2023-2024学年辽宁省葫芦岛市高一年级上册期末数学试题（含答案）

2023-2024学年辽宁省葫芦岛市高一上册期末数学试题

一、单选题

1.已知集合厶={幻一1＜》＜6},8={》|2＜；1＜3},则()

A.BeAB.B=AC.A=BD.H

【正确答案】B

【分析】运用集合与集合的包含关系分析即可.

［详解］由题意知，—L-------口------------A,

-10236x

所以8aA.

故选：B.

2.已知mbwR,下列表达式中为。＞6的充要条件的是()

A.丄B.同＞例C.a2＞b2D.a3＞b3

ab1111

【正确答案】D

【分析】对于选项A、B、C可以通过举反例分析，对于选项D,通过立方差公式可证得.

【详解】对于选项A,当。=-2,6=1时，满足丄＜、，但不满足a＞b,所以选项A错误；

对于选项B,当a=-2,。=1时，满足1。1＞1勿，但不满足。＞打，所以选项B错误；

对于选项C,当。=-2,。=1时，满足但不满足。＞6,所以选项C错误；

1o13

对于选项D,因为+ab+b2)=(a-b)［(a+-b)2+-b2］,(a+—b)~+—b2＞。恒

2424

成立，所以a-b＞0,即

［31

当时，又因为3+］力2+7^＞0恒成立，所以(“-切［(a+］庁+^〃］＞0,即o'-方＞0,

所以，＞〃.所以选项D正确.

故选：D.

3.2022年第24届冬奥会在北京和张家口成功举办，出色的赛事组织工作赢得了国际社会

的一致称赞、经济效益方面，多项收入也创下历届冬奥会新高.某机构对本届冬奥会各项主

要收入进行了统计，得到的数据如图所示.已知赛事转播的收入比政府补贴和特许商品销售

的收入之和多24.8亿元，则2022年冬奥会这几项收入总和为()

特许商品销售

C.160亿元D.118亿元

【正确答案】A

【分析】根据己知条件列式解方程即可.

【详解】设收入总和为x亿元，WO35.4%x-(12.2%+10.8%)x=24.8,解得：x=200,即:

收入总和为200亿元.

故选：A.

4.在工A3C中，。为AB边的中点，记C4=〃?,CO=〃，则C8=()

A.m-2nB.m+2nC.2m+nD.-m+2n

【正确答案】D

【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出.

【详解】因为。为AB边的中点，所以8O=D4，即CO-CB=C4-C。，

所以C8=2C£>-C4=2〃-〃？=-m+2n.

故选：D

91

5.已知3*=2,log31=y,则x+]y=()

A.1B.2C.3

【正确答案】A

【分析】先计算出x,然后求解即可.

119

【详解】由题可知xfog.",x+-y=log32+-log3-=log3

故选：A

6.张益唐是当代著名华人数学家，他在数论研究方面取得了巨大成就，曾经在《数学年刊》

发表《质数间的有界间隔》，证明了存在无穷多对质数间隙都小于7000万.2013年张益唐

证明了李生素数猜想的一个弱化形式，李生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题

之一，可以这样描述，存在无穷多个素数p,使得2+2是素数，素数对（p,p+2）称为学生

素数，在不超过12的素数中，随机选取两个不同的数，能够组成挛生素数的概率是（）

【正确答案】B

【分析】运用列举法解决古典概型即可.

【详解】不超过12的素数有2、3、5、7、11共5个，在其中任取两个数的基本事件为（2,3）、

（2,5）、（2,7）、（2,11）、（3,5）、（3,7）、（3,11）、（5,7）、（5,11）、（7,11）共10个,其中是挛生

素数的基本事件为（3,5）、（5,7）共2个，

21

所以在不超过12的素数中，随机选取两个不同的数，能够组成孳生素数的概率为木=g.

故选：B.

