直接开方法课件沪科版数学八年级下册

17.2一元二次方程的解法1.直接开方法第十七章一元二次方程一、学习目标1.会用直接开平方法解形如x2=m,(ax+n)2=m(m≥0)的一元二次方程2.知道直接开平方法求一元二次方程的解的依据是数的开平方运算二、新课导入(15+x)2=300

市区内有一块边长为15米的正方形绿地,为了城市规划,需扩大绿化面积,预计规划后的正方形绿地面积将达到300平方米,设这块绿地的边长增加了x米，请列出方程.怎么求解这个方程？三、概念剖析

对于形如x2=m(m≥0)的方程,可以直接用开平方得到x=.这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法,简称开平方法.回答下列问题：(1)9的平方根是

，那么x2=9的根是

；(2)0的平方根是

，那么x2=0的根是

；(3)-1的平方根

，那么x2=-1的根

；±3±300不存在不存在四、典型例题例1.用直接开平方法解下列方程：（1）y2-64=0（2）16x2-25=0

解：(1)移项，得y2=64

开平方，得y1=8,y2=-8(2)移项，得16x2=25

两边同时除以16，得x2=

开平方，得x1=,x2=提示：将方程化成x2=m(m≥0)的形式再求解用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解.四、典型例题例2.解方程：（1）(3x+)2=0（2）2(x+1)2-6=0

解：（1）开平方，得3x+=0

解得x=

提示：①括号内看成一个整体

②将方程化成(ax+n)2=m(m≥0)的形式再求解（2）移项，得2(x+1)2=6

两边同时除以2，得(x+1)2=3开平方，得x+1=

解得x1=,x2=四、典型例题归纳总结：

用直接开平方法还可以解形如(ax+n)2=m(m≥0)方程

从(ax+n)2=max+n=

实质上：一元二次方程两个一元一次方程变形转化四、典型例题思考：如果等号两边都是数的平方，怎么求解？以(2x-1)2=(2-x)2为例.提示：若两个数的平方相等，则这两个数相等或互为相反数解：开平方，得2x-1=±(2-x)当2x-1=2-x时，解得x=1当2x-1=-(2-x)时，解得x=-1

综上所述：x1=1,x2=-1形如(ax+b)2=(cx+d)2的方程,可以用直接开平方法解决,得到两个关于未知数的一元一次方程,即ax+b=±(cx+d)

四、典型例题【当堂检测】1.判断下列一元二次方程能否用直接开方法求解,用“”“×”表示.(1)x2=2()(2)p2-49=0()(3)x2=3x2-5()(4)(5x+9)2-2x-16=0()(5)121-(y+3)2=0()×√√√√√【当堂检测】2.用直接开平方法解下列方程（1）(2x+3)2=24

（2）(x-2)2=3

（3）(1-3x)2=x2

解：（1）开平方，得2x+3=

解得x1=,x2=（2）两边同时乘以3，得(x-2)2=9

开平方，得x-2=±3

解得x1=5,x2=-1

（3）开平方，得1-3x=±x

解得x1=0.25,x2=0.5例3.探究一元二次方程a(x-n)2=m的解的个数情况及其a、m的符号关系.关键信息：题目隐藏的条件a≠0解：a(x-n)2=m可化简为(x-n)2=根据平方根的性质分三种情况讨论，①方程无解，则<0，此时a、m异号②方程有一个解，则=0，此时a≠0，m=0③方程有两个解，则>0，此时a、m同号平方根性质：正数有两个平方根，0的平方根为0，负数没有平方根.四、典型例题【当堂检测】3.下列选项中，使得关于x的一元二次方程(m+1)(x-4)2=m+m2有两个相同的解的是()A.m=-1B.m=0C.m=0或-1D.m=4B五、课堂总结1.直接开平方法的依据是数的开方运算;2.用直接开平方法