-23)

⑴斤(4)=1;(2)斤(力=2;(3)Aa)=3.

(1-23公)—1k\

解A=—12k—3〜k—1k-∖

“23)0—(女—l)(k+2),

⑴当〃=i时,Ea)=1；

⑵当k=-2且A≠l时，Jf(A)=2;

⑶当枚1且枚-2时，Jf(A)=3.

3-3线性方程组的解

一.选择题

1.若方程组？U=O有非零解，则方程组AX=人必()

A.有唯一解B,不是唯一解

C有无穷多解D.无无穷多解

2.线性方程组AX=O只有零解，则AX=OSHo)()

A.有唯一解B.可能无解C.有无穷多解