2023-2024学年湖北省新高考联考协作体高三（上）起点数学试卷（9月份）（含解析）

2023-2024学年湖北省新高考联考协作体高三（±）起点数学试

卷（9月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.设复数z满足：（l+i）z=2—i,则z的虚部为（）

A.》1B.l1C.-3|iD.-3|

2.已知集合A=（x\x2-5x+4>0},集合B=（%eZ||x-l|<2},则集合（CR4）DB的元素

个数为（）

A.1B.2C.3D.4

3.设等差数列{an}的前n项的和为Sn，满足2a3-a5=7,a2+S7=12,则S”的最大值为（）

A.14B.16C.18D.20

4.已知（2x+ay）（x-2y）4的所有项的系数和为3,则/y3的系数为（）

A.80B.40C.-80D.-40

5.己知圆。的直径4B=4,动点M满足MA=CMB，则点M的轨迹与圆。的相交弦长为（）

AQB.贮C江D.

333

6.设函数+则函数）/=/（/（：0-1）一1的零点个数为（）

\LTIXfXU

A.4B.5C.6D.7

7.已知来自甲、乙、丙三个学校的5名学生参加演讲比赛，其中三个学校的学生人数分别为

1、2、2.现要求相同学校的学生的演讲顺序不相邻，则不同的演讲顺序的种数为（）

A.40B.36C.56D.48

8.已知a=sin?,b=率，c=Zn2,则a,b,c的大小关系为（）

32

A..a<c<ba<b<cC.c<a<bD.c<b<a

二、多选题（本大题共4小题，共20.（）分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列说法正确的是（）

A.若直线（a—l）x+y—1=0与直线2x+ay—2=0平行，则a—2或—1

B.数据1、5、8、2、7、3的第60%分位数为5

C.设随机变量X〜8（123）,则P（X=k）最大时，k=6

D.在AABC中，若acosA=bcosB,则A/IBC为等腰三角形

10.已知函数/'(x)=sinxcosx+—y,贝U()

A.点©,0)为y=/(x)的一个对称中心

B.函数y=/(x)在区间(-今-力上单调递增

C.函数y=2f(x)在区间［0币上的值域为［1,2］

D.若函数y=/(x)在区间［0,可上只有一条对称轴和一个对称中心，则］<a<g

11.在棱长为2的正方体ABCD-力iBiGDi中，点M,N,P分别为AB,44「&劣的中点，

则()

A.PN〃平面4BG

B.点B到平面PMN的距离为?

C.%N、DA.CM相交于一点

D.平面PMN与正方体的截面的周长为6，^

12.已知双曲线/_［=1的左右顶点为A2,左右焦点为尸［,F2,直线/与双曲线的左右

两支分别交于P，Q两点，贝M)

A.若/FJB=小则APFiB的面积为2—5

B.存在弦PQ的中点为(1,1),此时直线，的方程为2%-y-l=0

C.若P4的斜率的范围为［—8,-4］,则外的斜率的范围为［一2一勺

D.直线I与双曲线的两条渐近线分别交于M,N两点，则|PM|=\NQ\

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.若向量不=(1,/c),b=(2,—1)，且|方+2+=|a-2^1)则己+石与方的夹角为.

14.一家物流公司计划建立仓库储存货物，经过市场了解到下列信息：每月的土地占地费y1(

单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月库存货物费丫2(单位：万元)与工成

正比.若在距离车站10km处建立仓库，则％与丫2分别为4万元和16万元.则当两项费用之和最小

时％=(单位：km).

15.已知直线y=kx-1是曲线y=x+mx与抛物线y=ax2+(2-2a)x-3的公切线，则

CL—•

16.在△4BC中,AB=AC=，IU，BC=2,将△ABC绕着边BC逆时针旋转冷后得到△DBC,

则三棱锥。-ABC的外接球的表面积为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知数列｛斯｝的首项的=I，满足即+1=静式几eN+).

(1)求证：数列｛；一1｝为等比数列；

an

(2)记数列｛；｝的前几项的和为〃，求满足条件7；<100的最大正整数n.

