河北省定州市2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

河北省定州市2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

学校:姓名：班级:___________考号：___________

一、单选题

1.下列图形是中心对称图形的是（）

匿

0

2.方程/一8=0的解为（）

%二

A.=4,x2=-4B.2\[1,x2——2\/2

C.%=0,x2=2A/2D.工=2a

3.一元二次方程3/+2=4x化为一般形式后，常数项为2,二次项系数和一次项系数

分别分（）

A.3,2B.3,4C.3,-4D.3x2,-4x

4.抛物线y=/—5x+8与x轴的交点个数为（）

A.0个B.1个C.2个D.无法确定

5.如图，点A,B,。是。上的三点,ZB=70°,则/AOC的度数是（）

A.150°B.140°C.130°D.120°

6.已知点A（3,4）,将点A绕原点。顺时针方向旋转90。得点8,则点8的坐标为（）

A.（3,T）B.（4,-3）C.（-4,3）D.（-3,4）

7.如图，将oOAB绕点。逆时针旋转得到点8恰好在边48,上.已知A8=4cm,

BB'=\cm,则A'B的长是（）

8.如图，四边形ABC。的外接圆为。。，BC=CD,ZDAC=35°,N4CD=45。，则上4£出

的度数为（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

9.对于二次函数y=（x-1）2+2的图象，下列说法正确的是（）

A.开口向下B.对称轴是直线》=-1

C.顶点坐标是（1,2）D.与y轴的交点为（0,2）

10.若点A（l,yJ,B（2,%）在抛物线y=q（x+l）2+2（a<0）上，则下列结论正确的是

（）.

A.2>yt>y2B.2>y2>ytC.yt>y2>2D.y2>yt>2

11.已知关于》的一元二次方程"-枕）2+,=0的解为％=2,々=5,则抛物线

y=（x-/n+2『+〃与x轴交点坐标是（）

A.（2,0）,（5,0）B.（4,0）,（7,0）C.（2,0）,（3,0）D.（0,0）,（3,0）

12.某药厂2013年生产It甲种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，2015年生

产It甲种药品的成本是3600元.设生产It甲种药品成本的年平均下降率为X,则x的值

是（）

.5-拒口5+V15「屈2

A.-----------D.

555

试卷第2页，共6页

二、填空题

13.若关于x的方程x2+ax+a=0有一个根为-3,则a的值是—.

14.如图，将三角尺A8C(其中NABC=60。，ZC=90°)绕点3按顺时针方向转动一

个角度到ABG的位置，使得点A,B,G在同一条直线上，那么旋转角NCBC产

ABG

15.在矩形ABC。中，AB=3,AQ=4,以点A为圆心，r为半径画圆，若使点8在。A

内，点C在。4外，则半径7•的取值范围是.

16.一个小球被抛出后，距离地面的高度h(m)和飞行时间t(s)满足下面函数解析式：

h=-5t?+10t+l,则小球距离地面的最大高度是m.

17.二次函数y=2(x-3)2+l图象绕原点旋转180。得新图象的解析式为.

18.如图，在。中，AM是。的直径，AM=8,点B是痴的中点，点C在弦AB

上，且4。=应，点。在AB上，豆CD〃OB,则CO的长为.

三、解答题

19.解方程：

(l)x2-2x-8=0;

(2)(x+l)(x-3)=2x-5.(用配方法)

20.已知关于x的一元二次方程x2-2x+l-«=0有两个不相等的实数根.

(1)求A的取值范围；

(2)请你给出一个火的值，并求出此时方程的根.

21.如图，的内接四边形ABC。两组对边的延长线分别相交于点E、E.

(1)若NE="时，求证：ZADC=ZABC；

(2)若NE=NF=42。时，求NA的度数.

E

*0

22.如图，AB是。的直径，弦C£＞，他于点E,G是弧AC上一点，连接相＞、AG.GD.

(2)若BE=2,CD=6,求。。的半径.

23.如图，将BCE绕点C顺时针旋转60。得到ACD,点。恰好落在BC的延长线上,

连接AB,DE,BE分别交AC,AO于点G、F,AD交CE于点、H.

(1)求/4方的度数；

(2)求证：CH=CG.

