高中数学讲义（人教A版必修二）：第14讲 正弦定理（教师版）

第14讲正弦定理

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课程标准课标解读

1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角

度的关系.

2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角

形、判断三角形解的个数问题.利用余弦定理加上本节课学习的正弦定理就可以正式

3.利用正弦、余弦定理了解三角形中边与角进行解三角形的问题的训练与提升，提高学生数学核心

的关系.

素养，提升数学学习能力。

4.利用正弦、余弦定理判断三角形的形状.

5.掌握正弦、余弦定理的简单应用.

檄知识精讲

知识点01正弦定理

条件在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c

a____b____c

结论

sinAsinBsinC

文字叙述在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等

【即学即练1】在△ABC中，a=5,b=3,贝ijsinA：sin8的值是（）

•5r3

A.B.§C.yD.y

答案A

解析根据正弦定理，得黑得斗

知识点02三角形中边与角之间的关系

1.利用余弦定理和正弦定理进行边角转化

/?2+c2—4Z2+c2—Z72«2+Z?2—c2

(l)cosA=赤；cos"2ac；cosC=2ab.

(2)2RsinA=427?sinB^b,2RsinC=c，(其中R为△ABC外接圆的半径)

2.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.

Z?2+C*2一次

⑴若於+c2,则cosA=-<0,AABC为钝角三角形；

+■一

(2)若a2=〃+c2,则cosA=一五一=0,△ABC为直角三角形;

〃+c2—/c^~\~cr—b~-

(3)若a2<b2+c2J!Lb2<a2+c2且c2<cr+b2,贝!JcosA=--------->0,cosB=>0,cosC=--------->0,

△ABC为锐角三角形.

【即学即练2】如果将直角三角形的三边各增加同样的长度，则新三角形的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.由增加的长度确定的

答案A

解析设直角三角形的三边长分别为a,b,c,且序+^2=/,三边都增加x,则（a+尤）2+（6+x）2—（c+x）2

=a2+i»2+2x2+2（6z+Z?）x—c2—2ex—^=1（a-\-b—Qx+x2＞。，所以新三角形中最大边所对的角是锐角，所以

新三角形是锐角三角形.

u能力拓展

考法01已知两角及任意一边解三角形

【典例1】在△ABC中，已知8=30。，C=105°,6=4,解三角形.

解因为3=30°,C=105°,

所以A=180°—(B+C)=180°—(30°+105°)=45°.

由正弦定理，得sin,5°=sin300=sin；05。，

后刀/曰4sin45°/r-4sin105°r-.二、

解侍0=丁而=4诲，c=sin30。=2(加+啦).

反思感悟

nbhcnc

⑴正弦定理实际上是三个等式：-7=-^,而公=春，/万不氤，每个等式涉及四个元素，所以只

要知道其中的三个就可以求另外一个.

(2)因为三角形的内角和为180°,所以已知两角一定可以求出第三个角.

【变式训练】在△ABC中，已知。=8,8=60。，C=75°,求A,c的值.

解A=180°-(B+Q=180o-(60o+75o)=45°.

,_a_____c/曰_4sinC_8Xsin750

由sin人―sinCc~sinA-sin45°

8X电^

=一近一=4(小+1).

2

所以A=45。，c=4(5+1).

考法02已知两边及其中一边的对角解三角形

【典例2】在△ABC中，已知。=加，A=45°,a=2,解三角形.

曲..ac.•一csinA祈sin450小

smAsinCa22

V0°<C<180°,・・・C=60。或C=120。.

当C=60。时，B=75。，仁呻=返瞎=小+1；

sinCsin60v

当C=120。时，2=15。，6=弊=^^=小—L

sinCsin120'

.•方=小+1,2=75°,C=60°或6=馅-1,8=15°,C=120°.

反思感悟已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤

(1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角.

(2)用三角形内角和定理求出第三个角.

(3)根据正弦定理求出第三条边.

【变式训练】在△ABC中，AB=2,AC=3,2=60。，则cosC等于()

A星R巡M口更

3o.3.2\-j.2

答案B

ARAT

解析由正弦定理，

即熹=高，解得s1nc=^，

'：AB<AC,：.C<B,.'.cosC=^/l-sin2C=-^.

考法03已知两边及一边对角判断三角形解的个数

【典例3】不解三角形，判断下列三角形解的个数.

