2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列（苏科版）专题4.2 立方根-重难点题型（举一反三）含解析

2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列专题4.2立方根-重难点题型【苏科版】【知识点1立方根的概念及性质】（1）一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作。即。（2）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.【题型1立方根的概念及性质】【例1】（2021春•仓山区期中）如果﹣a是b的立方根，那么下列结论正确的是（）A．a是﹣b的立方根 B．a是b的立方根 C．﹣a是﹣b的立方根 D．±a都是b的立方根【变式1-1】（2021春•海淀区校级月考）下列结论正确的是（）A．64的立方根是±4 B．-19C．若a=3a，则a＝1【变式1-2】（2021春•白云区期末）下列说法正确的是（）A．64的立方根是±364=±B．-12是-C．3-27D．立方根等于它本身的数是0和1【变式1-3】（2020春•闽侯县期中）若有3x+3y=A．x＝y＝0 B．x﹣y＝0 C．xy＝1 D．x+y＝0【知识点2开立方】求一个数的立方根的运算，叫做开立方.【题型2开立方的运算】【例2】（2020秋•滦州市期中）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数x为﹣512时，输出的数y的值是（）A．-32 B．32 【变式2-1】（2021春•雨花区校级月考）根据图中呈现的运算关系，可知a＝，b＝．【变式2-2】（2021春•汉阳区期末）已知31-a2=1-a【变式2-3】（2021春•浦东新区校级月考）已知3a=-0.056，a＝106b，那么3【题型3开立方运算中的小数点移动规律】【例3】（2021春•望城区期末）已知38=2，38000=20，3【变式3-1】（2021春•重庆月考）若3≈1.732，30≈5.477，31728=12，317.28≈2.585，则【变式3-2】（2021春•天津期中）已知31.12≈1.038，311.2≈2.237，3【变式3-3】（2019春•海淀区校级月考）已知2.14≈1.463，21.4≈4.626，30.214≈0.5981，32.14≈.289，若x≈46.26，则x＝【题型4利用开立方解方程】【例4】（2021春•连山区月考）（1）已知9（x+1）2＝4，求x的值；（2）已知8（x﹣1）3=-1258，求【变式4-1】（2021春•郧西县月考）求x的值：（1）（x﹣1）2＝4；（2）9x3+64=x3【变式4-2】（2021春•江汉区期中）求下列各式中x的值：（1）（x﹣1）2＝4；（1）14（2x+3）3【变式4-3】（2021•天宁区校级模拟）32x-1+3A．﹣3 B．﹣1 C．12 【题型5平方根与立方根综合】【例5】（2020春•合川区期末）已知M=5a+2b是9的算术平方根，7a+3b﹣1的平方根为±4，N=3-2a-b，则MA．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【变式5-1】（2020春•西华县期中）已知实数a+9的一个平方根是﹣5，2b﹣a的立方根是﹣2，求a+2b【变式5-2】（2021春•甘肃期末）如果A=a-2b+3a+3b为a+3b的算术平方根，B=2a-b-11-a2为1﹣a【变式5-3】（2021春•渝中区校级期中）已知：a与2b互为相反数，a﹣b的算术平方根是3；（1）求a、b的值；（2）若|2a+c|+b-d=0，求c【题型6立方根的应用】【例6】（2021春•瑶海区校级期中）已知一个正方体的体积是729cm3，现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，使得余下的体积是665cm3，则截去的每个小正方体的棱长是（）A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm【变式6-1】（2020秋•石阡县期末）一个正方体木块的体积是343cm3，现将他锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体的木块的表面积是．