人教A版高一数学必修第二册单元测试题含答案

1/82人教A版高一数学必修第二册单元测试题含答案第六章平面向量及其应用综合测试卷A卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（）①任一向量与它的相反向量都不相等；②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若a≠b，则|a|≠|b|；⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【详解】解：零向量与它的相反向量相等，①错；由相等向量的定义知，②正确；两个向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，③错；a≠b，可能两个向量模相等而方向不同，④错；两个向量相等，是指它们方向相同，大小相等，向量可以在空间自由移动，故起点和终点不一定相同，⑤错.所以正确的命题的个数为1，故选：B.2．已知向量，满足，，，则（）A．5 B．7 C． D．【答案】D【详解】解：因为，，，，所以.故选：D．3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【详解】由正弦定理，得，所以故选：C4．在平行四边形中，，则（）A．-5 B．-4 C．-3 D．-2【答案】A【详解】，，，，，，故选：A5．在中，，，的对边分别为，，，，则的形状一定是（）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【详解】因为，所以，所以即，所以，因为，所以，因为，所以，即是直角三角形.故选：B6．点M在边长为2的正三角形内（包括边界），满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为点M是正三角形内的一点（包括边界），所以，由.故选：B.7．已知是内一点，满足，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【详解】，所以是的重心，所以.故选：A.8．如图，圭表是中国古代通过测量日影长度来确定节令的仪器，也是作为指导汉族劳动人民农事活动的重要依据，它由“圭”和“表”两个部件组成，圭是南北方向水平放置测定表影长度的刻板，表是与圭垂直的杆，正午时太阳照在表上，通过测量此时表在圭上的影长来确定节令.已知冬至和夏至正午时，太阳光线与圭所在平面所成角分别为，，测得表影长之差为，那么表高为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图，设表高，在中，，由正弦定理有，所以，在直角三角形中，，即.故选：C多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求；全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错得0分。9．下列说法正确的有（）A．若，，则 B．若，，则C．若，则与的方向相同或相反 D．若、共线，则、、三点共线【答案】BD【详解】对于A选项，若，、均为非零向量，则，成立，但不一定成立，A错；对于B选项，若，，则，B对；对于C选项，若，，则的方向任意，C错；对于D选项，若、共线且、共点，则、、三点共线，D对.故选：BD.10．已知向量，，则下列选项正确的有（）A． B． C． D．【答案】AB【详解】向量，.对于A：，故A成立；对于B：.因为，所以.故B成立；对于C：因为，而，所以.故C不成立；对于D：.因为，对于不平行.故D不成立.故选：AB.11．已知D，E分别是的边BC，AB的中点，且AD，CE交于点O，则下列结论一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】BCD【详解】由题知，点O是的重心．如图，连接BO．对于A，当且仅当是等边三角形时，的重心与外心重合，此时满足，故A不一定成立；对于B，因为E为边AB的中点，且，所以，故B成立；对于C，，故C成立；对于D，，故D成立．故选：BCD．12．下列结论正确的是（）A．在中，若，则B．在锐角三角形中，不等式恒成立C．在中，若，则是直角三角形D．在中，若，三角形面积，则三角形的外接圆半径为【答案】ABC【详解】对于A，在中，由，利用正弦定理得，故A正确.对于B，由锐角三角形知，则，，故B正确.对于C，由，利用正弦定理得，即，故，即，则是直角三角形，故C正确.对于D，，解得，利用余弦定理知，所以，又因为，，故D错误.故选：ABC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．若向量满足，则_________.【答案】【详解】∵∴∴.故答案为：.14．设的内角所对边的长分别为.若，则则角_________.【答案】【详解】由正弦定理，所以；因为，所以，，所以.15．如图，在矩形中，，，垂足为，则______．【答案】【详解】由，可知从而，.16．在边长为2的正三角形中，D是的中点，，交于F．①若，则___________；②___________．【答案】【详解】如图，过E作交于M，由，得，，又D是的中点，得，，故，即，所以所以，故易知由已知得所以故答案为：，四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，其余各小题为12分，共70分。17．设向量，，.(1)求；(2)若，，求的值；(3)若，，，求证：A，，三点共线.【答案】(1)1(2)2(3)证明见解析(1)，；(2)，所以，解得：，所以；(3)因为，所以，所以A，，三点共线.18．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求角C；(2)若，且的面积为，求的周长．【答案】(1)(2)30(1)解：由正弦定理得，因为，所以，即，因为，所以．(2)解：由（1）得，，所以，所以，又，解得，，由余弦定理可得，所以，所以的周长为．19．在①(b－c)cosA=acosC，②sin(B+C)=－1+2sin2，③acosC=b－c，这三个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知______________．(1)求角A的大小；(2)若a=2，且△ABC的面积为2，求b+c．【答案】(1)(2)(1)选①∵∴sincos=sinCcos+sincosC=sin(+C)=sin∴cos∵∈,∴=选②∵sin()=−1+2sin2,∴sin=−cos∴sin(+A)=1∵A∈∴A=选③∵∴∴∵A∈,∴A=(2)∵,∴又∵∴即20．已知平行四边形ABCD中，，，.(1)用，表示；(2)若，，，如图建立直角坐标系，求和的坐标.【答案】(1)(2)，(1)，，又，所以所以(2)过点D作AB的垂线交AB于点，如图，于是在中，由可知，根据题意得各点坐标：，，，，，，所以所以，，,21．如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C和D．现测得米，在点C测得塔顶A的仰角为，(1)求的面积；(2)求塔高．【答案】(1)平方米；(2)米.(1)在中，因，则，由正弦定理得：，，则，所以的面积是平方米.(2)依题意，平面BCD，而平面BCD，则有，在中，，由得：，所以塔高是米.22．在四边形ABCD中，已知，，．(1)求四边形ABCD的面积；(2)求的值．【答案】(1)；(2).(1)，，，可得，，则，，，，故，又，，故，∴四边形ABCD的面积.(2)在△中，，，．