人教B版高一数学必修第二册单元测试题含答案

人教B版高一数学必修第二册单元测试题含答案第四章指数函数、对数函数与幂函数第Ⅰ部分（选择题，共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．已知集合，，则集合（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为或；所以；所以.2．三个数，，的大小顺序是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：∵，，，∴.3．太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量大约是千克.地球是太阳系八大行星之一，其质量大约是千克.下列各数中与最接近的是（）（参考数据：，）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以.故.4．函数的图象大致是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，为偶函数，图像关于轴对称，当.5．已知函数若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，图象如图：方程有三个不同的实数根即为函数的图象与的图象有三个不同的交点，由图象可知：的取值范围为.6．某工厂生产一种溶液，按市场要求其杂质含量不得超过，而这种溶液最初的杂质含量为，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的最少过滤次数为（参考数据：，）（）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】C【解析】设经过n次过滤，产品达到市场要求，则，即，由，即，得，故选C．7．若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数满足对任意的实数都有，所以函数是上的增函数，则由指数函数与一次函数单调性可知应满足，解得，所以数的取值范围为，8．已知函数为一次函数，若，有，当时，函数的最大值与最小值之和是（）A．10 B．8 C．7 D．6【答案】D【解析】由题意，设一次函数，因为，可得，解得，所以，故的图象关于对称，又设，可得函数为单调递增函数，且，即，所以是奇函数，则，则，，所以即为的最大值与最小值之和6.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．下列结论中，正确的是（）A．函数是指数函数B．函数的值域是C．若，则D．函数的图像必过定点【答案】BD【解析】选项A.根据指数函数的定义，可得不是指数函数，故A不正确.选项B.当时，，故B正确.选项C.当时，函数单调递减，由，则，故C不正确.选项D.由，可得的图象恒过点，故D正确.10．下列四个函数中过相同定点的函数有（）A． B．C． D．【答案】AB【解析】对于，当时，，则过定点；对于，当时，，则过定点；对于，当时，，则过定点；对于，当时，，则过定点,故A，B中的函数过相同的定点.11．对于函数，说法正确的有（）A．对，都有B．函数有两个零点，且互为倒数C．，使得D．对，，都有【答案】BD【解析】，，由对数运算法则知，选项A错误；选项B中，，即或，互为倒数，故选项B正确；由的图像特征知，当时，，则，同理可证当时，，当时，，故选项C错误；如图，由于是上凸函数，故应为点对应纵坐标，应为点对应纵坐标，故，故选项D正确12．已知是定义在上的奇函数，且，当时，，关于函数，下列说法正确的是（）A．为偶函数 B．在上单调递增C．在[2016，2020]上恰有三个零点 D．的最大值为2【答案】AD【解析】函数的定义域为，且，所以为偶函数，故A正确．因为，所以的图象关于直线对称，又是奇函数，所以是周期为4的函数，其部分图象如下图所示．所以当时，，，当时，，单调递减，故B错误．在上零点的个数等价于在上零点的个数，而在上有无数个零点．故C错误．当时，易知的最大值为2，由偶函数的对称性可知，当时，的最大值也为2，所以在整个定义域上的最大值为2，第Ⅱ部分（选择题，共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．若，则______.【答案】1【解析】由，得，，则.14．已知函数，则____________．【答案】【解析】，，因此，.15．函数，的最小值为________.【答案】【解析】解：令，因为，所以，，令，由对勾函数的性质易知，在单调递减，即，所以函数在上的最小值为.16．已知函数.（1）的零点是______；（2）若的图象与直线有且只有三个公共点，则实数的取值范围是______.【答案】1和【解析】(1)由,当时,.当时,令有(2)画出的图象有因为过定点(0,−1),要使的图象与直线有且只有三个公共点,则,当时,函数的导数,函数在点(0,−1)处的切线斜率,此时直线和只有一个交点.当时,因为当时,,此时直线与的图象仍有三个交点.由图象知要使的图象与直线有且只有三个公共点,则满足,故答案为：(1).或(2).(0,2)解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题10分）化简求值：（1）；（2）.【解】（1）；（2）.18．（本小题12分）已知函数.（1）判断函数的奇偶性；（2）设，解不等式.【解】(1).函数的定义域为，∴是奇函数；（2）原不等式可化为，当时，，∴，∴，当时，，∴，∴，∴，故所求不等式的解集为.19．（本小题12分）已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图像上.（1）求实数的值；（2）解不等式；（3）有两个不等实根时，求的取值范围.【解】（1）函数的图像恒过定点A，A点的坐标为(2,2)又因为A点在上，则：（2）由题意知：而在定义域上单调递增，知，即∴不等式的解集为（3）由知：，方程有两个不等实根若令，有它们的函数图像有两个交点，如下图示由图像可知：，故b的取值范围为20．（本小题12分）已知是定义在上的奇函数，当时，，且.（1）若当时，求实数，，的值；（2）在（1）条件下，若关于的方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围.【解】（1）据题设分析知，.又当时，，，所以，所以，，.（2）据（1）求解知，当时.令，则，所以.又据为定义在上的奇函数，所以，所以.又，所以.又因为关于的方程有两个不同实数根，所以据函数的图象分析知，，即所求实数的取值范围是.21．（本小题12分）碳14是碳的一种具有放射性的同位素，它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法.在活的生物体内碳14的含量与自然界中碳14的含量一样且保持稳定，一旦生物死亡，碳14摄入停止，生物体内的碳14会按指数函数的规律衰减，大约经过5730年衰减为原来的一半，通过测定生物遗体内碳14的含量就可以测定该生物的死亡年代.设生物体内的碳14的含量为P，死亡年数为t.（1）试将P表示为t的函数；（2）不久前，科学家发现一块生物化石上的碳14的含量为自然界中碳14的含量的，请推算该生物死亡的年代距今多少年？（参考数据：）【解】（1）已知碳14含量与死亡年数成指数函数关系，设，由经过5730年衰减为原来的一半，可得，故碳14的含量P与死亡年数t的函数关系式为；（2），,所以推算该生物死亡的年代距今21010年.22．（本小题12分）已知函数是定义在R上的奇函数.（1）求a的值；（2）判断并证明函数的单调性，并利用结论解不等式：；（3）是否存在实数k，使得函数在区间上的取值范围是？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由.【解】（1）是定义在R上的奇函数，，从而得出，时，，；（2）是R上的增函数，证明如下：设任意，且，，，，，，，是在上是单调增函数.，又是定义在R上的奇函数且在上单调递增，，，；（3）假设存在实数k，使之满足题意，由（2）可得函数在上单调递增，，，n为方程的两个根，即方程有两个不等的实根，令，即方程有两个不等的正根，于是有且且，解得：.存在实数k，使得函数在上的取值范围是，并且实数k的取值范围是.第五章单元测试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．