18.(本小题12.0分)

已知a,b,c为△ABC的三个内角4B,C的对边，且满足：acosB+I5asinB—b—c=0.

(1)求角4

(2)若AABC的外接圆半径为亨，求4A8C的周长的最大值.

19.(本小题12.0分)

如图所示，在三棱柱4DF-BCE中，侧面4BCC是边长为2的菱形，/.ABC=侧面4BEF为

矩形，AF=4,且平面4BCD_L平面4BEF.

(1)求证：BD1CF；

(2)设M是线段力尸上的动点，试确定点M的位置，使二面角M-BC-。的余弦值为手.

20.(本小题12.0分)

为了研究吸烟是否与患肺癌有关，某研究所采取有放回简单随机抽样的方法，调查了100人,

得到成对样本观测数据的分类统计结果如下表所示：

肺癌

吸烟合计

非肺癌患者肺癌患者

非吸烟者251035

吸烟者155065

合计4060100

(1)依据小概率a=0.001的独立性检验，分析吸烟是否会增加患肺癌的风险；

(2)从这100人中采用分层抽样，按照是否患肺癌抽取5人，再从这5人中随机抽2人，记这2人

中不患肺癌的人数为X,求X的分布列和均值；

(3)某药厂研制出一种新药，声称对治疗肺癌的有效率为90%.现随机选择了10名肺癌患者，

经过使用药物治疗后，治愈的人数不超过7人.请问你是否怀疑该药厂的宣传，请说明理由.

参考公式和数据:

2

驻中几

n(ad-bc)a+b+c+d；且Xo.ooi=10.828.

①f(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

②0.98x0.430；概率低于0.08的事件称为小概率事件，一般认为在一次试验中是几乎不发生

的.

21.(本小题12.0分)

已知函数/'(x)=|ax2—x—2lnx—

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)20在其定义域内恒成立，求a的范围.

22.(本小题12.0分)

已知椭圆各马=l(a>b>0)的离心率e=殍，且经过点

(1)求椭圆E的方程；

(2)设直线，：y=Zcx+m与椭圆E交于A,B两点，且椭圆E上存在点M,使得四边形OAMB为

平行四边形.试探究：四边形04MB的面积是否为定值？若是定值，求出四边形OAMB的面积；

若不是定值，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：由(l+i)z=2-i,得z=恁JLII=(.X热ICJ(二AC？J=a»"L

••.Z的虚部为一|.

故选：D.

把己知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化筒得答案.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

2.【答案】B

【解析】解：由/-5x+4=(%-1)(%-5)>。解得x>4或x<1,

所以4={x|x>4或x<1},ZRA={x|l<x<4},

又因为B={xGZ\\x-1|<2}=[%GZ|-1<X<3}={-1,0,1,2,3},

所以(C/)nB={2,3},元素个数为2.

故选:B.

化简集合4B,利用集合补集和交集的概念求出(C/)nB进而得到元素个数即可.

本题考查并集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

3.【答案】B

【解析】解：设{即}的首项为由,公差为d,

所以等差数列{册}的通项公式为“=%+(n-l)d,前n项的和公式为%=几的+磅pd,

则由题意有2a3-。5=2(%+2d)—(%+4d)=7,&+S7=(4+d)+(7的+—^―d)=(%+

d)+(7%+21d)=12,

由以上两式解得的=7,d=—2,因此0n=7—2(n—1)=9—2n,

令斯=7-2(n-l)=9-2n>0,解得1<n<4,

从而数列得前4项为正，其余项为负，故又的最大值为$4=4x7+写x(-2)=16.

故选：B.

首先把已知条件表示为两个基本量首项的与公差d的关系式，进而求出基本量，要使得土最大，只

需把前面有限项符号为正的那些项相加即可.

本题考查等差数列的通项公式与前几项和公式，考查学生逻辑推理与数学运算的能力,属于中档题.