第七章复数综合测试卷A卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1．若，其中a，，是虚数单位，则（）A． B． C． D．【答案】B【详解】，所以，得.故选：B2．若复数z满足（i为虚数单位），为z的共轭复数，则（）A． B．1 C． D．2【答案】C【详解】令且，则，所以，故，所以.故选：C3．若复数满足，则复平面内表示的点位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【详解】由题意，复数满足，可得，所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限.故选：A.4．已知复数，则下列结论正确的是（）A．的虚部为i B．C．的共轭复数 D．为纯虚数【答案】D【详解】解：∵，∴z的虚部为1，为纯虚数，，∴正确的结论是D．故选：D．5．据记载，欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，将数学中五个重要的数（自然对数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位和零元）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”.根据欧拉公式，复数的虚部（）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意，得，则复数的虚部为.故选：D.6．在复平面内，满足(z－2)i＝1＋i的复数z对应的点为Z，则||＝（）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，故可得，则,故.故选：.7．已知，且为虚数单位，则的最大值是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】根据复数的几何意义，可知中对应点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.表示圆C上的点到的距离，的最大值是，故选B8．设复数在复平面上对应向量，将向量绕原点O按顺时针方向旋转后得到向量，对应复数，则（）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，设，，，则，，即，，，故.故选：A.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求；全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错得0分。9．已知复数（其中i是虚数单位），则下列命题中正确的为（）A． B．z的虚部是4C．是纯虚数 D．z在复平面上对应点在第四象限【答案】AD【详解】复数，则，故A正确；的虚部是，故B错误；，是实数，故C错误；z在复平面上对应点的坐标为，在第四象限，故D正确.故选：AD10．若复数满足，则（）A． B．C． D．【答案】AC【详解】因为，所以，则，，，故选：AC11．已知复数，若为实数，则（）A． B．C．为纯虚数 D．对应的点位于第二象限【答案】AC【详解】因为，所以，因为为实数，所以，解得，所以A正确，，所以，所以B错误，为纯虚数，所以C正确，，其在复平面内对应的点在第一象限，所以D错误，故选：AC12．已知复数，是的共轭复数，则下列结论正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】ABC【详解】对于A：若，则，故，所以A正确；对于B：若，则，所以B正确；对于C：设，则，故，所以C正确；对于D：如下图所示，若，，则，，故，所以D错误.故选：ABC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．在复平面内，复数对应的点为，则点的坐标为________．【答案】(1,1)【详解】∵，∴.故答案为：(1,1).14．复数，则_________．【答案】1【详解】,故故答案为：115．i为虚数单位，复数______．【答案】【详解】故答案为：.16．（1）设复数(其中i为虚数单位)，则z的虚部是___________.（2）已知复数z满足，则的取值范围为___________.(其中i为虚数单位)【答案】1【详解】（1），则z的虚部是1；（2）由复数z满足，复数z在复平面内的几何意义为以原点为圆心，半径为1的圆，则的几何意义为圆上的点到的距离，则其最小值为圆心到的距离减去半径即，最大值为圆心到的距离加上半径即，则的取值范围为.故答案为：1；四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，其余各小题为12分，共70分。17．已知z为复数，和均为实数，其中i是虚数单位．(1)求复数；(2)若复数对应的点在第四象限，求m的取值范围．【答案】(1)；(2)或(1)设，则，，因为和均为实数，所以，解得，所以，则；(2)，因为对应的点在第四象限，所以，解得或.18．已知复数，其中i是虚数单位，m为实数．(1)当复数z为纯虚数时，求m的值；(2)当复数在复平面内对应的点位于第三象限时，求m的取值范围．【答案】(1)4(2)因为为纯虚数,所以解得或，且且综上可得,当为纯虚数时;(2)因为在复平面内对应的点位于第三象限,解得或，且即,故的取值范围为.19．已知复数．(1)求及；(2)当复数z满足，求的最大值．【答案】(1)，(2)解：，将化为三角形式，得，∴，．(2)解：由于复数z满足，设，则，，当时，取得最大值．所以的最大值为．20．已知复数，（，是虚数单位）.（1）若的实部与的模相等，求实数的值；（2）若复数在复平面上的对应点在第四象限，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【详解】（1）依题意，，因为的实部与的模相等，则，整理得，解得或，所以或；（2）因，而在复平面上对应点在第四象限，于是得，解得，所以实数的取值范围是.21．若，，（为实数），为虚数单位.（1）求复数；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）设，则，，即，所以，解得，；（2），，，，故的取值范围是.22．已知，，，是复平面上的四个点，其中，，且向量，对应的复数分别为，．（1）若，求，；（2）若，对应的点在复平面内的第二象限，求．【答案】（1），；（2）．【详解】解：（1）由题意可知，所以．，所以．又，所以所以所以，．（2）由已知可得，，，所以，又，所以，解得或（舍），又对应的点在第二象限，所以，可得，，，可得．第八章立体几何初步综合测试卷A卷一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）1．如图，正方形的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为（）A．4 B．6 C．8 D．【答案】C【解析】直观图如图所示：由图知：原图形的周长为,故选：C2．下列命题正确的是（）A．棱柱的每个面都是平行四边形 B．一个棱柱至少有五个面C．棱柱有且只有两个面互相平行 D．棱柱的侧面都是矩形【答案】B【解析】对于A，棱柱的上下底面可以是三角形或者是梯形，故A不正确；对于B，面最少的就是三棱柱，共有五个面，B正确；对于C，长方体是棱柱，但是上下、左右、前后都是互相平行的，C不正确；对于D，斜棱柱的侧面可以不是矩形，D错误.3．如图是一个正方体的表面展开图，则图中“0”在正方体中所在的面的对面上的是（）A．2 B．1 C．高 D．