第章第十二次课课件

17四月2024第章第十二次课2线性系统理论基础讲义龚道雄本章要点本章定位：本章是对于系统稳定性问题的较为系统和全面地讨论。

稳定是控制系统能够正常运行的前提

稳定性是表征系统运动行为的一个重要结构特性。理解李雅谱诺夫稳定性的定义掌握李雅谱诺夫稳定性判断的两种方法。

第二法已成为当今系统控制理论中研究稳定性问题的最基本的理论工具，是本章的重点。★掌握线性系统李雅谱诺夫函数的求法3线性系统理论基础讲义龚道雄内容与要点内容要点Lyapunov稳定性概念平衡点,稳定性,渐近稳定性,全局渐近稳定性Lyapunov稳定性判据稳定性判据,渐近稳定性判据,全局渐近稳定性判据连续时间线性系统的稳定性判据间接法判据，直接法判据离散时间线性系统的稳定性判据间接法判据，直接法判据4线性系统理论基础讲义龚道雄一、简介5线性系统理论基础讲义龚道雄一、简介6线性系统理论基础讲义龚道雄一、简介7线性系统理论基础讲义龚道雄一、简介8线性系统理论基础讲义龚道雄一、简介（Lyapunov）AleksandrMikhailovichLyapunov（1857~1918），俄罗斯数学家、力学家和物理学家。Lyapunov在微分方程、位势理论、系统稳定性理论以及概率论等领域做出了重大贡献。编辑了欧拉（Euler）文集第18、19卷。Lyapunov是俄罗斯科学院院士，意大利林琴科学院以及法国巴黎科学院的外籍院士。9线性系统理论基础讲义龚道雄一、简介（Lyapunov）1892年，莫斯科大学的博士学位论文：“运动稳定性的一般问题”（TheGeneralProblemofTheStabilityofMotion）Lyapunov稳定性理论对于现代控制理论的发展具有非常重要的意义，为此国际控制界于1992年还举行了该论文发表100周年的纪念活动。Lyapunov稳定性理论对于控制理论学科的发展产生了深刻的影响，已成为现代控制理论的一个非常重要的组成部分。10线性系统理论基础讲义龚道雄二、Lyapnov稳定性定义11线性系统理论基础讲义龚道雄二、Lyapnov稳定性定义12线性系统理论基础讲义龚道雄二、Lyapnov稳定性定义13线性系统理论基础讲义龚道雄二、Lyapnov稳定性定义例:单摆两个平衡点14线性系统理论基础讲义龚道雄二、Lyapnov稳定性定义15线性系统理论基础讲义龚道雄二、Lyapnov稳定性定义16线性系统理论基础讲义龚道雄二、Lyapnov稳定性定义17线性系统理论基础讲义龚道雄二、Lyapnov稳定性定义18线性系统理论基础讲义龚道雄二、Lyapnov稳定性定义19线性系统理论基础讲义龚道雄二、Lyapnov稳定性定义20线性系统理论基础讲义龚道雄二、Lyapnov稳定性定义21线性系统理论基础讲义龚道雄二、Lyapnov稳定性定义22线性系统理论基础讲义龚道雄二、Lyapnov稳定性定义23线性系统理论基础讲义龚道雄二、Lyapnov稳定性定义24线性系统理论基础讲义龚道雄二、Lyapnov稳定性定义25线性系统理论基础讲义龚道雄二、Lyapnov稳定性定义26线性系统理论基础讲义龚道雄二、Lyapnov稳定性定义27线性系统理论基础讲义龚道雄二、Lyapnov稳定性定义28线性系统理论基础讲义龚道雄二、Lyapnov稳定性定义29线性系统理论基础讲义龚道雄二、Lyapnov稳定性定义30线性系统理论基础讲义龚道雄二、Lyapnov稳定性定义31线性系统理论基础讲义龚道雄二、Lyapnov稳定性定义32线性系统理论基础讲义龚道雄三、Lyapnov稳定性判别第一法33线性系统理论基础讲义龚道雄三、Lyapnov稳定性判别第一法34线性系统理论基础讲义龚道雄三、Lyapnov稳定性判别第一法35线性系统理论基础讲义龚道雄三、Lyapnov稳定性判别第一法三、Lyapnov稳定性判别第一法李雅普诺夫第一方法

设为与x同维数的非线性向量函数，为孤立平衡点。（1）平衡点平移：令，则。将在原点展开得，其中

三、Lyapnov稳定性判别第一法(2)近似线性化：如果,则渐近稳定，如果存在，则不稳定；如，则的稳定性由高阶导数项来决定。

例：5.2.1已知非线性系统其中常数，试分析其平衡状态的稳定性。三、Lyapnov稳定性判别第一法38线性系统理论基础讲义龚道雄解:求平衡状态，由知系统有平衡点三、Lyapnov稳定性判别第一法系统在平衡状态附近的一次近似方程为特征方程设则①当时，系统在渐近稳定；②当时，系统在不稳定；③如果,其稳定性靠一次近似不能判断。40线性系统理论基础讲义龚道雄四、

Lyapnov稳定性判别第二法41线性系统理论基础讲义龚道雄四、

Lyapnov稳定性判别第二法42线性系统理论基础讲义龚道雄四、

Lyapnov稳定性判别第二法1、预备知识2、Sylvester判据3、Lyapnov稳定性判别定理43线性系统理论基础讲义龚道雄1、预备知识44线性系统理论基础讲义龚道雄1、预备知识45线性系统理论基础讲义龚道雄1、预备知识46线性系统理论基础讲义龚道雄1、预备知识47线性系统理论基础讲义龚道雄1、预备知识48线性系统理论基础讲义龚道雄1、预备知识49线性系统理论基础讲义龚道雄1、预备知识50线性系统理论基础讲义龚道雄2、Sylvester判据51线性系统理论基础讲义龚道雄2、Sylvester判据52线性系统理论基础讲义龚道雄2、Sylvester判据53线性系统理论基础讲义龚道雄补充：特征值判据特征值判据54线性系统理论基础讲义龚道雄2、Sylvester判据例：考察标量函数 的定号性。解：即A为不定的,所以V(X)为不定的。

55线性系统理论基础讲义龚道雄3、Lyapnov稳定性判别定理56线性系统理论基础讲义龚道雄3、Lyapnov稳定性判别定理57线性系统理论基础讲义龚道雄3、Lyapnov稳定性判别定理58线性系统理论基础讲义龚道雄3、Lyapnov稳定性判别定理59线性系统理论基础讲义龚道雄3、Lyapnov稳定性判别定理60线性系统理论基础讲义龚道雄3、Lyapnov稳定性判别定理61线性系统理论基础讲义龚道雄3、Lyapnov稳定性判别定理62线性系统理论基础讲义龚道雄3、Lyapnov稳定性判别定理63线性系统理论基础讲义龚道雄3、Lyapnov稳定性判别定理64线性系统理论基础讲义龚道雄3、Lyapnov稳定性判别定理65线性系统理论基础讲义龚道雄3、Lyapnov稳定性判别定理66线性系统理论基础讲义龚道雄3、Lyapnov稳定性判别定理67线性系统理论基础讲义龚道雄回顾：极限环极限环是非线性系统的一种特殊运动情况。在时间响应上表现为非线性的自持振荡在相平面上成为闭合的相轨迹68线性系统理论基础讲义龚道雄3、Lyapnov稳定性判别定理69线性系统理论基础讲义龚道雄3、Lyapnov稳定性判别定理70线性系统理论基础讲义龚道雄3、Ly