2024年北京大学附中高考数学模拟试卷（六）（4月份）

2024年北京大学附中高考数学模拟试卷（六）（4月份）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集，集合，则（）A． B． C． D．2．（5分）已知定义在上的奇函数在上单调递减，且，，，则的值（）A．恒为正 B．恒为负 C．恒为0 D．无法确定3．（5分）将函数的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得的图象上的所有点向右平移2个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为（）A． B．C． D．4．（5分）已知x，y满足不等式，则的最小值是（）A．1 B．﹣3 C．﹣1 D．5．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（）A．4 B． C． D．26．（5分）已知是等差数列的前n项和，则“对，恒成立”是“数列为递增数列”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．（5分）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A．5 B．6 C．7 D．88．（5分）某电力公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的，按照综合得分的高低进行综合排序，综合排序高者中标．分值权重表如下：总分技术商务报价100%50%10%40%技术标、商务标基本都是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的．报价表则相对灵活，报价标的评分方法是：基准价的基准分是68分，若报价每高于基准价1%，则在基准分的基础上扣0.8分，最低得分48分；若报价每低于基准价1%，则在基准分的基础上加0.8分，最高得分为80分．若报价低于基准价15%以上（不含15%）每再低1%，在80分在基础上扣0.8分．在某次招标中，若基准价为1000（万元）．甲、乙两公司综合得分如下表：公司技术商务报价甲80分90分A甲分乙70分100分A乙分甲公司报价为1100（万元），乙公司的报价为800（万元）则甲，乙公司的综合得分，分别是（）A．73，75.4 B．73，80 C．74.6，76 D．74.6，75.4二、填空题（共6小题，每小题5分）9．（5分）若平面向量，且，则实数m的值为．10．（5分）将标号为1，2，…，20的20张卡片放入下列表格中，一个格放入一张卡片．把每列标号最小的卡片选出，将这些卡片中标号最大的数设为a；把每行标号最大的卡片选出，将这些卡片中标号最小的数设为b．甲同学认为a有可能比b大，乙同学认为a和b有可能相等．那么甲乙两位同学中说法正确的同学是．11．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入m＝5，则输出k的值为．12．（5分）已知集合，且下列三个关系：有且只有一个正确，则函数的值域是．13．（5分）如图，在矩形ABCD中，，E为AB的中点．将沿DE翻折，得到四棱锥．设的中点为M，在翻折过程中，有下列三个命题：①总有平面；②线段BM的长为定值；③存在某个位置，使DE与所成的角为90°．其中正确的命题是．（写出所有正确命题的序号）14．（5分）在某艺术团组织的“微视频展示”活动中，该团体将从微视频的“点赞量”和“专家评分”两个角度来进行评优．若A视频的“点赞量”和“专家评分”中至少有一项高于B视频，则称A视频不亚于B视频．已知共有5部微视频展，如果某微视频不亚于其他4部视频，就称此视频为优秀视频．那么在这5部微视频中，最多可能有个优秀视频．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）设是首项为1，公比为3的等比数列．（Ⅰ）求的通项公式及前n项和；（Ⅱ）已知是等差数列，为前n项和，且，求．16．（13分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面积．17．（13分）在平行四边形ABCD中，，过A点作CD的垂线，交CD的延长线于点E，．连结EB，交AD于点F，如图1，将沿AD折起，使得点E到达点P的位置，如图2．（1）证明：平面平面BCP；（2）若G为PB的中点，H为CD的中点，且平面平面ABCD，求三棱锥的体积．18．（13分）已知函数．（Ⅰ）当时，求函数在上的单调区间；（Ⅱ）求证：当时，函数既有极大值又有极小值．19．