下列调查，比较适用普查而不适用抽样调查方式的是()A．为了了解中央电视台春节联欢晚会的收视率B．为了了解高一某班的每个学生星期六晚上的睡眠时间C．为了了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况D．为了考查一片实验田某种水稻的穗长情况2．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08B．07C．02D．013．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表所示：一年级二年级三年级女生373380y男生377370z现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为()A．24B．18C．16D．124．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的eq\f(2,5)，且样本容量为140，则中间一组的频数为()A．28B．40C．56D．605．从数字1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率是()A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)6．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是()A．甲的极差是29B．乙的众数是21C．甲罚球命中率比乙高D．甲的中位数是247．为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为()A．1B．8C．12D．188．某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，…，x10，其平均数和方差分别为eq\o(x,\s\up6(－))和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的平均数和方差分别为()A.eq\o(x,\s\up6(－))，s2＋1002B.eq\o(x,\s\up6(－))＋100，s2＋1002C.eq\o(x,\s\up6(－))，s2D.eq\o(x,\s\up6(－))＋100，s2二、多项选择题(本题共4小题，毎小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件E为“只订甲报纸”，事件F为“至少订一种报纸”，事件G为“至多订一种报纸”，事件H为“不订甲报纸”，事件I为“一种报纸也不订”．下列命题正确的是()A．E与G是互斥事件B．F与I是互斥事件，且是对立事件C．F与G不是互斥事件D．G与I是互斥事件10．某校举行篮球比赛，两队长小明和小张在总共6场比赛中得分情况如下表：场次123456小明得分30152333178小张得分22203110349则下列说法正确的是()A．小明得分的极差小于小张得分的极差B．小明得分的中位数小于小张得分的中位数C．小明得分的平均数大于小张得分的平均数D．小明的成绩比小张的稳定11．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中正确的是()A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半12．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各项中，一定符合上述指标的是()A．平均数eq\o(x,\s\up6(－))≤3B．标准差s≤2C．平均数eq\o(x,\s\up6(－))≤3且极差小于或等于2D．众数等于1且极差小于或等于4第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．某次能力测试中，10人的成绩统计如表，则这10人成绩的平均数为________，20%分位数为________．(本题第一空2分，第二空3分)分数54321人数(单位：人)3121314.我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．15．从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是________．16．某工厂生产A，B两种元件，现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：A777.599.5B6x8.58.5y由于表格被污损，数据x，y看不清，统计员只记得A，B两种元件的检测数据的平均数相等，方差也相等，则xy＝________.四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量如下表所示：天数1112212用水量/吨22384041445095(1)在这10天中，该公司用水量的平均数是多少？(2)在这10天中，该公司每天用水量的中位数是多少？(3)你认为应该用平均数和中位数中哪一个数来描述该公司每天的用水量？18．(12分)青海玉树发生地震后，为了重建，对某项工程进行竞标，现共有6家企业参与竞标，其中A企业来自辽宁省，B，C两家企业来自山东省，D，E，F三家企业来自河南省，此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同．(1)列举所有企业的中标情况．(2)在中标的企业中，至少有一家来自山东省的概率是多少？19．(12分)为了了解小学生的体能情况，抽取了某校一个年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将取得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)．已知图中从左到右前三个小组频率分别为0.1，0.3，0.4，第一小组的频数为5.(1)求第四小组的频率；(2)参加这次测试的学生有多少人；(3)若次数在75次以上(含75次)为达标，试估计该年级学生跳绳测试的达标率是多少．20．(12分)市体校准备挑选一名跳高运动员参加全市中学生运动会，对跳高运动队的甲、乙两名运动员进行了8次选拔比赛．他们的成绩(单位：m)如下：甲：1.701.651.681.691.721.731.681.67乙：1.601.731.721.611.621.711.701.75(1)甲、乙两名运动员的跳高平均成绩分别是多少？(2)哪位运动员的成绩更为稳定？(3)若预测跳过1.65m就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪名运动员参赛？若预测跳过1.70m才能得冠军呢？21．(12分)计算机考试分理论考试与实际操作两部分进行．每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书，甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为eq\f(4,5)，eq\f(3,4)，eq\f(2,3)，在实际操作考试中“合格”的概率依次为eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，eq\f(5,6)，所有考试是否合格相互之间没有影响．(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性大？(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率．22．(12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)，试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0．61.22.71.52.81.82.22.33.23.52．52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3．21.71.90.80.92.41.22.61.31.41．60.51.80.62.11.12.51.22.70.