【变式6-2】（2021春•静海区月考）在一个长、宽、高分别为8cm，4cm，2cm的长方体容器中装满水，将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满（两容器的厚度忽略不计），求此正方体容器的棱长．【变式6-3】（2021春•福州期末）如图，有一块正方形铁皮，从四个顶点处分别剪掉一个面积为25cm2的正方形后，所剩部分正好围成一个无盖的长方体容器，量得该容器的体积是180cm3，求原正方形铁皮的边长．专题4.2立方根-重难点题型【苏科版】【知识点1立方根的概念及性质】（1）一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作。即。（2）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.【题型1立方根的概念及性质】【例1】（2021春•仓山区期中）如果﹣a是b的立方根，那么下列结论正确的是（）A．a是﹣b的立方根 B．a是b的立方根 C．﹣a是﹣b的立方根 D．±a都是b的立方根【解题思路】根据立方根的定义推导即可得出结论．【解答过程】解：根据题意得：（﹣a）3＝b，∴﹣a3＝b，∴a3＝﹣b，∴a是﹣b的立方根，故选：A．【变式1-1】（2021春•海淀区校级月考）下列结论正确的是（）A．64的立方根是±4 B．-19C．若a=3a，则a＝1【解题思路】根据立方根的定义解答即可．【解答过程】解：A．正数的立方根只有一个，64的立方根是4，该选项错误，不符合题意；B．负数也有立方根，该选项错误，不符合题意；C．a也可以等于0，该选项错误，不符合题意；D．3-27=-3，故选：D．【变式1-2】（2021春•白云区期末）下列说法正确的是（）A．64的立方根是±364=±B．-12是-C．3-27D．立方根等于它本身的数是0和1【解题思路】根据立方根的定义分别对每一项进行分析即可得出答案．【解答过程】解：A、64的立方根是4，故本选项错误；B、-12不是C、3-27=-3，-3D、立方根等于它本身的数是0和±1，故本选项错误；故选：C．【变式1-3】（2020春•闽侯县期中）若有3x+3y=A．x＝y＝0 B．x﹣y＝0 C．xy＝1 D．x+y＝0【解题思路】根据已知和立方根的性质得出x＝﹣y，即可得出x与y的关系．【解答过程】解：∵3x∴3x∴x＝﹣y，∴x与y的关系是x+y＝0．故选：D．【知识点2开立方】求一个数的立方根的运算，叫做开立方.【题型2开立方的运算】【例2】（2020秋•滦州市期中）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数x为﹣512时，输出的数y的值是（）A．-32 B．32 【解题思路】把﹣512按给出的程序逐步计算即可．【解答过程】解：由题中所给的程序可知：把﹣512取立方根，结果为﹣8，因为﹣8是有理数，所以再取立方根为﹣2，﹣2是有理数，所以再取立方根为3-2因为-32是无理数，所以输出故选：A．【变式2-1】（2021春•雨花区校级月考）根据图中呈现的运算关系，可知a＝，b＝．【解题思路】利用立方根和平方根的定义及性质即可解决问题．【解答过程】解：依据图中呈现的运算关系，可知2020的立方根是m，a的立方根是﹣m，∴m3＝2020，（﹣m）3＝a，∴a＝﹣2020；又∵n的平方根是2020和b，∴b＝﹣2020．故答案为：﹣2020，﹣2020．【变式2-2】（2021春•汉阳区期末）已知31-a2=1-a【解题思路】根据立方根等于它本身的数有0，1，﹣1，列式分别进行计算即可求出a的值．【解答过程】解：根据题意，一个数的立方根等于它本身，∴①1﹣a2＝0，解得a＝±1，②1﹣a2＝1，解得a＝0，③1﹣a2＝﹣1，解得a＝±2，综上所述，a＝±1，0，±2．