第4讲 充分条件与必要条件（学生版）-高一数学同步讲义

第04讲充分条件与必要条件

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课程标准课标解读

1.理解充分条件、必要条件、充分必要条

1.能利用命题成立的充分、必要、充要条件对命题的

件的意义与具体要求.

形式进行判断.

2.会判断命题成立的充分、必要、充分必

2.能利用充分、必要条件求参数以及进行简单的证明.

要条件.

般：知识精讲

宏、知识点01充分'必要，充要条件的判断

充分条件、必要条件和充要条件：

定义法：（1）充分条件：若pnq,则p是q充分条件.

（2）必要条件：若qnp,则。是4必要条件

（3）充要条件：若pnq,且qnp,则p是q充要条■件，即：poq

P是4充分不必要条件：pnq,且4》，

P是4必要不充分条件：q=p,且

P是4既不充分又不必要条件：P书q旦q由P

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

逆否法：

设“若p,则4”为原命题，那么：

①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；

②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；

③原命题与逆命题都为真时，p是g的充要条件；

④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件.

集合法：从集合的观点看，建立命题p,q相应的集合：p：A={x|p（x）成立},q：8={x0（无）成立},那

么：

①若AU8,则p是q的充分条件；若A是B的真子集时，则p是q的充分不必要条件；

②若BUA,则p是q的必要条件；若B真子集是A时，则0是°的必要不充分条件；

③若且B£A,即A=B时，则p是q的充要条件.

（3）等价转化法：

【微点拨】判断充分、必要、充要条件的方法：（1）直接利用定义来判断，但要分清哪个是条件，哪个是

结论；（2）p是q的什么条件等价于非q是非p的什么条件.

【即学即练1工已知命题P：三角形是等腰三角形，命题4：三角形是等边三角形，则p是<7的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【即学即练2［x=2是-彳2+3彳一2=0成立的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

；,知识点02利用充分、必要'充要条件求待定参数

【微点拨】利用命题成立的条件求待定参数时一定要准确判断题设与结论的正确关系或者准确利用两者的

关系后，再利用两者的关系（集合间的关系）进行求参数的运算.

【即学即练3］已知p：—1<》<2,4：2。4%4/+1,若。是勺的必要条件,则实数4的取值范围是（）

A.B.-\<a<--C.~—<a<1D.——<a<1

222

【即学即练4】.若“条件a：2WxW4”是"条件夕：—加”的充分条件，则机的取值范围是

【即学即练5］已知p：1<x<3,q：m—\<x<2m.

（1）若p是夕的充分不必要条件，求实数，〃的取值范围；

（2）若p是q的必要不充分条件，求实数，〃的取值范围；

圣、知识点03充要条件的证明

【微点拨】证明充要条件的两个步骤是分别证明"充分性''和“必要性”这两个方面；解题时要避免将充分性当

作必要性来证明的错误，这就需要分清条件与结论，若“条件"n“结论”，即是证明充分性，若“结论”=>“条

件“，即是证明必要性.

【即学即练6】求证：四边形ABCO是平行四边形的充要条件是四边形ABCD的对角线AC与3。互相平

分.

Q能力拓展

考法01

【典例1】1）已知a,b,cwR,则“加2＞儿2”是“。＞夕'的条件.

2）设xwR,则=x"是，”=1”的条件（从“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既

不充分也不必要条件”选一个填空）.

考法02

【典例2】I）已知〃：T＜x—a＜4,q:（x-2）（3—x）＞0,若9是，的充分条件，则。的取值范围为

2）集合A={X|X2-8X+15=0},8={%|6-1=0},

（1）当。=1,集合A是B的什么条件？

（2）若A是8的必要不充分条件，求a的值.

考法03

【典例3】已知加0,求证：岛炉+出桢2为2=0是q+b=i的充要条件

（提示：a3+h3=（a+b）（a2-ah+h2））

分层提分

题组A基础过关练

1.设A,B是两个集合，则“AI8=A”是“A=5”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

2

2.已知xeR,贝『'x<2"是“一>1”的（）

x

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.设xeR,贝iJ“0<x<2”是“>?<8”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.“炉一2%一3=0”是“尸3”的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不必要也不充分

5.“〃厚0”是“存0”（）

A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知〃:0<x<3,q:(x+l)(x-2)<0,那么p是q的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

题组B能力提升练

1.下列说法正确的是（）

A.。@。是。6/?的充分不必要条件

B.[x|=|y|是x=y的必要不充分条件

C./>1是》>1的充分不必要条件

D.。+/?<0是。<0/<0的必要不充分条件

2.下列说法中正确的是（）

A."AI8=8”是“3=0”的必要不充分条件

B."x=3”的必要不充分条件是“炉一2工—3=0”

C.“机是实数”的充分不必要条件是““是有理数”

D.“国=1”是“x=l”的充分条件

3.设〃wN,,一元二次方程/_4x+〃=0有整数根的充要条件是n=.

4.已知p:—2Wx410,^l-m<x<l+m(m>0),且<?是p的必要不充分条件，则实数机的取值范围

是.

5.若p:f+x—6=0是夕：6+1=0的必要不充分条件，则实数。的值为.

6.若是—以+3<()”的充分非必要条件，则实数。的取值范围为.

7.已知命题〃：一-<1,命题q：(x+a)(x—1)<0.若。是夕的充要条件，则a的值是.

X-L

题组C培优拔尖练

1.设命题a:A={x|d+4x=o},命题/?:8={x|x2+2(a+l)x+l-a=o},若a是£的必要条件,

但。不是£的充分条件，求实数。的取值组成的集合.

2.已知集合A={x|a—l<x<2a+3},8={x|-24x«4}

(1)a=2时，求4B；

(2