24.已知二次函数,=以2+灰+。中的x,y满足下表:

X012345

y3.51-0.5-1-0.513.5…

试卷第4页，共6页

-4卜尸

□

X

1

(1)求这个二次函数的

3-2-1O4।25

1

工

J2

解析式;

(2)利用上表，在平面直角坐标系画出这条抛物线;

(3)直接写出，当X取什么值时，y>0?

25.如图，四边形ABC。是一块边长为6米的正方形花圃，现将它改造为矩形用G的

形状，其中点E在AB边上(不与点B重合)，点G在的延长线上，DG=3BE,设

8E的长为x米，改造后花圃如的面积为y平方米.

D

(1)当改造后花圃犯七的面积与原正方形ABC。花圃的面积相等时，求8E的长;

(2)当x为何值时，改造后的花圃用G的面积最大?并求出最大面积.

26.如图，在直角坐标系中，四边形0ABe是平行四边形，经过4-2,0),B,C三点

Q

的抛物线卜=如2+法+§(&V0)与x轴的另一个交点为。，其顶点为

(1)求这条抛物线对应的函数表达式;

3

⑵己知E是抛物线上的点，使得“山的面积是囱。ABC的面积的“求点E的坐标.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.D

【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，

那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案.

【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C、不是中心对称图形，故此选项不合题意：

D、是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选：D.

【点睛】此题主要考查了中心对称图形，关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

2.B

【分析】移项得X2=8,然后利用直接开平方法解方程即可.

【详解】解：移项得f=8，

两边开方的：x=±20,

即玉=2亚=—2^2，

故选：B.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解法:直接开平方法，熟练掌握运算方法是解题的关键.

3.C

【分析】根据一元二次方程的一般式及各部分名称进行解答即可.

【详解】解：31+2=4x移项后可化为3--4工+2=0,

.•.二次项系数是3、一次项系数是T；

故意选：C.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方

程经过整理，都能化成如下形式以2+公+。=0（。*0）,这种形式叫一元二次方程的一般形

式.其中如?叫做二次项，。叫做二次项系数；板叫做一次项，一次项系数b;c叫做常数

项.

4.A

【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系，结合一元二次方程根的判别式即可得答案.

【详解】解：把y=0代入y=f-5x+8得X2-5X+8=0,

答案第1页，共15页

,/b1-4ac=(-5)2-4x8=-7<0,

方程f-5x+8=0无实数根，

...抛物线与x轴的交点个数为。个.

故选：A.

【点睛】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系及一元二次方程根的判别式，熟练掌

握二次函数的图像与性质是解题的关键.

5.B

【分析】根据同弧所对的圆心角与圆周角之间的关系定理即可解决.

【详解】解：:/ABC是圆周角，所对的弧是AC，NAOC是圆心角，所对的弧是AC，

ZAOC=2ZABC=2x70°=140°.

故选B.

【点睛】本题考查同弧所对的圆周角、圆心角之间的关系定理，记住同弧所对圆心角是圆周

角的两倍，属于中考常考题型.

6.B

【分析】根据题意作出图形，过点A作AM_Lx轴,过点8作BNLx轴，证明/\AOMS△08N

即可得解；

【详解】根据题意作出图形，过点4作AMLx轴，过点8作轴，

由题可知：4403=90。，AO=BO,

：.ZAOM+NBON=90°,

ZA+ZAOM=90°,

二ZA=ZSON,

在，AOM和△03N中,

答案第2页，共15页

ZAMO=NONB

•ZA=ZBON,

AO=OB

：./XAOM=/XOBN,

AM=ON,OM=BN,

•.•点A（3,4）,

AAM=ON=4,OM=BN=3,

•••点B在第四象限，

.•.点B的坐标为（4,-3）：

故选B.

【点睛】本题主要考查了绕原点旋转90度的点的坐标，三角形全等判定与性质，准确分析

计算是解题的关键.

7.C

【分析】根据旋转的性质得出△OAB丝△OA8',推出43=AB=4,代入A'3=4'9-33'

求出即可.

【详解】解：•••将△O4B绕点。按逆时针方向旋转至△OVB',

△04B&△0A3',

二AB=A'ff=4,

：.AB=A!ff—88'=4-1=3（cm）,

故选：C.

【点睛】本题考查了旋转的性质和全等三角形的性质和判定等知识点，关键是根据定理推出

A5=A'B'=4.