(1)4=5,b=4,A=120。；

(2)a=9,ft=10,A=60°；

(3)8=72,c=50,C=135°.

解(l)sinB=^sin120°=1x^<^,所以三角形有一解.

c.Db.io^35^3由近5^3

(2)sinB=-sin60=gXv-^-=—^―,而奇v-<11.

5、h

所以当3为锐角时，满足sin3=T一的角6的取值范围是60。<8<90。.满足A+8<180。；

当B为钝角时，满足5皿8=手的角8的取值范围是90。<8<120。，也满足A+8<180。.故三角形有两解.

c、.bsinc72.丁.「近

(3)sinBD=~--=^QSinOsinC=亍.

所以8>45。，所以8+0180。，故三角形无解.

反思感悟

(1)已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法

①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数;

②在△ABC中，已知a,b和A,以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线A8的公

共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：

A为钝角A为直角A为锐角

a>b一解一解一解

a=b无解无解一解

a>bsinA两解

a<b无解无解a=bsmA一解

a<bsinA无解

(2)通过正弦定理和三角形中大边对大角的原理，判断三角形的解的个数，提升了逻辑推理和直观想象素养.

考法03利用正弦、余弦定理解三角形

【典例4】在△ABC中，已知6=3,c=3小,2=30。，解三角形.

解方法一由余弦定理62=。2+，—2accos8,

得32=a2+(3^3)2-2aX3A/3Xcos30°,

.".a2—9a+18=0,解得a=3或a=6.

当a=3时，A=30°,/.C=120°；

.R6x1

当。=6时，由正弦定理，得五114=至产=丁=1,

.•.4=90°,C=60°.

方法二由正弦定理，得忌心=餐，解得sinC=坐，

又c>b,.,.30°<C<180°,.•.C=60°或C=120°.

当C=60。时，A=90°,由勾股定理，得a=6；

当C=120°时，A=30°=B,a=b=3.

反思感悟若已知三角形的两边及其一边的对角，则可直接应用正弦定理求出另一边的对角，但要注意此

三角形解的个数的判断；也可用余弦定理求解，在△ABC中，已知a,b和A,由余弦定理。2=廿+°2一2历85

A,求出c,此时c的个数即为三角形解的个数.

fii分层提分

题组A基础过关练

1.在uWC中，已知。=3,b=6,A=60,则角C为（）

A.30B.45C.60D.90

【答案】D

【详解】由正弦定理可得工=三，则.DbsinA岛与1,

smBsinAsin/?=---------=---------=—

a32

b<a,则5<A,故8=30,，C=180-A—B=90.

故选：D.

2.在，ABC中，已知ZB=45°,ZC^30°,AC=2,则AB等于（）

A.1B.y/2c.73D.y/6

【答案】B

ABAC即瑞

【详解】由正弦定理,7=-^解得="

sinCsinBsin30sm45

故选：B.

OcinR-cin-A

3.在“ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若a=2b,则八sinA的值为（）

sin12A

11i

A.B.-C.1D.—

242

【答案】A

b1

【详解】依题意2=—,

a2

由正弦定理得当事产£

2

故选：A

b

4.2kABC的三个内角A,B,。所对的边分别为a,b,c,若asinAsin5+bcos2A=,则一=(

a

A.叵B.6C.272D.

【答案】B

【详解】由正弦定理得asin5=Z?sinA,化简得bsii?A+Z?cos2A=/?=百〃,

则2=6

a

故选：B

5.在,.ABC中，角A,民。的对边分别为dc.若0sinB=Z?sinA，则〃=（）

万

A.2V2B.V2C.1D.芋

【答案】B

【详解】由题意在ABC中，由正弦定理得sin/=—,sin5=—,R为ABC外接圆半径,

27?27?

故由0sinB=6sinA,得06=6。,，。=应，

故选：B.

6.在△ABC中，a=18,6=24,ZA=45°,此三角形解的情况为（）

A.一个解B.二个解C.无解D.无法确定

【答案】B

【详解】因为匕sin45=24x^=120,如图所示:

2

所以120<18<24，即120<a<c，所以三角形解的情况为二个解.

故选：B

7.在中，NA=105。，AC=1,若ABC有一个解，则5c的取值范围是.

【答案】（L+e）

如图，若ABC有一个解，贝IJ3C>1.

