13.1.2线段的垂直平分线的性质（解析版）

线段的垂直平分线的性质知识点管理瞄准目标，牢记要点知识点管理归类探究夯实双基，稳中求进归类探究线段垂直平分线的性质1.线段的轴对称性:线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.21.线段的轴对称性:线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.2.线段垂直平分线的性质定理文字描述:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；几何语言:∵MN是线段AB的垂直平分线（或MN⊥AB于点D，且AD=BD），∴CA=CB.题型一：线段垂直平分线的性质【例题1】（2022·山东泰安·七年级期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，，则的周长为（

）A．8 B．11 C．16 D．17【答案】B【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝BE，然后根据三角形的周长公式等量代换进行求解即可．【详解】解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴△ACE的周长＝AC＋CE＋AE＝AC＋CE＋BE＝AC＋BC＝5＋6＝11，故选：B．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．变式训练【变式1-1】（2022·广东·深圳市高级中学七年级期末）如图，DE是△ABC中AC边上的垂直平分线，如果BC=5cm，AB=8cm，则△EBC的周长为(

)A．9cm B．13cm C．18cm D．21cm【答案】B【分析】根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，得到，从而得到△EBC的周长等于．【详解】解：∵DE垂直平分AC，∴，∵△EBC的周长等于，BC=5cm，AB=8cm，∴△EBC的周长等于cm，故选：B．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，解题的关键是熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．【变式1-2】（2022·河北沧州·八年级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若AD=3，△ACE的周长为13，则△ABC的周长为（）A．18 B．19 C．26 D．29【答案】B【分析】由AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，易得AE=BE，又由△ACE的周长是13，可求得AC+BC=13，继而求得答案．【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，AB=2AD=6，∵△ACE的周长是13，∴AC+AE+CE=AC+BE+CE=AC+BC=13，∴△ABC的周长是：AB+AC+BC=6+13=19．故选：B．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质．注意掌握转化思想与数形结合思想的应用．【变式1-3】（2022·甘肃白银·七年级期末）如图，在中，，，，，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则周长的最小值是（

