2023届高考数学二轮复习 14 概率、统计、期望 二级结论讲练 学案

专题14概率、统计、期望

二级结论1：条件概率

【结论阐述】计算条件概率有两种方法.

Z.∖P(AB)

(1)定义法：利用定义P(MA)=才"

(2)压缩事件空间法：若〃(A)表示试验中事件A包含的基本事件的个数，则以8网=1符.

【应用场景】

(1)注意：利用定义求条件概率时，事件A与事件B有时是相互独立事件，有时不是相互独立事件,

要弄清P(AB)的求法.

(2)当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件

数”(A),再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即〃(AB),

【典例指引1】

1.先后掷一枚质地均匀骰子(骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点)两次，落在水平桌

面后，记正面朝上的点数分别为χ,y,设事件A为“x+y为偶数”，事件B为“χ,y中有偶数，且χ≠t',

则概率P(BA)=

A.—B.-C.-D.—

3456

【答案】A

【详解】设事件A为“x+y为偶数”中包含的基本事件为(1,3),(1,5),(1,1),(3,3),(5,5),(3,1),(5,1),(5,3),

(3,5),(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)共18个，事件A中含有的B事件为

(2,4),(2,6),(4,2),(4,6),(6,2),(6,4),共有6个，所以P(BIA)=2=：,故选A.

183

【典例指引2]

2.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中

随机取出一球放入乙罐，分别以A，4和4表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件：再从乙

罐中随机取出一球，以8表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是(写出

所有正确结论的编号).

①P(B)=M

②P(BIA)=(；

③事件a与事件4相互独立;

④A，4,4是两两互斥的事件;

⑤P(B)的值不能确定，因为它与A，4,A中哪一个发生有关

【答案】②④

【分析】根据互斥事件的定义即可判断④；根据条件概率的计算公式分别得出A，4,4事件发生的条

件下B事件发生的概率，即可判断②；然后由P(B)=P(A8)+P(43)+P(A∕),判断①和⑤；再比

较P(AB),P(A1)P(B)的大小即可判断③.

【详解】由题意可知事件A，4,4不可能同时发生，则4，4,4是两两互斥的事件，则④正确；

544

由题意得P(BA)=AP(Bl4)=R,P(Bg)=H,故②正确；

P(B)=P(AB)+P(A25)+P(AB)=P(A)P(3∣A)+P(4)P(3∣4)+P(4)P(3∣4)

5524349t.

10111011101122

因为P(AB)=行5，P(A)P(8)=65X59=五9，所以事件B与事件Al不独立，③错；综上选②④

故答案为：②④

【点睛】本题主要考查了判断互斥事件，计算条件概率以及事件的独立性，属于中档题.

【针对训练】

(2022广西•南宁市东盟中学模拟预测(理))

3.某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，

则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(I(X)OSO?),且各个元

件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过IOOO小时的概率为()

^^l^ɪl

­一

A.-B.cd

8i∙i∙?

【答案】B

【分析】设元件1,元件2,元件3正常工作分别为事件A、B、C,求出P(A)=P(8)=P(C)=g即

得解.

【详解】解：设元件1，元件2,元件3正常工作分别为事件A、B、C,

则P(A)=P(B)=P(C)=g;

__111ɔ

故该部件能正常工作的概率为P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=-×-×-×3=-.

222o

故选：B

(2022四川成都•高三月考(理))

4.若随机事件A,B满足P(A)=针P(B)=万，P(A+B)=-,则P(A忸)=()

22

ʌ-9B-3

C.-D.-

46

【答案】D

【分析】根据P(A+8)=P(A)+P(B)-P(AB),计算得到P(AB),然后根据条件概率的计算公式计

算即可.

【详解】由题可知：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

1171

所以P(AB)=P(4)+P(B)_P(A+B)=§+5_z=F

,P(AB)I

所以P(AB)=9

1P(B)6

故选：D

5.某公司为方便员工停车，租了个停车位，编号如图所示.公司规定：每个车位只能停一辆车，每

个员工只允许占用一个停车位.记事件A为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”，事件8为“员

工小李的车停在编号为偶数的车位上，，，则P(A∣8)=()

I23456

b∙⅛

d∙I

【答案】D

【分析】根据条件概率的计算公式P(A∣8)=今需，结合概率公式直接计算即可得解.