考【答案】C【解析】将展开图还原成正方体可知，“0”在正方体中所在的面的对面上的是“高”，故选:C.4．已知两个平面相互垂直，下列命题：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】构造正方体，如图，①在正方体中，平面平面，平面，平面，但与不垂直，故①错；②在正方体中，平面平面，可知平面，是平面内任意一条直线，与平面内和平行的所有直线垂直，故②正确；③在正方体中，平面平面，平面，但与平面不垂直，故③错；④在正方体中，平面平面，且平面平面，过交线上的任一点作交线的垂线，则可能与平面垂直，也可能与平面不垂直，故④错．故选：C．5．在正方体中，是正方形的中心，则直线与直线所成角大小为（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【解析】设正方体的棱长为，连接，，，因为，故或其补角为直线与直线所成角.而，，，故，所以，所以，因为为锐角，故，故选：A.6．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，若过直线的平面截圆锥所得的截面是面积为4的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设圆锥的母线长为，则，得，即母线长为，设圆锥的底面半径为，，解得，即圆锥底面圆的半径为2，圆锥的侧面积为.故选：A.7．如图，在正方体中，点为线段上一动点，则下列说法错误的是（）A．直线平面B．异面直线与所成角为C．三棱锥的体积为定值D．平面与底面的交线平行于【答案】B【解析】连接，，，，平面，则，同理，，直线平面，故A正确；，，四边形为平行四边形，则，则为异面直线与所成角，又，则，即异面直线与所成角为，故B错误；，平面，平面，平面．可得到平面的距离为定值，即三棱锥的体积为定值，故C正确；平面，平面，设平面与底面的交线为，由直线与平面平行的性质，可得平面与底面的交线平行于，故D正确．故选：B．8．已知图1是棱长为1的正六边形，将其沿直线折叠成如图2的空间图形，其中，则空间几何体的体积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，过作，垂足为，连接，则，过作，垂足为，连接，则，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，所以平面平面，即三棱柱为直三棱柱.∵，，所以，，同理求得，，又，∴，∴空间几何体的体积为：.故选：C.二、多选题（每题至少有2个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）9．下列命题中，错误的结论有（）A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行【答案】AC【解析】对于选项A：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故选项A错误；对于选项B：由等角定理可知B正确；对于选项C：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，这两个角的关系不确定，既可能相等也可能互补，也可能既不相等，也不互补.反例如图，在立方体中，与满足，，但是，，二者不相等也不互补.故选项C错误；对于选项D：如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，故选项D正确.故选：AC.10．如图，已知正方体，分别为和的中点，则下列四种说法中正确的是（）A．B．C．与所成的角为D．与为异面直线【答案】BCD【解析】对于A，平面，，，平面，与是异面直线，A错误；对于B，，，，平面，平面，又平面，，B正确；对于C，，即为异面直线与所成的角，，为等边三角形，，C正确；对于D，，平面，，平面，与为异面直线，D正确.故选：BCD.11．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）A．与平行 B．与垂直C．与是异面直线 D．与成角【答案】BD【解析】如图，展开图翻折成的正方体，与分别在正方体平行的两个侧面上，而由与平行且相等得是平行四边形，因此有，与相交，因此与是异面直线，A错；同理，，因此，B正确，C错；或其补角是与所成的角，是等边三角形，，所以与所成的角是，D正确．故选：BD．12．如图1，E，F分别为等腰梯形底边AB，CD的中点，，将四边形EFCB沿EF进行折叠，使BC到达位置，连接，，如图2，使得，则（）A．平面B．平面平面C．与平面AEFD所成角的正切值为D．多面体的体积为【答案】ABC【解析】因为，，，所以平面，A正确.因为，且平面，平面，平面，同理平面，又，所以平面平面，B正确.如图，，延长，EF，BC相交于点H，过作于点G.连接GH.因为平面，所以，，则平面AEFD，故为与平面ABCD所成的角.因为，所以，所以.在中，，，可得，，则，所以，C正确.延长AD交于点H，易证多面体为三棱台，，，，多面体的体积，D错误.故选：ABC三、填空题（每题5分，共20分）13．已知直线m，n，平面α，β，若，，，则直线m与n的关系是___________【答案】平行或异面【解析】由题意，，，故直线m与n没有交点故直线m与n平行或异面故答案为：平行或异面14．已知圆柱的轴截面是正方形，若圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积之比为________．【答案】3∶2【解析】设球的半径为R，由题意得圆柱的底面半径为R，高为2R，∴圆柱的表面积为：S1＝2πR×2R＋2πR2＝6πR2，球的表面积为：S2＝4πR2，所以圆柱的表面积与球的表面积之比为：，故答案为：3∶215．在正三棱锥中，，点是的中点，若，则该三棱锥外接球的表面积为___________.【答案】【解析】设的中心为，连接，，∴平面，面，∴，又，，∴平面，平面，∴，又，，∴平面.平面，，∵为正三棱锥，∴，，两两垂直，，故外接球直径为，故三棱锥外接球的表面积为.故答案为：.16．如图，是边长为1的正方形，是四分之一圆弧，则图中阴影部分绕轴旋转一周得到的旋转体的表面积为________________.【答案】【解析】几何体是一个圆柱挖去一个半球后剩余的部分，且圆柱的底面半径是1，高是1，球的半径是1，所以圆柱的体积是，半球的体积是，因此所求几何体的体积为，故答案为：.四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．如图所示，在三棱柱ABC­中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点，求证：（1）B，C，H，G四点共面；（2）E∥平面BCHG.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；【解析】（1）∵G，H分别是，的中点，∴，而，∴，即B，C，H，G四点共面.（2）∵E，G分别是AB，的中点，∴平行且相等，所以四边形为平行四边形，即，又面，面，∴面，18．如图，在正方体中，、分别是AB、AA1的中点.（1）证明：四边形EFD1C是梯形；（2）求异面直线EF与BC1所成角.【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】（1）证明：连接，因为、分别是AB、AA1的中点，所以∥，，因为在正方体中，∥，，所以四边形为平行四边形，所以∥，，所以∥，，所以四边形EFD1C是梯形；（2）连接，由（1）得∥，所以异面直线EF与BC1所成角，因为为等边三角形，所以，所以异面直线EF与BC1所成角为19．