4.【答案】D

【解析】解：由题意令(2x+ay)(x-2y)4中x=y=1即可得到(2+a)X(1-27=2+a=3,

解得a=1,

此时(2x+ay)(x-2y＞变为了(2x+y)(x-2y)3若要得到/y3这一项分以下两种情形：

情形一:第一步若取(2x+y)中的2x,则第二步只能取1个(x—2y＞中的x,取3个(x—2y)，中的

-2y,

所以由分步乘法计数原理以及组合数可知情形一所对应的％2y3的系数为2x盘xPX(-2)4-1=

2x4x(-8)=-64；

情形二：第一步若取(2%+y)中的y,则第二步能取2个(x-2y＞中的％,取2个(x-2y＞中的一2y,

所以由分步乘法计数原理以及组合数可知情形二所对应的/y3的系数为1X盘xMX(-2)4-2=

1x6x4=24.

因此由分类加法计数原理可知(2x+y)(x-2y)4的展开式中标/的系数为-64+24=-40.

故选：D.

由题意令(2x+ay)(x-2y＞中x=y=1即可求得a的值，进一步若要得到/y3,由分类加法以及

分步乘法计数原理再结合组合数即可求解.

本题考查的知识要点：二项式的展开式，组合数，配对问题，主要考查学生的理解能力和计算能

力，属于中档题.

5.【答案】A

【解析】解：由题意，以线段AB的中点。为原点，以直线4B为x轴，建立平面直角坐标系，

可设力(一2,0),8(2,0),圆。的半径为2,其方程为：x2+y2=4@,

设动点由从而有J(x+2产+y2=J陵―2)2+丫2,

化简得：x2+y2-12%+4=0)即(x—6＞+y2=②，

由①-②可得相交弦的方程为：x=|，圆心。(0,0)到x=|距离d=

所以公共弦长为2c=2x殍=?.

故选：A.

设M(x,y),由距离公式化简整理可得点M的轨迹，两圆相减得公共弦直线方程，利用几何关系即

可求出弦长.

本题考查了点的轨迹方程和弦长的计算，属于中档题.

6.【答案】C

【解析】解：令t=/(%)_1,则由/(t)-1=0即f(t)=1解得t=-2或0或e,

在同一平面直角坐标系中分别作出y=/(x),y=-l,y=l,y=e+1的图象如图所示，

由图象可知y=f(x)与y=-1有1个交点，即/(x)-1=一2有1个根，

y=/(%)与y=1有3个交点，即f(x)-1=0有3个根，

y=/Q)与y=e+1有2个交点，即/(x)-1=e有2个根，

所以函数y=/(/(x)-1)-1的零点个数为1+3+2=6个，

故选：C.

利用换元法，t=/(x)-1,先解出/(t)-1=0时t的值，然后再根据y=的图象，判断f(x)=

t+1时，x的个数.

本题考查抽象函数的零点与数形结合思想，属于中档题.

7.【答案】D

【解析】解：设这5个人分别为：ABCDE,则要求B与C和。与E的演讲顺序都不能相邻.

第一类：A在BC中间，此时再把。与E插空到这3人中间，

此时的不同的演讲顺序有掰题=24；

第二类：A不在BC中间，此时先考虑B与C和。与E,分别将他们看成两个人的整体，再将他们的

顺序应相间排列，最后考虑人此时的不同的演讲顺序有题腐朗为=24.

综上可得：总共有48种不同的演讲顺序.

故选：D.

根据题意可按照分类加法和分步乘法计数原理进行计算即可得出结果.

本题考查排列组合的应用，属于基础题.

8.【答案】A

【解析】解：对于a,令/(x)=sinx-x(0<x<今，

则/'(x)=cosx-1<0,故f(x)在(0,会递减，

故/(K)</(0)=0,故sinx<x,

由sinx<x(0<%<今，贝!jsing<£v0.63,故a<0.63；

对于b,b=?>话左=学=0.8，故b>0.8；

对于c,由于e务3=/右7.39<8=23,则e，<2，从而可得)2>|«0.67,

同理，(的)4=e3a20.08V16=2d则e">2，从而可得仇2<%=0.75,

所以有0.67<c=ln2<0.75,

综上，a<c<b.

