2023-2024学年新疆乌鲁木齐市高二年级下册开学考数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年新疆乌鲁木齐市高二下册开学考数学

模拟试题

一、单选题

1.抛物线--4夕=0的准线方程是()

1

A.y=-iB.y=---C.x=-lD.x=--

1616

【正确答案】A

利用抛物线标准方程及准线方程直接求解.

【详解】由『一外=0整理得f=4y,

故抛物线的焦点为(0,1),准线方程为y=-1,

故选：A.

2.在等差数列｛%｝中，%=2,%=8,则公差"=()

A.2B.-2C.3D.-3

【正确答案】A

【分析】根据等差数列的通项公式列式可求出结果.

【详解】因为数列｛%｝为等差数列，且。2=2,%=8,

「凡=勾+d=2

所以.…Q，解得d=2.

[a5=4+41=8

故选：A.

3.如图，平行六面体/5CD-44G。的底面44co是边长为1的正方形，且

ZAlAD=ZAiAB=6（T,4^=2,则线段4G的长为（）

G

A.76B.710c.vnD.26

【正确答案】B

___________UUL1L

【分析】先以为基底表示空间向量/G，再利用数量积运算律求解.

2

【详解】解：苑'=（次+初+西丁=（公+而+祠2,

=A82+JD2+而+21BAD+2AB.石+2AD•汨，

=l+l+4+2xlx2xcos600+2xlx2xcos60°»

=10,

所以/C1=M，

故选：B

4.已知直线小（相-l）x+〃/+3=0与直线：（m-l）x+2厂1=0平行，贝『加=2"是"4平行于4”

的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】B

【分析】根据两直线的位置关系、充分和必要条件等知识确定正确答案.

【详解】当//〃2时，（/w-l）x2="?（m-1）,

解得m=l或加=2,经检验可知m=1或机=2都符合.

所以“m=2”是“"〃2”的充分不必要条件.

故选：B

22

5.若双曲线工+工=1的焦点在x轴上，若该双曲线的焦距为4,则a等于（）

。一3\-a

A.1B.yC.4D.10

【正确答案】C

【分析】根据题意将双曲线转化成标准方程，然后写出对应的等式即可求解

2222

【详解】因为双曲线上+工=1即上——J=1的焦点在X轴上，且双曲线的焦距为4,

a-3\-a。一3a-\

所以解得a=4

故选：C

6.已知圆/+必=4与圆x?+/-6x-8y+加+6=0相外切，则〃?的值为（）

A.7B.8C.9D.10

【正确答案】D

【分析】由两圆外切，则两圆心间的距离等于两半径之和可得答案.

【详解】由圆/+/=4可得圆心"（0,0）,半径4=2；

由圆x?+/-6x-8y+/»+6=0即（x-3）-+（y-4，=19-掰可得圆心N（3,4）,半径

r2=yj\9-m；

因为两圆外切，所以|A/M=q+2，即5=2+J19-〃？,解得m=10.

故选：D

22

7.已知椭圆工+2=1的弦Z5的中点坐标为M。/），则直线力5的方程为

84

A.x+2y-3=0B.x-2y+l=0C.2x+y-3=0D.2x-y+l=0

【正确答案】A

【详解】设a8两点的坐标分别为（再,凶）,（々,外），

江+J

84,得=o,

由，+城次

殳+至=184

84

整理得乂士•匕詈■=-]可得％

Xj-x2Xj+x222

所以直线AB的方程为=_即x+2y_3=0.选A.

8.已知曲线歹=J1_J与直线歹=〃（x+3）-1有两个不同的交点，则实数%的取值范围是（)

!3B.KJ_2l3、

A.C.D-r言）

294253

【正确答案】D

【分析】利用直线和圆的位置关系列不等式，由此求得正确答案.

【详解】曲线二了可化为一+^=1壮20）,

即曲线y=Ji=彳是单位圆的上半部分,

直线V=Nx+3)-l过定点

化为一般式得履-了+3"1=0,设8（7,0）,直线Z8的斜率3口=；,

职J解得上”1，

则

k2%

所以〃的取值范围是［；1,：3）.

故选：D

二、多选题

9.已知空间向量6=（3,4,5）,则下列结论正确的是（）

A.（2a+hylaB.5同=6忖

C.51（55+6^）D.2与在夹角的余弦值为£

【正确答案】BC

【分析】对于A：利用空间向量平行的条件判定；对于B：求出向量3的模长判定；对

于C：向量垂直转化为数量积为。验证即可；对于D：根据向量夹角公式计算.

_i27

【详解】因为22+6=(-127),5=(-2,-1,1),ffij—故A不正确；

—2—11

因为|4卜庭，历|=/,所以5同=6恸，故B正确；

因为限(51+66)=512+6小B=5X(4+1+1)+6X(-6-4+5)=0,故c正确；

5

又H=-5，则cos<a,b>=r,故D不正确.

