第13讲 幂函数（学生版）-高一数学同步讲义

第5课寨函数

0目标导航

课程标准课标解读

1.了解幕函数的概念，会求募函数的

解析式；掌握常见基函数的图像；利

通过本节课的学习，要求掌握某函数的概念，能根

用幕函数的单调性比较指数式大小。

据基函数的要求求出事函数的解析式，并能根据基函数

2.利用幕函数的性质解不等式及待定的性质求待定参数.

参数的求解.

芯找知识精讲

*'知识点01塞函数

1.黑函数的概念

一般地，函数y=;v“（a是常数）叫做幕函数，其中x是自变量，a是常数.

2.塞函数的结构特征

幕函数的解析式是一个幕的形式，且需满足：

（1）指数为常数；

（2）底数为自变量；

（3）系数为1.

【即学即练1］给出下列函数：

①y=J;②>=3X-2；③y=/+a④尸松7；⑤y=（x-l）:⑥y=0.3*,其中是基函数的有（）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

【即学即练2】下列函数中，不是辕函数的是（）

A.y=2xB.y=x~1C.y=D.y=x2

空'知识点02嘉函数的图象与性质

1.几个常见募函数的图象与性质

21

23

函数y=xy二犷y=x2>=一

y=xX

y

4

3

尸/\2

图象泊；

尸，01234X

-1

--2

y=x3l

-3

定义域RRR[0,+a>){x|x。0}

值域R[0收)R[0,+oo)

奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数

在(—8,0)上单调递

在R上单在R上单在［0,+8)上单在(-CO,0)和(0,4-00)

单调性减；在［0,+8)上单调

调递增调递增调递增上单调递减

递增

过定点过定点(0,0),(1,1)过定点(1,1)

【微点拨】事函数y=x［(a是常数)中，a的取值不一样，对应的事函数的定义域不一样.注意a是正分

数或负分数(正整数或负整数)时的不同.

【即学即练3】下列结论中，正确的是()

A.幕函数的图象都经过点(0,0),(1,1)

B.基函数的图象可以出现在第四象限

C.当基指数a取1,3,g时，基函数y=冰是增函数

D.当a=-1时，幕函数y=k在其整个定义域上是减函数

【即学即练4】已知惠函数y=/U)经过点(3,G),则於)()

A.是偶函数，且在(0,+8)上是增函数

B.是偶函数，且在(0,+8)上是减函数

C.是奇函数，且在(0,+8)上是减函数

D.是非奇非偶函数，且在(0,+8)上是增函数

*'知识点03哥函数y=xa(a是常数)的指数对图象的影响

(1)当a<()时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于y的图象，且在第一象限内，逆时针方向

指数在增大；

(2)当0<a<l时，函数图象向x轴弯曲，类似于y=«的图象；

(3)当a>l时，函数图象向y轴弯曲，类似于y=£的图象，而且逆时针方向指数在增大.

具体如下:

a«>10<a<\a<0

F/y

心\\/

图象1

-0|1*0\1X0i左

特殊点过(0,0),(1,1)过(0,0),(1,1)过(i,i)

凹凸性下凸上凸下凸

单调性递增递增递减

I

y=xi—17

举例y=%2y=x、y=x2

【知识拓展1】常用结论

(1)幕函数在(0,+8)上都有定义.

(2)幕函数的图象均过定点。,1).

(3)当a>0时,一函数的图象均过定点(0,0),(1,1),且在(0,+8)上单调递增.

(4)当a<0时，基函数的图象均过定点(1,1),且在(0,+8)上单调递减.

(5)幕函数在第四象限无图象.

【即学即练5】己知函数旷=/，y=xb,y=的图象如图所示，则实数a/,c的大小关系为()

A.c<h<aB.a<b<c

C.h<c<aD.c<a<h

【即学即练6】已知点（3,0）在塞函数/（x）的图像上，则在其定义域内是（）

A.增函数B.减函数C.奇函数D.偶函数

Q能力拓展

考法01

募函数的定义：判断一个函数是否为基函数的依据是该函数是否为>=/（a是常数）的形式，即满足：

（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1.

