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《常用逻辑用语》1.2.1命题与量词常用逻辑用语命题与量词全称量词命题与存在量词命题的否定充分条件、必要条件命题充分条件必要条件存在量词全称量词全称量词命题与存在量词命题的否定命题的否定知识网络
疑问句开语句祈使句一、命题一般地,在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.分类:判断为真的语句叫做真命题,
判断为假的语句叫做假命题.表示:一般用小写英文字母p,q,r,s,…表示。练习:判断下面的语句是否为命题?若是命题,指出它的真假。(1)空集是任何集合的子集.(5)x2+x>0.(3)对于任意的实数a,都有a2+1>0.(2)若整数a是素数,则a是奇数.(6)91是素数.(7)指数函数是增函数吗?(4)若平面上两条直线不相交,则这两条直线平行.(8)真命题假命题真命题假命题不是命题假命题不是命题假命题
一个人说:“我正在说谎”,是否为命题?练习
分析:此话既不是说谎也不是讲真话,不能判断它的真假值.
由上可知,“一个人说:‘我正在说谎’”这句话是不能判断真假的陈述语句,所以是非命题,此类句子叫悖论.
观察以下命题:(1)任意给定实数x,x2≥0;(2)存在有理数x,使得3x-2=0;(3)每一个有理数都能写成分数的形式;(4)所有的自然数都大于或者等于零;(5)实数范围内,至少有一个x使得√-x2有意义;(6)方程x2=2在实数范围内有两个解;(7)每一个直角三角形的三条边长都满足勾股定理。可以看出:命题(1)(3)(4)(7)是指定集合中的所有元素都具有特定性质;(2)(5)(6)是指定集合中的某些元素具有特定性质。二、全称量词与存在量词
表述方法同一全称命题、特称命题,由于自然语言的不同,可能有不同的表述方法:命题全称量词命题存在量词命题①所有的x∈M,p(x)成立②对一切x∈M,p(x)成立③对每一个x∈M,p(x)成立④任给一个x∈M,p(x)成立⑤凡x∈M,都有p(x)成立①存在x0∈M,使p(x)成立②至少有一个x0∈M,使p(x)成立③对有些x0∈M,使p(x)成立④对某个x0∈M,使p(x)成立⑤有一个x0∈M,使p(x)成立练习:4.判断下列命题的真假.(1)∀x∈R,x2+1>1/2.(2)∃α,β∈R,(α-β)2=(α+β)2.(3)存在一个数既是偶数又是负数.(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示.(5)存在一个实数x,使等式x2+x+8=0成立.(2)真命题,例如α=0,β=1,符合题意.(3)真命题,如数-2,-4等,就既是偶数又是负数.(4)假命题,如:边长为1的正方形的对角线长为√2,它的长度就不是有理数.(5)假命题,因为该方程的判别式Δ=-31<0,故无实数解.全称命题与特称命题的真假的判断典例:全称量词命题、存在量词命题的应用例
(1)存在x∈R,使x2+x+a=0成立,求实数a的取值范围.(2)已知集合A={x|x>2},B={x|x>a},若∀x∈A,都有x∈B成立,求实数a的取值范围.
解:(1)因为存在x∈R,使x2+x+a=0成立,所以方程x2+x+a=0存在实数根,则Δ=1-4a≥0,解得a≤1/4,即实数a的取值范围是a≤1/4.(2)因为∀x∈A,都有∀x∈B成立,所以A⊆B,则a≤2,即实数a的取值范围是a≤2.变式训练:已知命题“∀x∈R,x2+2x+m≠0恒成立”是真命题,求实数m的取值范围.解:因为“∀x∈R,x2+2x+m≠0”是真命题,所以Δ=4-4m<0,解得m>1.综上所述,实数m的取值范围是m>1.课堂小节1、命题:一般地
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