故选:A.

利用性质5,刀<穴0<%<今判断。范围，通过估算及指数对数的性质及运算判断b,C的范围，得

出结论.

本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及指数，对数的运算性质，是中档题.

9.【答案】BC

【解析】解：对于4，由两直线平行可得a(a-1)=2,解得a=2或一1,

又当a=2时，两直线重合，舍去，

经检验a=-1符合题意，故A错误；

对于8,这6个数据按从小到大排序为：1,2、3、5、7、8,由6X60%=3.6,

则这组数据第60%分位数为第4个数，即为5,故B正确；

对于C,由P(X=k)=*&12-气乎=扔2,根据二项式系数性质可得上=6时P(X=k)最大,

故c正确；

对于。，由acosA=bcosB,可得sizMcosA=sinBcosB,即sin24=sin2B,

又242Be(0,2TT),则有24=2B或2力+2B=兀，

可得A=B或4+8=今故△ABC为等腰三角形或直角三角形，故。不正确.

故选：BC.

根据直线平行斜率相等可求得a=-1符合题意；由百分位数定义计算可知B正确；利用二项分布

以及二项式系数性质可知C正确；由正弦定理和三角函数性质可知力错误.

本题主要考查了两直线平行时的斜率关系，考查了百分位数的计算，以及二项式系数性质，属于

中档题.

10.【答案】AC

【解析】解：因为/Q)=sinxcosx+，^cos2;r—三=+三(2cos2x-1)=gs讥2x+

三cos2x=sin(2x+

因为出)=s讥兀=0,所以，点怎0)为y=/(x)的一个对称中心，4对；

对于B,当日<x<V时，T<2X+U

所以函数y=/(x)在区间(一会一力上不单调，B错;

对于C,当OWx暮时，^<2x+^<^,Kij1<sin(2x+^)<1,

4336Z3Z

所以<2,故函数y=2/(x)在区间［0,g上的值域为［1,2］,C对；

对于。,当OWxWa时，<2x+^<2a+

因为函数y=/(乃在区间［0,可上只有一条对称轴和一个对称中心，则兀W2a+/〈:，

解得/<a<去D错.

故选：AC.

利用三角恒等变换化简函数解析式为f(x)=sin(2x+学，利用正弦型函数的对称性可判断4选项;

利用正弦型函数的单调性可判断B选项；利用正弦型函数的值域可判断C选项；利用正弦型函数的

对称性结合已知条件可得出关于a的不等式，解之可判断D选项.

本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题.

11.【答案】ACD

【解析】解：选项4因为点P，N分别为4。1，441的中点，

所以在正方体ABCD-Z/iGDi中，PN〃。遇〃G8,

又8Gu平面&BG，PNC平面4BC「所以PN〃平面41BQ,A正确；

选项B:由等体积法Vg_pMN=Vp-BMN，

因为SABMN=1x1=热点P到平面4BB14的距离di=1,

又在△PMN中PN=MN=VI2+I2=A/-2>PM=J22+(V-2)2=，

所以等腰APMN中PM边上的高/!=I(62一凸2=C,进而可得SAPMN=£X，%X?=

里

所以?xd2=Jx：xl，解得d2=?，即点B到平面PMN的距离为?，B错误；

选项C：因为MN〃CD1，所以。1N,CM相交于一点G,

所以G6CMC平面4BCD,GGDXNQnAA^D

所以得GC平面4BCDn平面4415。=AD,即GGAD,

所以有D[N、DA.CM相交于一点G,C正确；

选项。：设点E,F,H分别为BC,si，GA中点，贝l|PN〃EF,MN//HF,

所以P,N,M,E,F,H六点共面，

所以平面PMN与正方体的截面为边长为JI正六边形PNMEFH,则其周长为6，N，。正确；

G

故选：ACD.