如图所示的一块四棱柱木料，底面是梯形，且.（1）要经过面内的一点和侧棱将木料锯开，应怎样画线？（2）所画的线之间有什么位置关系？【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析【解析】（1）如图所示，连接并延长交于，过作交于，连接，则就是应画的线.（2）由，即.∴与确定一个平面，又面面面，面，∴，显然都与相交.20点E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，点M在边AB上，且，沿图1中的虚线DE，EF，FD将，折起使A，B，C三点重合，重合后的点记为点P，如图2.（1）证明：；（2）若正方形ABCD的边长为6，求点M到平面DEF的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）因为是正方形，所以折起后有，.又交于点，所以平面.又平面，所以.（2）设点到平面的距离为，因为AB=3AM，所以PE=3ME，所以点M到平面DEF的距离为.又两两垂直，所以平面.因为，，所以.而，所以，解得，所以点到平面的距离为.21．如图，在四棱锥中，是等边三角形，平面且为中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）如图所示：取边的中点E，连，则三角形中位线可知：且，由题可知：且，且，即四边形为平行四边形，又平面平面，故平面；（2）取边的中点G，则，且，直线与平面所成角即为与平面所成角，又，且易得,所以由等体积法，，得，与平面所成角的正弦值为，故直线与平面所成角的正弦值为．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用等体积法求出点到平面的距离.22．如图，直三棱柱中，，，分别为上的点，且（1）当为的中点时，求证：；（2）当在线段上运动时（不含端点），求三棱锥体积的最小值.【答案】（1）见解析；（2）当，取得最小值，最小值为18.【解析】（1）证明：因为D为的中点，，所以为的中点.因为三棱柱为直三棱柱，，所以四边形为正方形，所以.因为，D为的中点，所以.因为平面平面，且平面平面，所以平面，又平面，所以.因为，所以平面，又平面，所以.（2）解：设，则，，．由已知可得到面距离即为的边所对应的高．当时，有最小值为18．第九章统计综合测试卷A卷单选题（每小题5分，共40分）1．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150，120，180，150个销售点．公司为了调查产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本．记这项调查为①；在丙地区有20个大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是()A．分层抽样法，系统抽样法 B．分层抽样法，简单随机抽样法C．系统抽样法，分层抽样法 D．简单随机抽样法，分层抽样法【答案】B【解析】【分析】此题为抽样方法的选取问题．当总体中个体较少时宜采用简单随机抽样法；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较多时，宜采用系统抽样．【详解】依据题意，第①项调查中，总体中的个体差异较大，应采用分层抽样法；第②项调查总体中个体较少，应采用简单随机抽样法．

故选B．【点睛】本题考查随机抽样知识，属基本题型、基本概念的考查．2．某公司生产，，三种不同型号的轿车，产量之比依次为，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中种型号的轿车比种型号的轿车少8辆，则A．96 B．72 C．48 D．36【答案】B【分析】根据分层比例列式求解.【详解】由题意得选B.【点睛】本题考查分层抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.3．为客观了解上海市民家庭存书量，上海市统计局社情民意调查中心通过电话调查系统开展专项调查，成功访问了位市民，在这项调查中，总体、样本及样本的容量分别是A．总体是上海市民家庭总数量，样本是位市民家庭的存书量，样本的容量是B．总体是上海市民家庭的存书量，样本是位市民家庭的存书量，样本的容量是C．总体是上海市民家庭的存书量，样本是位市民，样本的容量是D．总体是上海市民家庭总数量，样本是位市民，样本的容量是【答案】B【分析】根据总体、样本及样本的容量的概念，得到答案.【详解】根据题目可知，总体是上海市民家庭的存书量，样本是位市民家庭的存书量，样本的容量是故选B项.【点睛】本题考查总体、样本及样本的容量的概念，属于简单题.4．为了解某校高一年级400名学生的身高情况，从中抽取了50名学生的身高进行统计分析，在这个问题中，样本是指（）A．400 B．50 C．400名学生的身高 D．50名学生的身高【答案】D【分析】直接利用样本的定义求解即可.【详解】本题研究的对象是某校高一年级名学生的身高情况，所以样本是名学生的身高，故选D.【点睛】本题考查的是确定样本，解此类题需要注意“考查对象实际应是表示事物某一特征的数据，而非考查的事物”，我们在区分总体、个体、样本、样本容量这四个概念时，首先找出考查的对象，本题中研究对象是：学生的身高.5．下列调查方式合适的是()A．为了了解炮弹的杀伤力,采用普查的方式B．为了了解全国中学生的睡眠状况,采用普查的方式C．为了了解人们保护水资源的意识,采用抽样调查的方式D．对载人航天器“神舟十号”零部件的检查,采用抽样调查的方式【答案】C【分析】调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．【详解】A、了解炮弹的杀伤力，有破坏性，故得用抽查方式，故本选项错误；B、了解全国中学生的睡眠状况，工作量大，得用抽查方式，故本选项错误；C、了为了了解人们保护水资源的意识，工作量大，得用抽查方式，故本选项正确；D、对载人航天器“神舟十号”零部件的检查十分重要，故进行普查检查，故本选项错误．故选C．【点睛】本题考查的是调查方法的选择；正确选择调查方式要根据全面调查的优缺点再结合实际情况去分析．6．已知统计某校1000名学生的某次数学水平测试成绩得到样本频率分布直方图如图所示，则直方图中实数a的值是A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由频率分布直方图的性质列方程，能求出a．【详解】由频率分布直方图的性质得：

，

解得．