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面的茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？第五章单元测试卷1．解析：A选项做普查时数量太大，且该调查对调查结果准确性的要求不高，适合采用抽样调查的方式；B选项班级人数有限，比较容易调查因而适合普查；C选项数量大并且耗时长，不适合普查；D选项普查时数量太大，要费太大的人力、物力，得不偿失，不适合普查．故选B.答案：B2．解析：从左到右符合题意的5个个体的编号分别为08,02,14,07,01，故第5个个体的编号为01.答案：D3．解析：一年级的学生人数为373＋377＝750，二年级的学生人数为380＋370＝750，于是三年级的学生人数为2000－750－750＝500，那么三年级应抽取的人数为500×eq\f(64,2000)＝16.故选C.答案：C4．解析：设中间一组的频数为x，则其他8组的频数和为eq\f(5,2)x，所以x＋eq\f(5,2)x＝140，解得x＝40.答案：B5．解析：样本点的总数为20，而大于40的基本事件数为8个，所以P＝eq\f(8,20)＝eq\f(2,5).答案：B6．解析：甲的极差是37－8＝29；乙的众数显然是21；甲的平均数显然高于乙，即C成立；甲的中位数应该是23.答案：D7．解析：由图知，样本总数为N＝eq\f(20,0.16＋0.24)＝50.设第三组中有疗效的人数为x，则eq\f(6＋x,50)＝0.36，解得x＝12.答案：C8．解析：方法一由对平均数和方差的统计意义的理解可巧解：因为每个数据都加上100，故平均数也增加100，而离散程度应保持不变．方法二由题意知x1＋x2＋…＋x10＝10eq\o(x,\s\up6(－))，s2＝eq\f(1,10)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(x10－eq\o(x,\s\up6(－)))2]，则所求平均数eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)[(x1＋100)＋(x2＋100)＋…＋(x10＋100)]＝eq\f(1,10)(10eq\o(x,\s\up6(－))＋10×100)＝eq\o(x,\s\up6(－))＋100.而所求方差t2＝eq\f(1,10)[(x1＋100－eq\o(y,\s\up6(－)))2＋(x2＋100－eq\o(y,\s\up6(－)))2＋…＋(x10＋100－eq\o(y,\s\up6(－)))2]＝eq\f(1,10)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(x10－eq\o(x,\s\up6(－)))2]＝s2.答案：D9．解析：A.E与G不是互斥事件；B.F与I是互斥事件，且是对立事件；C.F与G不是互斥事件；D.G与I不是互斥事件．故选BC.答案：BC10．解析：对A,小明得分的极差为33－8＝25，小张得分的极差为34－9＝25.故A错误．对B,小明得分的中位数为eq\f(17＋23,2)＝20.小张得分的中位数为eq\f(20＋22,2)＝21.故B正确．对C,小明得分的平均数为eq\f(30＋15＋23＋33＋17＋8,6)＝21.小张得分的平均数为eq\f(22＋20＋31＋10＋34＋9,6)＝21.故C错误．对D，计算可得小明和小张平均分相等，但小明分数相对集中，更稳定，故D正确．答案：BD11．解析：设新农村建设前，农村的经济收入为a，则新农村建设后，农村经济收入为2a.新农村建设前后，各项收入的对比如下表：新农村建设前新农村建设后新农村建设后变化情况结论种植收入60%a37%×2a＝74%a增加A错其他收入4%a5%×2a＝10%a增加一倍以上B对养殖收入30%a30%×2a＝60%a增加了一倍C对养殖收入＋第三产业收入(30%＋6%)a＝36%a(30%＋28%)×2a＝116%a超过经济收入2a的一半D对故选BCD.答案：BCD12．解析：A中平均数eq\o(x,\s\up6(－))≤3，可能是第一天0人，第二天6人，不符合题意；B中每天感染的人数均为10，标准差也是0，显然不符合题意；C符合，若极差等于0或1，在eq\o(x,\s\up6(－))≤3的条件下，显然符合指标；若极差等于2且eq\o(x,\s\up6(－))≤3，则每天新增感染人数的最小值与最大值有下列可能：(1)0,2，(2)1,3，(3)2,4，符合指标．D符合，若众数等于1且极差小于或等于4，则最大值不超过5，符合指标．故选CD.答案：CD13．解析：这10人成绩的平均数为eq\f(1,10)×(5×3＋4×1＋3×2＋2×1＋1×3)＝eq\f(1,10)×(15＋4＋6＋2＋3)＝eq\f(1,10)×30＝3.因为10×20%＝2，所以这10人成绩的20%分位数为eq\f(1＋1,2)＝1.答案：3114．解析：由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为10×0.97＋20×0.98＋10×0.99＝39.2，其中高铁个数为10＋20＋10＝40，所以该站所有高铁平均正点率约为eq\f(39.2,40)＝0.98.答案：0.9815．解析：从6个数中任取2个数的可能情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种，其中和为偶数的情况有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,6)，共6种，所以所求的概率为eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)16．解析：因为eq\o(x,\s\up6(－))A＝eq\f(1,5)×(7＋7＋7.5＋9＋9.5)＝8，eq\o(x,\s\up6(－))B＝eq\f(1,5)×(6＋x＋8.5＋8.5＋y)，由eq\o(x,\s\up6(－))A＝eq\o(x,\s\up6(－))B，得x＋y＝17.①因为seq\o\al(2,A)＝eq\f(1,5)×(1＋1＋0.25＋1＋2.25)＝1.1，seq\o\al(2,B)＝eq\f(1,5)×[4＋(8－x)2＋0.25＋0.25＋(8－y)2]，由seq\o\al(2,A)＝seq\o\al(2,B)，得x2＋y2＝145.②由①②可得(x＋y)2＝145＋2xy＝289，解得xy＝72.答案：7217．解析：(1)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)×(22＋38＋40＋2×41＋2×44＋50＋2×95)＝51.(2)中位数为eq\f(41＋44,2)＝42.5.(3)平均数受数据中的极端值(2个95)影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下，故用中位数描述公司每天的用水量更合适．18．解析：(1)所有企业的中标情况为：AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF.共15种．(2)在中标的企业中，至少有一家来自山东省的情况有：AB，AC，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，共9种，在中标的企业中，至少有一家来自山东省的概率是P＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).19．解析：(1)由累积频率为1知，第四小组的频率为1－0.1－0.3－0.4＝0.2.(2)设参加这次测试的学生有x人，则0.1x＝5，所以x＝50.即参加这次测试的学生有50人．(3)达标率为0.3＋0.4＋0.2＝90%，所以估计该年级学生跳绳测试的达标率为90%.20．解析：(1)甲的平均成绩为：(1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋1.68＋1.67)÷8＝1.69m，乙的平均成绩为：(1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋1.75)÷8＝1.68m；(2)根据方差公式可得：甲的方差为0.0006，乙的方差为0.00315∵0.0006＜0.00315∴甲的成绩更为稳定；(3)若跳过1.65m就很可能获得冠军，甲成绩均过1.65米，乙3次未过1.65米，因此选甲；若预测跳过1.70m才能得冠军，甲成绩过1.70米3次，乙过1.70米5次，因此选乙．