故答案为：±1，0，±2．【变式2-3】（2021春•浦东新区校级月考）已知3a=-0.056，a＝106b，那么3【解题思路】根据立方根的定义解答可得．【解答过程】解：因为a＝106b，所以106b＝a，所以b＝a÷106，因为3a所以a＝（﹣0.056）3＝﹣0.000175616，所以3b=5.6×10故答案为：5.6×10﹣4．【题型3开立方运算中的小数点移动规律】【例3】（2021春•望城区期末）已知38=2，38000=20，3【解题思路】根据题意得出，当被开三次方数的小数点向左或向右移动3位，立方根的小数点则向左或向右移动1位，求解即可．【解答过程】解：∵38=2，38000∴38000000故答案为：200．【变式3-1】（2021春•重庆月考）若3≈1.732，30≈5.477，31728=12，317.28≈2.585，则【解题思路】当被开方数扩大（或缩小）为原来的100倍，其算术平方根扩大（或缩小）为原来的10倍．当被开方数扩大（或缩小）为原来的1000倍，其立方根扩大（或缩小）为原来的10倍．其余的依此类推，利用这个规律即可解决问题．【解答过程】解：∵3≈∴300≈∵31728∴31.728故答案为：17.32，1.2．【变式3-2】（2021春•天津期中）已知31.12≈1.038，311.2≈2.237，3【解题思路】根据被开方数小数点移3位，开立方后的结果移一位进行计算．【解答过程】解：∵311.2∴3-11200故答案为：﹣22.37．【变式3-3】（2019春•海淀区校级月考）已知2.14≈1.463，21.4≈4.626，30.214≈0.5981，32.14≈.289，若x≈46.26，则x＝【解题思路】根据算术平方根的特点：算术平方根的小数点向右（或向左）移动一位，则被开方数的小数点向右（或向左）移动2位，立方根的特点：立方根的小数点向右（或向左）移动一位，则被开方数向右（或向左）移动3位，然后进行解答即可．【解答过程】解：∵21.4≈4.626，x∴x＝2140，∵30.214≈0.5981，∴y＝﹣214，故答案为：2140，﹣214．【题型4利用开立方解方程】【例4】（2021春•连山区月考）（1）已知9（x+1）2＝4，求x的值；（2）已知8（x﹣1）3=-1258，求【解题思路】（1）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解；（2）方程整理后，利用立方根定义开立方即可求出解．【解答过程】解：（1）方程整理得：（x+1）2=4开方得：x+1＝±23解得：x1=-13，x2（2）方程整理得：（x﹣1）3=-125开立方得：x﹣1=-5解得：x=-1【变式4-1】（2021春•郧西县月考）求x的值：（1）（x﹣1）2＝4；（2）9x3+64=x3【解题思路】（1）根据平方根的定义解答；（2）根据立方根的定义解答．【解答过程】解：（1）（x﹣1）2＝4，∴x﹣1＝±2，∴x＝3或﹣1；（2）9x3+64=x3∴9x3+8＝x3﹣19，∴9x3﹣x3＝﹣19﹣8，∴8x3＝﹣27，∴x3=-27∴x=-3【变式4-2】（2021春•江汉区期中）求下列各式中x的值：（1）（x﹣1）2＝4；（1）14（2x+3）3【解题思路】（1）根据平方根的意义计算；（2）根据立方根的意义计算．【解答过程】解：（1）x﹣1＝2或﹣2，∴x＝3或一1；（2）14（2x+3y）3∴（2x+3）3＝﹣8，∴2x+3＝﹣2，∴x=-5【变式4-3】（2021•天宁区校级模拟）32x-1+3A．﹣3 B．﹣1 C．12 【解题思路】根据题意，对原方程变形为32x-1=-35x+8，即可得到有2x﹣1＝﹣5【解答过程】解：32x-1即32x-1故有2x﹣1＝﹣5x﹣8解之得x＝﹣1，故选：B．【题型5平方根与立方根综合】【例5】（2020春•合川区期末）已知M=5a+2b是9的算术平方根，7a+3b﹣1的平方根为±4，N=3-2a-b，则MA．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【解题思路】根据平方根、算术平方根、立方根的意义a、b的值，再求出M、N的值，进而求出M+2N的立方根即可．