33

【详解】根据条件概率可得：P(AIB)=∙⅞誓=野="

/(D)ɔɔ

故选：D.

（2022福建省南平市高级中学高三月考）

6.已知在IO支铅笔中，有支正品，2支次品，从中任取2支，则在第一次抽的是次品的条件

下，第二次抽的是正品的概率是（）

1C8-8c4

A.-B.—C.■-D.一

54595

【答案】C

【分析】根据条件概率的计算公式计算.

【详解】记事件A,B分别表示“第一次，第二次抽得正品“，则AB表示“第一次抽得次品，第二

次抽得正品”，

故选：C.

7.某校为宣传《中华人民共和国未成年人保护法》，特举行《中华人民共和国未成年人保护法》知

识竞赛，规定两人为一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3,则被称为“优

秀小组”，已知甲、乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对题的概率分别为P∣,P,.若R=：，

2

P2=-,则在第一轮竞赛中他们获得“优秀小组'’的概率为（）

A.IB.-C.ɪD.-

【答案】A

【分析】根据给定条件，分析甲乙所在的小组获“优秀小组''的所有可能情况，再利用互斥事件的加

法公式，相互独立事件的乘法公式计算即得.

【详解】依题意，在第一轮竞赛中甲乙所在的小组能获得“优秀小组''的所有可能的情况有：

甲答对1题，乙答对2题；甲答对2题，乙答对1题；甲答对2题，乙答对2题，且每人所答两题中

答对的1题有先后之分，

所以所求概率为P=Cχ3χ!χ（2]+（1]22

44V3)

故选：A

（2022重庆市第七中学校高三月考）

8.一个口袋中装有3个白球，4个黑球和5个红球，先摸出一个球后放回，再摸出一个球，则两次

摸出的球是1白1黑的概率是（）

【答案】C

【分析】根据题意可知，可能的情况有“第一次摸出白球，第二次摸出黑球”与“第一次摸出黑球，第

二次摸出白球”两种情况，再根据概率计算公式求解即可

【详解】可能的情况有“第一次摸出白球，第二次摸出黑球''与"第一次摸出黑球，第二次摸出白球”

两种情况，设两次摸出的球是1白1黑的事件为A,则尸⑷=VXV+3V

ɪ乙ɪ乙JL4ɪ4V*

故选：C

9.甲箱中有5个红球，2个白球和3.不黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中

随机取出行球放入乙箱中，分别以A、4、Aj表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从

乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则P(8∣A)=，

P(B)=------------------

59

【答案】πF

【分析】因为每次取一球，所以A，4是两两互斥的事件，利用古典概型计算可得P(A)=，，

p(4)=∙j^,P(A)=-,再利用条件概率和互斥的事件的和进行计算，即可得到答案；

【详解】因为每次取一球，所以A,A2,A是两两互斥的事件，

5ɪ

因为P(A)*,P(4)=⅛P(A)$，所以尸(BiA)=瑞=I⅛i='

10

2434

同理明少需=曾＜，叩闯=寓=曹号，

1010

5594340

所以P(B)=P(BA)+P(BA)+P(BAj=-×-+一×-+—×一=—.

'J∖VI13)10ɪɪι0ɪɪioɪɪ22

_59

故答案为：ɪɪ;—

(2022福建・福州四中高三月考)

10.东北育才高中部高一年级开设游泳、篮球和足球三门体育选修课，高一某班甲、乙、丙三名同学

每人从中只选修一门课程.设事件A为“甲独自选修一门课程”，B为"三人选修的课程都不同”，则概

率P(BIA)=.

【答案】T##0.5

【分析】分别求出事件：A="甲独自选修一门课程"，AB=''甲独自选修一门课程且三人选修的课程都

不同”对应的基本事件个数，然后套用条件概率公式求解.

【详解】由题意知，甲独自选修一门，则有3门课程可选，乙、丙只能从剩余的两门课程中选择，可

能性为2x2=4∙所以〃(A)=3χ2χ2=12.

三人选修的课程各不相同的可能性为：3×2×1=6,即w(A8)=6.