故答案为：（1,+e）.

7T

8.在jWC中，a=2,b=l,C=-,那么J1BC的面积等于

【答案】B

2

【详解】由三角形面积公式得S=-aZ>sinC=ix2xlx—=—.

2222

故答案为：也

2

9.已知ABC的内角4氏C的对边分别是4c,若sinA=当,a=3/=正，则sinB=.

【答案】|

【详解】由正弦定理三=名，得sinB=a=@x2、5=2.

sinAsinBa353

故答案为：f

10.已知函数f(x)=cosx(siax-A/3COSX)(XGR).

⑴求/(九)的最小正周期和单调增区间;

(2)在一ABC中，角A,8,C的对边分别为a,6,c.若/［曰=_等，6=6,求/BC的面积的最大值.

,,...,71,5兀.

【答案?】(1)T=兀，左兀一五'五，kwZ

(2)9A/3

【详解】(1)/(%)=cosxsinx一石cos'x=；sin2x一石x1"；

_1.V3。.(0叫百

=­sin20x-----cos2x--------sin2x--------.

222I3)2

•，*/W的周期T=7i,

jrjrjrjrSjr

由---F2lai<2x—<—+2kli,左eZ,得----\-kji<x<-----卜kit,kEZ

2321212

TT571

所以了(无)的单调递增区间是E-万,E+石，kwZ.

(2)-/==-SPsin(B-i)=0,又8e(0,7t),二2=5,

a_c_b_6_仆向

由正弦定理有sinAsinCsin3,n,

sm—

3

・・5AABC=~acsinB=；•4^/§sinA•4月sinCsinB=12^sinAsinC

二12V3sinAsinf^-7i-Aj=12百sinA41.A

——cosA+—smA=18sinAcosA+6y/3sin12A

122J

='2A+63T=65/3sinl2A-^1+373

八兀兀CA兀7

0<AA<——2,—<2A—<—7i(S树濡=9石,

3666f

当2A-?=1，即A=f时取得最大值.

o23

另解：［Osin,-升%-*即sinp-J。，又3«0㈤，.1心,

由余弦定理知：b2=a2+c2-2accosB=^>36=+c2-2accos—=a2+c2-ac>2ac-ac=ac,

BPac<36,当且仅当〃=c=6时，等号成立.

，Sac=gacsinB=¥acV9百，，当a=c=6时，恪瓯)1mx=96.

11.在一ABC中，角A、B、C的对边分别为。、b、c,且asin3+6bcosA=0.

⑴求角A的大小;

(2)若6=4,一ABC的面积8=2百，求-ABC的周长.

【答案】⑴石

(2)6+277

【详解】(1)因为asinB+&Z?cosA=0,

由正弦定理得sinAsin3+J5sinBcosA=0，

因为sin_Bw。，所以s讥A+V^cosA=0，即tanA=-V§\

2冗

因为Ae(0,7i),所以A=与.

1ll

(2)S=—bcsinA=&=2出,所以c=2,

2

由余弦定理得q=\lb2+c2-2bccosA=2-J1，

所以..ABC的周长为6+2疗.

12.在一ABC中，内角的对边分别为名仇c.已知。==

45

⑴求sinA的值；

(2)若©=行,求人的值.

【答案】(1)竽

(2)/?=3或b=l

【详解】(1)在中，C=三,。=巫5

45

由正弦定理得sinA=^sinC=亚乂虫=还.

5525

(2)c=亚,a=c,a—2A/2,

由余弦定理/=a2+b2-2.abcosC,得5=8+/-2-2立方也,

2

整理得A。—46+3=0,解得＞=3或8=1.

题组B能力提升练

1.在..ABC中，AB=2AC,4。平分/54C交8c于点。，若AD=DC=2,则AB=()

A.2若B.2A/6C.73D.戈

【答案】B

【详解】因为"=24C,4。平分NBAC,AD=2,由S旗c=S+S，

得工AB-ACsinZCAB=-ACADsinACAD+-ABADsinZBAD,

222

即；-2AC•AC-2sinZCAD-cosZCAD

=~ACADsmZCAD+-2ACADsinZCAD,化简得2ACcosNC4D=3.

在“ACO中，CD2=AC2+AD2-2AC-ADcosZCAD,整理得AC?=6,

即4。=而，故AB=2AC=2#.