【解答过程】解：∵9的算术平方根是3，∴M=5a+2b∴5a+2b＝9，又∵7a+3b﹣1的平方根为±4，∴7a+3b﹣1＝16，∴5a+2b=97a+3b-1=16解得a＝﹣7，b＝22，∴N=3∴M+2N＝3+2×（﹣2）＝3﹣4＝﹣1，而﹣1的立方根为﹣1，∴M+2N的立方根为﹣1，故选：A．【变式5-1】（2020春•西华县期中）已知实数a+9的一个平方根是﹣5，2b﹣a的立方根是﹣2，求a+2b【解题思路】利用平方根、立方根性质求出a与b的值，代入原式计算即可求出所求．【解答过程】解：由题可知a+9＝（﹣5）2，2b﹣a＝（﹣2）3，解得：a＝16，b＝4，∴a+2b=16+2则a+2b的算术平方根是22【变式5-2】（2021春•甘肃期末）如果A=a-2b+3a+3b为a+3b的算术平方根，B=2a-b-11-a2为1﹣a【解题思路】根据算术平方根以及立方根的定义，A和B的根指数分别是2和3，即可得到一个关于a，b的方程组求得a，b的值，进而得到A、B的值，从而求解．【解答过程】解：根据题意得：a-2b+3=22a-b-1=3解得：a=3b=2则A=3+6=9=则A+B＝1，A+B的平方根是：±1．【变式5-3】（2021春•渝中区校级期中）已知：a与2b互为相反数，a﹣b的算术平方根是3；（1）求a、b的值；（2）若|2a+c|+b-d=0，求c【解题思路】（1）根据题意列出方程组可得答案；（2）【解答过程】解：（1）由题意得：a+2b=0a-b=9解得：a＝6，b＝﹣3．（2）由非负数的性质可得：2a+c=0b-d=0即12+c=0-3-d=0∴c＝12，d＝﹣3．∴c3+∴c3+【题型6立方根的应用】【例6】（2021春•瑶海区校级期中）已知一个正方体的体积是729cm3，现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，使得余下的体积是665cm3，则截去的每个小正方体的棱长是（）A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm【解题思路】首先确定截去的小正方体的体积，然后再设每个小正方体的棱长为xcm，根据正方体的体积公式可得方程，从而确定边长．【解答过程】解：截去的8个小正方体的总体积为729﹣665＝64（cm3），则每个小正方体的体积为64÷8＝8（cm3）．设每个小正方体的棱长为xcm，则x3＝8，解得x＝2．【变式6-1】（2020秋•石阡县期末）一个正方体木块的体积是343cm3，现将他锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体的木块的表面积是．【解题思路】要先根据正方体的体积求出正方体的棱长，然后进行分割即可解决问题．【解答过程】解：一个正方体木块的体积是343cm3，则边长为3343=7现将他锯成8快同样大小的正方体小木块，则每个小正方体木块的边长3.5cm，每个正方体边长为：3.5cm，其中一个小正方体表面积为6×（3.5）2＝73.5cm2；故答案为：73.5cm2．【变式6-2】（2021春•静海区月考）在一个长、宽、高分别为8cm，4cm，2cm的长方体容器中装满水，将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满（两容器的厚度忽略不计），求此正方体容器的棱长．【解题思路】根据长方体的体积计算可得结论；根据正方体的体积等于棱长的立方进行开立方计算可得结论．【解答过程】解：设正方体容器的棱长为xcm，得x3＝8×4×2x3＝64∴x＝4答：正方体容器的棱长为4cm．【变式6-3】（2021春•福州期末）如图，有一块正方形铁皮，从四个顶点处分别剪掉一个面积为25cm2的正方形后，所剩部分正好围成一个无盖的长方体容器，量得该容器的体积是180cm3，求原正方形铁皮的边长．【解题思路】设原来正方形的边长为xcm，然后根据长方体容积公式列方程计算．