8.C

【分析】根据同弧所对的圆周角相等及等边对等角，可得NCD8=35。，根据三角形的内角和

可得NADC=100。，利用角的和差运算即可求解.

【详解】解：；〃4c=35。，

/.ZDBC=35°,

BC=CD,

：.NCDB=35°,

答案第3页，共15页

,/ZACD=45°,

：.ZAZ)C=100°,

，ZADB=ZADC-NCDB=65。，

故选：C.

【点睛】本题考查同弧所对的圆周角相等、三角形的内角和、等边对等角，熟练应用几何知

识是解题的关键.

9.C

【分析】由抛物线解析式可直接得出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，可判断A、B、

C,令x=0求出与y轴的交点坐标可判断D,则可求得答案.

【详解】解："=(1)2+2,

二抛物线开口向上，对称轴为直线x=l,顶点坐标为(1,2),故A、B均不正确，C正确；

令x=0可得y=(0-1)~+2=3,

•••抛物线与y轴的交点为(0,3),故D错误.

故选：C.

【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在

y=a(x-〃P+Z中，对称轴为直线x=/7,顶点坐标为(九无).

10.A

【分析】结合题意，根据二次函数图像的性质，先判断抛物线的开口方向、对称轴以及最大

值，再结合点B(2,%)分析，即可完成求解.

【详解】根据题意得：y=a(x+l『+2(a<0)的开口向下，对称轴为x=-l

...当x>T时，即在对称轴x=-l右侧，>随着x的增大而减小；当A-1时，y取最大值,

最大值为：2

♦.,点A,点B在对称轴的右侧，即一1<1<2

2>%%

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数y=a(x-〃)2+%的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图

形的性质，从而完成求解.

答案第4页，共15页

11.D

【分析】根据5-m）2+〃=0的解，求出”?，〃的值，代入y=（x-s+2）2+〃，令y=o,解方

程以2+法+c=0（〃*0）即可得到抛物线y=江+灰+c（aN0）与x轴的两个交点的横坐标演，

々即交点坐标为标（占，。），5，。）.

【详解】解：将±=2,々=5代入（犬一,"）2+〃=0得，

（2-"?）2+”=0①

（5-附2+"=0②，

由①一②得：_3（7_2加）=0,

解得：m二,

2

7

将〃?=,代入（2-in）1+〃=0,

9

得:+九=0,

4

9

解得：〃=-

4

y=（'一根+2）2+〃，

7a

=（x--+2）2--,

24

令）'=0，

X=3,%=°,

所以抛物线与X轴交点坐标是（0,0）,（3,0）,

故选：D.

【点睛】本题考查了如何求抛物线与x轴的交点坐标，一元二次方程的解，解题的关键是利

用一元二次方程与抛物线的关系来求解.令y=0,解方程以2+云+。=0（。*0）即可得到抛

物线¥=以2+反+°（4工0）与》轴的两个交点的横坐标七，巧即交点坐标为标（西，。），（々，

0）.

12.A

答案第5页，共15页

【分析】设生产It甲种药品成本的年平均下降率为x,根据2013年生产1吨某药品的成本

是6000元，随着生产技术的进步，2015年生产1吨药品的成本是3600元可列方程解答即

可.

【详解】设生产It甲种药品成本的年平均下降率为x,由题意得：

6000（1-X）2=3600

解得：xi=*l,*2=亘普（不合题意，舍去），

生产H甲种药品成本的年平均下降率为匕叵.

5

故选：A.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握相关方法是解题关键.

13.4.5

【分析】把x=-3代入方程x2+ax+a=0,然后解关于a的方程即可.

【详解】解：把x=-3代入方程x2+ax+a=0,得：

9-3a+a=0,

解得：a=4.5.

故答案为：4.5.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一

元二次方程的解.

14.120°/120度

【分析】根据旋转的性质求解即可.

【详解】解：三角板中NABC=60。，ZC=90°,旋转角是NCBC,,

贝!|NCBG=180°-60°=120°.

这个旋转角度等于120度.

故答案为：120。.

【点睛】本题结合直角三角形的性质考查旋转角的计算求解，理解掌握旋转角的意义是解答

关键.

15.3<r<5

【详解】分析：四边形A8CZ）是矩形，则AAgC是直角三角形.根据勾股定理得到：AC=5,

若使点8在。4内，则半径r>3,点C在。A外，则半径”5,所以3<云5.