7.对任意正数x,满足q+』=2-4y2,则正实数〉的最大值为（）

X

A.2B.1C.-D.一

24

【正确答案】C

v121

【分析】先将孙+2=2-4/两边同时除以九得X+—=--4九再根据x+丄的范围得到

XXyX

2

不等式一-4），之2,解得y的范围，即可求得y的最大值

y

【详解】肛+上=2—4V，两边同时除以>得：x+丄=2-4y,

xxy

.x>O,x+->2jx--=2,当且仅当“％=丄”时，即“x=l”时取等号，

X\XX

一一4y>2,

y

y>0,.,.2/+y-l<0,解得：

・丿的最大值为

故选：c.

8.已知函数〃x)的定义域为R,/(x+2)为偶函数，/(x+1)为奇函数，则下列选项中值

一定为。的是()

A./(-I)B./(O)C./(2)D."4)

【正确答案】A

【分析】运用抽象函数的奇偶性、对称性、周期性求解即可.

【详解】•••/(X)定义域为R，f(x+2)为偶函数，

A/(x+2)=/(-x+2),①即:/(*)的图象关于直线x=2对称，

为奇函数，

/./(-x+l)+/(x+l)=O,②即：/(x)的图象关于点(1,0)对称，

.•.在②中，以x-1替换x,得/(x)=-f(2-x)=-f(x+2),

A/(2-x)=/(x+2),/(x+2)=-/W,③

.•./(x+4)=-/(x+2)=/U),④即：f(x)是周期为4的周期函数，

在②中，令x=0,得/⑴+/⑴=0,解得：/(1)=0,

/./(-D=/(-I+4)=/(3)=/(1+2)=/(-1+2)=/(I)=0,

在④中，令x=0,得〃4)=一/(2)=/(0),由于f(0)的值无法确定，所以/(4)、/⑵、/(0)

的值无法确定.

故选：A.

二、多选题

9.已知。=1082a方=1112,，=1082兀,则a,b,c的大小关系为()

A.i»aB.a>hC.c>aD.a>c

【正确答案】BC

【分析】由对数函数的单调性并借助1进行比较.

【详解】由对数函数的单调性可知，IfogzZvlogzevlogj,ln2<lne=l.

即匕<a<c.

故选：BC

10.下列命题中是真命题的有()

A.有A,B,C三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9,则样本容

量为30

B.一组数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数相同

C.若甲组数据的方差为5,乙组数据为5,6,9,10,5,则这两组数据中较稳定的是甲

D.某一组样本数据为125,120,122,105,130,114,116,95,120,134,则样本数据

落在区间［1145124.5］内的频率为0.4

【正确答案】BD

【分析】利用分层抽样中样本的抽样比等于各层的抽样比即可判断A,求岀这一组数据的平

均数、众数、中位数即可判B,计算乙的方差，比较方差大小即可判断C,利用落在区间

［114.5,124.5］内的个数除以总的个数计算概率，即可判断D,从而得出正确选项.

【详解】对于选项A：根据样本的抽样比等于各层的抽样比，样本容量为9+丁4F=18,

故选项A不正确；

对于选项B：数据1,2,3,3,4,5的平均数为：(1+2+3+4+5)=3,众数和中位数都是3,

故选项B正确；

对于选项C：乙组数据的平均数为，5+6+9+10+5)=7,乙组数据的方差为

1［(5-7)2+(6-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(5-7)2］=4.4<5,所以这两组数据中较稳定的是

乙，故选项C不正确；

对于选项D：样本数据落在区间［114.5,124.5］有120,122,116,120有4个，所以样本数据

落在区间［114.5,124.5］内的频率为^=0.4,故选项D正确，

故选：BD

11.已知集合卜|/+"+/,=0,。>0｝有且仅有两个子集，则下面正确的是()

A.a2-b2>4

1

B.7矿+一<4

b

c.若不等式/+以一〃<0的解集为(百,々)，贝1］工然2<0

D.若不等式的解集为a，w)，且%-々1=4,则c=4

【正确答案】CD

【分析】根据集合卜|戸+奴+匕=0,。>0｝子集的个数列岀方程，求得的关系式，对A,

利用二次函数性质可判断；对B,利用基本不等式可判断；对CD,利用不等式的解集及韦

达定理可判断.