A

2.AfiC三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,若2s=gaccosB,贝hosB的值为（）

A,巫D,也

Br3M

10-I102

【答案】c

3A/10

2S=—accosB=acsinB,tanB=—,Bel0,—兀3

【详解】fcosB=­i

33I2,+110

故选：C

3.在锐角三角形ABC中，点。为BC延长线上一点，且f|=2"=5疝AC=10,3号则三角形由的

面积为（）

A.25-B.25卜-⑹

22

C75(3+A/3)D.75-

44

【答案】C

【详解】设CD=x，则BC=2x.

在△ABC中，由余弦定理AC?=AB2+BC2—2XA5XBCCOS3,

5(6±1)

得100=150+4/_20后，即2X2-10A/3X+25=0,解得x=

2

当％5(6-1)*25(a以-(5府一土产」<0,是

时，BC=5(A/3-1),cosZACB=

22xl0x5(^-l)100(73-1)2

一个钝角，不合题意，舍去.

当/_5(6+1)1()2+25(用1)2(5厢250+50^|jr

时，BC=5(A/3+1),COSNACB=——『一一彳，所以=z

22xl0x5(>/3+l)100(73+1)23

TTS兀

又4二，则加八法，符合题意.

在△ABD中，BD=3x=-5（A^—,则△45。的面积

2

S，…。"二"x受叵…=四±®

22224

故选：C.

4.在一ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知6=2,cosB=g,贝h.ABC外接圆的半径为（）

.372R372_272ny/2

4233

【答案】A

【详解】因为cosB=！，0<3<兀，所以$m3=6^?^=述，

33

因为6=2,所以—也=还=2R，所以,ABC外接圆的半径为迈.

sin224

故选：A.

o3

5.在.ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=万，cosB=-,且；ABC外接圆的周长为10兀，

则—ABC的周长为（）

【答案】D

【详解】设ABC的外接圆半径为R,贝U2欣=10兀，解得：R=5,

83

因为A3£（0,兀），由cosA=万，cosB=；,

可得sinA=Jl一用IfsinB=^|J=1,

所以。=2HsinA=,Z?=2Rsin_B=8,

因为sinC=sin[兀一(A+3)]=sin(A+3)=sinAcosB+cosAsinB,

〜十r壬…十山―r/口n,1503c8154

由正弦7E理可得：c=acosB+bcosA=----x—+8x-=------,

1751717

150154440

所以ABC的周长为a+b+c=+8+=

171717

故选：D.

6.秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面

积的一种方法“三斜求积术〃，即在一ABC中，〃，仇。分别为内角A民C所对应的边，其公式为：

2

1(a2+b2-

S(abj-

ABC22

3

cosB=-,a>b>c,则利用“三斜求积术〃求-ABC的面积为()

5334

A.-B.-C.—D.一

4455

【答案】D

【详解】解：因为。2="华，由正弦定理三=三得：C2=—,则公=2

sinAsinAsinCa

22

T7i-k.37-thrTffln/+/一从34曰Cl+C2—Z736

又由余弦定理cos5=--------------=一得：----------=-ac=-

2ac5255

故选：D.

7.已知A5C的内角A氏C的对边分别为a,b,c,且(a+5)(sinA—sinB)+(Z?—c)sinC=0.

⑴求角A的大小；

(2)设°=5,且sinJ且，求。边.

25

【答案】(l)A=g

(2)更

3

【详解】(1).ABC的内角A,B,C的对边分别为“，b,c,

因为(a+A)(sinA-sinB)+(b—c)sinC=0,

则由正弦定理得：(a+3(a—3+9—c)c=O,^b2+c2-a2=bc,

b2+c2-a2I兀

cosA=—,又0<A<7t,..A=—.

2bc23

(2)由sin—=,0<C<7i>0<一<一,

2522

得cosC=Jl-sin2-=述，sinC=2sin-cos-=-,

2V25225

又A=1,a=5

5x4

由正弦定理号=，｝,得。=tzsinC_5

sinAsmCsinA

2

8.在一ABC中，角A,3,C的对边分别为〃,"ccosC=旦,sinB=2sinA,0=4.

16

⑴求C;

⑵求ABC内切圆的面积.