）A．7 B．6 C．12 D．8【答案】A【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的值最小，即可得到△ABP周长最小．【详解】解：∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称，设AC交EF于D，∴当P和D重合时，即A、P、C三点共线时，AP+BP的值最小，∵EF垂直平分BC，∴AD=CD，∴AD+BD=AD+CD=AC=4，∴△ABP周长的最小值是AB+AC=3+4=7，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的性质定理文字描述:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；线段垂直平分线的性质定理文字描述:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；几何语言:∵CA=CB，∴点C在线段AB的垂直平分线上.题型二：线段垂直平分线的判定【例题2】（2022·河南平顶山·七年级期末）如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，，延长AE交BC的延长线于点F．(1)请判断FC与AD的数量关系，并说明理由；(2)若AB＝6，AD＝2，求BC的长度．【答案】(1)FC=AD，理由见解析(2)【分析】（1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答；（2）根据全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质判断出AB=BF，据此求解即可．（1）解：FC=AD，理由如下：∵AD∥BC（已知），∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等），∵E是CD的中点（已知），∴DE=EC（中点的定义）．在△ADE与△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴FC=AD（全等三角形的性质）；（2）解：∵△ADE≌△FCE，∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等），∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB=BF=BC+CF，∴AB=BC+AD，∵AB=6，AD=2，∴BC=4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．变式训练【变式2-1】（2019·陕西·商州区第一初级中学八年级期中）如图，在中，边上的垂直平分线相交于点P．求证：点P在的垂直平分线上．【答案】见解析【分析】由垂直平分线的性质知，，通过等量代换可得，即可证明．【详解】证明：∵边上的垂直平分线相交于点P，∴点P在，的垂直平分线上，∴，，∴，∴点P在的垂直平分线上．【点睛】本题考查垂直平分线的性质及判定，牢记垂直平分线的性质及判定方法是解题的关键：垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．【变式2-2】（2022·湖北恩施·二模）如图，是的角平分线，、分别垂直于、，垂足为、，求证：垂直平分．【答案】见解析【分析】先利用角平分线性质得出；再证≌，易证垂直平分．【详解】证明：是的角平分线，，，，在和中，，，，又，垂直平分到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质和线段垂直平分线逆定理的应用，题目比较新颖，属于基础题，理解线段垂直平分线逆定理是关键．【变式2-3】如图，，，求证：垂直平分．【答案】见解析【分析】通过证明，利用全等三角形的性质即可得出结论．【详解】证明：∵，∴．在与中，∴．∴．∴为等腰的底边的高和中线．∴垂直平分．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．线段垂直平分线的画法题型三：画线段垂直平分线【例题3】（2022·广东河源·七年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC．(1)尺规作图：作边AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法）(2)连接BE，若AB＝6，BC＝4，求△BEC的周长．【答案】(1)见解析(2)10【分析】（1）分别以点A，点B为圆心，以大于长度为半径画弧交AB的两侧于两个交点，连接两点交AB于点D，交AC于点E，连接DE即可；（2）先根据垂直平分线性质将△CBE的周长转化为AC+BC的长，再将三边相加即得．（1）如图，DE为所作；（2）∵DE垂直平分AB，∴EA＝EB，∵AC＝AB＝6，BC＝4，∴△BEC的周长＝BC+BE+CE＝BC+AE+EC＝BC+AC＝BC+AB＝4+6＝10．【点睛】本题考查垂直平分线的作法和垂直平分线的性质，作图题要求做题必须规范和准确，熟练掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．变式训练【变式3-1】（2022·广东·汕头市金平区金园实验中学八年级期末）如图，已知，，，DE为AB的垂直平分线，交BC于D，交AB于E．(1)用直尺和圆规，作出DE（不写作法，保留作图痕迹）；(2)连接AD，若，则________．【答案】(1)作图见解析部分；(2)18°．【分析】（1）利用尺规根据要求作出图形即可；（2）利用线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理求解即可．（1）如图，DE即为所求；（2）∵DE垂直平分线段AB，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=36°，∴∠ADC=∠DAB+∠B=72°，∵∠C=90°，∴∠CAD=90°-72°=18°．【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．【变式3-2】（2022·四川宜宾·八年级期末）如图，在△ABC中，∠C=90°.(1)用尺规作图作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）；(2)连结BD，求证：△ADE≌△BDE【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）分别以A、B为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，过两弧的交点作直线，交AC于点D，AB于点E，直线DE就是所要作的AB边上的垂直平分线；（2）根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，∠DEB=∠DEA=90°，即可得出△ADE≌△BDE.（1）解：如图所示，DE为所求;

（2）证明：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∠DEB=∠DEA=90°，在Rt△ADE与Rt△BDE中，，∴Rt△ADE≌Rt△BDE（HL），∴△ADE≌△BDE.【点睛】本题考查了线段垂直平分线的作法、线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定，熟练掌握作图方法以及相关性质是解题的关键.【变式3-3】（2022·广东广州·八年级期末）尺规作图：如图，已知△ABC，作BC边的垂直平分线交AB于点D，连接DC．（不写作法，保留作图痕迹）．【答案】见解析【分析】分别以B、C为圆心，以大于BC的二分之一的长为半径画弧，两弧两两相交然后连接两弧的交点，交AB于点D，连接DC即可．【详解】如图：【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的作法，关键是掌握用尺规作线段垂直平分线的方法．【变式3-4】（2021·贵州贵阳市·）如图，已知线段，利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：①分别以点为圆心，以的长为半径作弧，两弧相交于点和．②作直线．直线就是线段的垂直平分线．则的长可能是（）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】利用基本作图得到b＞AB，从而可对各选项进行判断．【详解】解：根据题意得：b＞AB，即b＞3，故选：D．【点睛】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．题型四：线段垂直平分线的实际应用【例题4】（2020·扬州市·八年级月考）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪的三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．△ABC三边的垂直平分线的交点B．△ABC的三条中线的交点C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点【答案】A【分析】由于凉亭到草坪的三个顶点的距离相等，所以根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，可知是△ABC三条边垂直平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．【详解】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭选择△ABC三边的垂直平分线的交点．故选：A．【点睛】本题主要考查的是线段的垂直平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．变式训练【变式4-1】（2020··八年级月考）在联欢晚会上，有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（）三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点【答案】D【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．【详解】解：利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边中垂线的交点上．故选：D．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．【变式4-2】（2020·常州市第二十四中学八年级期中）如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A．∠A、∠B两内角的平分线的交点处B．AC、AB两边高线的交点处C．AC、AB两边中线的交点处D．AC、AB两边垂直平分线的交点处【答案】D【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得出答案．【详解】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在AC、AB两边垂直平分线的交点处，故选：D．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．【变式4-3】（2020·昆山高新区汉浦中学八年级月考）在元旦联欢会上，三个小朋友分别站在三角形的三个顶点的位置上，他们玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先做到凳子上谁就获胜，为使游戏公平，则凳子应放在三角形的（）A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点【答案】D【分析】根据三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等可得答案．【详解】解：∵三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，