【详解】由于集合｛巾2+以+3=0,。>0｝有且仅有两个子集，

所以方程X?+or+b=0只有一解，所以厶=巒-4/?=0,所以"=4。，

由于〃>0,所以b>0.

A,a2-b2=4b-b2=-^-2^+4<4,当〃=2,a=20时等号成立，故A错误.

B,a2+-=4b+->2.Ub^-=4,当且仅当46=:，匕=!，。=0时等号成立，故B错误.

bb\bb2

C,不等式d+依-b<o的解集为（公々），所以方程/+以一〃=（）的两根为占,电，所以

xix2=-/?<0,故C正确.

D,不等式f+or+bvc的解集为&,々），即不等式/+办+6-°<0的解集为（.电），且

-x,|=4,贝!］蜀+x2=_。,&w=b-c,

则归一=（3+々）2-4%々=/-4（A—c）=4c=16,所以c=4,故D正确，

故选：CD

12.函数y=〃x）是R上的奇函数，对任意xeR,都有〃2-6=〃力+〃2）成立，当

x,,x2G［0,1］,且X产々时，都有"”4）+X2/（毛）>n/'（毛）+%2/（%），则下列结论正确的有

（）

A./（1）+/（2）+/（3）+...+/（2022）=0

B.直线x=-5是函数y=/（x）图象的一条对称轴

C.函数y=〃x）在［-7,7］上有5个零点

D.函数y=〃x）在［-7,-5］上为减函数

【正确答案】BD

【分析】根据题意得出函数y=/（x）性质，利用函数性质判断选项，利用对称性可得A,B

选项正误，利用零点分别特点可得C选项正误，利用单调性可得D选项正误.

【详解】由函数y=/(x)是R上的奇函数，得"0)=0；令x=2,得/(2-2)=〃2)+〃2),

故"2)=0,于是“2-x)W(x),所以y=的图象关于直线x=l对称.

因为〃x)=〃2-x)-2),所以〃x+4)=—/(x+2)=/(x).

从而得到y=/(x)是周期函数，且T=4.

又当用且时，都有石/(与)+电/(々)>%/(々)+电/(与)，即

(x1-x2)［/(x,)-/(x2)］>0,故y=〃x)在［0』上单调递增.

对于选项A,因为〃1)+/(2)+/⑶+/(4)=〃1)+/(-1)+/(0)=0,

所以/⑴+/(2)+〃3)+…+〃2022)=〃1)+/⑵=/⑴>40)=0,选项A错误;

对于选项B,因为7=4,所以/(—10—x)=〃2—x)=/(x),所以直线x=-5是函数y=/(x)

图象的一条对称轴，选项B正确；

对于选项C,因为7=4,所以f(0)=/(4)=0,/(2)=/(6)=0；

又因为F3为奇函数，所以〃-2)=/(-4)=八-6)=0,所以函数y=在［-7,7］上有7

个零点，选项C错误；

对于选项D,因为奇函数/(X)在［0,1］上单调递增，所以，/(x)在［-1,1］上单调递增，又f(x)

的图象关于x=l对称，所以

y=/(x)的减区间为1+44,3+4打，keZ,当人=一2时，减区间为［-7,—5］,选项D正确;

故选：BD.

关键点点睛：本题求解的关键是內/(XJ+A2f(%)>毛/(七)+&/(为)的转化，函数单调性的

表述常见有：以增函数为例，①若用<当，都有了(芭)<“天)；②(为一/)卜u)-广仁)］>o；

③/⑺一〃切>0.

王一赴

三、填空题

13.命题“对任意X>1,炉>1"的否定是.

【正确答案】存在%>1,使得年41

【详解】试题分析：根据命题否定的概念，可知命题“对任意X>1,f>i，，的否定是“存在

%>1,使得焼41”.

命题的否定.

14.写出一个同时具有性质①②③的函数〃力=.

①丹)=/&)/(々)；②当xeR时，/(x)>0；③/(x)是增函数.