21．解析：(1)记“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则P(A)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,2)，P(C)＝eq\f(2,3)×eq\f(5,6)＝eq\f(5,9).因为P(C)＞P(B)＞P(A)．所以丙获得合格证书的可能性大．(2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则P(D)＝P(ABeq\o(C,\s\up6(－)))＋P(Aeq\o(B,\s\up6(－))C)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))BC)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,2)×eq\f(4,9)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,2)×eq\f(5,9)＋eq\f(3,5)×eq\f(1,2)×eq\f(5,9)＝eq\f(11,30).22．解析：(1)设A药观测数据的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，B药观测数据的平均数为eq\o(y,\s\up6(－)).由观测结果可得，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,20)(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,20)(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得，eq\o(x,\s\up6(－))＞eq\o(y,\s\up6(－))，因此可以看出A药的疗效更好．(2)由观测结果可绘制茎叶图如图．从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有eq\f(7,10)的叶集中在茎“2.”，“3.”上，而B药疗效的试验结果有eq\f(7,10)的叶集中在茎“0.”，“1.”上，由此可看出A药的疗效更好．第六章一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量a，b是两个非零向量，eq\o(AO,\s\up7(→))，eq\o(BO,\s\up7(→))分别是与a，b同方向的单位向量，则以下各式正确的是()A．eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\o(BO,\s\up7(→)) B．eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\o(BO,\s\up7(→))或eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))C．eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→)) D．|eq\o(AO,\s\up7(→))|＝|eq\o(BO,\s\up7(→))|D[因为a与b方向关系不确定且a≠0，b≠0，又eq\o(AO,\s\up7(→))与a同方向，eq\o(BO,\s\up7(→))与b同方向，所以eq\o(AO,\s\up7(→))与eq\o(BO,\s\up7(→))方向关系不确定，所以A，B，C项均不对．又eq\o(AO,\s\up7(→))与eq\o(BO,\s\up7(→))均为单位向量，所以|eq\o(AO,\s\up7(→))|＝|eq\o(BO,\s\up7(→))|＝1．]2．已知点A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以ABCD为顶点的四边形是()A．梯形B．邻边不相等的平行四边形C．菱形D．两组对边均不平行的四边形B[因为eq\o(AD,\s\up7(→))＝(8,0)，eq\o(BC,\s\up7(→))＝(8,0)，所以eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))，因为eq\o(BA,\s\up7(→))＝(4，－3)，所以|eq\o(BA,\s\up7(→))|＝5，而|eq\o(BC,\s\up7(→))|＝8，故为邻边不相等的平行四边形．]3．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则|a＋b|等于()A．(0,6) B．6C．eq\r(6) D．(6，－2)B[因为|e1|＝|e2|＝1，e1与e2垂直，设e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，则a＝(3,2)，b＝(－3,4)．所以|a＋b|＝eq\r(3－32＋2＋42)＝6.]4．已知向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，那么2a－b＝()A．(4,0) B．(0,4)C．(4，－8) D．(－4,8)C[由a∥b知4＋2m＝0，∴m＝－2,2a－b＝(2，－4)－(－2,4)＝(4，－8)．故选C．]5．在重600N的物体上系两根绳子，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为()A．300eq\r(3)N,300eq\r(3)N B．150N,150NC．300eq\r(3)N,300N D．300N,300NC[如图，作矩形OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°，所以|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝|eq\o(OC,\s\up7(→))|cos30°＝300eq\r(3)N，|eq\o(AC,\s\up7(→))|＝|eq\o(OC,\s\up7(→))|sin30°＝300N，|eq\o(OB,\s\up7(→))|＝|eq\o(AC,\s\up7(→))|＝300N．故选C．]6．已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若a∥b，则()A．λ＝0 B．e2＝0C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0D[∵a∥b，∴存在实数k，使得a＝kb成立，∴e1＋λe2＝k·2e1，∵e1≠0，∴e1∥e2，或λ＝0，故选D．]7．如图，已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，设eq\o(AD,\s\up7(→))＝a，eq\o(BE,\s\up7(→))＝b，则eq\o(BC,\s\up7(→))等于()A．eq\f(4,3)a＋eq\f(2,3)bB．eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)bC．eq\f(2,3)a－eq\f(4,3)bD．－eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)bB[eq\o(BC,\s\up7(→))＝2eq\o(BD,\s\up7(→))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(BE,\s\up7(→))＋\f(1,3)\o(AD,\s\up7(→))))＝eq\f(4,3)eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)b.]8．