故P(3∣A)=约"=色=L

故答案为：4##0.5

(2022北京市八一中学高三开学考试)

11.设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15,第二车间的次品率为0.12,

两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1，2车间生产的成品比例为2:3,今有一客户从成品

仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率为.

【答案】0.868

【分析】设B=｛从成品仓库中随机提一台产品是合格品｝,A=｛提出的一台是第，车间生产的产品｝,

/=1,2,由P(B)=P(4)∙P(BlA)+P(4)∙P(B∣4)求解.

【详解】设B=｛从成品仓库中随机提一台产品是合格品｝,a=｛提出的一台是第i车间生产的产品｝,

z=1,2,

则B=A2B,

因为第1,2车间生产的成品比例为2:3,

所以P(A)=O4,P(4)=0.6,

又因为第一车间的次品率为0.15,第二车间的次品率为0.12,

所以P(BlA)=I-0.15=0.85,P(B∣4)=1—0.12=0.88,

所以P(B)=P(4)∙P(BIA)+P(4)∙P(5∣4),

=0.4X0.85+0.6×0.88=0.868,

故答案为：0.868

(2022黑龙江・哈尔滨市第六中学校模拟预测(理))

12.投掷红、蓝两颗均匀的骰子，设事件A：蓝色骰子的点数为5或6；事件8：两骰子的点数之和

大于9,则在事件5发生的条件下事件A发生的概率P(AlB)=.

【答案】I

O

【分析】首先根据古典概型的概率计算公式，求得尸(B)=τ⅛=:,再求尸(AB)=三，由

36636

P(Al=即可得解.

【详解】设红蓝两颗骰子的点数分别为X,九基本事件用(χ,y)表示，

共有6x6=36种情况，

事件8包含基本事件(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6),共6种，

则P(B)=2=:，

ɔθO

事件A和事件B同时发生的基本事件为(4,6),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共5种，

贝IJP(AB)=巳

36

5

故事件B发生的条件下事件A发生的概率尸(AlB)==2T=T.

P(B)ɪ6

6

故答案为：7,

6

二级结论2：常见分布的数学期望和方差

【结论阐述】

二项分布：超几何分布：

典型分布两点分布：X成

XB[n,p)XH(n,M,N)

数字特征

功概率为P

数学期望E(X)=PE(X)=叩E(X)=-

`7N

D(X)=叩(1

NTN-I)

方差D(X)=p(l-p)-Pl

【应用场景】有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时,

超几何分布可近似为二项分布来处理.

【典例指引1】

13.若随机变量X服从参数为4,；的二项分布，则()

A.P(X=I)=P(X=3)B.P(X=2)=3P(X=1)

C.P(X=O)=2P(X=4)D.P(X=3)=4P(X=I)

【答案】BD

【分析】利用二项分布的概率计算公式即可求解.

【详解】由题意，根据二项分布中概率的计算公式P(X=A)=GPYl-P)T,Z=(U

I)W

则P(X=O)=c：U

2

p(χ=4)=C

因此P(X=2)=3P(X=1),P(X=3)=4P(X=1),

P(X=4)=16P(X=0).

故选：BD.

【典例指引2]

14.学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为X,求

P(X≤1)=.

【答案】I

【分析】本题主要考查了超几何分步的概率计算，属于基础题.

根据题意，X的取值为。或1,代入超几何分布公式求出对应概率，再相加即可.

【详解】解：由题意可得

P(X=O)=罟吟号

e)=詈=IH

246

-+=

所以P(X≤1)=P(X=O)+P(X7-7-7-

故答案为：y.

【针对训练】

(2022・陕西•渭南市临渭区教学研究室二模)

15.设随机变量X,Y满足：Y=3X-∖,X8(2,"),若P(X21)q,则。(丫)=

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【详解】由题意可得：P(X≥l)=l-P(X=0)=l-C∏l-p)-=∣.

解得：P=；,则：Z)(X)=叩(I-P)=2χgχ∣qθ(y)=36(X)=4.

本题选择A选项.

(多选题)(2022•湖南岳阳•一模)

16.若随机变量X服从两点分布，其中P(X=O)=g,则下列结论正确的是()

A.P(X=I)=E(X)B.E(3X+2)=4

C.θ(3X+2)=4D.D(X)=-

【答案】AB

【分析】求出P(X=O),P(X=1),E(X),D(X),即得解.