【答案】⑴c=3

⑵*乃

12

【详解】（1）因为sinB=2sinA,由正弦定理得6=2。,

又6=4,所以a=2,

由余弦定理得cosC="+"0=2+4c=U,解得c=3.

lab2x2x416

(2)因为COSC=U,A£(0,»),

16

所以sinC=Vl-cos2C=3y,

16

所以一ABC的面积S=工absinC=—x2x4x3y=3y.

22164

设_MC内切圆的半径为r,则S=；(a+>+c)»,

所以,=^^=巫，

a+b+c6

c5

所以内切圆的面积为万一

12

9.ABC的内角A民。所对的边分别为〃，b,。，已知sinA=cos3

⑴若acosC=c，证明：2cos3A+cos2A=2cosA；

⑵若cosB=GsinC,b=l9求二ABC的面积.

【答案】⑴证明见解析

【详解】（1）证明：因为acosC=c,由正弦定理可得：sinAcosC=sinC,

由题意可知：cosCwO,所以sinA=tanC,结合题意可知：sinA=tanC=cosB,

TV.

又因为三角形的内角满足sinA=cos3,所以A+B=彳或A=B+u，因为tanC有意义，所以4=8+二，则

222

TT37r

C=JI-A-B=TI-A-(A一一)=——2A,

22

所以sinA=tanC=tan[--2A|=——-——,

t2)tan2A

mi士y.Asin2A.42sinAcosA2(1-cos2A)-cosA

则有1=smA-tan2A=sinA---------=smA-----------------=-----------------------，

cos2Acos2Acos2A

上式等价于COS2A=2(1-cos2A)•cosA整理化简可得：2cos3A+cos2A=2cosA.

TTTT

(2)在一ABC中，因为sinA=cos5,所以A+3=—或A=_8+—,

22

又因为cos5=V^sinC,所以sinA=若sinC,由正弦定理可得：a=y/3c,

当A+B=I时，c=g,贝ijc边最大，不满足°=辰，故此种情况不成立；

22

iTFJTjTT

当A=8+5时，C=7i-A-B=7i-A-(A--)=--2A,因为sinA=V^sinC,

也即sinA=若sin(--2A)=)cos2A=-^(1-2sin2A),

2

整理可得：2Asin?A-sinA-g=0,解得：sinA=#^或sinA=(舍去)，

兀

所以A=2[

由sinA=J^sinC可得：sinC=-,则C=：,,

26

所以3=C=£,则c=J=l,a=73c=石，

所以_ABC的面积为S=-bcsinA=^~.

24

10.记一ABC的内角AB,C的对边分别为。，瓦c,已知=6?+2,cos2B=1.

⑴求ABC的面积；

3

(2)若cosA=《，求ABC的周长.

【答案】⑴3

(2)6A/7+2714

7

【详解】(Q由题意得口+02=从+2,即您+。2—〃=2,

„22

由余弦定理得cos3=--------------，整理得QCCOSN=1,则COSB>0,

2ac

又COS2B=1,贝IJCOSB=^^,sinB=,

222

所以cic=-=V2,S4ABe—~ctcsinB=—；

cosB22

34

(2)因为cosA=y,所以sinA=g,

sinC=sin(A+B)=1cos5+|^sinB=

a_b_c

由正弦定理得,

sinAsinBsinC

a+b+c

所以

sinA+sinB+sinCsinAsinC

ac’4A/27⑥6"+2m

a+b+c=(sinA+sinB+sinC)--1-------1-------

所以sinAsinC15210J7

题组c培优拔尖练

1.设2ABe的面积为S,ZBAC=e,已知AB.AC=4，2<5<2^3,则函数/(。)=gsin[6>+：)+cos2。

的值域为

2+61+2有

【答案】

—-'-2-

【详解】由题意4所46=卜@・,。0«，=4,2<||AB|-|Ac|sin0<2V3,

22

,/(6*)=>/3sin^+^+cos0=^-1-cos^20+^+J+cos2^

所以14tan64所以

…”，i+6J”，C,i+g

——sin29H—cos20d----------sin29H—H----------,

222I2

._.、r八兀兀—.tee兀2兀5兀

因为,所以26+、e—,

_43J6L36

所以当2。+看=,，即e时，入。）取得最小值，最小值为百声；

当20+6=/，即。=:时，/（夕）取得最大值，最大值为1±|@；

,,12+g1+2A/3

,...,,,,2+A/31+2V3

故答案为：2

2.已知ABC的外接圆的圆心为O,若3O=4AC,则cos/B4C=.