【典例1］已知基函数/（x）的图象过点（2,1）,试求该函数的解析式.

4

【即学即练7］在函数y=2x2,y=x2+xy=l中，基函数的个数为

xf

考法02

幕函数的图象：要牢记幕函数的图象，并能灵活运用.由暴函数的图象，我们知道：

（1）当a的值在（0,1）上时，幕函数中指数越大，函数图象越接近x轴（简记为“指大图低”）；当a

的值在（1,+00）上时，基函数中指数越大，函数图象越远离x轴.

（2）任何帚函数的图象与坐标轴最多只有一个交点（原点）；任何募函数的图象都不经过第四象限.

【典例2】下面六个累函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.

312--I

(1)y=q；⑵y=x3;(3)y=J；⑷丫=/；(5)y=x-3；(6)y=”

【典例3】已知点(&,2)在幕函数/(x)的图象上，点在基函数g(x)的图象上.

(1)当x为何值时，f(x)>g(x)?

(2)当x为何值时，〃x)=g(x)?

(3)当x为何值时，/(x)<g(x)?

考法03

幕函数单调性的应用(比较大小)

(1)注意利用基函数的性质比较基值大小的方法步骤.

第一步，根据指数分清正负；

第二步，正数区分大于1与小于1的情况，”>1,a>0时，aa>\；0<«<1,a>0时，0<相<1；a>\,a<0时，

0<aH<l；0<«<1,a<0时，a">l；

第三步，构造辕函数应用事函数单调性，特别注意含字母时，要注意底数不在同一单调区间内的情形.

(2)给定一组数值，比较大小的步骤.

第一步：区分正负.一种情形是累函数或指数函数值叩幕式确定符号；另一种情形是对数式确定符号，要

根据各自的性质进行.

第二步：正数通常还要区分大于1还是小于1.

第三步：同底的幕，用指数函数单调性；同指数的基用幕函数单调性：同底的对数用对数函数单调性.

第四步：对于底数与指数均不相同的幕，或底数与真数均不相同的对数值大小的比较，通常是找一中间值

过渡或化同底(化同指)、或放缩、有时作商(或作差)、或指对互化，对数式有时还用换底公式作变换

等等.

【典例4］比较下列各组数的大小.

11

⑴1.5\1.7\1;

（2）（—多（一争

_223

（3）3.8-3,3.9；,（-1.8）二；

【即学即练8】比较下列各组中两个数的大小，并说明理由.

11

⑴0.75?'0.765;

（2）（-0.95）:（_096y.

【即学即练9］已知a=3.产，b=3.202,c=（一#，贝I。，从c的大小关系为（）

A.h>a>cB.c>b>a

C.b>c>aD.a>b>c

考法04

募函数性质的综合应用：与基函数有关的综合性问题一般是利用单调性、奇偶性以及函数图象求函数值域、

不等式解集等.

【典例5］已知事函数/（x）=（疝-2"+2）/"（丘Z）是偶函数，且在（0,+?）上单调递增.

（1）求函数“X）的解析式；

⑵若"2x-l）<〃2—x）,求x的取值范围；

【即学即练10］基函数y=x”"2"L3（〃?ez）的图象如图所示，则实数m的值为（)

A.3B.0C.1D.2

【即学即练1。幕函数/。）=-—1°"+23（我@为偶函数，且/⑴在区间（0,+8）上是减函数，则。等于（）

A.3B.4C.5D.6

【即学即练12］如图，幕函数>=%3"'-7（〃?@1^）的图象关于丁轴对称，且与X轴，y轴均无交点，求此函

数的解析式及不等式/（X+2）<16的解集.

y

【即学即练13】已知函数/（同=（/+2加-2卜丙+2〃-3是事函数，求〃2-2〃的值.