故选A．【点睛】本题考查实数值的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近表示满意度越高.现随机抽取位北京市民，他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.则这组数据的分位数是（）A．7 B． C．8 D．【答案】C【分析】先计算分位数的位置，再求出这个数即可.【详解】由题意，这10个人的幸福指数已经从小到大排列，因为，所以这10个人的分位数是从小到大排列后第8个人的幸福指数，即8.故选：C【点睛】本题主要考查分位数的概念和计算，属于基础题.8．已知数据的平均数为，方差为，则，，…，的平均数和方差分别为（）A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【分析】根据平均数和方差的性质直接求解.【详解】因为数据的平均数为，方差为，所以，，…，的平均数和方差分别为和故选：B多选题（每小题5分，共20分）9．空气质量的指数是反映空气质量状况的指数，指数的值越小，表明空气质量越好．指数不超过，空气质量为“优”；指数大于且不超过，空气质量为“良”；指数大于，空气质量为“污染”．下图是某市2020年空气质量指数（）的月折线图．下列关于该市2020年空气质量的叙述中一定正确的是（）某市2020年空气质量指数（）月折线图A．全年的平均指数对应的空气质量等级为优或良B．每月都至少有一天空气质量为优C．2月，8月，9月和12月均出现污染天气D．空气质量为“污染”的天数最多的月份是2月份【答案】ABC【分析】根据空气质量指数（）的月折线图逐一判断即可.【详解】每月的平均指数都不超过，故全年的平均指数也不超过，对应的空气质量为优或良，故选项A正确；每月的指数最小值均不超过，故每月都至少有一天空气质量为优，选项B正确；2月，8月，9月和12月的指数最大值均大于，故至少有一天出现了污染天气，故选项C正确；2月，8月，9月，12月中空气质量为“污染”的天数不确定，故选项D不一定正确，故选：ABC10．(多选)已知100个数据的75百分位数是9.3，则下列说法不正确的是（）A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数【答案】ABD【分析】根据百分位的概念，即可判定，得到答案.【详解】因为为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位9.3，所以A、B不正确；C正确；D不正确.故选：ABD.11．某学校为了调查高二年级学生周末阅读时间情况，随机选取了名学生，绘制了如图所示频率分布直方图，则（）A．众数的估计值为B．中位数的估计值为C．平均数的估计值为D．样本中有名同学阅读时间不低于分钟【答案】ACD【分析】根据频率分布直方图估计各数据特征：频率最大的那组数据的中间值为估计众数，频率为0.5对应的点的值为估计中位数，各组数据中间值乘以频率相加可得估计平均值．求出不低于40分钟阅读时间的频率再乘以总体容量即可得所求人数．【详解】由频率分布直方图知的频率最大，因此众数估计值为35，A正确；由于的频率为，中位数是30，B错误；平均值估计为，C正确；不低于分钟的人数为，D正确．故选：ACD．12．已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图，则下列说法正确的是（）A．若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则B．若甲、乙两组数据的方差分别为，，则C．甲成绩的极差小于乙成绩的极差D．甲成绩比乙成绩稳定【答案】ACD【分析】根据折线图中的数据，结合平均数的求法、方差的求法及其意义、极差的概念，应用数形结合的方法即可判断各项的正误.【详解】由图知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学，其他次考试都高于乙同学，知，A正确；甲同学的成绩比乙同学稳定，故，所以B错误，D正确；极差为数据样本的最大值与最小值的差，甲成绩的极差小于乙成绩的极差，所以C正确.故选：ACD．三、填空题（每小题5分，共20分）13．某校有高一学生名，其中男生数与女生数之比为，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为的样本，若样本中男生比女生多人，则_______．【答案】【分析】依题意可得，解之即得解.【详解】依题意可得，解得.故答案为1320【点睛】本题主要考查分层抽样，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14．如图所示是一个样本容量为100的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其25%分位数为____________.【答案】10.5【分析】根据频率可判断25%分位数在内，列式即可求出.【详解】由图可知第一组的频率为，前两组的频率之和为，则可知其25%分位数在内，设为，则，解得.故答案为：10.5.15．已知某8个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个新数据5，此时这9个数据的方差为______．【答案】【分析】先求出这个数据的平均数为，此时这个数据的方差为，由此求出结果【详解】某个数据的平均数为，方差为，现又加入一个新数据，则这个数据的平均数为此时这个数据的方差为故答案为【点睛】本题主要考查了平均数和方差的计算公式，属于基础题．16．气象学意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均气温均不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地的日平均气温的记录数据（记录数据均为正整数）.甲地：5个数据的中位数是24，众数为22；乙地：5个数据的中位数是28，总体平均数为25；丙地：5个数据一个为32，总体平均数为26，方差为10.8．则由此判断进入夏季的地区是________．【答案】甲地、丙地【分析】根据数据的特点估计三地连续5日平均温度的记录数据，分析数据的可能性进行判断即可.【详解】甲地：因为众数为22，所以22至少出现两次，若有一天低于22则中位数不可能为24，所以甲地肯定进入夏季；乙地：如13,23,27,28,29满足中位数是27，总体均值为24，但不符合进入夏季的条件；丙地：5个数据中一个为32，总体平均数为26，方差为10.8，若有一个数据小于22，例如取21，此时方差超过10.8，不符合题意，故所有数据均大于22，丙地进入夏季.故答案为：甲地、丙地【点睛】本题考查平均数、中位数与众数的性质，属于基础题.四、解答题（第17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于”，根据直方图得到的估计值为.（1）求乙离子残留百分比直方图中的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.【答案】(1)，；(2)，.【分析】(1)由及频率和为1可解得和的值；(2)根据公式求平均数.【详解】(1)由题得，解得，由，解得.(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为，乙离子残留百分比的平均值为【点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.18．为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水.计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准(吨)，一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，1)，[1，2)，…，[8，9)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图,其中.（1）求直方图中的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数(每组数据用该组区间中点值作为代表)；（2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准(吨)，估计的值，并说明理由.【答案】（1），；4.07（2）35.2万；（3）【分析】（1）由频率之和为1以及列方程组求得的值，并由频率分布直方图中间值作为代表，计算出平均数；

（2）计算不低于2吨人数对应的频率，求出对应的人数；