1ɔ

【详解】解：依题意P(X=O)=5,P(X=I)=],

所以E(X)=OXg+lx∣=g,°(x)=(θ-∣∫×→(>-∣∫×∣=∣∙

7O

所以P(X=I)=E(X),E(3X+2)=3×-+2=4,D(3X+2)=32×∙^=2

所以AB选项正确，CD选项错误.

故选：AB

(2022•河南洛阳•模拟预测)

17.已知随机变量X~3(4,p),若P(X≥1)=黑，则DX=_____.

O1

Q

【答案】I

【分析】X~B(4,p),二项分布的性质，算出P=；,在使用DX=〃p(l—p)即可.

【详解】因为X~8(4,p),P(X≥1)=黑,

O1

所以P(X=O)=I噌=2，

o1o1

所以C：p°(l—p)4=t，

o1

2

所以I-P=§,

所以P=；,

所以OX=4x；x(l-；)=[.

答案为：S

(2022∙浙江省新昌中学模拟预测)

18.在一次投篮游戏中，每人投蓝3次，每投中一次记10分，没有投中扣5分，某人每次投中目标

的概率为I,则此人恰好投中2次的概率为,得分的方差为.

4

【答案】-150

【分析】根据二项分布的计算公式及二项分布方差的性质即可求解.

【详解】由题意可知，记X为击中目标的次数，得分为y分，则X

所以在3次射击中，此人恰好投中2次的概率为：

P(X=2)=G图21W

由题意可知，y=15X-15,所以得分的方差为：

Q(Y)=Q(15X-15)=SQ(X)=15xl5x3x∙∣x(l-∙∣)=150.

4

故答案为：150.

(2022・湖南永州•一模)

19.我市为了解学生体育运动的时间长度是否与性别因素有关，从某几所学校中随机调查了男、女生

各IOO名的平均每天体育运动时间，得到如下数据：

分钟

(0,40](40,601(60,90](90,120]

性别

女生10404010

男生5254030

根据学生课余体育运动要求，平均每天体育运动时间在(60,120]内认定为“合格”，否则被认定为“不

合格”，其中，平均每天体育运动时间在(90,12OJ内认定为“良好”.

(1)完成下列22列联表，并依据小概率值α=0.005的独立性检验，分析学生体育运动时间与性别因素

有无关联；

不合格合格合计

女生

男生

合计

⑵从女生平均每天体育运动时间在(0,40],(40,60((60,90],(90,120]的100人中用分层抽样的方法抽

取20人，再从这20人中随机抽取2人，记X为2人中平均每天体育运动时间为“良好”的人数，求X

的分布列及数学期望；

(3)从全市学生中随机抽取100人，其中平均每天体育运动时间为“良好”的人数设为4,记“平均每天

体育运动时间为‘良好'的人数为我”的概率为尸石=外，视频率为概率，用样本估计总体，求尸七=Q的

表达式，并求Pe=Q取最大值时对应”的值.

2

2n{ad-bc)廿,

*=(α+%)(c+d)(α+c)S+d)'、中n=a+b+c+d

a0.0100.0050.001

Xa6.6357.87910.828

【答案】(1)列联表见解析，认为性别因素与学生体育运动时间有关联，此推断犯错误的概率不大于

0.005；

(2)分布列见解析，数学期望为(；

oo

(3)P[ξ=k)=Cf00X0.2*×O.8'^*(0≤jt≤100,⅛∈N),(=20

【分析】(1)通过题意可得列联表，计算/的值，可得结论；

(2)根据分层抽样的比例可得抽取的女生平均每天体育运动时间在(0,401(40,60],(60,90卜(90,120]

的人数，确定X的取值，根据超几何分布可求得每个值对应的概率，即得分布列，从而计算数学期

望；

(3)通过题意可得4满足二项分布，能得到「片=幻，然后通过作商法可得到当％≤19时,

P(J=%+1)>P(J=Z),当％之20时，P(ξ=k+l)<P(ξ=k),即可得到答案

(1)

由题意可知，22列联表如下表

不合格合格合计

女生5050100

男生3070100

合计80120200

零假设为“°：性别与学生体育运动时间无关联.

