初三反比例函数中考必会经典知识点

PAGE9反比例知识精讲

（一）反比例函数的概念

1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；

2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；

3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．

（二）反比例函数的图象

在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．

（三）反比例函数及其图象的性质

1．函数解析式：（）

2．自变量的取值范围：

3．图象：

（1）图象的形状：双曲线．

越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．

（2）图象的位置和性质：

与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．

当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；

当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．

（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．

图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．

4．k的几何意义

如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．

如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．

图1图2

5．说明：

（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．

（2）直线与双曲线的关系：

当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．

（3）反比例函数与一次函数的联系．

（四）实际问题与反比例函数

1．求函数解析式的方法：

（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．

2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．

（五）充分利用数形结合的思想解决问题．典例分析：1反比例函数的概念：下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．

A．y=3xB．C．3xy=1D．

（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．

A．B．C．D．变式：1 下面函数中，哪些是反比例函数？；（2）；（3）；（4）；（5）2若函数是反比例函数，则m的值等于（）±1B．1C．D．－13 已知函数是反比例函数，且其函数图像在每一个象限内，随的增大而减小，求反比例函数的解析式．4当n取什么值时，是反比例函数？它的图像在第几象限内？在每个象限内，y随x增大而增大还是减小？图象和性质例1已知反比例函数的图像上有两点A(，)，B(，)，且，则的值是（）A、正数B、负数C、非正数D、不能确定变式：．1函数与（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）．yxOyyxOyxOxyOxOy A． B． C． D．2、已知反比例函数，下列结论不正确的是（）A、图象经过点（1，1）B、图象在第一、三象限C、当时，D、当时，随着的增大而增大3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，反比例函数y＝EQ\F(a,x)与正比例函数y＝（b＋c）x在同一坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．4.若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，

则一次函数y=kx+m的图象经过（）．

A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限

C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限5．如图6，反比例函数的图象位于第一、三象限，其中第一象限内的图象经过点A（1，2），请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点P，你选择的P点坐标为．6.关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（）A．必经过点（1，1） B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于x轴成轴对称 D．两个分支关于原点成中心对称7.函数与函数在同一坐标系中的大致图像是8.如图，反比例函数的图象经过点A(-1,-2).则当x＞1时，函数值y的取值范围是（）A.y＞1B.0＜y＜1C.y＞2D.0＜y＜29.若双曲线y=的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是A.k＞B.k＜C.k=D.不存在．函数的增减性例：.图，函数和函数的图象相交于点M(2，m)，N(-1，n)，若，则x的取值范围是（）A．B．C．D．变式：1.若函数的图象在其象限内的值随值的增大而增大，则的取值范围是A． B． C． D．2.已知（x1,y1）,（x2,y2）,（x3,y3）是反比例函数的图象上的三个点,且x1＜x2＜0，x3＞0,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y3＜y1＜y2 B.y2＜y1＜y3C.y1＜y2＜y3D.y3＜y2＜y13．反比例函数图象上有三个点，，，其中，则，，的大小关系是()A．B．C．D．4．已知三点，，都在反比例函数的图象上，若，，则下列式子正确的是（）B．C． D．5在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（）．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜．面积计算例题：例1、反比例函数（k0）在第一象限内的图象如图1所示，P为该图象上任一点，PQ⊥x轴，设△POQ的面积为S，则S与k之间的关系是（）A．B．C．S=kD．Sk例2．设P是函数在第一象限的图像上任意一点，点P关于原点的对称点为P’，过P作PA平行于y轴，过P’作P’A平行于x轴，PA与P’A交于A点，则的面积（）等于2 B．等于4 C．等于8D．随P点的变化而变化变式：1、如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（，4），则△AOC的面积为A．12B．9C．6D．42.如图，直线y=mx与双曲线交与A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM，若S△ABM=2，则k的值是（）A、2B、m-2C、mD、43．如图，点A在双曲线上，且OA＝4，过A作AC⊥轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于B，则△ABC的周长为( )A. B.5 C. D.4.函数与函数的图象交于A、B两点，设点A的坐标为，则边长分别为、的矩形面积和周长分别为（）A.4，12B.4，6C.8，12D.8，65．反比例函数y=-的图像如图所示，P是图像上的任意点，过点P分别做两坐标轴的垂线，与坐标轴构成矩形OAPB，点D是对角线OP上的动点，连接DA、DB，则图中阴影部分的面积是[来源。7题图6．如图，在直角坐标系中,直线7题图与双曲线>0)的图象相交于点A,B,设点A的坐标为(),那么长为，宽为的矩形面积和如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．

A．B．C．D．

（2）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．

（3）如图在Rt△ABO中，顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=．

①求这两个函数的解析式，②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．解析式的确定例题：（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（）．A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．不能确定

（2）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．

（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．变式：1 已知函数是反比例函数，且其函数图像在每一个象限内，随的增大而减小，求反比例函数的解析式．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上。若点A的坐标为（－2，－2），则k的值为A．1 B．－3 C．4 D．1或－3xxyOABCD3.如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点M，N，已点M的坐标为（1，3），点N的纵坐标为－1，根据图象信息可得关于x的方程=的解为（）A.－3,1B.－3,3C.－1,1D.3，-14.已知如图,A是反比例函数的图像上的一点,AB⊥x轴于点B,且△A