【答案】-也

4

如图，一ABC的外接圆的圆心为。，过。作OELAB于点E

设“ABC外接圆半径为R,

由于3O=4AC，所以,。|=4,4，即R=46,

由正弦定理工=2R得sinB=3=g=:，且角5为锐角，则cosB=Jl-si-8=迈

sinB2R8b88

由余弦定理得cosB="+d=迈①

2ac8

因为3O=4AC，所以2。•区4=4AC-2A，

其中BO-BA=忸。|-|BA|COSNOBE=|BO|-|BA|=1|BA|2=1C2,

AC-BA=|AC|-|BA|COS(TT-ZBAC)=—becosABAC,

所以一，=—4AcosNR4C,即cosNR4C=——,又余弦定理得cos/BAC=匕^—―

28b2bc

匚匚［、lCZ?2+c2一

所以——=---------②

8b2bc

不

C——ClI-

联立①②得：＜3，贝!Jcos/3AC=—£=—业

718b4

b=­a

6

故答案为：岑

c—2

3.锐角三角形ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=2,且AcosA-2cos3=a,则^

b

的取值范围为1

【答案】

【详解】解：因为。=2,且bcosA-2cos3=a,所以》cosA-acosB=a

由正弦定理a=b得：sinBcosA-sinAcosB=sinA,所以sin（5-A）=sinA

sinAsinB

又锐角三角形A5c中，ABel0,|L则6—A=A,即B=2A

0<A<-

2

JTTTTV

所以C=7i—A—3=7t—3A,由于锐角三角形A3C,所以〈0<2A<-,解得

264

71

0<兀一3A<—

2

所以

c-2_<c-asinC-sinAsin（2A+A）-sinA_2sinAcos2A+cos2AsinA—sin3A—sinA

bbsin5sin2A2sinAcosA

_2cos2A+cos2A-sin2A-l4cos2A-2c,1

2cosA2cosAcosA

上丁兀.4（兀兀、[、、#

由于7则1E'"A4在京，力上递w臧,k一1在7上171递]._增_

所以彳=234-£在在[若〔上递减,于是有234-£（。¥]'即一的取值范围为

故答案为:

4.在..ABC中，4良。所对的边分别为。,女0若4+2>2+3o2=12,贝U.1ABC面积最大值为

【答案】誓##\而

【详解】由余弦定理知片=62+C2-26CCOSA,

所以a?+2b1+3c2=b2+c2-2bccosA+2b2+3c2=3b2+4c2-2bccosA，

因为3必+4c?N2痴x4c2=4尿，当且仅当亚=2c时，等号成立,

所以3Z?*2*78+4c2-2Z?ccosA>2bc\2y/3-cosA）,即1222bc\2y/3-cosA）,故人c4--------,

I3sin

设“ABC的面积为S,所以5=彳。。5吊44丁方-----

22V3-cosA

令t=2^8s.,可得2指={sinA+cosA=〃+1sin（A+夕）<y/t2+1，

sinA

当且仅当A+e=方时，上式等号成立，即有2芯wET，解得fN而或rv-而（舍去）,

则廿A4叵,所以SV主叵，故ABC面积最大值为"五.

2^-cosA111111

故答案为：士叵.

11

5.在」1BC中，角A民。所对的边分别为。力,。,已知。=36）=2〃，则-ABC的面积最大值为,

止匕时_—=__________.

/?sinB+csinC

【答案】9；5A/3

【详解】解法一：由已知得cosC="+"一=里二2,\sinC=J1一温C=戊6。"*-2空

2ab4a24a2

。1,.「KJ-（6-15）2+144

S=—absmC=a--------------------9,

244

当且仅当0=小时，s取到最大值9,止匕时sine），又以=三=2氏（R为外接圆半径），则

5sinBsinC

①+。2=2一传sinB+csinC）=2R='=56

Z?sinB+csinCZ?sinB+csinCsinC

解法二：c=AB=3指,AC=2BC,根据阿波罗尼斯圆的定义可知，C的轨迹为圆，圆的半径为26,二S49；

*+「2

根据等合比性质：一」——=^=5A/3（此时sinC可根据最值条件得出）