设0≤θ＜2π，已知两个向量eq\o(OP1,\s\up7(→))＝(cosθ，sinθ)，eq\o(OP2,\s\up7(→))＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则向量eq\o(P1P2,\s\up7(→))长度的最大值是()A．eq\r(2) B．eq\r(3)C．3eq\r(2) D．2eq\r(3)C[∵eq\o(P1P2,\s\up7(→))＝eq\o(OP2,\s\up7(→))－eq\o(OP1,\s\up7(→))＝(2＋sinθ－cosθ，2－cosθ－sinθ)，∴|eq\o(P1P2,\s\up7(→))|＝eq\r(2＋sinθ－cosθ2＋2－cosθ－sinθ2)＝eq\r(10－8cosθ)≤3eq\r(2).]二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．9．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是()A．eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→)) B．eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))C．eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(BD,\s\up7(→)) D．eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))＝0ABD[在平行四边形ABCD中，根据向量的减法法则知eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(DB,\s\up7(→))，所以结论中错误的是C．A、B、D均正确．]10．已知点P为△ABC所在平面内一点，且eq\o(PA,\s\up7(→))＋2eq\o(PB,\s\up7(→))＋3eq\o(PC,\s\up7(→))＝0，如果E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论中正确的是()A．向量eq\o(PA,\s\up7(→))与eq\o(PC,\s\up7(→))可能平行B．向量eq\o(PA,\s\up7(→))与eq\o(PC,\s\up7(→))不可能垂直C．点P在线段EF上D．PE∶PF＝2∶1CD[由E为AC的中点，F为BC的中点，可得eq\o(PE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→)))，eq\o(PF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→)))，eq\o(PA,\s\up7(→))＋2eq\o(PB,\s\up7(→))＋3eq\o(PC,\s\up7(→))＝0，即(eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→)))＋2(eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→)))＝0，可得eq\o(PE,\s\up7(→))＋2eq\o(PF,\s\up7(→))＝0，可得P在线段EF上，且PE∶PF＝2∶1，向量eq\o(PA,\s\up7(→))与eq\o(PC,\s\up7(→))不可能平行，可能垂直，则CD正确．AB错误．]11．下列命题正确的是()A．若|a|＝|b|，则a＝bB．若A，B，C，D是不共线的四点，则“eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件C．若a＝b，b＝c，则a＝cD．若a∥b，b∥c，则a∥cBC[A不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．B正确，由eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))得|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(DC,\s\up7(→))|且eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(DC,\s\up7(→))，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(DC,\s\up7(→))且方向相同，且|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(DC,\s\up7(→))|.因此，eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→)).故“eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件．C正确，因为a＝b，所以a，b的长度相等且方向相同；又b＝c，则b，c的长度相等且方向相同，所以a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.D不正确，当b＝0时不成立．]12．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是()A．若eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))，则点M是边BC的中点B．若eq\o(AM,\s\up7(→))＝2eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))，则点M在边BC的延长线上C．若eq\o(AM,\s\up7(→))＝－eq\o(BM,\s\up7(→))－eq\o(CM,\s\up7(→))，则点M是△ABC的重心D．若eq\o(AM,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)，则△MBC的面积是△ABC面积的eq\f(1,2)ACD[若eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))，则点M是边BC的中点，故A正确；若eq\o(AM,\s\up7(→))＝2eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))，即有eq\o(AM,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))，即eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))，则点M在边CB的延长线上，故B错误；若eq\o(AM,\s\up7(→))＝－eq\o(BM,\s\up7(→))－eq\o(CM,\s\up7(→))，即eq\o(AM,\s\up7(→))＋eq\o(BM,\s\up7(→))＋eq\o(CM,\s\up7(→))＝0，则点M是△ABC的重心，故C正确；若eq\o(AM,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)，可得2eq\o(AM,\s\up7(→))＝2xeq\o(AB,\s\up7(→))＋2yeq\o(AC,\s\up7(→))，设eq\o(AN,\s\up7(→))＝2eq\o(AM,\s\up7(→))，由图可得M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的eq\f(1,2)，故D正确，故选ACD．]三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．13．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.－1[∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，∴a＋b＝(1，m－1)．∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)，∴2－(－1)·(m－1)＝0.∴m＝－1．]14．下列命题中正确命题的个数为________个．