【解答过程】解：∵从四个顶点处分别剪掉一个面积为25cm2的正方形，∴剪掉的正方形边长为5cm，设原来正方形的边长为xcm，由题意可得：5（x﹣10）2＝180，∴（x﹣10）2＝36，x﹣10＝±6，解得：x＝16或x＝4（不合题意，舍去），∴原来正方形的边长为16cm．专题4.3实数-重难点题型【苏科版】【知识点1无理数的概念】无理数：无限不循环小数叫无理数．无理数常见的三种类型：（1）开不尽的方根；（2）特定结构的无限不循环小数；（3）含有π的绝大部分数．【题型1无理数的概念】【例1】（2021春•汉阴县期末）下列实数3π，-78，0，2，﹣3.1415，9，A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-1】（2021春•乌苏市期末）在实数3.14，-227，-9，1.7，5A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式1-2】（2021春•西双版纳期末）已知下列各数：19，3.14159265，﹣3，5，π，0.2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-3】（2021春•扶沟县期末）下列各数﹣0.101001，7，14，-π2，2A．1 B．2 C．3 D．4【知识点2实数的分类】【题型2实数的分类】【例2】（2021春•裕华区校级期末）把下列数填入相应的集合中．9，34，5π（1）整数集合；（2）分数集合；（3）有理数集合；（4）无理数集合；（5）实数集合．【变式2-1】（2020秋•杭州期中）用序号将下列各数填入相应的集合内．①-1112，②32，③-4，④0，⑤-0.4，⑥38，⑦-π（1）整数集合{…}；（2）分数集合{…}；（3）无理数集合{…}．【变式2-2】（2020春•赣州期中）把下列各数分别填入相应的集合中0，-54，16，3.1415926，-37，2π，2（1）整数集合：{…}（2）分数集合：{…}（3）有理数集合：{…}（4）无理数集合：{…}【变式2-3】（2020秋•海曙区期中）把下列各数的序号填入相应的括号内①﹣3，②π，③3-27，④﹣3.14，⑤2，⑥0，⑦227，⑧﹣1，⑨1.3，整数集合{…}；负分数集合{…}；正有理数集合{…}；无理数集合{…}．【题型3实数的性质】【例3】（2020春•丛台区校级月考）已知，a、b互为倒数，c、d互为相反数，则-3A．1 B．﹣1 C．0 D．±1【变式3-1】（2020春•丛台区校级月考）已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为2，f的算术平方根是8，求12ab+c+d5+A．92+2 B．92-2 C．【变式3-2】（2020春•渝中区校级月考）已知x是整数，当|x-23|取最小值时，xA．3 B．4 C．5 D．6【变式3-3】（2021春•营口期末）已知a、b满足-(4+a)2=2021|b-3|，则a2+【题型4实数与数轴的关系】【例4】（2021春•德阳期末）如图，数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1，5，且AC＝AB，则点C所表示的数为（）A．﹣1+5 B．﹣1-5 C．﹣2-5【变式4-1】（2021春•景县月考）如图，将面积为3的正方形放在数轴上，以表示实数1的点为圆心，正方形的边长为半径，作圆交数轴于点A、B，则点A表示的数为（）A．1-3 B．3-1 C．-3-1【变式4-2】（2021春•单县期末）数轴上A、C两点分别对应实数1和23-1，点A、C关于点B对称，则下列各数中，与点BA．1 B．2 C．3 D．4【变式4-3】（2021春•铜官区期末）已知数轴上点A、B分别表示2、3，若点C也在数轴上，且AC＝2AB，则点C所表示的数为（）A．32-23 B．23C．3+2或32-23 D．32-【题型5利用数轴化简】【例5】（2020秋•二七区校级月考）实数A，B在数轴上的位置，如图所示，那么化简|a+b|+|﹣a|+3b3【变式5-1】（2020秋•东坡区月考）实数a、b在数轴上对应点A、B的位置如图，化简：|a+b|-a【变式5-2】（2021•玉田县二模）如图，数轴上有A、B、C三个点，它们所表示的数分别为a、b、c三个数，其中b＜0，且b的倒数是它本身，且a、c满足（c﹣4）2+|a+3|＝0．