选项A：利用线线平行证明线面平行，选项B：利用等体积法证明，选项C：利用5N,CM相交

于一点且平面ABCCn平面=4。证明，选项。：求出截面，进而求周长即可.

本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题.

12.【答案】ACD

【解析】解：在双曲线产—券=1中，。=1,b=2»c=A/-3

且4(-1,0),4(1,0)，%(-《0),尸2(口。)，

选项4：设|PF/=m,|PFz|=九，由双曲线定义得：n-m=2

两边平方得Hi?+n2-2mn=4①，

在^「五/2中，由余弦定理可得血2+n2-2mncos1=(2]手2=

m24-n2—mn=12②,

①②联立解得nm=8,

所以△。&尸2的面积为"7717双W=~X8X=2A/-3»A正确；

选项8：设P(%i，%),Q(x2fy2\

(x2_d=1

则I12?,两式相减得(%]—&)(%]+%2)=吐衅也，

"芟=1

因为弦PQ的中点为(1,1),所以占+*2=2,%+”=2,

因此由Q1—X2)(X1+X2)=里窄3可得k=融=密铲=2,

此时直线/的方程为y=2x-1,

代入双曲线的方程消去y可得27-4%+3=0,此时)=—8<0,

此时直线与双曲线无公共点，说明此时直线不存在，B错误；

选项C：设P(x(),yo)，则瑞-苧=1-即据=2(诏一I),

又直线P&与P%的斜率的乘积的七=•患=券=筹?=2,

所以若P①的斜率的范围为[-8,-4],贝UP4的斜率的范围为[一：,-勺，C正确；

选项。：设标一1二人当;1=1时表示双曲线，当;1=0时表示该双曲线的两条渐近线,

设直线，：y=kx+zn代入-1=4得(/—2)x2+2kmx4-m2+2A=0,

应满足(k2-2)#0,且A>0,

由韦达定理可得+x2—yi+%=k(%i+x2)+2m=；?+2my与，无关，

所以线段PQ的中点与线段MN的中点重合，不妨设为7,

则由|P7|=|Q7|,|M7|=|NT|可得|PM|=|QN|,。正确.

故选：ACD.

选项A：利用双曲线的定义结合余弦定理求解和三角形面积公式求解，选项3：利用点差法，结

合一元二次方程根与系数的关系判断，选项C：利用斜率公式可得P4和P4斜率的乘积是定值判

断，选项。：设直线，：y=kx+m代入/=a，通过证明PQ和MN中点重合判断即可.

本题考查直线与圆双曲线的综合应用，考查点差法的应用，分析问题解决问题的能力，是中档题.

13.【答案】I

【解析】解：将|行+2石|=|五一231两边平方可得五•石=0-

又因为五不=2—k=0,解得k=2；

所以五+方=(3,1)，

又因为方=(2,-1).

设五+b与b的夹角为

3x2-15_C

所以cos。=

J32+lJ22+1—，

因为。e[0,?r],

所以五+B与捅夹角为也

故答案为：也

由|五+2方|=|五-2+两边同时平方可得五•3=0,即可得k=2,再利用平面向量夹角的坐标表

示即可求得.

本题考查平面向量的夹角与数量积，属于基础题.

14.【答案】5

【解析】解：由题意设为=?,y2=k2xf且这两个函数图象分别过点(10,4)、(10,16),

则的=10X4=40,攵2=黑=去

105

408%,、八、

•1•y-i=—<y-2.=m。>°)>

故%+丫2=4+422J?《=16,当且仅当与=管，即x=5时等号成立，

故当久=5时，两项费用之和最小.

故答案为：5.

由题意设yi=g,y2=k2x,结合题意可得心、k2,再利用基本不等式可求出y1+y2的最小值及

其对应的x值，即可得出答案.

本题考查根据实际问题选择函数类型，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档

题.