V6X5V26

故选:BC.

10.已知等差数列｛叫的公差为d,前〃项和为凡，%=16,生=12.则()

A.d=-2B.q=20

C.%+。6=28D.S“取得最大值时，w=11

【正确答案】ABC

【分析】利用基本量代换，求出通项公式，即可验证A、B、C；由通项公式判断出〃《10时,

%>0,卬=0,〃之12时，4<0可以得到几二品最大，即可判断选项D.

%=4+2d=16[a,=20

【详解】因为。3=16,%=12,所以31口，解得：；「故选项A、B正确;

。5=《+4d=12=-2

所以劣=4+(“-1”=22-In.

对于C：因为。“=22-2〃，所以出+%=18+10=28,故C正确；

对于D：因为a,,=22-2”,所以即=22-2x11=0.

因为〃410时，«„>0；〃212时，%<0；所以几=品最大.故D错误.

故选：ABC

11.如图，在四棱锥尸中，尸/_1_底面48C。，AB1AD,AD8C,点E为我的

中点，AB=BC=\,AD=2,PA=6，则()

B.异面直线8E与CO所成角的余弦值为正

3

C.点8到平面尸8的距离为:

D.8c与平面PC。所成的角为£

【正确答案】BCD

【分析】以力为原点，以AB,AD,/尸所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐

标系孙z,然后逐项求解判断.

【详解】以/为原点，以AB,AD,工尸所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的

空间直角坐标系n-孙z,

则4（0,0,0）,5（1,0,0）,C（l,l,0）,。（0,2,0）,P（0,0,V2）,E0,0,苧

所以丽=(-1,1,0),丽=卜1,-1,五)，BE,而=（0,1,0）,

则诙存=1+0+1=2.

则异面直线BE与CD所成角的余弦值为且.

3

设平面PCD的一个法向量为比=(x,y,z),

区年。即］-x+y=0,y=x,

则—_+缶=。解得

CP•玩=0,z=y[2x,

令》=1,则夕=1,z=e，所以平面尸。的一个法向量为而=(i,i,尤-

瓯同|1|1

则下「一了莉可一机

所以点B到平面PCD的距离为:，

又|配|=1,所以8c与平面PCZ)所成的角为2.

故选：BCD

12.已知B,B分别是双曲线C：/一/=1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，

且以线段为直径的圆经过点尸，则()

A.双曲线。的渐近线方程为、=也

B.以用尸2为直径的圆的方程为，+/=1

C.点P的横坐标为±1

D.的面积为近

【正确答案】ACD

【分析】A选项结合渐近线的公式即可求出结果；B选项确定圆心半径即可求出结果；C选

项设出点尸(xo,口)，解方程组即可求出结果；D结合三角形的面积公式即可求出结果.

【详解】等轴双曲线C：/-x2=l的渐近线方程为了=母，故A正确；

由双曲线的方程可知2五，

所以以为直径的圆,圆心为(0,0),半径为近，则圆的方程为/+/=2,故B错误；

点P(xo,%)在圆/+产=2上，

不妨设点尸(xo,yo)在直线y=x上，

所以由4*%=2,解得取尸］,

%=与，

则点P的横坐标为±1,故C正确；

由上述分析可得的面积为!*2近x1=近，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13.过点尸(2,-1)且与直线x+2y-l=0垂直的直线的一般式方程为

【正确答案】2x-y-5=Q

【分析】根据两直线垂直求出斜率，再根据点斜式求出方程，然后化为直线方程的一般式即

可得解.

［详解】由x+2y_|=0得y=+1•，则直线x+2y_l=0的斜率为一;，

因为所求直线与直线x+2y-l=0垂直，所以所求直线的斜率为2,

又所求直线经过点尸(2,-1),所以所求直线方程为y+l=2(x-2),即2x-y-5=0.

故答案为.2x-y-5=0

14.已知。=(一1,1,2),B=(0,2,3),若％£+B与2々一石垂直，贝必二.

、3

【正确答案】--##-0.75

4

【分析】由向量垂直可得(总+4(213)=0,即可求出.

【详解】因为Z=(-l,l,2)I=(0,2,3),

所以左“+加=(-左,4+2,2k+3),2a-坂=(-2,0,1),

因为2£+9与2力垂直，

所以可•(赤一区)=-%、(一2)+0+2卜0+伙+3y1=0,解得左=-(.

3

故答案为.一二

15.骑行是一种健康自然的运动旅游方式，能充分享受旅行过程之美.--辆单车，一个背包

即可出行，简单又环保.在不断而来的困难当中体验挑战，在旅途的终点体验成功.一种变

速自行车后齿轮组由7个齿轮组成，它们的齿数成等差数列，其中最小和最大的齿轮的齿数

分别为10和28,求后齿轮所有齿数之和为

【正确答案】133

［分析］根据等差数列的前〃项和公式求得正确答案.

