2024年山东省济宁市任城区中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年山东省济宁市任城区中考数学一模试卷一、选择题（各小题的四个选项中，只有一项符合题意，每小题3分，共30分）1．（3分）中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．如果在检测一批足球时，随机抽取了4个足球进行检测，其中超过标准质量的克数记为正数，最接近标准的是（）A．+2.5 B．+0.5 C．﹣1.0 D．﹣3.52．（3分）今天是父亲节，小东同学准备送给父亲一个小礼物．已知礼物外包装的主视图如图所示，则该礼物的外包装不可能是（）A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．三棱锥3．（3分）卢塞尔体育场是卡塔尔世界杯的主体育场，由中国建造，是卡塔尔规模最大的体育场．世界杯之后，其中大部分来自世界杯决赛场地卢塞尔体育场，170000这个数用科学记数法表示为（）A．0.17×105 B．1.7×105 C．17×104 D．1.7×1064．（3分）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．a2+a3＝a5 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a3）2＝a65．（3分）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝37°，则高AD约为（）（结果取整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．15cm B．16cm C．18cm D．20cm6．（3分）中国古代数学名著《孙子算经》中有一个问题，原文：今有三人共车，二车空，九人步，问人与车各几何．译文为：今有若干人乘车，最终剩余2辆车，其余车正好坐满，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人？多少辆车？若设共有y辆车（）A． B． C．3（y﹣2）＝2y+9 D．3（y+2）＝2y﹣97．（3分）如图，EF、CD是⊙O的两条直径，A是劣弧，若∠EOD＝32°，则∠CDA的度数是（）A．37° B．74° C．53° D．63°8．（3分）如图，在△ABC中，∠CAD＝90°，AC＝4，BD＝DE＝EC，则DF＝（）A． B． C．2 D．19．（3分）如图，矩形AOCB的两边OC，OA分别位于x轴，点B的坐标为B（﹣，5），D是AB边上的一点，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在反比例函数y＝（x≠0），则k值为（）A．﹣3 B．﹣6 C．﹣12 D．﹣1810．（3分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l0与y轴重合．若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2…，半径为n+1的圆与1n在第一象限内交于点Pn，则点Pn的坐标为（）（n为正整数）A． B． C． D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容．某老师了解到某班40位同学每天睡眠时间（单位：小时）如下表所示小时．睡眠时间8小时9小时10小时人数6241012．（3分）分解因式：5x2﹣20＝．13．（3分）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0有一个根是x＝1，则a的值为．14．（3分）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形CDEF，E，F分别在边OC，OB，过点E作EH⊥AB于点H．当AB＝BC，∠BOC＝30°，EH的长为．15．（3分）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算tan15°时，如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，连接AD，得∠D＝15°＝＝＝2﹣．类比这种方法．三、解答题（共55分）16．（6分）先化简，再求值：，其中a从﹣1，0，117．（7分）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野．为了解学生寒假阅读情况，并对部分学生假期（28天）的阅读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时）（0＜t＜12），B（12≤t＜24），C（24≤t＜36），D（t≥36），将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．根据以上信息（1）请补全条形统计图；（2）扇形统计图中a的值为，圆心角β的度数为；（3）若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？（4）政教处决定从本次调查阅读时长前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加该校“阅读之星”竞选，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率．