（1）计算：a2﹣2a-c（2）若将数轴折叠，使得点A与点B重合，求与点C重合的点表示的数．【变式5-3】（2021春•雨花区期中）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，其中c为8的立方根，求代数式a2+|b﹣a|+(b-c)【题型6实数的应用】【例6】（2021春•嘉祥县期末）如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．（1）求出这个魔方的棱长；（2）图①中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图②，使得点A与﹣1重合，那么点D在数轴上表示的数为．【变式6-1】如图，4×4方格中每个小正方形的边长都为1．（1）直接写出图（1）中正方形ABCD的面积及边长；（2）在图（2）的4×4方格中，画一个面积为8的格点正方形（四个顶点都在方格的顶点上）；并把图（2）中的数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数8．【变式6-2】如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．（1）拼成的正方形的边长为．（2）如图2，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴上表示的﹣1点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A，那么点A表示的数是．（3）如图3，网格中每个小正方形的边长为1，若能把阴影部分剪拼成一个新的正方形，求新的正方形的面积和边长．【变式6-3】（2020秋•瑞安市期中）如图（1），在4×4的方格中，每个小正方形的边长为1．（1）求图（1）中正方形ABCD的面积；（2）如图（2），若点A在数轴上表示的数是﹣1，以A为圆心，AD为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是．专题4.3实数-重难点题型【苏科版】【知识点1无理数的概念】无理数：无限不循环小数叫无理数．无理数常见的三种类型：（1）开不尽的方根；（2）特定结构的无限不循环小数；（3）含有π的绝大部分数．【题型1无理数的概念】【例1】（2021春•汉阴县期末）下列实数3π，-78，0，2，﹣3.1415，9，A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：-70，9=3﹣3.1415是有限小数，属于有理数；无理数有3π，2，53故选：C．【变式1-1】（2021春•乌苏市期末）在实数3.14，-227，-9，1.7，5A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据无理数的三种形式求解．【解答】解：在实数3.14，-227，-9=-3，1.7，5，0，﹣π，4.262262226…（两个6之间依次增加一个“2”）中，无理数有故选：B．【变式1-2】（2021春•西双版纳期末）已知下列各数：19，3.14159265，﹣3，5，π，0.2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据无限不循环小数是无理数即可判断无理数的个数．【解答】解：5，π，0.3131131113…（每相邻两个3之间依次多一个1）是无理数，故选：C．【变式1-3】（2021春•扶沟县期末）下列各数﹣0.101001，7，14，-π2，2A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据无理数的定义即可判断．