（14分）据《人民网》报道，“美国国家航空航天局（NASA）发文称，相比20年前世界变得更绿色了，卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的420/0来自于植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位：公顷按造林方式分地区造林总面积人工造林飞播造林新封山育林退化林修复人工更新内蒙61848431105274094136006903826950河北58336134562533333135107656533643河南149002976471342922111715376133重庆2263331006006240063333陕西297642184108336026386516067甘肃325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海178414160511597342629宁夏91531589602293882981335北京1906410012400039991053（Ⅰ）请根据上述数据，分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；（Ⅱ）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积与造林总面积的比值不足50%的概率是多少？（Ⅲ）从上表新封山育林面积超过十万公顷的地区中，任选两个地区，求至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷的概率．20．（14分）已知椭圆的左顶点为，两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，过点且与x轴不重合的直线l与椭圆交于M，N不同的两点．（Ⅰ）求椭圆P的方程；（Ⅱ）当AM与MN垂直时，求AM的长；（Ⅲ）若过点P且平行于AM的直线交直线于点Q，求证：直线NQ恒过定点．

2019年北京大学附中高考数学模拟试卷（文科）（六）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【分析】进行补集的运算即可．【解答】解：．故选：D．【点评】考查描述法、区间表示集合的概念，以及补集的运算．2．【分析】由题意利用函数的单调性和奇偶性的性质，求得f（a）+f（b）+f（c）＜0，可得结论．【解答】解：定义在上的奇函数在上单调递减，故函数在上也单调递减，故在上单调递减．根据，可得，∴，，∴，∴，故选：B．3．【分析】根据三角函数的图象变换关系分别进行求解即可．【解答】解：将函数的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到，再把所得的图象上的所有点向右平移2个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为，故选：D．【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解，结合平移，坐标变换关系是解决本题的关键．4．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论【解答】解：由，得，作出x，y满足不等式对应的可行域：平移直线，由平移可知当直线经过点A时，直线的截距最小，此时z取得最小值，由，解得代入，得，即的最小值为．故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．5．【分析】几何体为四棱锥，作出直观图，计算棱长即可得出答案．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，由侧视图可知棱锥底面ABCD是边长为2的正方形，顶点S在底面ABCD上的射影M为CD的中点，由主视图可知，∴．由对称性可知．∴几何体最长的棱为．故选：B．【点评】本题考查了常见几何体的结构特征与三视图，属于基础题．6．【分析】对，恒成立，即，化简即可判断出结论．【解答】解：对，恒成立，∴，化为：，∴．∴数列为递增数列，反之也成立．∴“对，恒成立”是“数列为递增数列”的充要条件．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．【分析】设周一，周二，周三开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为，，，根据，且，可得．【解答】解：设周一，周二，周三开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为，则，因为，且，，，所以，即．故选：B．【点评】本题考查了Venn图表达集合的关系以及运算，属中档题．8．【分析】根据定义计算甲，乙两公司的报价得分，再计算综合得分．【解答】解：甲公司的报价分数，乙公司的报价分数，∴甲公司的综合得分为分，乙公司的综合得分为分．故选：A．【点评】本题考查了函数值的计算，属于中档题．二、填空题（共6小题，每小题5分）9．【分析】可求出，根据便可得出，进行数量积的坐标运算即可求出m的值．【解答】解：；∵；∴；∴．故答案为：﹣6．【点评】考查向量坐标的加法和数量积的运算，以及向量垂直的充要条件．10．【分析】利用信息可以先自己随便填写出来一种情况，然后对图分析结果即可．【解答】解：2012101119349121856131617781415比如此时每一列的最小值分别为17，1，2，9，11，此时最小值中最大的是a＝17，每一行中最大的分别是20，19，18，17，此时四个最大值中最小的是b＝17从而得出每列最小数中的最大数，最大是17，比如一列排20，19，18，17，即，且此时故答案为乙【点评】利用信息，分析思考解决问题，属于逻辑思维的有难度的题目．11．