结构力学-弯曲变形课件

工程力学（EngineeringMechanics）华中科技大学力学系梁的变形梁的挠度和转角挠曲线：梁弯曲变形后的轴线，称为挠曲线。基本概念挠曲线位移变形后的横截面位置相对于变形前的位置的改变。挠度：梁变形后任一截面的形心C沿原轴线铅垂方向的线位移，称为该截面的挠度；即挠曲线上相应点的y坐标，记为w。转角：横截面在弯曲变形过程中对其原来位置所转过的角度，称为该截面的转角；即挠曲线上点切线与

x轴的夹角。水平位移:c点沿梁变形前轴线方向的位移，为高阶小量。ypxcw挠曲线挠曲线基本概念：梁的位移挠度

w转角

平面弯曲的挠曲线是一条位于载荷所在平面的平面曲线。，梁的轴线变成光滑连续曲线wxW(x)挠度曲线x符号：挠度：形心移动方向与坐标方向一致时为正，反之为负。转角：以选择的一对x、y坐标轴的方位而定，即横截面的转向与x轴到y轴的转向一致时取正号，反之取负号。挠度、转角关系所以挠曲线为一连续光滑的小挠度曲线，故即挠曲线任一点处切线的斜率等于该处截面的转角。ypxcwW（-）θ（-）弹性曲线的小挠度微分方程力学公式数学公式曲率弯矩关系1

＝MEI纯弯曲横力弯曲（

l／h＞5）1

（x）M（x）EI＝＝1（x）d2wdx2[1+(dwdx)2]3/2＋－小挠度情形下此即弹性曲线的小挠度微分方程(dwdx)2<<1wmax＝（0.01－0.001）l；＝1（x）d2wdx2[1+(dwdx)2]3/2＋－MEI＝d2wdx2＋－（x）横力弯曲1

（x）M（x）EI＝选取如图坐标系，则弯矩M与恒为同号MEI＝d2wdx2（x）xM>0w0xM<0w0＝d2wdx2MEI

MEI＝d2wdx2选用不同坐标系下的挠曲线微分方程提问：梁的挠曲线二阶微分方程的适用性和近似性是什么？小变形、线弹性材料2.忽略剪力影响xM>0w0xM>0w0梁的边界条件与连续条件梁的边界条件（包括几何边界条件和静力边界条件两种）简支梁悬臂梁1.固定铰链支座、可动铰链支座ABABwA=wB=02.悬臂梁几何边界条件梁的连续条件相邻梁段的交接处，相邻两截面应具有相同的挠度与转角，即满足连续、光滑条件.位移的连续条件积分法求梁的变形对于等刚度梁，梁挠曲线的二阶微分方程可写为:对此方程连续积分两次，可得:上二式中的积分常数c1、c2，可利用边界条件确定，由此即得梁的挠度方程和转角方程。转角方程挠度方程例1求图所示悬臂梁的挠曲线方程及转角方程，并求自由端B的挠度和转角。弯矩方程:连续积分两次得:解：1.支座反力ABqxyRAMAxl挠曲线微分方程：利用两个边界条件:以x=l代入以上方程可得自由端的挠度和转角：将其代入方程(a)、(b)则得梁的挠曲线方程和转角方程:ABqxyABqxylRAMA解法二：选如图坐标系，显然并不影响符号规则。弯矩方程:连续积分两次得:挠曲线微分方程：利用两个边界条件:由此：xPABCxlxabNANB例2：简支梁，受集中载荷作用，已知EI＝const，设a＞b。试求此梁的最大转角和挠度。解：1.支座反力2.弯矩方程AC段CB段CB段AC段几何边界条件:光滑连续条件:几何边界条件:3.梁的挠曲线微分方程PABCab4.转角方程、挠度方程AC段CB段5.最大转角6.最大挠度当a>b时，显然最大挠度位于AC段内，设在x0处的挠度最大7.讨论：当力P无限靠近B支座,即b0时,中点挠度代替最大挠度，二者误差不超过3%PABCab讨论由BAPCa例1：BAPC例2：BACabBAC?叠加法求梁的变形在几个载荷共同作用下引起的某一物理量等于各载荷单独作用时所引起的此物理量的总和（代数和或矢量和）叠加原理叠加法前提

力与位移之间的线性关系（物理线性）

小变形（几何线性）直线圆弧梁的连续光滑挠曲线3.