【解答】解：∵﹣0.101001是有限小数，∴﹣0.101001不是无理数，∵7是无限不循环小数，∴7是无理数，∵14∴14∵π是无限不循环小数，∴-π∵2-∴2-∵0是整数，∴0不是无理数，∵16=∴16不是无理数，∴无理数有3个，故选：C．【知识点2实数的分类】【题型2实数的分类】【例2】（2021春•裕华区校级期末）把下列数填入相应的集合中．9，34，5π（1）整数集合；（2）分数集合；（3）有理数集合；（4）无理数集合；（5）实数集合．【分析】有理数和无理数统称为实数；整数和分数统称为有理数；常见的无理数有π家族，开方开不尽的数，无限不循环小数，逐一分析判断即可．【解答】解：（1）整数集合9，3；（2）分数集合0.6⋅，（3）有理数集合9，0.6⋅，（4）无理数集合34，5π（5）实数集合9，34，5π3，0.6【变式2-1】（2020秋•杭州期中）用序号将下列各数填入相应的集合内．①-1112，②32，③-4，④0，⑤-0.4，⑥38，⑦-π（1）整数集合{…}；（2）分数集合{…}；（3）无理数集合{…}．【分析】根据实数的分类：实数分为有理数、无理数．或者实数分为正实数、0、负实数．进行填空．【解答】解：（1）整数集合{③④⑥…}；（2）分数集合{①⑧⑨…}；（3）无理数集合{②⑤⑦…}．故答案为：③④⑥；①⑧⑨；②⑤⑦．【变式2-2】（2020春•赣州期中）把下列各数分别填入相应的集合中0，-54，16，3.1415926，-37，2π，2（1）整数集合：{…}（2）分数集合：{…}（3）有理数集合：{…}（4）无理数集合：{…}【分析】（1）根据整数的定义选出即可；（2）根据负数和分数的定义选出即可；（3）根据有理数的定义选出即可；（4）根据无理数的定义选出即可．【解答】解：16=4，3（1）整数集合：{0，16，3-125（2）分数集合：{-54，3.1415926，0.1（3）有理数集合：{0，-54，16，3.1415926，0.15⋅（4）无理数集合：{-37，2π，故答案为：0，16，3-125；-54，3.1415926，0.15⋅；0，-54，16，3.1415926，0.15⋅，3【变式2-3】（2020秋•海曙区期中）把下列各数的序号填入相应的括号内①﹣3，②π，③3-27，④﹣3.14，⑤2，⑥0，⑦227，⑧﹣1，⑨1.3，整数集合{…}；负分数集合{…}；正有理数集合{…}；无理数集合{…}．【分析】根据有理数的定义及分类方法即可得出答案．【解答】解：∵3-27又∵整数有正整数和负整数，∴整数有：①③⑥⑧，根据负分数的定义知负分数有：④，根据正有理数的定义知正有理数有：⑦⑨，∵无理数是指无限不循环小数，∴无理数有②⑤⑩，故答案为①③⑥⑧，④，⑦⑨，②⑤⑩．【题型3实数的性质】【例3】（2020春•丛台区校级月考）已知，a、b互为倒数，c、d互为相反数，则-3A．1 B．﹣1 C．0 D．±1【分析】直接利用倒数的定义以及相反数的定义分别分析得出答案．【解答】解：∵a、b互为倒数，c、d互为相反数，∴ab＝1，c+d＝0，则-3＝﹣1+0+1＝0．故选：C．【变式3-1】（2020春•丛台区校级月考）已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为2，f的算术平方根是8，求12ab+c+d5+A．92+2 B．92-2 C．【分析】直接利用倒数以及互为相反数、绝对值、算术平方根的定义分别分析得出答案．【解答】解：∵a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为2，f的算术平方根是8，∴ab＝1，c+d＝0，e＝±2，f＝64，故12ab+c+d5=1=13故选：D．【变式3-2】（2020春•渝中区校级月考）已知x是整数，当|x-23|取最小值时，xA．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据绝对值的意义，由于23最接近的整数是5，可得结论．【解答】解：∵16＜23＜∴4.5＜23∴|x-23|取最小值时，x故选：C．【变式3-3】（2021春•营口期末）已知a、b满足-(4+a)2=2021|b-3|，则a2+【分析】由二次根式a中必须a≥0可得，﹣（4+a）2≥0，得4+a＝0后，a、b的值就可求解，最终求得结果．