18．（7分）如图，在△ABC中，∠C＝90°（1）请用无刻度的直尺和圆规在边BC上求作一点D，使得点D到边AB，AC的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图形中，过点D作DE⊥AB于点E．①求证：AE＝AC；②若CD＝4，S△ABD＝30，求BE的长．19．（8分）某班级社会实践小组组织“义卖活动”，计划从批发店购进甲、乙两类益智拼图，已知甲类拼图每盒进价比乙类拼图多5元，乙类拼图30盒，则费用为600元．（1）求甲、乙两类拼图的每盒进价分别是多少元？（2）甲、乙两类拼图每盒售价分别为25元和18元．该班计划购进这两类拼图总费用不低于2100元且不超过2200元．若购进的甲、乙两类拼图共200盒，且全部售出，则甲类拼图为多少盒时20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，过点C的直线交BA的延长线于点P，交BE的延长线于点D．且∠PCA＝∠CBD．（1）求证：PC为⊙O的切线；（2）若，PB＝12，求⊙O的半径及BD的长．21．（9分）【问题情境】：如图1，点E为正方形ABCD内一点，AE＝2，∠AEB＝90°，将直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转α度（0≤α≤180°）【问题解决】：（1）如图2，在旋转的过程中，点B′落在了AC上；（2）若α＝90°，如图3，得到△ADE′（此时B′与D重合），①试判断四边形AEFE′的形状，并说明理由；②连接CE，求CE的长；（3）在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段CE′长度的取值范围．22．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，在对称轴上是否存在点D，使△BCD是以BC为直角边的直角三角形？若存在；若不存在，请说明理由．（3）如图2，点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当，请直接写出点P的坐标．

2024年山东省济宁市任城区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（各小题的四个选项中，只有一项符合题意，每小题3分，共30分）1．（3分）中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．如果在检测一批足球时，随机抽取了4个足球进行检测，其中超过标准质量的克数记为正数，最接近标准的是（）A．+2.5 B．+0.5 C．﹣1.0 D．﹣3.5【解答】解：由题意可得各数的绝对值分别为：2.5，2.5，3.2，∵0.5＜8.0＜2.7＜3.5，∴最接近标准的是+8.5，故选：B．2．（3分）今天是父亲节，小东同学准备送给父亲一个小礼物．已知礼物外包装的主视图如图所示，则该礼物的外包装不可能是（）A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．三棱锥【解答】解：根据主视图可知，只有D选项不可能．故选：D．3．（3分）卢塞尔体育场是卡塔尔世界杯的主体育场，由中国建造，是卡塔尔规模最大的体育场．世界杯之后，其中大部分来自世界杯决赛场地卢塞尔体育场，170000这个数用科学记数法表示为（）A．0.17×105 B．1.7×105 C．17×104 D．1.7×106【解答】解：170000＝1.7×102．故选：B．4．（3分）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．a2+a3＝a5 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a3）2＝a6【解答】解：a2•a3＝a5+3＝a5；A错误；a5+a3＝a2+a5；B错误；（a+b）2＝a2+b2+2ab；C错误；（a3）4＝a3×2＝a5；D正确；故选：D．5．（3分）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝37°，则高AD约为（）（结果取整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．15cm B．16cm C．18cm D．20cm【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝BC＝20（cm），在Rt△ABD中，∠ABC＝37°，∴AD＝BD•tan27°≈20×8.75≈15（cm），∴高AD约为15cm，故选：A．6．（3分）中国古代数学名著《孙子算经》中有一个问题，原文：今有三人共车，二车空，九人步，问人与车各几何．译文为：今有若干人乘车，最终剩余2辆车，其余车正好坐满，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人？多少辆车？若设共有y辆车（）A． B． C．3（y﹣2）＝2y+9 D．3（y+2）＝2y﹣9【解答】解：由题意可得，3（y﹣2）＝4y+9．故选：C．7．