根据列联表中的数据，经计算得到

n{ad-bc)2200(50×70-30×50)225

Z28.333>7.879,

(α+⅛)(c+J)(a+c)(⅛+√)—80×120×100×100-T'

根据小概率值a=0.005的独立性检验，我们推断H0不成立即认为性别因素与学生体育运动时间有关

联，此推断犯错误的概率不大于0.005；

(2)

抽取的20人中，女生平均每天运动时间在(0,40],(40,60],(60,90],(90,120]的人数分别为2人，8人,

8人，2人，易知X的所有可能取值为01,2,

P(X=O)=警=器，P(X=I)=警*，p(χ=2)=警=高,

所以X的分布列为

1CO1Q1

所以数学期望为E(X)=OX—÷1×-+2×—=-；

、7190951905

(3)

平均每天运动时间在(90,120］的频率为喘ɪ=0.2,

由题意可知J~B(100,0∙2),

所以P(4=jl)=C‰χ02*χ08wo^*(θ≤)l≤10(U∈N),

一(g=%+l)Cf(X0.2g∣x0.899-*l(X)-⅛1,

山P(g=k)-CXO.2"Xo.8*---------×->l得女V19.2,

OO2+14

所以，当A≤19时,P(J=k+l)>P(D,即尸(g=20)>P(g=19)>>P(<=0),

当A≥20时,P(ξ=k+l)<P(ζ=k),即P(g=20)>P(g=21)>>P(⅞=100),

所以Pe=QmaX=P仁=20),即P(J=Z)取最大值时，A=20.

(2022∙四川省内江市第六中学模拟预测)

20.国内某大学有男生6000人，女生4000人，该校想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层

抽样的方法从全校学生中抽取100人，调查他们平均每天运动的时间(单位：小时)，统计表明该校

学生平均每天运动的时间范围是［0,3］,若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达

人”，低于2小时的学生为“非运动达人”.根据调查的数据按性别与“是否为，运动达人”，进行统计，得

到如下2×2列联表：

运动时间

运动达人非运动达人合计

性别

男生36

女生26

合计100

(1)请根据题目信息,将2x2列联表中的数据补充完整,并通过计算判断能否在犯错误概率不超过0.025

的前提下认为性别与“是否为，运动达人有关；

(2)将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查该校的3名男生，设调查的3人中运动达人的人数

为随机变量X,求X的分布列和数学期望E(X)及方差O(X).

附表及公式:

PgNko)0.150.100.050.0250.010

ko2.0722.7063.8415.0246.635

n(ad-bc)2

其中“=α+"c+d.

(«+b)(c+d){a+c)(⅛+d)

【答案】(1)列联表答案见解析，在犯错误概率不超过0.025的前提下，可以认为性别与“是否为‘运动

达人有关

9|8

⑵分布列答案见解析，£(X)=1,O(X)=-

【分析】(1)根据题意完善2x2列联表，根据卡方公式计算出K2,结合临界表即可得出结论；

(2)根据题意可知随机变量X满足二项分布，求出对应事件的概率，列出随机变量的分布列，结合二

项分别的数学期望和方差公式直接计算即可.

【详解】(1)由题意，该校根据性别采取分层抽样的方法抽取的I(X)人中，有60人为男生，

40人为女生，据此2x2列联表中的数据补充如下.

运动时间性别运动达人非运动达人合计

男生362460

女生142640

合计5050IOO

所以小FKS

又6>5.024,

所以在犯错误概率不超过0.025的前提下，可以认为性别与“是否为'运动达人有关.

(2)由题意可知，该校每个男生是运动达人的概率为某=:，

605

故X可取的值为0,1,2,3,

所以P(X=O)=喏∏3°=τ⅛,P(X=D=Cd)'嗯,

尸“TInlJ喂,gY(IAI)Y∙

X的分布列为:

393218

.∙.E(X)=3χ-=-,D(X)=3×-×~=

555525

(2022•广东广州・一模)

21.某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“A/作业”项目，并且在甲、乙两个学校的高一学

生中做用户测试.经过一个阶段的试用，为了解“A/作业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了

200名学生，对他们的“向量数量积”知识点掌握的情况进行调查，样本调查结果如下表：

甲校乙校

使用4作不使用A/作使用4作不使用A/作

业业业业

基本掌握32285030

没有掌握8141226

假设每位学生是否掌握“向量数量积”知识点相互独立.