15.【答案】-2

【解析】解：先考虑y=kx-1与y=x+)x相切，设切点的横坐标为殉，

由y=x+伍X得y'=14--,

由相切的性质可得-1=&+Ex。①及k=1+」■②，

xo

由②可得/ex。=1+&代入①可求出仇&=0,从而有%°=1=>fc=2,

再考虑y=2%—1与y=ax2+(2—2a)x—3相切，

联立｛；二^^(2-2g-3,消去y可得收-2ax-2=。，

由A=(-2a)2-4ax(-2)=4a2+8a=0解得a=-2或0(舍去).

故答案为：一2.

先考虑y=kx-1与y=x+相切，利用导数的几何意义求出k,再将切线与抛物线yax2+

(2-2a)x-3联立解出a即可.

本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，属于中档题.

16•【答案】竿

【解析】解：如图所示，取BC的中点E,连接2E,DE,则有乙4ED=^,

由于△BCO的外心G与尸分另lj在力E与DE上，

则三棱锥。-4BC的外接球的球心0在过点G且与平面4BC垂直的直线上,

由对称性可知："EG=p贝IJAE=VAB2-BE2=3.

设4G=CG=K,则GE=3-x,

在Rtz\CEG中，则GE?+CE2=CG2,

即(3-x)2+l=/,解得％=|,则4G=|,EG=%

又在RtAOEG中，由4OEG=《，可得OG=EGtcm/OEG=卑，

。3

设三棱锥D-4BC的外接球的半径为R,

在RM04G中，R2=0G2+AG2==y,

所以三棱锥。一4BC的外接球的表面积S=4兀R2=等.

故答案为：竽.

根据题意分析可得三棱锥D-ABC的外接球的球心。在过点G且与平面2BC垂直的直线上，结合直

角三角形求三棱锥。-4BC的外接球的半径，进而可得结果.

本题考查空间几体的外接球的表面积的求法，考查运算求解能力，属中档题.

17.【答案】(1)证明：由于an+i=；^,等式两边同时取倒数可得「一=；+!，

an>Aa九+iL

即9--1=沿-1)5叫)，

^n+1Z

又21~T=g1，

Ql3

所以数列｛白-1｝是首项为3公比为的:等比数列；

(2)解：由(1)可知;―1=：乂弓)”1,即可得;=1+；*弓尸一】；

CljiDL.Clfi3L,

7n=/+嵩+…+==l+gx(1)°+l+|x(i)1+-+l+|x(yT,

即7；=n+gx[l+2+...+C)n-1]=n+；x^=n+|[l_&)n],

易知7；=n+宗1一(扔]是随着n的增大在增大，即7；是递增的；

计算可得799<100,Tioo>100,

所以满足条件的最大正整数n=99.

【解析】(1)根据递推公式可求出一一一1=1)5£N+),即可得出数歹U｛；-1｝是首项为〈，

nn+lLana7iJ

公比为:的等比数列；

(2)根据数列求和可得7；=n+|[l利用数列的函数性质可知7；为单调递增，即可得出满

足条件4<100的最大正整数加

本题考查数列的递推公式、等比数列前n项和公式及数列与函数的综合问题，考查学生逻辑推理与

数学运算的能力，属于中档题.

18.【答案】解：(1)由已知可得：sinAcosB+=sinB+sin。

所以sinB+sin(i4+B)=sinB4-sinAcosB+sinBcosA,

由于smB>0,

则有1=y/-3sinA-cosA=2sin(A一*)=sin(4—^)=

又0<AV7T,

则有T<A

ooo

所以有a―看屋=4=余

(2)由正弦定理可知：施=2R=殍，

则由4=与na=2,

又有余弦定理可知：a2=b2+c2-2bccosA4=b2+c2—be,

由于炉+c2>2bc,

则有4=b2+c2-be>2bc-be=be,即be<4,

又4=b2+c2—be=(b+c)2—3bc,即(b+c)2=4+3bc<4+3x4=16>

从而b+c<4(当b=c=2等号成立)，

则a+b+c<6,

故△ABC的周长的最大值为6.

【解析】(1)利用正弦定理、三角恒等变换的知识化简已知条件，从而求得4

(2)利用正弦定理求得a,利用余弦定理和基本不等式求得b+c的最大值，进而求得A/IBC的周长

的最大值.