（3）由频率分布直方图计算频率，可判断，再根据频率列出方程，求出的值.【详解】解：（1）由频率分布直方图可得，又，则，，该市居民用水的平均数估计为：；（2）由频率分布直方图可得，月均用水量不超过2吨的频率为：，则月均用水量不低于2吨的频率为：，所以全市40万居民中月均用水量不低于2吨的人数为：（万）；（3）由频率分布直方图知月均用水量不超过6吨的频率为：0.88，月均用水量不超过5吨的频率为0.73，则85%的居民每月的用水量不超过的标准（吨），，，解得，即标准为5.8吨.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，求平均数，计算频率，总体百分位数的估计，考查了数据处理能力和运算能力，属于中档题.19．某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．（1）求，，，；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．【答案】（1）；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备没有显著提高.【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.【详解】（1），，，.（2）依题意，，，，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备没有显著提高.20．某学校1800名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50个成绩作为样本，将测试结果按如下方式分成五组；第一组，第二组，…，第五组如图是按分组方法得到的频率分布直方图.（1）若成绩小于15秒认为良好，求该样本在这次百米测试中成绩良好的人数；（2）请根据频率分布直方图，求样本数据的众数､中位数､平均数和方差.【答案】（1）；（2）众数：，中位数：，平均数：，方差：.【分析】（1）先判断前两组属于良好，再按照频数=总数频率计算即得结果；（2）众数即为图形中最高图形的中间值，中位数则为频率和为0.5的位置，平均数取各组中间值乘以频率求和，方差根据公式计算即可.【详解】解：（1）第一组，第二组属于良好，则人数为：；（2）频率最大是第三组，故众数为：；由前三组频率依次为：可知中位数在第三组，设中位数为，则，可得；平均数为：；方差为：++.【点睛】结论点睛：频率分布直方图的相关公式以及数字特征的计算：①直方图中各个小长方形的面积之和为1；②直方图中纵轴表示频率除以组距，故每组样本中的频率为组距乘以小长方形的高，即矩形的面积；③直方图中每组样本的频数为频率乘以总数；④最高的小矩形底边中点横坐标即是众数；⑤中位数的左边和右边小长方形面积之和相等；⑥平均数是频率分布直方图的重心，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和；⑦方差等于每组中点的横坐标与平均值的差值的平方乘以每组的频率之和.21．某工厂生产销售了双皮鞋，其中各种尺码的销售量如下表所示：鞋的尺码销售量(双)（1）计算双鞋尺码的平均数、中位数、众数；（2）从实际出发，问题（1）中的三种统计特征量对指导生产有无意义？【答案】（1）平均数为，中位数为，众数为；（2）答案见解析.【分析】（1）根据表格中的数据可求得双鞋尺码的平均数、中位数、众数；（2）根据（1）中的平均数、中位数和众数分析可得出结论.【详解】（1）双皮鞋尺码的平均数为.又由于小于的销售量为（双），大于的销售量为（双），故处于正中间位置的两个数均为，从而中位数为.又共出现次，所以众数也为；（2）众数对厂家指导生产有实际意义，因为尺码为的鞋销量最好，厂家应多生产，而尺码为、的应少生产.22．随着社会的进步、科技的发展，人民对自己生活的环境要求越来越高，尤其是居住环境的环保和绿化受到每一位市民的关注，因此，年月日，生活垃圾分类制度入法，提倡每位居民做好垃圾分类储存、分类投放，方便工作人员依分类搬运，提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用.某市环卫局在、两个小区分别随机抽取户，进行生活垃圾分类调研工作，依据住户情况对近期一周（天）进行生活垃圾分类占用时间统计如下表：住户编号小区（分钟）小区（分钟）（1）分别计算、小区每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差；（2）如果两个小区住户均按照户计算，小区的垃圾也要按照垃圾分类搬运，市环卫局与两个小区物业及住户协商，初步实施下列方案：①小区方案：号召住户生活垃圾分类“从我做起”，为了利国利民，每位住户至少需要一名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，每位工作人员月工资按照元（按照天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？②小区方案：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，物业让专职人员进行生活垃圾分类，一位专职工作人员对生活垃圾分类的效果相当于位普通居民对生活垃圾分类效果，每位专职工作人员（每天工作小时）月工资按照元（按照天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？③市环卫局与两个小区物业及住户协商分别试行一个月，根据实施情况，试分析哪个方案惠民力度大，值得进行推广？【答案】（1）210分钟，215分钟；，；（2）①15元；②64元；③选择方案推广，有利于国民热爱劳动及素质的提升.【分析】（1）利用表格中数值，代入平均值和方差计算即可；（2）①计算小区一月至少需要名工作人员的费用和每位住户每月需要承担的费用即可；②由一位专职工人一天的工作时间按照小时作为计算标准，每月按照天作为计算标准，一位专职工作人员对生活垃圾分类效果相当于名普通居民对生活垃圾分类的效果，计算出小区一月需要专职工作人员数量即可；③根据以上的运算，分析可以得出结论.【详解】（1）（分钟），（分钟），，；（2）①按照方案，小区一月至少需要名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，其费用是元，每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为（元），②由（1）知，小区平均每位住户每周需要分钟进行垃圾分类，一月需要（分钟），小区一月平均需要分钟的时间用于生活垃圾分类，∵一位专职工人一天的工作时间按照小时作为计算标准，每月按照天作为计算标准，一位专职工作人员对生活垃圾分类效果相当于名普通居民对生活垃圾分类的效果，∴小区一月需要专职工作人员至少（名），则每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为（元），③根据上述计算可知，按照每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费来说，选择方案惠民力度大，但需要住户平时做好生活垃圾分类事项；如果对于高档小区的居民来说，可以选择方案，这只是方便个别高收入住户，综上，选择方案推广，有利于国民热爱劳动及素质的提升.【点评】本题文字较多，能够正确分析题意、理解题意是解决问题的关键，所以提醒同学们在备考过程中可以适当的做一些辅助阅读帮助提升此能力.第十章概率综合测试卷A卷单选题（每小题5分，共40分）1．