（3分）如图，EF、CD是⊙O的两条直径，A是劣弧，若∠EOD＝32°，则∠CDA的度数是（）A．37° B．74° C．53° D．63°【解答】解：如下图，连接OA，∵A是劣弧的中点，即弧DA＝弧FA，∴∠DOA＝∠FOA，∵∠EOD＝32°，∴，∵OD＝OA，∴，即∠CDA＝53°．故选：C．8．（3分）如图，在△ABC中，∠CAD＝90°，AC＝4，BD＝DE＝EC，则DF＝（）A． B． C．2 D．1【解答】解：∵∠CAD＝90°，AD＝3，∴DC＝＝＝5，∵DE＝EC，DE+EC＝DC＝5，∴DE＝EC＝AE＝，∵BD＝DE，点F是AB边的中点，∴DF＝AE＝．故选：A．9．（3分）如图，矩形AOCB的两边OC，OA分别位于x轴，点B的坐标为B（﹣，5），D是AB边上的一点，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在反比例函数y＝（x≠0），则k值为（）A．﹣3 B．﹣6 C．﹣12 D．﹣18【解答】解：过E点作EF⊥OC于F，由条件可知：OE＝OA＝5，＝，所以EF＝3，OF＝4，则E点坐标为（﹣4，8）设反比例函数的解析式是y＝则有k＝﹣4×3＝﹣12故选：C．10．（3分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l0与y轴重合．若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2…，半径为n+1的圆与1n在第一象限内交于点Pn，则点Pn的坐标为（）（n为正整数）A． B． C． D．【解答】解：连接OP1，OP2，OP4，l1、l2、l2与x轴分别交于A1、A2、A6，如图所示：在Rt△OA1P1中，OA6＝1，OP1＝7，∴A1P1＝＝＝，同理：A4P2＝＝，A3P3＝＝，……，∴P1的坐标为（2，），P2的坐标为（3，），P3的坐标为（6，），……，…按照此规律可得点Pn的坐标是（n，），即（n，）故选：B．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容．某老师了解到某班40位同学每天睡眠时间（单位：小时）如下表所示9.1小时．睡眠时间8小时9小时10小时人数62410【解答】解：＝9.1（小时），即该班级学生每天的平均睡眠时间是3.1小时．故答案为：9.2．12．（3分）分解因式：5x2﹣20＝5（x+2）（x﹣2）．【解答】解：5x2﹣20，＝5（x2﹣4），＝6（x+2）（x﹣2）．故答案为：2（x+2）（x﹣2）．13．（3分）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0有一个根是x＝1，则a的值为﹣1．【解答】解：把x＝1代入（a﹣1）x4+a2x﹣a＝0，得a﹣6+a2﹣a＝0，解得：a7＝1，a2＝﹣7，∵a﹣1≠0，∴a＝﹣7．故答案为：﹣1．14．（3分）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形CDEF，E，F分别在边OC，OB，过点E作EH⊥AB于点H．当AB＝BC，∠BOC＝30°，EH的长为．【解答】解：∵四边形CDEF是菱形，DE＝2，∴CD＝DE＝CF＝EF＝2，CF∥DE，∵∠CBO＝90°，∠BOC＝30°，∴OD＝7DE＝4，OE＝，∴CO＝CD+DO＝6，∴BC＝AB＝CD＝3BC＝6，∵∠A＝90°，∴AO＝＝＝3，∵EF∥CD，∴∠BEF＝∠BOC＝30°，∴BE＝EF＝，∵EH⊥AB，∴EH∥OA，∴△BHE∽△BAO，∴，∴＝，∴EH＝，故答案为：．15．（3分）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算tan15°时，如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，连接AD，得∠D＝15°＝＝＝2﹣．类比这种方法．【解答】解：如图，在等腰直角△ABC中，延长CB至点D，则∠BAD＝∠D．∵∠ABC＝45°，∴45°＝∠BAD+∠D＝2∠D，∴∠D＝22.5°，设AC＝5，则BC＝1AC＝，∴CD＝CB+BD＝CB+AB＝1+，∴tan22.6°＝tanD＝＝＝＝﹣1．故答案为：﹣1．三、解答题（共55分）16．（6分）先化简，再求值：，其中a从﹣1，0，1【解答】解：＝＝＝，∵a（a﹣1）≠5，a﹣2≠0，∴a≠8，1，2，∴a可以为﹣2，当a＝﹣1时，原式＝＝．17．（7分）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野．为了解学生寒假阅读情况，并对部分学生假期（28天）的阅读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时）（0＜t＜12），B（12≤t＜24），C（24≤t＜36），D（t≥36），将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．根据以上信息（1）请补全条形统计图；（2）扇形统计图中a的值为20，圆心角β的度数为144°；（3）若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？