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得：mk初始50第一次91第二次172第三次333第四次654第四次时，，满足判断框内的条件，退出循环，输出k的值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．12．【分析】根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a，b，c的值，结合的最值即可求出函数的值域．【解答】解：由得，a、b、c的取值有以下情况：当时，、时，都正确，不满足条件．当时，、时，成立，成立，此时不满足题意；当时，、时，都不正确，此时不满足题意；当时，、时，成立，此时满足题意；当时，，时，，成立，此时不满足题意；当时，、时，，成立，此时不满足题意；综上得，、、，则函数，当4时，，当时，，综上，即函数的值域为，故答案为：．【点评】本题主要考查函数的值域的计算，根据集合相等关系以及命题的真假条件求出a，b，c的值是解决本题的关键．13．【分析】取的中点N，连接MN，EN，根据四边形MNEB为平行四边形判断①，②，假设得出矛盾结论判断③．【解答】解：取的中点N，连接MN，EN，则MN为的中位线，∴M，又BE为矩形ABCD的边AB的中点，∴，∴，即四边形MNEB为平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面，故①正确；由四边形MNEB为平行四边形可得，而在翻折过程中，NE的长度保持不变，故BM的长为定值，故②正确；取DE的中点O，连接A1O，CO，由可知，若，则平面，∴，又，∴为等腰直角三角形，故而，而，与矛盾，故与所成的角不可能为．故③错误．故答案为：①②．【点评】本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定与性质，属于中档题．14．【分析】记这5部微视频为，设这5部微视频为先退到2部微视频的情形，若的点赞量的点赞量，且的专家评分的专家评分，则优秀视频最多可能有2部，以此类推可知：这5部微视频中，优秀视频最多可能有5部．【解答】解：记这5部微视频为，设这5部微视频为先退到2部微视频的情形，若的点赞量的点赞量，且的专家评分的专家评分，则优秀视频最多可能有2部；再考虑3部的情形，若若的点赞量的点赞量的点赞量，且的专家评分的专家评分的专家评分，则优秀视频最多可能有3部；以此类推可知：这5部微视频中，优秀视频最多可能有5部．故答案为：5【点评】本题考查了简单的合情推理的应用，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【分析】（Ⅰ）根据等比数列的通项公式和求和公式即可求出，（Ⅱ）先求出公差，再根据等差数列的求和公式即可求出【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，∴．（Ⅱ），∴，∴，∴【点评】本题考查了等比数列等差数列的通项公式和求和公式，考查了运算能力，属于基础题16．【分析】（Ⅰ）在中，，求出正弦函数值，利用正弦定理转化求解即可．（Ⅱ）由余弦定理得，然后求解三角形的面积．【解答】（本小题13分）解：（Ⅰ）在中，，∴，∵，由正弦定理得，∴．（Ⅱ）由余弦定理得，∴，解得或（舍）∴．【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查三角形的解法，考查计算能力．17．【分析】（1）证明．，．推出，，得到平面BFP，然后证明平面平面BCP．（2）解法一：证明平面ABCD．取BF的中点为O，连结GO，得到平面ABCD．然后求解棱锥的高．解法二：证明平面ABCD．三棱锥的高等于．说明的面积是四边形ABCD的面积的，通过，求解三棱锥的体积．【解答】（1）证明：如题图1，在中，，，所以．在中，，所以．所以．如题图2，．又因为，所以，，，所以平面BFP，又因为平面BCP，所以平面平面BCP．（2）解法一：因为平面平面ABCD，平面平面，平面ADP，，所以平面ABCD．取BF的中点为O，连结GO，则，所以平面ABCD．即GO为三棱锥的高．且．因为，三棱锥的体积为．解法二：因为平面平面ABCD，平面平面，平面ADP，所以平面ABCD．因为G为PB的中点．所以三棱锥的高等于．因为H为CD的中点，所以的面积是四边形ABCD的面积的，从而三棱锥的体积是四棱锥的体积的．面，所以三棱锥的体积为．【点评】本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．18．【分析】（Ⅰ）求且时的导数，利用导数判断的单调性，从而求得在上的单调区间；（Ⅱ）由时，讨论和时，利用导数研究函数的单调性，从而判断函数是否存在极大与极小值．【解答】解：（Ⅰ）当，且时，，所以，令，得，或；当x变化时，，的变化情况如下表：23+0﹣0+极大值极小值所以在上的单调递增区间是，，单调递减区间是；（Ⅱ）当时，若，则，所以；因为，所以；若，则，所以；令，，所以有两个不相等的实根，，且；不妨设，所以当变化时，的变化情况如下表：0+无定义﹣0+极大值极小值因为函数图象是连续不断的，所以当时，即存在极大值又有极小值．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了分类讨论思想与方程根的应用问题，是中档题．19．【分析】（Ⅰ）结合表格数据进行判断即可（Ⅱ）根据古典概型的概率公式进行计算即可（Ⅲ