每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选项正确的概率是，我每题都随机地选择其中一个选项，则一定有3道选择题结果正确.”这句话（）A．正确 B．错误C．不一定正确 D．以上都不对【答案】B【分析】根据概率的定义即可得出选项.【详解】虽然答对一道题的概率为，但实际问题中，并不意味着一定答对3道，可能全对，可能对3道，也可能全不对等.故选：B2．五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽.如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，则这个音序中不含宫和羽的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序的基本事件总数，其中这个音序中不含宫和羽的基本事件个数，然后由古典概率计算公式可得答案.【详解】解：中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽.从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，基本事件总数，其中这个音序中不含宫和羽的基本事件个数.则这个音序中不含宫和羽的概率为.故选：A.3．已知某运动员每次投篮命中的概率都为0．4．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮中至多两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示没有命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：907，966，191，925，271，932，312，458，569，683，431，257，393，025，556，488，730，113，537，920．据此估计，该运动员三次投篮中至多两次命中的概率为（）．A．0.25 B．0.35 C．0.85 D．0.90【答案】C【分析】由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮有三次全命中的有：312、431、113共3组随机数，根据概率公式，得到结果．【详解】解：由题意知，在20组随机数中表示三次投篮有三次全命中的有：312、431、113共3组随机数，则运动员三次投篮中至多两次命中的概率为，故选：．4．某班级的班委由包含甲､乙在内的5位同学组成，他们分成两个小组参加某项活动，其中一个小组有3位同学，另外一个小组有2位同学，则甲和乙不在同一个小组的概率为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用列举法求解即可【详解】这五位同学分别记为：甲､乙､､､，分组情况有：(甲乙，)､(甲乙，)､(甲乙，)､(甲，乙)､(甲，乙)､(甲，乙)､(乙，甲)､(乙，甲)､(乙，甲)､(，甲乙)，共种，其中甲和乙不在同一个组的有：(甲，乙)､(甲，乙)､(甲，乙)､(乙，甲).(乙，甲)､(乙，甲)，共6种，所以所求概率为.故选：B.5．人类通常有O，A，B，AB四种血型，某一血型的人能给哪些血型的人输血，是有严格规定的，输血法则可归结为4条：①X→X；②O→X；X→AB；④不满足上述3条法则的任何关系式都是错误的(其中X代表O，A，B，AB中某种血型，箭头左边表示供血者，右边表示受血者).已知我国O，A，B，AB四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，按照规则，若受血者为A型血，则一位供血者不能为这位受血者正确输血的概率为（）A．0.27 B．0.31 C．0.42 D．0.69【答案】B【分析】利用条件分析出不能为A型血供血者的血型即可得解.【详解】当受血者为A型血时，供血者可以为A型或O型，即B，AB两种血型不能为供血者，我国O，A，B，AB四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，所以一位供血者不能为这位受血者正确输血的概率为：P=24%+7%=31%=0.31.故选：B6．某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有（）①恰有一名男生和全是男生；②至少有一名男生和至少有一名女生；③至少有一名男生和全是男生；④至少有一名男生和全是女生.A．①③④ B．②③④ C．②③ D．①④【答案】D【分析】按互斥事件的概念逐个判断即可.【详解】由互斥事件的概念可知，①④中的两个事件是互斥事件，②③两个事件不是互斥事件.故选：D.【点睛】本题主要考查利用互斥事件的概念判断两个事件是否互斥，属基础题.7．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62% B．56%C．46% D．42%【答案】C【分析】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，然后根据积事件的概率公式可得结果.【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，则，，，所以所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为.故选：C.【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.8．甲、乙两个元件构成一串联电路，设=“甲元件故障”，=“乙元件故障”，则表示电路故障的事件为A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，可知串联电路中，甲元件故障或者乙元件故障，都会造成电路故障，根据并事件的定义，即可得出答案.【详解】解：由题意知，甲、乙两个元件构成一串联电路，=“甲元件故障”，=“乙元件故障”，根据串联电路可知，甲元件故障或者乙元件故障，都会造成电路故障，所以电路故障的事件为：.故选：A.【点睛】本题考查对并事件的理解，属于基础题.多选题（每小题5分，共20分）9．从1，2，3，4，5中随机选两个数，下列事件的概率为是（）A．两数之差绝对值为2 B．两数之差绝对值为1C．两数之和不小于6 D．两数之和不大于5【答案】BD【分析】首先求从1，2，3，4，5中随机选两个数，所包含的基本事件个数，再分别计算选项中的事件所包含的基本事件，再根据古典概型求概率.【详解】由1，2,3,4,5中5个数字随机选2个数字，包含的基本事件为（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共10个基本事件，其中两数之差绝对值为2的包含（1,3），（2,4），（3,5）共3个基本事件，所以两数之差绝对值为2的概率，故A不正确；两数之差绝对值为1包含（1,2），（2,3），（3,4），（4,5）共4个基本事件，所以两数之差绝对值为1的概率，故B正确；两数之和不小于6包含（1,5），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共6个基本事件，所以两数之和不小于6的概率，故C不正确；两数之和不大于5包含（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），共包含4个基本事件，所以两数之和不大于5的概率，故D正确.故选：BD【点睛】本题考查古典概型，重点考查列举法表示随机事件的个数，属于基础题型.10．