本题考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式以及三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想，

属于中档题.

19.【答案】解：(1)证明：如下图所示：连接4C,在矩形HBEF中，明显有：AFA.AB.

又平面4BCD，平面4BEF,平面4BCDCt^ABEF=AB,所以4F1平面力BCD,

又因为BDu平面ABCD,所以AF1BD,

又在菱形ABCD中4c1BDiLACnAF=A,

则BD1•平面4CF,又CFu平面ACF,则BD1CF.

(2)建立空间直角坐标系如下图所示:

设M(0,0,t)(04tW4),且B(2,0,0),C(l,O,0).

则元=(-1,1&0),丽=(-2,0,t),

设沅-(x,y,z)是平面MBC的一个法向量，

由巴屈=T+Cy=O,令%=E，可得y=t,z=2C，

Im-BM=-2x+tz=0

所以平面MBC的一个法向量为记=(qt,t,2「)，

明显平面BCD的一个法向量为元=(0,0,1),

V21..m-n2W3

由已知有亍=|cos<7n,n)|=而而=j]2+40解得"2或1=一2(舍去)，

所以当点M为4F的中点时，二面角M-BC-0的余弦值为与I

【解析】(1)连接4C,由已知可得AFLBD,可证BO_L平面4c尸，可证结论；

(2)建立空间直角坐标系，设时(0,0,。(0^134),求得平面MBC的一个法向量，平面BCD的一个

法向量，利用向量法可求3进而可确定点M的位置.

本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，属中档题.

20.【答案】(1)解：零假设为仇：吸烟与患肺癌之间无关，

2

根据列联表中的数据，得22=100X(25X50-15X10)=竺达=22,161>10,828

依据小概率a=0.001的独立性检验，认为％不成立，即吸烟会增加患肺癌的风险.

(2)解：由已知可得：抽取的5人中，不患肺癌的有2人，患肺癌的有3人.

所以，随机变量X的可能取值有0、1、2,

且P(X=O)=加急P(X=1)=譬=|,P(X=2)W=S，

故X的分布列为：

X012

331

P

10510

所以，E(X)=Ox得+1X1+2X白=4

(3)解：随机选取10个病人，治愈人数不超过于7人的概率为

82910

P=1-Cfo-O.9X0.I-C^o-0.9x0.1-0.9

a1-45x0.430x0.01-10x0.430x0.9x0.1-0.430x0.81=0.0712<0.08,

从而该事件称为小概率事件，一般认为在一次试验中是几乎不发生的，所以可以怀疑该药厂是虚

假宣传.

【解析】(1)提出零假设为:吸烟与患肺癌之间无关，计算出,2的观测值，与gQ01进行大小比较，

结合独立性检验可得出结论；

(2)分析可知，随机变量X的可能取值有0、1、2,计算出随机变量X在不同取值下的概率，可得出

随机变量X的分布列，进而可求得E(X)的值；

(3)随机选取10个病人，计算出治愈人数不超过于7人的概率，结合题意判断可得出结论.

本题考查独立性检验，离散型随机变量的期望与方差，属于中档题.

21.【答案】解：(1)((x)=ax—1—|=ax-(%>0)>

当aWO时，f(x)<0恒成立，此时/(x)的递减区间是(0,+8),无递增区间.

当a>0时，考虑aM—%-2=0,明显4=l+8a>0,

且打刀2=-；，则a/-X—2=0有一正一负两个根，取正根殉=1±1普

且当0<x<1+\：+校时，f'(x)<0；当x>匕翳时，((乃>0；

此时f(乃的递减区间是(0,士尹马，递增区间为(1+夏丽,+OO).

综上可得：当aWO时，/(x)的递减区间是(0,+8),无递增区间；

当a>0时，f(x)的递减区间是(0,土严)，递增区间为(匕乌强,+8).

(2)当a〈0时，/(X)在(0,+8)递减，且f(l)=早<0,不符合题意.

当a>0