(1)从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生，用J表示抽取的2名学生中使

用“A/作业”的人数，求J的分布列和数学期望；

(2)用样本频率估计概率，从甲校高一学生中抽取一名使用“A/作业”的学生和一名不使用“A/作业”的

学生，用“X=l”表示该名使用“A/作业”的学生基本掌握了响量数量积”，用“X=0”表示该名使用“4作

业”的学生没有掌握“向量数量积”，用“丫=1”表示该名不使用“A/作业''的学生基本掌握了“向量数量

积"，用“丫=0”表示该名不使用“A/作业”的学生没有掌握“向量数量积”.比较方差OX和DY的大小关系.

【答案】(1)分布列见解析，f(⅞)=j;

(2)DX<DY.

【分析】(1)根据超几何分布列分布列，求解期望;

(2)由二项分布的方差公式求解.

(1)

依题意，没有掌握“向量数量积''知识点的学生有60人，其中，使用"4作业''的人数为20人，不使用

“4作业”的人数为40,

所以4=0,I,2,且P(g=o)=笔0=||,

Ceo39

尸*-八_CH_80^2o^4o-ɪ9

P(I)一丁一方‘W一2)-丁-布‘

所以J的分布列为：

生√GI80_192

故Ec(J)=Ix——+2×——=

`,1771773

(2)

由题意，易知X服从二项分布X~q1，T，D(X)=P(I-P)=(，

y服从二项分布y~B(1∙∣),D(y)=p(l-p)=∣,DX<DY.

二级结论3:二项分布概率的最值

【结论阐述】

下图是不同参数的二项分布的图象

,^l-

•pɪθʒandn=2O

•p=0.7andn=2O

科-∙p=O.5andn=40

图］.不同参数下的二项分布的图象

从图1中可以看出，对于固定的"及。，当女增加时.，概率尸(X=Z)先是单调递增到最大值，随后单

调减少.可以证明，一般的二项分布也具有这一性质，且：

(1)当(〃+1).不为整数时，概率P(X=&)在k=［5+ι)p］时达到最大值；

(2)当(〃+l)P为整数时，概率P(X=Z)在Z=5+l)p和A=("+l)p-l同时达到最大值.

注：卜］为取整函数，即为不超过X的最大整数.

【应用场景】可以利用该结论方便地计算出相应地最大值.

【典例指引1】

22.某市居民用天然气实行阶梯价格制度，具体见下表：

阶梯年用气量(立方米)价格(元/立方米)

第一阶梯不超过228的部分3.25

第二阶梯超过228而不超过348的部分3.83

第三阶梯超过348的部分4.70

从该市随机抽取10户(一套住宅为一户)同一年的天然气使用情况，得到统计表如下:

居民用气编号12345678910

年用气量(立方米)95106112161210227256313325457

(1)求一户居民年用气费y(元)关于年用气量X(立方米)的函数关系式；

(2)现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的

用户数的分布列与数学期望；

(3)若以表中抽到的IO户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市中依次抽取10户，其中

恰有/户年用气量不超过228立方米的概率为P(Z),求P(Z)取最大值时的值.

"3.25X4(0,228]

【答案】(1)y=<3.83x-132.24ze(228,348];(2)分布列见解析，数学期望为2；(3)6.

4.7x-435,x∈(348,+∞)0

【分析】(1)由表格中的数据结合题意，即可求得一户居民年用气费y(元)关于年用气量X(立方

米)的函数关系式;

(2)由题意知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户，得到随机变

量4可取0,1,2,3,利用超凡何分布求得相应的概率，得到随机变量的分布列，进而求得期望；

Y"求…

⑶由P⑻=CCmg列出不等式组由

琮(I)(I)

即可求解.

【详解】(1)由题意，当XW(0,228］时，y=3.25x;

当xe(228,348]时，y=3.83x732.24；

当xe(348,⅛w)时，y=4.7x-435,

'3.25XXe(0,228]

所以年用气费y关于年用气量X的函数关系式为V=3.83x-132.24√ce(228,348].