由M

的方向确定轴线的凹凸性;

由约束性质及连续光滑性确定挠曲线的大致形状及位置。挠曲线大致形状讨论：p246

第一类叠加法

应用于多个载荷作用的情形叠加=+例1qABCaaPBACaaPqABCaaP385求A点转角和C点挠度例2求图示梁截面B的挠度解：为了利用附录表中的结果，可将原荷载视为图(1)和图(2)两种情况的叠加EIzABCalqABCalqABCalq+ABCalqlABCqa

2cw2cB

图(2)CB段M=0，所以CB为直线图(1)wx解法2距离A端为x的dx梁段上的荷载可视为集中力P=qdxABCalqdxxqqdx对于悬臂梁和简支梁任何荷载都可用此法处理。其引起的挠度查附录为：注意：梁上同一点，同种变形，才能加。wx例3.试用叠加法求图示阶梯形变截面悬臂梁自由端C的挠度由于梁的抗弯刚度EI在B处不连续，若由挠曲线微分方程积分求解，须分段进行，工作量较大。可用叠加法求解。假定AB段刚化，研究自由端C对截面B的相对挠度;2.解除AB段的刚化，并令BC段刚化。pcBwc1)(243)2(331-=-=EIPlEIlPwcwBPMB=Pl/2ABCwc2wB悬臂梁BCABC2EIEIl/2l/2p由梁的变形连续条件，直线BC因AB段的弯曲变形而移位到的位置，使C点有相应的挠度将图（b）和（c）两种情况的变形叠加后，即可求得自由端C的挠度这种分析方法叫做梁的逐段刚化法。pcBwc1PMB=Pl/2ABCwc2wB梁的刚度条件在工程设计中，除了要保证梁的强度条件外，还要保证其刚度条件，即梁的变形不能超过允许的限度。即此两式称为梁的刚度条件。吊车梁:[w]=(1/400~1/750)l，（l为跨长）；机械中的一般轴：[w]=（0.0003～0.0005）l；机械中的精密轴：[w]=（0.0001～0.0002）l；轴上齿轮：[θ]=（0.001～0.002）rad（弧度）。式中[w]、[]分别为构件的许可挠度和许可转角，对不同构件有不同的要求，如：例：下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的[w/L]=0.00001，B点的[

]=0.001弧度，试核此杆的刚度。+=P2BCaL=400P2=2kNACa=0.1m200DP1=1kNBCP2BDA=ACDP1=1kNBCP2BDA+CP2BDAML=400P2=2kNACa=0.1m200DP1=1kNB解（1）结构变换，查表求简单载荷变形。xw+图3CP2BDAM（2）叠加求复杂载荷下的变形图1=ACDP1=1kNB图2+P2BCa（3）校核刚度习题：6－2d，6－6，6－96－11d（选作）作业超静定梁3-3=04-3=1ABqlYAXAMAABqlYAXAMAYB简单的超静定梁

简单的超静定梁BXBAqlYAMAYBXAMAXAMBXBYBqlABYA5－3＝26－3＝3静定与超静定的辩证关系

——多余约束的两种作用：增加了未知力个数，同时增加对变形的限制与约束，前者使问题变为不可解，后者使问题变为可解。

求解超静定问题的基本方法求解超静定问题的基本方法

——平衡、变形协调、物性关系。物性关系体现为力与变形关系。ABqlYAXAMAYB静定基多余约束超过维持梁平衡所必须的约束去掉原静不定系统的多余约束，而得出的静定系统。相当系统在静定基上加上原载荷及多余约束反力所得到的系统，称为原静不定系统的相当系统。ABlXAMAYAYBq变形比较法将基本静定梁多余约束处的变形与原静不梁的变形进行比较来建立补充方程的方法。变形协调条件

求解超静定问题的基本方法铰支-Bq多余约束静定基变形协调条件转动－MAYBABlXAYAMAABqlYAXAMAYB相当系统简支梁解法二：(2)基本静定基要便于计算，即要有利于建立变形协调条件。

基本静定基选取可遵循的原则：⑴基本静定基必须能维持静力平衡，且为几何不变系统；一般来说，求解变形时，悬臂梁最为简单，其次是简支梁，最后为外伸梁。物理关系：平衡方程:变形协调方程：

YA+YB-ql=0MA+YBl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(YB)=0wB(q)=ql4/8EIwB(YB)=-YBl3/3EI例1将支坐B视作多余约束，对应的相当系统如下图：qlYAMAYBXAABwB=0联立解出：YB=3ql/8,MA=ql2/8YA=5ql/8,qlYAMAYBXAAB例2结构如图，求B点反力。解：（1）建立静定基=RBLABxLBCwqLABC=RBxwqLAB+xwqLAB变形协调条件多余约束杆BC（4）补充方程（3）物理方程

——变形与力的关系xLBCwqLABC=RBLAB+xwqLABqlABqlABMAXAMBXBYBYA静定系统的选取与变形协调条件的建立MAMBqlqlAB静定系统的选取与变形协调条件的建立qlYBABCD二次静不定YBqlYAMAXAAB一次静不定WB=Wq+WYB=YB/k静定系统的选取与变形协调条件的建立应用小变形概念可以推知某些未知量：qlYAXBMAYBXAXA＝XB=0应用对称性分析可以推知某些未知量：qlABMAX