详解：'.'AB=3,AD=4,

答案第6页，共15页

：.AC=5,

，若使点B在。4内，点C在。A外，

--M的半径,的取值范围是：3<X5.

故答案为3</<5.

点睛：考查点和圆的位置关系，可以数形结合.

16.6

【分析】求小球距离地面的最大高度即为求〃的最大值，把二次函数的解析式化成顶点式,

即可得出答案.

【详解】解：h=-5r2+10r+l

=-5(凡27)+1

=-5(r2-2r+l)+l+5

=-5(M)2+6,

-5<0,

则抛物线的开口向下，有最大值，

当片1时，〃有最大值是6,

即小球距离地面的最大高度为6m.

故答案为6.

【点睛】本题考查了二次函数的最值，关键是把函数式化成顶点式.

17.y=-2(x+3f-l

【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，开口方向发生变

化，由开口向上进行180。旋转后，抛物线开口向下可得答案.

【详解工解：1•二次函数产2(x-3)2+1的顶点坐标为(3,1),a=2>0,抛物线开口向

上，

点(3,1)关于原点对称的点的坐标为(-3,-1),

，旋转180。后，抛物线开口向下,开口〃=-2,

二新抛物线的解析式为>=-2(x+3)2-1.

故答案为y=-2(x+3)2-1.

【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，掌握关于原点对称的点的坐标关系是解答关键.

18.V7-1

答案第7页，共15页

【分析】延长DC交4。于点E,连接O。，根据等腰直角三角形的性质求出AE,进而得到

0E的长，根据勾股定理求出DE,结合图形计算，得到答案.

【详解】解：延长。C交A0于点E,连接。£>,

是。的直径，

二ZAQW=180。，

.点8是痴的中点，

/.ZAOB=-ZAOM=90°,

2

CD//0B,

ZAEC=ZAOB=90°,

OA=OB,

；./8AO=45°,

AC=^2>

AE=CE=\,

.-.EC>=4-1=3,

,00=4,

由勾股定理得：DE=ylOlf-Ed2=y/l-

:.CD=j7-i,

故答案为：V7-1.

【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦之间的关系、勾股定理，掌握等腰直角三角形的性质、

圆的基本概念是解题的关键.

19.(1)玉=4,X2=-2

(2)x,=2+72,x2=2-V2

【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可;

答案第8页，共15页

(2)将原方程整理得：x2-4x^-2,再利用配方法解一元二次方程即可.

【详解】(1)解：x2--8=0,

.\(x-4)(x+2)=0,

x—4=0^4x+2=0,

解得：百=4,%2=-2,

•••原一元二次方程的解为：％=4,X2=-2；

(2)解：将原方程整理得：X2-4X=-2,

/.x2-4工+4=-2+4,

,-.(X-2)2=2,

x-2=，

X)=2+V2,x,=2-五,

，原一元二次方程的解为：玉=2+夜，々=2-应.

【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：公式法、直接开平方法、

配方法、因式分解法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键.

20.(1)k>0；(2)k=1；x/=0,X2=2

【分析】(1)根据判别式的意义得到△=(-2)2-4X1X(1-©>0,然后解不等式即可；

(2)根据(1)中人的取值范围，任取一符合条件的火值，然后解方程即可.

【详解】解：(1)•••关于x的一元二次方程/-2/1-仁0有两个不相等的实数根.

.,.△=(-2)2-4xlx(l-)t)>0,

解得k>0；

(2)由(1)知，实数/的取值范围为％>0,

故取k=\,

则N-2x=0,即x(x-2)=0,

解得，x/=0,X2-2.

【点睛】本题考查了一元二次方程以2+云+片0(存0)根的判别式△=。2-4收：当△>0,方

程有两个不相等的实数根；当4=0,方程有两个相等的实数根；当4<0,方程没有实数根.

21.(1)证明见解析；(2)48°.

【分析】(1)根据对顶角与三角形的外角定理即可求解；

答案第9页，共15页

（2）根据圆内接四边形得到NA=/ECQ,再根据三角形的内角和及外角定理即可求解.

【详解】=ZECD=ZFCB,

ZE+/ECD=ZF+/FCB,

/.ZADC=ZABC；

（2）,/A+/8C£>=180。，ZECD+ZBCD=180°,

：.ZA=ZECD.