【正确答案】2,(写一个满足的即可).

【分析】运用指数函数的性质分析即可.

【详解】当f(x)=a",时，

所以f(x)定义域为R,且/*)>0恒成立，且f(x)是增函数，

又因为/(X)/(%)=优'=优宀=f(x,+x2),

所以f(x)=优，符合题意.

所以可以是满足，。)=优，。>1的即可，如：r(或e，、3'、5'等).

故答案为.2、

四、双空题

15.在直角坐标系X。)，中，已知点4(3,3),8(5,1),P(2,l),“是坐标平面内的一点.

(1)若四边形AP8M是平行四边形，则点M的坐标为；

(2)若PA+PB=2PM，则点M的坐标为.

【正确答案】(6,3)(4,2)

【分析】(1)根据平行四边形特点知=利用向量坐标运算可构造方程求得结果;

(2)根据向量相等关系，由向量坐标运算可构造方程求得结果.

【详解】(1)设

5-x=2-3,x=6

四边形AP3M是平行四边形，=即1-,1-3，解得:

=)=3,

，M（6,3）；

(2)设M(x,y),

VPA+PB=(1,2)+(3,0)=(4,2),PM=(x-2,y-l),

2(x-2)=4|x=4

解得：c

2(y-i)=2[y=2

故（6,3）；（4,2）.

五、填空题

log,（x+l）,xe（O,l]

16.定义在R上的奇函数/（x）,当x>0时，f（x）=2,则关于x的函数

1-|X-4|,X€（1,+«?）

尸（力=3〃力-“（0<”<£|的所有零点之和为.（结果用含。的代数式表示）

【正确答案】1-4。

【分析】利用奇函数的性质画出“X）的图象，函数F（x）=g/（x）-a（0<a<£|的所有零点

之和可以转化？=/（力与），=2。图象的交点的横坐标之和，利用函数的对称性和对数函数的

运算性质，求解即可.

函数尸（同=：〃対-«0<"；）的所有零点之和可以转化产〃”与丫=2”图象的交点的

横坐标之和，

因为所以0<2“<】，

由图可知，X1+X2=-8,X4+X5=8,

当xe(O,l]时，/(x)=log,(x+l)；

2

所以当xe[-l,O)时,-xe(O,ll,/(-x)=log,(-x+1),

2

又因为〃x)是奇函数，所以当xe[-l,o)时，/(x)=-log,(-x+l)

2

所以Tog[(-x+l)=2a,解得：x=l-4",

2

所以函数尸(x)=；〃x)-a(0<"£|的所有零点之和为：

X]+%2+无3+工4+X5=]_4〃.

故答案为.1-4“

关键点睛：本题关键点是先根据解析式作出函数y=f(x)的图象，函数

尸(力=3〃可-“(0<4<5的零点转化为函数丫=/(力与1=2〃的交点，由对称性可得交

点之和.

六、解答题

17.已知集合知=卜,2+21+〃=0}.

(1)若0M,求实数。的取值范围；

⑵若八卜苗+户。}且McNw0,求实数a的值.

【正确答案】⑴{丽41};

(2)a=0或a=L

【分析】(1)由方程/+2x+a=0有实数解，结合判别式得出实数a的取值范围；

(2)由McNwO得出OeM或—leM,进而得出实数a的值.

【详解】(1)由题意得方程戸+2》+〃=0有实数解，

/.A=22-4tz>0,得a£1,

，实数。的取值范围是{4a41};

(2)V2V=(X|X2+X=0}={0,-1},

McN*0,

则4=0或a=1.

18.已知幕函数f（x）=（/-3皿+3）x""一”是偶函数.

⑴求函数“X）的解析式；

⑵若〃2x-1）＜/（2-力，求x的取值范围.

【正确答案】（1）/（力=/

⑵（T』）

【分析】（1）根据幕函数的定义求得〃，的值，再结合基函数的奇偶性确定函数解析式；

（2）根据募函数的单调性与奇偶性列不等式即可求得x的取值范围.

