简单复合函数的导数课件高二上学期数学人教A版选择性2

第五章

一元函数的导数及应用5.2.3简单复合函数的导数学习目标1、理解复合函数的概念2、掌握复合函数的求导法则3、能利用复合函数的求导法则与四则运算法则解决综合的求导问题函数的加、减、乘、除的导数运算法则：复习回顾探究新知思考

如何求函数y=ln(2x－1)的导数？函数y=ln(2x－1)不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的,所以无法用现有的方法求它的导数.若设

，则y=lnu，从而函数y=ln(2x－1)可以看成是由y=lnu和

复合而成的一个复合函数.把y与u的关系记作y=f(u)，u与x的关系记作u=g(x)，那么这个“复合”过程可表示为y=f(u)=f(g(x))=ln(2x－1).思考

函数y=ln(2x－1)有什么结构特点？y通过中间变量u表示成x的函数.探究新知一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数.记作：y=f(g(x)).1.复合函数：函数y=sin2x是由y=sinu和u=2x复合而成.例如，函数y=ln(2x－1)是由y=lnu和

复合而成.例题讲解是不是不是是不是是是不是以下函数是由哪些函数复合而成的？（1）y＝log2(x＋1)（2）y＝(3x+5)3（3）y＝e－0.05x＋1y=log2u和u=x+1y=u3和u=3x+5y=eu和u=－0.05x+3小试牛刀探究:如何求复合函数的导数？以函数y=sin2x为例，研究其导数.y′

=(sin2x)′=(2sinxcosx)′=2(sinxcosx)′

=2[(sinx)′cosx+sinx(cosx)′]=2[cos2x-sin2x]=2cos2x追问：函数y＝sin2x是由y＝sinu和u=2x复合而成的，如果以y′x

表示y对x的导数,以y′u

表示y对u的导数,以u′x

表示u对x的导数，那么y′x与y′u及u′x有什么关系呢？y′u

=(sinu)′=cosu,u′x

=(2x)′=2.又

y′x=2cos2x,可以发现，y′x

=2cos2x=cosu·2=y′u

·u′x.一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.复合函数的求导法则y′x＝y'u·u′x

结构特点[f(g(x))]′=f′(g(x))·g′(x)结果显示思考

如何求函数y=ln(2x－1)的导数？函数y＝ln(2x-1)可以看成是由y＝lnu和u＝2x-1复合而成以y′u

表示对u求导,以u′x表示对x求导因为y'u＝(lnu)'＝,u'x＝2,所以y'x＝y'u·u'x＝

·2=典例分析例6

求下列函数的导数:解：探究新知1．求复合函数的导数的步骤2．求复合函数的导数的注意点(1)分解的函数通常为基本初等函数；(2)求导时分清是对哪个变量求导；(3)计算结果尽量简洁．课本P81巩固2：抽象复合函数的导数2.

求下列函数在给定点处的导数:解：课本P81例3.某个弹簧震子在震动过程中的位移y(单位:mm),关于时间t(单位:s)的函数满足关系式.求函数y在t=3s时的导数，并解释它的实际意义.解：函数

是y=18sinu与的复合函数,则当t=3时，它表示当t=3时，弹簧震子的瞬时速度为0mm/s.一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u