/EDC=ZA+N尸，且NEDC+N石+NE8=180。，

.-.2ZA+ZE+ZF=180°,

.•.ZE=NF=42。，

/.ZA=48°.

【点睛】此题主要考查圆内的角度求解，解题的关键是熟知三角形的内角和及圆内接四边形

的性质.

13

22.（1）见解析；（2）O的半径为了.

【分析】（1）由题意易得AC=A。，进而问题可证；

（2）连接OC,设OC=r,则有CE=3,OE=r-2,然后根据勾股定理可求解.

【详解】（1）证明：AB±CD,

/.AC=AD»

:.ZADC=ZAGD；

(2)解：连接。C,设OC=r,如图所示:

BE=2,CD=6,

.\CE=3,OE=r-2,

在mAOEC中，32+(r-2)2=r2,

答案第10页，共15页

13

解得〃

4

13

..・，。的半径为

4

【点睛】本题主要考查垂径定理及弧、弦、圆心角、圆周角的关系，熟练掌握垂径定理及弧、

弦、圆心角、圆周角的关系是解题的关键.

23.(l)ZAFE=120°

(2)见解析

【分析】(1)根据题意将绕点C顺时针旋转60得到ACD,可知BCE^ACD,根

据全等三角形性质和外角性质可求得/AFE的度数.

(2)根据(1)中SCEgACD可知对应角相等，对应边相等，来证明一C4”与C8G,得

出结论即可

【详解】(1)解：.ACD由.BCE绕C顺时针旋转60。得到，

BCEWACD,ZACB=ZECD=6O°,

NGAF=NGBC,

.ZAGF+ZGAF+ZAFG=ZBGC+ZGBC+ZGCB,

又：ZAGF=NBGC,

.­.ZAFB=ZACB=^)°,

ZAFE=lS00-ZAFB=n0°i

(2)证明：-BCEm二ACD,

：.AC=CB

Z4CE=1800-Z4C8-NECD=60°

ZACH=ZGCfi,

ACAH=NCBG

•.•在C4//和CBG^-CA=CB,

ZHCA+^GBC

/.C4/7^CBG(ASA),

，CH=CG.

【点睛】本题考查的是三角形旋转造全等，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的

应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明C4”会C5G.

答案第II页，共15页

24.(1)y=0.5x2-Zr+l；(2)画图见解析；(3)当x>2+亚或》<2-0时，y>0.

【分析】(1)利用待定系数法求二次函数的解析式.

(2)描点、连线画出图象即可：

(3)根据图象即可求得.

【详解】解：(1)把点(0,1),(1,-0.5),(2,-1)分另！I代入y=ox'+bx+c中,得

c=1

<a+b+c=-0.5,

4a+2b+c=-1

\a=0.5

解得：卜=-2,

\c=i

：.二次函数解析式为y=O.5x2-”+l.

(2)根据表格描点、连线画出函数图象如图:

(3)0货2v+lR,

X2-4X=-2,

.,.(X-2)2=2,

x=2+A/2，

抛物线与x轴的两个交点为(2-五,0)，(2+"0)，

答案第12页，共15页

Vy>0,函数图像在x轴上方，满足在交点两侧，

；.x>2+0或x<2—应时，y>0.

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，解题的关键

是：(1)待定系数法；(2)利用七点法画出二次函数图象；(3)观察函数图象，找出结论.

25.(1)BE=4米；(2)当x=2时，y的值最大为48平方米.

【分析】(1)由题意易知AG=(6+3x)米，AE=(6-x)米，然后根据题意可列方程求解；

(2)由(1)可直接得出函数关系式，然后根据二次函数的性质可求解.

【详解】(1)解：根据题意得：

(6-x)(6+3%)=62

解得x/=0(不合题意，舍去)留=4；

则BE=4(米)；

(2)根据题意得:

y=(6—x)(6+3x)

=-3(x—2尸+48；

0<启6,-3<0,

，当x=2时，y的值最大为48m2.

【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是找准题意中的等量关系.

j28

26.(l)y=——x2+-x+-

333

(2)(1+>/5,])或(1—0，])或(1+VT5,-§)或--)

【分析】(1)根据平行四边形对边相等和抛物线的对称性，可知函数的对称轴为户1,即

-冬=1