（4）政教处决定从本次调查阅读时长前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加该校“阅读之星”竞选，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率．【解答】解：（1）本次抽样的学生人数为：6÷10%＝60（人），∴C组的人数为：40%×60＝24（人），补全条形统计图如下：（2）A组所占的百分比为：a%＝12÷60×100%＝20%，∴a＝20，圆心角β的度数为：β＝40%×360°＝144°，故答案为：20，144°；（3）2000×（20%+30%）＝1000（名），答：估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有1000名；（4）画树状图如下：：共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种，∴恰好选中甲和乙的概率为＝．18．（7分）如图，在△ABC中，∠C＝90°（1）请用无刻度的直尺和圆规在边BC上求作一点D，使得点D到边AB，AC的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图形中，过点D作DE⊥AB于点E．①求证：AE＝AC；②若CD＝4，S△ABD＝30，求BE的长．【解答】（1）解：如图，作∠BAC的平分线，则点D到边AB，AC的距离相等，即点D为所求．（2）①证明：∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°．由（1）知，点D到边AB，即DC＝DE，∵AD＝AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AE＝AC．②解：由①知，AE＝AC＝12．∵S△ABD＝＝30，∴AB＝15，∴BE＝AB﹣AE＝15﹣12＝4．19．（8分）某班级社会实践小组组织“义卖活动”，计划从批发店购进甲、乙两类益智拼图，已知甲类拼图每盒进价比乙类拼图多5元，乙类拼图30盒，则费用为600元．（1）求甲、乙两类拼图的每盒进价分别是多少元？（2）甲、乙两类拼图每盒售价分别为25元和18元．该班计划购进这两类拼图总费用不低于2100元且不超过2200元．若购进的甲、乙两类拼图共200盒，且全部售出，则甲类拼图为多少盒时【解答】解：（1）设甲类拼图每盒进价是x元，乙类拼图每盒进价是y元，根据题意得：，解得：．答：甲类拼图每盒进价是15元，乙类拼图每盒进价是10元；（2）设购进甲类拼图m盒，则购进乙类拼图（200﹣m）盒，根据题意得：，解得：20≤m≤40．设购进的甲、乙两类拼图全部售出后获得的总利润为w元，即w＝2m+1600，∵3＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝40时，w取得最大值．答：当甲类拼图为40盒时，所获得总利润最大．20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，过点C的直线交BA的延长线于点P，交BE的延长线于点D．且∠PCA＝∠CBD．（1）求证：PC为⊙O的切线；（2）若，PB＝12，求⊙O的半径及BD的长．【解答】（1）证明：连接OC，则OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC，∵∠ABE的平分线交⊙O于点C，∴∠ABC＝∠CBD，∵∠PCA＝∠CBD，∴∠PCA＝∠ABC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OCP＝∠OCA+∠PCA＝∠OAC+∠ABC＝90°，∵OC是⊙O的半径，且PC⊥OC，∴PC为⊙O的切线．（2）解：设⊙O的半径为r，则OC＝OA＝BO＝r，∵PC＝2BO，∴PC＝4r，PA＝12﹣2r，∵∠PCA＝∠PBC，∠P＝∠P，∴△PCA∽△PBC，∴＝，∴PC8＝PB•PA，∴（2r）5＝12（12﹣2r），解得r1＝4，r2＝﹣6（不符合题意，舍去），∴OC＝OA＝8，PA＝12﹣2×3＝4，∴PO＝PA+OA＝6+3＝3，∵∠OCB＝∠ABC＝∠CBD，∴OC∥BD，∴∠D＝∠OCP＝90°，∴＝＝sinP＝＝，∴BD＝PB＝，∴⊙O的半径长为8，BD的长为4．21．（9分）【问题情境】：如图1，点E为正方形ABCD内一点，AE＝2，∠AEB＝90°，将直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转α度（0≤α≤180°）【问题解决】：（1）如图2，在旋转的过程中，点B′落在了AC上；（2）若α＝90°，如图3，得到△ADE′（此时B′与D重合），①试判断四边形AEFE′的形状，并说明理由；②连接CE，求CE的长；（3）在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段CE′长度的取值范围．【解答】解：（1）∵AE＝2，BE＝4，∴AB＝＝＝6，∵四边形ABD是正方形，∴BC＝AB＝2，∠ABC＝90°，∴AC＝AB＝2，由旋转的性质得：AB'＝AB＝3，∴CB′＝AC﹣AB'＝2﹣5；（2）①四边形AEFE′是正方形，理由如下：由旋转的性质得：AE'＝AE，∠EAE'＝α＝90°，∵∠AEF＝180°﹣90°＝90°，∴四边形AEFE′是矩形，又∵AE'＝AE，∴四边形AEFE′是正方形；②过点C作CG⊥BE于点G，如图3所示