中国篮球职业联赛（）中，某男篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如下表：投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件，投中三分球为事件，没投中为事件，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】求出各事件的概率，并结合对立事件的概率公式可判断出各选项的正误.【详解】由题意可知，，，事件与事件为对立事件，且事件、、互斥，，.故选：ABC.【点睛】本题考查事件的概率，涉及互斥事件和对立事件概率公式的应用，考查计算能力，属于基础题.11．已知是随机事件，则下列结论正确的是（）A．若是互斥事件，则B．若事件相互独立，则C．若是对立事件，则是互斥事件D．事件至少有一个发生的概率不小于恰好有一个发生的概率【答案】CD【分析】根据互斥事件加法公式、独立事件乘法公式、对立事件的定义即可求解.【详解】解：对于A，若是互斥事件，则，故A错误；对于B，若事件相互独立，则，故B错误；对于C，根据对立事件的定义，若是对立事件，则是互斥事件，故C正确；对于D，所有可能发生的情况有：只有A发生、只有B发生、AB都发生、AB都不发生四种情况，至少有一个发生包括：只有A发生、只有B发生、AB同时发生三种情况，故其概率是75%；而恰有一个发生很明显包括只有A发生或只有B发生两种情况，故其概率是50%，故事件至少有一个发生的概率不小于恰好有一个发生的概率，故D正确.故选：CD.12．甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（）A． B．事件B与事件相互独立 C．事件B与事件相互独立 D．，互斥【答案】AD【解析】【分析】根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数，由此求出，，，，再一一判断即可得出结论．【详解】解：根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数：因此，，，A正确；又，因此，B错误；同理，C错误；，不可能同时发生，故彼此互斥，故D正确，故选：AD．【点睛】本题主要考查相互独立事件，互斥事件，属于中档题．三、填空题（每小题5分，共20分）13．某班要选一名学生做代表，每个学生当选是等可能的，若“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”的概率的，则这个班的女生人数占全班人数的百分比是_____．【答案】75%【分析】设“选出代表是女生”的概率为,则“选出代表是男生”的概率为,则,进而求解即可.【详解】设“选出代表是女生”的概率为,则“选出代表是男生”的概率为,因为,所以,所以这个班的女生人数占全班人数的百分比为,故答案为:【点睛】本题考查概率性质以及对立事件概率,属于基础题.14．小明随机播放A，B，C，D，E五首歌曲中的两首，则A，B两首歌曲至少有一首被播放的概率是______．【答案】【解析】分析：先求出基本事件总数，A、B,2首歌曲至少有1首被播放的对立事件是A、B2首歌曲都没有被播放，由此能求出A、B,2首歌曲至少有1首被播放的概率．详解：小明随机播放A，B，C，D，E五首歌曲中的两首，基本事件总数，A、B2首歌曲都没有被播放的概率为：，故A，B两首歌曲至少有一首被播放的概率是1-，故答案为点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．15．从一堆产品正品与次品都多于2件中任取2件，观察正品件数和次品件数，则下列说法：“恰好有1件次品”和“恰好2件都是次品”是互斥事件“至少有1件正品”和“全是次品”是对立事件“至少有1件正品”和“至少有1件次品”是互斥事件但不是对立事件“至少有1件次品”和“全是正品”是互斥事件也是对立事件其中正确的有______填序号．【答案】【分析】运用不能同时发生的两个事件为互斥事件，如果两个事件为互斥事件，且其中必有一个发生，即为对立事件，对选项一一判断，即可得到正确结论．【详解】“恰好有1件次品”和“恰好2件都是次品”不能同时发生，是互斥事件，故正确；

“至少有1件正品”和“全是次品”，不能同时发生，是互斥事件也是对立事件，故正确；

“至少有1件正品”和“至少有1件次品”存在恰有一件正品和一件次品，

不是互斥事件但不是对立事件，故不正确；

“至少有1件次品”和“全是正品”不能同时发生，是互斥事件也是对立事件，正确．

故答案为．【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是互斥事件和对立事件的判断，考查判断和分析能力，属于基础题．16．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．【答案】0.18【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是综上所述，甲队以获胜的概率是【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．四、解答题（第17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响.（1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.【答案】（1）丙；（2）【分析】（1）分别计算三者获得合格证书的概率，比较大小即可（2）根据互斥事件的和,列出三人考试后恰有两人获得合格证书事件，由概率公式计算即可求解.【详解】（1）设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则，，.因为，所以丙获得合格证书的可能性最大.（2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则.【点睛】本题主要考查了相互独立事件，互斥事件，及其概率公式的应用，属于中档题.18．一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个小球，其中3个黑球，2个白球.如果不放回地依次取出2个球，回答下列问题：（1）第一次取出的是黑球的概率；（2）第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率.【答案】（1）（2）【分析】（1）利用古典概率的求解方法进行求解；（2）利用独立事件同时发生的概率公式求解.【详解】依题意，设事件表示“第一次取出的是黑球”，事件表示“第二次取出的是白球”.（1）黑球有3个，球的总数为5个，所以.（2）第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率为.【点睛】本题主要考查古典概率模型和独立事件的概率求解，题目较为简单，侧重考查数学运算的核心素养.19．高一军训时，某同学射击一次，命中10环，9环，8环的概率分别为0.13,0.28,0.31.(1)求射击一次，命中10环或9环的概率；(2)求射击一次，至少命中8环的概率；(3)求射击一次，命中环数小于9环的概率．【答案】（1）P(A10)＝0.13，P(A9)＝0.28，P(A8)＝0.31；（2）0.41；（3）0.59.【分析】（1）利用互斥事件概率的加法公式求解，即可得到答案；（2）利用互斥事件概率的加法公式，即可求解；（3）利用对立事件的概率计算公式，即可求解．【详解】设事件“射击一次，命中i环”为事件Ai(0≤i≤10，且i∈N)，且Ai两两互斥．由题意知P(A10)＝0.13，P(A9)＝0.28，P(A8)＝0.31.(1)记“射