①在△ABC中，必有eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))＝0；②若eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；③若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．1[①真命题；②假命题，当A，B，C三点共线时，也可以有eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))＝0；③假命题，只有当a与b同向时才相等．]15．在直角坐标系xOy中，已知点A(3,3)，B(5,1)，P(2,1)，M是坐标平面内的一点．(1)若四边形APBM是平行四边形，则点M的坐标为________；(2)若eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))＝2eq\o(PM,\s\up7(→))，则点M的坐标为________．(本题第一空2分，第二空3分)(1)(6,3)(2)(4,2)[(1)设M(x，y)，则eq\o(AP,\s\up7(→))＝(－1，－2)，eq\o(MB,\s\up7(→))＝(5－x,1－y)．因为四边形APBM是平行四边形，所以eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(MB,\s\up7(→))，所以(－1，－2)＝(5－x,1－y)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－x＝－1，,1－y＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝3，))所以点M的坐标为(6,3)．(2)eq\o(PA,\s\up7(→))＝(1,2)，eq\o(PB,\s\up7(→))＝(3,0)，eq\o(PM,\s\up7(→))＝(x－2，y－1)，因为eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))＝2eq\o(PM,\s\up7(→))，所以(1,2)＋(3,0)＝2(x－2，y－1)，所以(4,2)＝(2(x－2)，2(y－1))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－2＝4，,2y－1＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝2，))所以点M的坐标为(4,2)．]16．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且eq\o(BC,\s\up7(→))＝3eq\o(CD,\s\up7(→))，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若eq\o(AO,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up7(→))，则x的取值范围是________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))[设eq\o(CO,\s\up7(→))＝yeq\o(BC,\s\up7(→))，∵eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CO,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋yeq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋y(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝－yeq\o(AB,\s\up7(→))＋(1＋y)eq\o(AC,\s\up7(→)).∵eq\o(BC,\s\up7(→))＝3eq\o(CD,\s\up7(→))，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，∴y∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，∵eq\o(AO,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up7(→))，∴x＝－y，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0)).]四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知P是△ABC内一点，且eq\o(AP,\s\up7(→))＋2eq\o(BP,\s\up7(→))＋3eq\o(CP,\s\up7(→))＝0，设Q为CP的延长线与AB的交点，令eq\o(CP,\s\up7(→))＝p，用p表示eq\o(CQ,\s\up7(→)).[解]∵eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AQ,\s\up7(→))＋eq\o(QP,\s\up7(→))，eq\o(BP,\s\up7(→))＝eq\o(BQ,\s\up7(→))＋eq\o(QP,\s\up7(→))，∴(eq\o(AQ,\s\up7(→))＋eq\o(QP,\s\up7(→)))＋2(eq\o(BQ,\s\up7(→))＋eq\o(QP,\s\up7(→)))＋3eq\o(CP,\s\up7(→))＝0，即eq\o(AQ,\s\up7(→))＋3eq\o(QP,\s\up7(→))＋2eq\o(BQ,\s\up7(→))＋3eq\o(CP,\s\up7(→))＝0.又∵A，Q，B三点共线，C，P，Q三点共线，∴设eq\o(AQ,\s\up7(→))＝λeq\o(BQ,\s\up7(→))，eq\o(CP,\s\up7(→))＝μeq\o(QP,\s\up7(→)).∴λeq\o(BQ,\s\up7(→))＋3eq\o(QP,\s\up7(→))＋2eq\o(BQ,\s\up7(→))＋3μeq\o(QP,\s\up7(→))＝0，∴(λ＋2)eq\o(BQ,\s\up7(→))＋(3＋3μ)eq\o(QP,\s\up7(→))＝0，又∵eq\o(BQ,\s\up7(→))，eq\o(QP,\s\up7(→))为不共线的向量，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋2＝0，,3＋3μ＝0.))解得λ＝－2，μ＝－1，∴eq\o(CP,\s\up7(→))＝－eq\o(QP,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))，故eq\o(CQ,\s\up7(→))＝eq\o(CP,\s\up7(→))＋eq\o(PQ,\s\up7(→))＝2eq\o(CP,\s\up7(→))＝2p.18．(本小题满分12分)如图，在△ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值．[解]设eq\o(BM,\s\up7(→))＝e1，eq\o(CN,\s\up7(→))＝e2，则eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CM,\s\up7(→))＝－3e2－e1，eq\o(BN,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CN,\s\up7(→))＝2e1＋e2.∵A，P，M和B，P，N分别共线，∴存在实数λ，μ，使得eq\o(AP,\s\up7(→))＝λeq\o(AM,\s\up7(→))＝－λe1－3λe2，eq\o(BP,\s\up7(→))＝μeq\o(BN,\s\up7(→))＝2μe1＋μe2.故eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\o(BP,\s\up7(→))－eq\o(AP,\s\up7(→))＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.而eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋2μ＝2，,3λ＋μ＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(4,5)，,μ＝\f(3,5).))∴eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AM,\s\up7(→))，∴AP∶PM＝4∶1．19．(本小题满分12分)设eq\o(OA,\s\up7(→))＝(2，－1)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(3,0)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(m,3)．(1)当m＝8时，将eq\o(OC,\s\up7(→))用eq\o(OA,\s\up7(→))和eq\o(OB,\s\up7(→))表示；(2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数m应满足的条件．[解](1)当m＝8时，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(8,3)，设eq\o(OC,\s\up7(→))＝λ1eq\o(OA,\s\up7(→))＋λ2eq\o(OB,\s\up7(→))，∴(8,3)＝λ1(2，－1)＋λ2(3,0)＝(2λ1＋3λ2，－λ1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ1＋3λ2＝8，,－λ1＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝－3，,λ2＝\f(14,3)，))∴eq\o(OC,\s\up7(→))＝－3eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(14,3)eq\o(OB,\s\up7(→)).(2)若A，B，C三点能构成三角形，则有eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(AC,\s\up7(→))不共线，又eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(3,0)－(2，－1)＝(1,1)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(m,3)－(2，－1)＝(m－2,4)，则有1×4－(m－2)×1≠0，∴m≠6.20．(本小题满分12分)设e1，e2是正交单位向量，如果eq\o(OA,\s\up7(→))＝2e1＋me2，eq\o(OB,\s\up7(→))＝ne1－e2，eq\o(OC,\s\up7(→))＝5e1－e2，若A，B，C三点在一条直线上，且m＝2n，求m，n的值．[解]以O为原点，e1，e2的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy(图略)，则eq\o(OA,\s\up7(→))＝(2，m)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(n，－1)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(5，－1)，所以eq\o(AC,\s\up7(→))＝(3，－1－m)，eq\o(BC,\s\up7(→))＝(5－n,0)，又因为A，B，C三点在一条直线上，所以eq\o(AC,\s\up7(→))∥eq\o(BC,\s\up7(→))，所以3×0－(－1－m)(5－n)＝0，与m＝2n构成方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mn－5m＋n－5＝0，,,m＝2n，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝10，,n＝5.))21．(本小题满分12分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，eq\o(AB,\s\up7(→))＝2e1＋e2，eq\o(BE,\s\up7(→))＝－e1＋λe2，eq\o(EC,\s\up7(→))＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线．(1)求实数λ的值；(2)若e1＝(2,1)，e2＝(2，－2)，求eq\o(BC,\s\up7(→))的坐标；(3)已知点D(3,5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．[解](1)eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2.因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得eq\o(AE,\s\up7(→))＝keq\o(EC,\s\up7(→))，即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2.因为e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋2k＝0，,λ＝k－1，))解得k＝－eq\f(1,2)，λ＝－eq\f(3,2).(2)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(EC,\s\up7(→))＝－3e1－eq\f(1,2)e2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．(3)因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→)).设A(x，y)，则eq\o(AD,\s\up7(→))＝(3－x,5－y)，因为eq\o(BC,\s\up7(→))＝(－7，－2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x＝－7，,5－y＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝10，,y＝7，))即点A的坐标为(10,7)．22．(本小题满分12分)平面内有四边形ABCD，eq\o(BC,\s\up7(→))＝2eq\o(AD,\s\up7(→))，且AB＝CD＝DA＝2，eq\o(AD,\s\up7(→))＝a，eq\o(BA,\s\up7(→))＝b，M是CD的中点．(1)试用a，b表示eq\o(BM,\s\up7(→))；(2)AB上有点P，PC和BM的交点Q，PQ∶QC＝1∶2，求AP∶PB和BQ∶QM.[解](1)eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋2eq\o(AD,\s\up7(→)))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b.(2)设eq\o(BP,\s\up7(→))＝teq\o(BA,\s\up7(→))，则eq\o(BQ,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CQ,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CP,\s\up7(→))＝2eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BP,\s\up7(→)))＝eq\f(2,3)teq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)(a＋tb)．设eq\o(BQ,\s\up7(→))＝λeq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\f(3λ,2)a＋eq\f(λ,2)b，由于eq\o(BA,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))不共线，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3λ,2)＝\f(2,3)，,\f(λ,2)＝\f(2,3)t，))解方程组，得λ＝eq\f(4,9)，t＝eq\f(1,3).