【解答】解：由题意可得﹣（4+a）2≥0，∴（4+a）2≤0，而（4+a）2≥0，∴4+a＝0，解得a＝﹣4，∴b-3解得b=3∴a2+b2的平方根为±(-4故答案为：±19【题型4实数与数轴的关系】【例4】（2021春•德阳期末）如图，数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1，5，且AC＝AB，则点C所表示的数为（）A．﹣1+5 B．﹣1-5 C．﹣2-5【分析】设点C表示的数为x，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出点C的数即可．【解答】解：设点C表示的数x，根据AC＝AB得：5-（﹣1）＝﹣1﹣x，即5+1＝﹣1﹣解得：x＝﹣2-5则点C表示的数为﹣2-5故选：C．【变式4-1】（2021春•景县月考）如图，将面积为3的正方形放在数轴上，以表示实数1的点为圆心，正方形的边长为半径，作圆交数轴于点A、B，则点A表示的数为（）A．1-3 B．3-1 C．-3-1【分析】根据算术平方根的定义以及数轴的定义解答即可．【解答】解：∵正方形的面积为3，∴正方形的边长为3，即圆的半径为3，∴点A表示的数为1-3故选：A．【变式4-2】（2021春•单县期末）数轴上A、C两点分别对应实数1和23-1，点A、C关于点B对称，则下列各数中，与点BA．1 B．2 C．3 D．4【分析】直接根据中点坐标公式即可得出结论．【解答】解：∵点A与C关于点B对称，∴点B是线段AC的中点，∴点B所对应的实数为1+23∵1＜3＜2，且1.5∴与点B所对应的数最接近的是2．故选：B．【变式4-3】（2021春•铜官区期末）已知数轴上点A、B分别表示2、3，若点C也在数轴上，且AC＝2AB，则点C所表示的数为（）A．32-23 B．23C．3+2或32-23 D．32-【分析】数轴上两个不同的点之间的距离可以用右边点代表的数减去左边点代表的数，本题由于不知道AC两点的位置，可以用AC两个点代表的数的差的绝对值来表示AC之间的距离，进而列出一个一元一次方程求解出C点所代表的数【解答】解：设数轴上点C所表示的数为x由题AC＝2AB，AC＝|x-2|，AB可得|x-2|＝2（3∴±（x-2）＝2（3∴x＝32-23或23-2，C点表示的数为32-23或2故选：D．【题型5利用数轴化简】【例5】（2020秋•二七区校级月考）实数A，B在数轴上的位置，如图所示，那么化简|a+b|+|﹣a|+3b3【分析】借助数轴判断出a，b，c的符号，进行绝对值和立方根的化简即可．【解答】解：由数轴知：a+b＜0，a＜0，∴|a+b|+|﹣a|+3b3=-（a+b＝﹣a﹣b﹣a+b＝﹣2a．故答案为：﹣2a．【变式5-1】（2020秋•东坡区月考）实数a、b在数轴上对应点A、B的位置如图，化简：|a+b|-a【分析】根据数轴判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小，然后利用算术平方根和绝对值的性质解答即可．【解答】解：由图可知，b＜0＜a，且|a|＜|b|，所以，a+b＜0，所以，|a+b|-＝﹣a﹣b﹣a﹣（a﹣b）＝﹣a﹣b﹣a﹣a+b＝﹣3a．【变式5-2】（2021•玉田县二模）如图，数轴上有A、B、C三个点，它们所表示的数分别为a、b、c三个数，其中b＜0，且b的倒数是它本身，且a、c满足（c﹣4）2+|a+3|＝0．（1）计算：a2﹣2a-c（2）若将数轴折叠，使得点A与点B重合，求与点C重合的点表示的数．【分析】（1）利用非负数的性质求出a与c的值，代入原式计算即可求出值；（2）根据a，b的值，确定出中点坐标，进而求出与C重合的点即可．【解答】解：（1）∵（c﹣4）2+|a+3|＝0，∴c﹣4＝0，a+3＝0，解得：a＝﹣3，c＝4，则原式＝a2﹣2a-c=（﹣3）2﹣2×（﹣3）（2）∵b＜0，且b的倒数是它本身，∴b＝﹣1，∵a＝﹣3，∴﹣3和﹣1重合，﹣3和﹣1的中点为﹣2，∵c＝4，∴与点C重合的点表示的数是﹣8；故答案为：（1）13；（2）