【详解】（1）已知事函数/但=（疗-3〃?+3卜*/，贝|]/_3帆+3=1,解得加=1或m=2,

所以/（x）=d或〃力=总又函数"X）为偶函数，所以〃力=公；

（2）由于累函数/（x）=f在[0,+功上单调递增,又函数f（x）为偶函数，所以“X）在（7,0）

单调递减，

若/（2x—1）＜/（2-力，贝“2》一1|＜|2-H，平方后解得—

所以x的取值范围是

19.2022年下半年，我国新冠肺炎疫情“多点散发”的特点愈加明显，为了有效阻断疫情的

快速传播，全国各地均提供了生活必需品线上采购服务，某地区为了更好的做好此项工作,

高质量服务于百姓生活，对爱好线上采购生活必需品的人员进行了调查，随机调查了100

位线上采购爱好者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

（1）估计该地区爱好线上采购生活必需品人员的平均年龄（同•组中的数据用该组区间的中

点值为代表）；

（2）估计该地区一位线上采购爱好者的年龄位于区间［20,70）的概率；

（3）工作人员为了确定20岁以下和80岁以上是否具有主动性和代表性，在参与调查的100

位线上采购爱好者中20岁以下和80岁以上人员中抽取两名进行电话访问，求被访问者恰有

一名是80岁以上的概率.

【正确答案】（1）48岁

（2）0.89

（3）0.6

【分析】（1）由频率分布直方图计算平均数的方法计算即可；

（2）由这100位线上采购爱好者的年龄位于区间［20,70）的频率估计概率；

（3）由列举法结合概率公式求解即可.

【详解】（1）该地区爱好线上采购生活必需品人员的平均年龄为

5x0.01+15x0.02+25x0.12+35x0.17+45x0.23+55x0.2+

65x0.17+75x0.06+85x0.02=47.9»48（岁）

（2）这100位线上采购爱好者的年龄位于区间［20,70）的频率为

（0.012+0.017+0.023+0.02+0.017）x10=0.89.

故估计该地区一位线上采购爱好者的年龄位于区间［20,70）的概率0.89.

（3）参与调查的100位线上采购爱好者中20岁以下的人数为0.03x100=3人，记为1,2,3；

80岁以上的人数为0.02x100=2人,记为a,b.

从这三名中抽取两名进行电话访问，所有情况如下:

{l,2},{L3},{lM},{l，W，{23},{2,a},{2/},{3,a},{3,6},{Gb},共10种.

其中被访问者恰有一名是80岁以上的情况分别为力},{2,a},{2,b},{3,a},{3,b},共6

种.

则被访问者恰有一名是80岁以上的概率为糸=0.6

20.平面内给定三个向量d=(2,2),6=(〃+l,4),C=(A,3),且(d+2C)〃伍-d).

(1)求实数k关于n的表达式；

(2)如图，在二。4s中，G为中线0M上一点，且OG=2GM，过点G的直线与边。A,OB

分别交于点P,Q(RQ不与。重合).设向量OP=(A+3)OAOQ=〃?OB,求机+2〃的最小

值.

【正确答案】(1)々=2〃-3

尾

【分析】(1)由向量平行的坐标运算求解即可；

(2)由向量的运算得岀OG=J-OP+J-OQ,再由P,GQ三点共线，得岀再

on3m6〃3m

由基本不等式求最值.

【详解】⑴因为4+2°=(2+2«,8)8-4=(〃-1,2),(a+2c)〃,-a)

所以2(2+2%)=8(“-1),即左=2〃-3.

(2)由(1)可知，OP=2〃OA，OQ=mOB,由题意可知小”7>0

12111

因为OG=2GM，所以。6=3。知=§乂2(。厶+08)=§04+］。8

又。4=—OP,OB=—OQ,所以OG=—OP+——OQ.

因为P,G,。三点共线，所以3t+，-=l.