故AP∶PB＝2∶1，BQ∶QM＝4∶5.综合测试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．计算lg4＋lg25＝()A．2 B．3C．4 D．10A[lg4＋lg25＝lg(4×25)＝lg100＝2.]2．下列等式中正确的是()A．eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→)) B．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＝0C．0·eq\o(AB,\s\up7(→))＝0 D．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))D[起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(BA,\s\up7(→))；eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(BA,\s\up7(→))是一对相反向量，它们的和应该为零向量，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＝0；0·eq\o(AB,\s\up7(→))＝0才对，故选D．]3．甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,5) D．eq\f(1,6)A[因为甲、乙两人参加学习小组的所有事件有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9个，其中两人参加同一个小组事件有(A，A)，(B，B)，(C，C)，共3个，所以两人参加同一个小组的概率为eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).选A．]4．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x＜0时，f(x)＝()A．e－x－1 B．e－x＋1C．－e－x－1 D．－e－x＋1D[当x<0时，－x>0，∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，∴f(－x)＝e－x－1．又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1．故选D．]5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若eq\o(AD,\s\up7(→))＝2eq\o(DB,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up7(→))＋λeq\o(CB,\s\up7(→))，则λ＝()A．eq\f(2,3) B．－eq\f(2,3)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,3)A[由题意知eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))，①eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))，②且eq\o(AD,\s\up7(→))＋2eq\o(BD,\s\up7(→))＝0.①＋②×2得3eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(CA,\s\up7(→))＋2eq\o(CB,\s\up7(→))，∴eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up7(→))，∴λ＝eq\f(2,3).]6．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A．eq\f(2,3) B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,5)B[设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).故选B．]7．质点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为()A．(－2,4) B．(－30,25)C．(10，－5) D．(5，－10)C[设(－10,10)为A，设5秒后P点的坐标为A1(x，y)，则eq\o(AA1,\s\up7(→))＝(x＋10，y－10)，由题意有eq\o(AA1,\s\up7(→))＝5v.即(x＋10，y－10)＝(20，－15)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋10＝20，,y－10＝－15))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝10，,y＝－5.))]8．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,1，x>0，))则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是()A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)C．(－1,0) D．(－∞，0)D[当x≤0时，函数f(x)＝2－x是减函数，则f(x)≥f(0)＝1．作出f(x)的大致图像如图所示，结合图像可知，要使f(x＋1)<f(2x)，则需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1<0，,2x<0，,2x<x＋1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,2x<0，))所以x<0，故选D．]二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．9．设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，则可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的向量组是()A．eq\o(AD,\s\up7(→))与eq\o(AB,\s\up7(→)) B．eq\o(DA,\s\up7(→))与eq\o(BC,\s\up7(→))C．eq\o(CA,\s\up7(→))与eq\o(DC,\s\up7(→)) D．eq\o(OD,\s\up7(→))与eq\o(OB,\s\up7(→))AC[平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图：对于A，eq\o(AD,\s\up7(→))与eq\o(AB,\s\up7(→))不共线，可作为基底；对于B，eq\o(DA,\s\up7(→))与eq\o(BC,\s\up7(→))为共线向量，不可作为基底；对于C，eq\o(CA,\s\up7(→))与eq\o(DC,\s\up7(→))是两个不共线的向量，可作为基底；对于D，eq\o(OD,\s\up7(→))与eq\o(OB,\s\up7(→))在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底．]10．对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2(x1≠x2)，当f(x)＝2－x时，下列结论中正确的是()A．f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)B．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)C．(x1－x2)[f(x1)－f(x2