∴为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的三边的垂直平分线的交点，

故选：D．【点睛】本题主要考查游戏公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平，并熟练掌握三角形内心、外心、垂心和重心的性质．【变式4-4】（2020·磴口县诚仁中学八年级期中）如图，A、B两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？请用尺规作图，将上述两种情况下的自来水厂厂址分别在图（1）（2）中标出，并保留作图痕迹．【答案】(1)见解析;(2)见解析.【分析】（1）作出AB的垂直平分线与河岸交于点P，则点P满足到AB的距离相等.（2）作出点A关于河岸的对称点C，连接CB，交于河岸于点P，连接AP，则点P能满足AP+PB最小.【详解】（1）根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等知，作出AB的垂直平分线与河岸交于点P，则点P满足到AB的距离相等.（2）作出点A关于河岸的对称点C，连接CB，交于河岸于点P，连接AP，则点P能满足AP+PB最小，理由：AP=PC，三角形的任意两边之和大于第三边，当点P在CB的连线上时，CP+BP是最小的.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，轴对称的性质和距离之和最短问题，熟悉性质及距离之和最短问题的作法是关键．链接中考体验真题，中考夺冠链接中考【真题1】（2022·吉林长春·中考真题）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，根据垂直平分线的性质和角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质进行判断即可．【详解】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，，，，综上，正确的是A、C、D选项，故选：B．【点睛】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．【真题2】（2022·广西·中考真题）如图，是求作线段AB中点的作图痕迹，则下列结论不一定成立的是（

）A．∠B＝45° B．AE＝EB C．AC＝BC D．AB⊥CD【答案】A【分析】根据中点的作图，可知CD垂直平分AB，再根据线段垂直平分线的性质进行作答即可．【详解】由题意得，CD垂直平分AB，，则B、C、D选项均成立，故选：A．【点睛】本题考查了线段中点作图及线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．【真题3】（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是_____．【答案】6【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，进一步即可求出△ADC的周长．【详解】解：∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D，∴BD＝CD，∵AB＝3.7，AC＝2.3，∴△ADC的周长为AD+CD+AC＝AB+AC＝6，故答案为：6．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握这一性质是解题的关键．【真题4】（2022·内蒙古通辽·中考真题）如图，依据尺规作图的痕迹，求的度数_________°．【答案】60【分析】先根据矩形的性质得出，故可得出∠ABD的度数，由角平分线的定义求出∠EBF的度数，再由EF是线段BD的垂直平分线得出∠EFB、∠BEF的度数，进而可得出结论．【详解】解：如图，∵四边形ABCD为矩形，∴，∴，由尺规作图可知，BE平分∠ABD，∴，由尺规作图可知EF垂直平分BD，∴∠EFB=90°，∴，∴∠α=∠BEF=60°．故答案为：60°．【点睛】本题主要考查了尺规作图-基本作图、角平分线以及垂直平分线的知识，解题关键是熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．满分冲刺能力提升，突破自我满分冲刺【拓展1】（2020·南京市·中考真题）如图，线段AB、BC的垂直平分线、相交于点，若39°，则=__________．【答案】78【分析】如图，利用线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到∠AOC=∠2+∠3=2(∠A+∠C)，再利用垂直的定义结合三角形外角性质得到∠AOG=51-∠A，∠COF=51-∠C，利用平角的定义得到∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180，计算即可求解．【详解】如图，连接BO并延长，∵、分别是线段AB、BC的垂直平分线，∴OA=OB，OB=OC，∠ODG=∠OEF=90，∴∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，∴∠2=2∠A，∠3=2∠C，∠OGD