6n3m

m+2/1=——十——

6n3〃2

2224

当且仅当加=2〃=§时，取等号，即。尸二§。4,0。=］。8时，机+2〃取最小值

21.通信信号利用BEC信道传输，若BEC信道传输成功，则接收端收到的信号与发来的信

号完全相同.若BEC信道传输失败，则接收端收不到任何信号.传输技术有两种：一种是

传统通信传输技术，采用多个信道各自独立传输信号(以两个信道为例，如图1).

信道1(

信道、一►

另一种是华为公司5G信号现使用的土耳其通讯技术专家ErdalArikan教授的发明的极化码

技术(以两个信道为例，如图2).传输规则如下，信号力直接从信道2传输；信号q在传

输前先与。「异或”运算得到信号X一再从信道1传输.若信道1与信道2均成功输出，则

两信号通过“异或”运算进行解码后，传至接收端，若信道1输出失败信道2输出成功，则接

收端接收到信道2信号，若信道1输出成功信道2输出失败，则接收端对信号进行自身“异

或''运算而解码后，传至接收端.

5"A(EC信道i(弓—►

*BEC信道2

图2

(注：定义“异或”运算：4㊉3=%,及㊉㊉&=a，x，㊉X1=%).假设每个信

道传输成功的概率均为2(0<0<1).

(1)对于传统传输技术，求信号4和力中至少有一个传输成功的概率；

(2)对于ErdalArikan教授的极化码技术;

①求接收端成功接收信号q的概率；

②若接收端接收到信号4才算成功完成一次任务，求利用极化码技术成功完成一次任务的

概率.

【正确答案】(l)2p-p2

⑵①p2；©2p-2p2

【分析】(1)根据独立事件的概率乘法公式即可求得答案；

(2)先讨论信道1和信道2是否传输成功，计算对应的概率，即可求解

【详解】(1)设“信号q和4中至少有一个传输成功”为事件A,“信号q传输成功，，为事件

仇“信号力传输成功”为事件C,

则P(A)=P(B)P©+尸冋P(c)+P⑻P(C)=p(l-p)+(l—p)p+p2=2p-p2

(2)若信道1和信道2都传输成功，

2

由q㊉a=X，,X，㊉。?=q可得口被成功接收，概率为P；

若信道1传输成功，信道2传输失败，

由X|㊉X|=%可得力被成功接收，4接收失败，概率为P(I-P)；

若信道2传输成功，信道1传输失败，

可得力被成功接收，G接收失败，概率为2(1-0：

若信道1,2都传输失败，

可得a，%接收失败,概率为(「pF；

①接收端成功接收信号a的概率为p2；

②接收端接收到信号凡的概率为P(l-p)+p(l-P)=2p-2P2

22.设函数〃x)=a―(log2x)2+力logzx+l",人为常数且"0),42)=4且的最小

值为0,当x>0时，F(x)=/(%),且P(x)为R上的奇函数.

⑴求函数Rx)的解析式；

⑵加e［垃,4］,叫目T1］,有/（芭）4（3他-吐3-*2）嚏2%成立，求实数，〃的取值范围.

(log2x)"+21og2x+l,x>0

【正确答案】（l）F（x）=,0,x=0

_

-[log2(-x)]log2(—x)-1,x<0

11

(2)me—00,----------

9

【分析】（1）由"2）=4结合二次函数的性质得出a,b,进而由奇偶性得出函数P（x）的解

析式；

（2）%）4（3&-机-3F）log2M可化为log2%+丁丄一+2《卜&一加即

log?玉\3）

log，X+J—+2］4门--“二］,再由对勾函数的单调性讨论即可.

I隰占；mi„I3?丿a

i=o

4a

【详解】（1）因为"2）=4且〃x）的最小值为0,所以a+b+l=4,解得a=l,b=2

b>0

2

即/(x)=(log2x)+21og,x+l.

2

当x<0时，-x>0,F(-x)=f(-x)=[log2(-x)]+2log2(-x)+1=-F(x)

2

即F(x)=-[log2(-x)]-2log2(-x)-l.

,、2

{log2x)+21og2x+l,x>0

故F(x)=<0,