【详解】依题意，后齿轮所有齿数之和为U宇x7=133.

故133

16.已知直线加x-y+1-2m=0恒过定点A,抛物线£：/=2px(p>0)的焦点坐标为

下(1,0),尸为抛物线£上的动点，则陷|+|明的最小值为

【正确答案】3

【分析】先求得A的坐标，然后结合抛物线的定义求得|4|+|尸目的最小值.

【详解】直线=0即机(x-2)-y+l=0过/(2,1),

抛物线的焦点为尸(1,0),准线为直线x=-l,

根据抛物线的定义可知|P/|+|PR|的最小值为A到准线的距离，

即|刃+归可的最小值为2+1=3.

故3

四、解答题

17.设等差数列｛”“｝的前〃项和为S“，q+%=T8,S,=-72；

(1)求数列｛〃“｝的通项公式；

(2)当S“取最小值时,"的值.

121

【正确答案】(l)a“=5〃一万

(2)20或21

【分析】(1)求得等差数列｛%｝的首项和公差，由此求得《,•

(2)由％40求得正确答案.

【详解】(1)设等差数列｛勺｝的公差为d.

2q+4d=-181

则%+36d=-72'解得4=T°，d=5,

1121

所以％=_10+("1)、5=5〃一万.

121

(2)由q=一〃40解得"421,

22

所以当S“取得最小值时，〃的值为20或21(g=0).

18.如图，已知三棱柱N8C-44G,平面//CG-L平面43C,ZABC=90°,N8/C=30。,

AiA=A,C=AC=4,瓦尸分别是ZC,4,的中点.

(1)证明：EFIBC

（2）求平面AA.C与平面B£CB夹角的余弦值.

【正确答案】（1）证明见解析

⑵当

【分析】（1）连接4E,利用面面垂直的性质定理可得平面NBC,再根据线面垂直的

判定定理和性质定理即可求解；

（2）以E为原点，在平面Z8C中，过E作/C的垂线为x轴，所在直线分别为了轴,

z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.

【详解】（1）连接4项

因为N/=4C,E为NC中点，所以4E_LNC,

因为平面//CG_L平面N8C,平面Z/CGc平面ZBC=/C,4£（;平面//。的，

所以％E_L平面/8C,

又因为8Cu平面Z8C,所以4ELBC,

因为三棱柱,A、F〃AB,N/8C=90。，所以8C_L4尸，

因为尸=%,4旦吊尸u平面&EF,所以8c上平面4族，

又因为EFu平面4族，所以EFJ.BC.

(2)由(1)得同£，平面/8C,

以E为原点，在平面/8C中，过E作NC的垂线为x轴，EC,E4所在直线分别为，轴，z轴

建立空间直角坐标系,

则8(31,0),C(0,2,0),C,(0,4,273),

所以就=卜百,1,0),属=(-6,3,26),

1

易知平面/CG4的法向量〃=(i,o,o),

设平面BCC4的法向量碗=(xj,z),

m-BC=-yfix+y=0

则解得/=（1,石,-l）,

m■BC}=->/§x+3y+2>Jiz=0

所以c°s(/-〃--\㈤n-=m丽=前1=V75，

所以平面与平面8cC8夹角的余弦值为咚.

19.已知圆C的圆心在直线y=3x上，且过两点/(0,4),8(2,3).

(1)求圆C的方程；

(2)若直线/过原点且被圆C截得的弦长为2,求直线/的方程.

295

［正确答案］⑴(下利+'？=-

(2)y=(9+2A/L4)X或y=(9-2.x

【分析】(1)设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=，(r>0),根据题意得到a,b,c的等式,

联立求解即可：

(2)先利用弦长得到圆心到直线的距离，然后讨论斜率不存在和存在两种情况，当斜率存

在时，假设直线方程为了=自，利用点到直线的距离即可求解

【详解】(1)设圆C的标准方程为(X-4)2+3-3)2=/&>0),

因为圆C的圆心在直线y=3x上，所以6=3。①,

a2+(4-b)2=r2

因为圆C过两点4(0,4),8(2,3),所以②,

(2-a)+(3-6)=r

3

由①②可得竹=]9

7QS

所以圆C的方程为(X-会2+(y_1)2=2

(2)因为直线/过原点且被圆C截得的弦长为2,

所以圆心到直线的距离为£二=手

3

若直线/的斜率不存在，即方程为x=0,易得圆心到直线的距离为:，不满足题意，舍去;

2

故直线/的斜率存在，设直线方程为y=依，即丘-y=0,

所以圆心到直线的距离为1221=逅，解得％=9士2714，

ViTF-2

所以直线’的方程为夕=(9+2延卜或夕=(9-2E卜

20.设P为椭圆=l(a>0)上任一点,6月为椭圆的焦点,|尸制+|尸闾=4,离

庐

心率为也.

2

(1)求椭圆的