00

【易错提示】【典例6］已知哥函数了=工上561^）的定义域为（°，+），且单调递减，则〃=

【即学即练14】已知基函数/（力=（裙一"一1b‘"\"‘是偶函数，则而=（）

A.-1B.-2C.-1或-2D.1或-2

fii分层提分

题组A基础过关练

2.已知幕函数/G)的图象过点(2,/),则/(8)的值为()

应V2

A.—B.—

48

C.2&D.8及

3.已知0=0.32/=2叱。=1.9°3则。也。的大小关系是()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

4.已知幕函数/（x）过点（27,9）,则/（x）的奇偶性为（)

A.既不是奇函数又不是偶函数B.既是奇函数又是偶函数

C.奇函数D.偶函数

5.函数>=广2在区间上［；,2］的最大值是()

A.—B.—1

4

C.4D.-4

6.已知定义在R上的函数“X)满足/(r)=〃x),且当x<0时，”力=3*+1,若0=6=4)c=25；，

则()

A./(a)</(/>)</(c)B./(&)</(<?)</(a)

C./(ft)</(«)</(c)D./(c)</(a)</(/?)

7.已知函数〃x)=(苏-2〃L2)/+4"，(〃好Z)是募函数，其图像关于原点对称，且与x轴、)，轴均无交点；

则下列说法错误的是()

A.函数“X)既无最大值也无最小值

B.函数y=〃x)-x恰有两个不同零点

C.函数的定义域为(Y>,O)5°，W)

D.函数/(x)为减函数

2

8.已知函数f(x)=(病-m-5)/M是基函数，对任意外，%«0,内)，且x产乙，满足二。)>0，

若a,beR,且a+b>0,则/(a)+〃b)的值()

A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断

题组B能力提升练

i.已知事函数〃X）=（M-帆—对任意王,%€（0，+8）,且x产马,都满足＞0,若

X］一

aleR且/（a）+/S）vO,则下列结论可能成立的有（

A.。十/?>0.且B.a+b<QR.ab<0

c.a+b＜0且曲＞0D.以上都可能

2.已知累函数+则下列结论正确的有（）

32）.

A.

B./（X）的定义域是R

C./（X）是偶函数

D.不等式“X—1）之〃2）的解集是卜1,1）（1,3］

3.已知幕函数/（犬）=£的图象经过点（4,2）,则下列命题正确的有（）

A.该函数在定义域上是偶函数

B.对定义域上任意实数为，马,工产%,都有［/（5）-/（七）］（%,-王）＞0

C.对定义域上任意实数为，马,x产七，都有“"J；/（­）＜/（号

D.对定义域上任意实数占，%,都有/&，2）=/&）+/（々）

4.函数f（x）=++2x+l与g（x）=x"在同一坐标系中的图像可能为（）

A.

C.

5.已知实数m6满足等式则下列五个关系式中可能成立的是（）

A.0<b<a<\B.-1<a<b<0

C.1<a<bD.—\<b<a<Q

E.a=b

6.已知基函数=Q(m,neN+,m,〃互质)，下列关于/(x)的结论正确的是()

A.m,〃是奇数时，基函数“X)是奇函数

B.机是偶数，〃是奇数时，基函数/(力是偶函数

C.机是奇数，〃是偶数时，基函数“X)是偶函数

D.0〈里<1时，基函数“X)在(0,+8)上是减函数

n

E.m,〃是奇数时，塞函数f(x)的定义域为R

7.已知黑函数f(x)过定点(2,8),且满足_/.(“2+1)+/(_2)>0,则。的范围为.

8.已知事函数”X)=(M-3〃?+3)/+I的图象关于原点对称，则满足(4+1)'">(3-2〃)'"的实数。的值构成的

集合为.

9.已知/(%)=(3m2+5加+3卜'""是基函数，对x”为e(0,+8)且须*々有"*)>0,若

a+b<Q,ab<09则/(。)+/仍)0(填〉，<).

22

10.已知(a+I)J<(3_2a)。，则。的取值范围_