4.7Λ-435√C∈(348,+∞)

(2)由题知10户家庭中年用I气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户,

设取到年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数为久则看可取0,1,2,3,

31x

贝IJP(J=O)=与C7P(J=I)=SCφC=K91,

V,品242,如40

123

P(g=2)=*CC='7,尸偌=3)=鼻C1

,

。C^)40'eʒ120

故随机变量4的分布列为:

ξO123

7217I

P

244040T20

72171O

所以E(j)=0x-+lx-+2x-+3x——=—

v724404012010

(3)由题意知P(A)=Ct©nr(4=0,1,2,3,10),

,曰28,,,33*

,解An得—≤⅛≤—,Z∈N,

所以当k=6时，概率P(A)最大，所以Z=6.

【点睛】本题主要考查了分段函数模型的性质及其应用，以及离散型随机变量的分布列与期望的求解,

着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

【典例指引2]

23.某省2021年开始将全面实施新高考方案.在门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用

原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高

到低划分为A,B,C,D,E共个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%,

并按给定的公式进行转换赋分.该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生

物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分.

(1)某校生物学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：

原始分9190898887858382

转换分IOO99979594918886

人数11212111

现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于95分的人数为X,求X的分布列和

数学期望；

(2)假设该省此次高一学生生物学科原始分F服从正态分布M75.8,36).若令η=±±

σ

则7~MO,1),请解决下列问题:

①若以此次高一学生生物学科原始分C等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约

为多少分？(结果保留为整数)

②现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记J

为被抽到的原始分不低于71分的学生人数，求P(ξ=k)取得最大值时k的值.

附：若"N(OJ),则P(η,,().8)≈0.788,PE„1.04)a0.85.

【答案】(1)分布列详见解析，数学期望为g;(2)①69分；②左=631.

【分析】(1)写出随机变量X的所有可能的取值，根据超几何分布求出X的每个值对应的概率，列

出分布列，求出数学期望；

(2)①设该划线分为机，由丫~N(75.8,36)求出由”3,得Y=6〃+758.由题意P(Y⅛m)≈0.85,

σ

又P(41.04)≈0∙85,"M0,l),故PezT.04)=0.85,故史答一.04,即可求出掰;②由题意

6

4；：二二二，，根据独立重复实验的概率计算公式,求出P(J=Z),P(4=01),P信=z+l),

代入不等式组，即求k的值.

【详解】(1)随机变量X的所有可能的取值为Q123.

C；C_50_5

由题意可得：P(X=O)=音=粽=5'P(X=I)=

^cξ^-120-i2

CC=505IO1

P(X=I)==P(X=3)=

"CT12O12

随机变量X的分布列为

X2

1551

P

n1212Vl

^≡f∞=0×⅛+l×⅛+2×⅛+3×⅛=l

(2)①设该划线分为用，由y~N(75∙8,36)得〃=75.8,b=6,

令"=3=上誉，则y=6γ+75.8,

σ6

由题意，P(yem)≈0∙85,即P(6"+75.8》WJ)=P1》也拜卜0.85,

QV~N(O,1),P(7,,1.04)≈0.85,ΛP(7>-∣∙04)≈0.85,

mT518%_104,.∙.t∏≈69.56,取团=69.

②由①讨论及参考数据得

P(y⅛71)=P(6η+75.8⅛7i)=P(77⅛-0.8)=P(η≤0.8)≈0.788,

即每个学生生物统考成绩不低于71分的事件概率约为0.788,

soλ

ξ~β(800,0.788),P(ξ=k)=COOO.788«(I-O.788)"^.

P(ξ=k)≥P(ξ=k-l),

由,

P(⅞=⅛)>P(⅞=⅛+1),

Λ8O0lil8θlt

HΠ[C*IO0.788(1-0.788)^*≥C*^O.788^(l-O.788)^,

即《

80Aλ+,799A

[c；OOo.788*(1-0.788)°-'≥C鼠0.788(1-0.788)-,

解得630.188WRW631.188,

ZGN,.4=631,

二当％=631时，PC=Z)取得最大值.

【点睛】本题考查超几何分布、二项分布及正态分布，考查学生的数据处理能力和运算求解能力，属

于较难的题目.

【针对训练】