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练习155.1相交线知识点一:相交线(1)邻补角:如果两个角有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,那么这两个角互为邻补角.性质:邻补角互补.(2)对顶角:如果一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线,那么这两个角互为对顶角.性质:对顶角相等.1.如图,直线AB和CD相交于点O.(1)∠1的邻补角是____________,对顶角是___________;(2)若∠1=40°,求出∠2,∠3,∠4的度数.【解析】(1)∠2和∠4∠3;(2)∠2=∠4=180°-∠1=140°(邻补角的定义);∠3=∠1=40°(对顶角的性质).知识点二:垂线相关概念:(1)垂直:两条直线相交,有一个角是90°,这两条直线互相垂直;(2)垂线:两条直线互相垂直,其中一条直线叫作另一条直线的垂线.垂直的性质:∵AB⊥CD(已知),∴∠AOC=∠BOC=90°(垂直的定义).垂直的判定:∵∠AOC=90°(已知),∴AB⊥CD(垂直的定义).(3)垂线的性质:在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.2.下列各图中,过直线l外的点P画直线l的垂线,三角尺操作正确的是()【解析】用直角三角板的一条直角边与l重合,另一条直角边过点P后沿直角边画直线,
∴C选项的画法正确,
故选:C.(4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简单说成:垂线段最短3.如图,连接直线l外一点P与直线l上各点O,A1,A2,A3,…,其中PO⊥l,这些线段PO,PA1,PA1,PA3,…中,最短的线段是()A.POB.PA1C.PA2D.PA3【解析】∵PO⊥l,
∴最短的线段是线段PO,
故选:A.知识点三:同位角、内错角、同旁内角如图,直线a、b与直线c相交,或者说,两条直线a、b被第三条直线c所截,得到八个角.我们来研究那些没有公共顶点的两个角的关系.565687(1)∠1与∠2、∠4与∠8的位置关系?——同位角在截线c的同旁,被截直线a、b的同方向(同上或同下),具有这种位置关系的两个角叫做同位角.同位角形如字母“F”,如上图.(2)∠3与∠2的位置关系?——内错角在截线c的两旁,被截直线a、b之间,具有这种位置关系的两个角叫做内错角.内错角形如字母“Z”.如上图,互为内错角.(3)∠3与∠6的位置关系?——同旁内角在截线c的同旁,被截直线a、b之间,具有这种位置关系的两个角叫做同旁内角.同旁内角形如字母“U”.如上图,互为同旁内角.4.如图,直线a,b被直线c所截,∠1与∠2的位置关系是()A.同位角B.内错角C.同旁内角D.对顶角【解析】∠1与∠2的位置关系是内错角,
故选:B.5.下列图中是对顶角的是()【解析】A、∠1和∠2没有公共的顶点,不是对顶角,故选项错误;
B、∠1和∠2是对顶角,故选项正确;
C、不是两条直线相交所成的角,不是对顶角,故选项错误;
D、不是两条直线相交所成的角,不是对顶角,故选项错误.
故选:B.6.下列所示的四个图形中,∠1和∠2是同位角的是()
A.②③B.①②③C.①②④D.①④【解析】图①、②、④中,∠1与∠2在截线的同侧,并且在被截线的同一方,是同位角;
图③中,∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上,不是同位角.
故选:C.7.如图,P是直线l外一点,A、B、C、D在直线l上,则PA、PB、PC、PD四条线段中最短的线段是______.【解析】根据点到直线的距离的定义得出线段PC的长是点P到直线l的距离,从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短.
故答案是:PC.8.如图,直线a,b相交于点O,若∠1+∠2=220°,则∠3=____.【解析】∵∠1=∠2,∠1+∠2=220°,
∴∠1=∠2=110°,
∴∠3=180°-110°=70°,
故答案为:70°.9.分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角.
图1图2【解析】图1,
同位角有:∠1与∠5,∠2与∠6,∠3与∠7,∠4与∠8;
内错角有:∠3与∠6,∠4与∠5;
同旁内角有:∠3与∠5,∠4与∠6.
图2,
同位角有:∠1与∠3,∠2与∠4;
同旁内角有:∠3与∠2.10.如图,直线AB、CD相交于点O,OM⊥AB.
(1)若∠1=∠2,求∠NOD的度数;
(2)若∠AOD=3∠1,求∠AOC和∠MOD的度数.【解析】(1)∵OM⊥AB,
∴∠AOM=∠BOM=90°,
∴∠1+∠AOC=90°,
∵∠1=∠2,
∴∠2+∠AOC=90°,
即∠CON=90°,
∴∠NOD=180°-∠CON=180°-90°=90°;
(2)∵∠AOD
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