人教B版高一数学必修第一册单元测试题含答案

人教B版高一数学必修第一册单元测试题含答案第一章综合测试一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0，1，2}，则下列关系正确的是()A．M＝NB．MNC．N⊆MD．NM2．设集合A＝{x|x2－9<0}，B＝{x|x∈N}，则A∩B中元素的个数为()A．0B．1C．2D．33．下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有()A．∃x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)<0B．所有的正方形都是矩形C．∃x∈R，x2＋2x＋2＞0D．至少有一个实数x，使x3＋1＝04．设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{1，2，5，6}B．{1}C．{2}D．{1，2，3，4}5．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数6．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2＋4x＋m＝0}，若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，3}B．{1，－3}C．{1，5}D．{1，－5}7．下列命题是存在量词命题的是()A．任何一个实数乘以0都等于0B．每一个矩形都是平行四边形C．所有的同位角都相等D．存在实数不小于38．已知集合A＝{(x，y)|y＝x2}．集合B＝{(x，y)|y＝a}，则“a＞0”是集合A∩B中有2个元素的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）若U＝R，集合A＝{x|－3≤2x－1≤3}，集合B＝{x|x－1>0}，则如图中阴影部分对应集合的子集可以是()A．{x|－1<x<0}B．{x|0≤x≤1}C．{x|－2≤x<1}D．{x|0<x≤2}10．下列说法正确的是()A．命题p：“∃x∈R，x2＋x＋1<0”，则¬p：“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”B．已知a，b∈R，“a>1且b>1”是“ab>1”的充分不必要条件C．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充要条件D．若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件11．下面说法中，正确的是()A．“x，y中至少有一个小于零”是“x＋y＜0”的充要条件B．“a2＋b2＝0”是“a＝0且b＝0”的充要条件C．“ab≠0”是“a≠0或b≠0”的充分不必要条件D．若集合A是全集U的子集，则命题“x∉∁UA”与“x∈A”是等价命题12．对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是()A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件B．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件C．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件D．“a＜5”是“a＜3”的必要条件三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13．如果全集U＝{x|x是小于9的正整数}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5，6}，则(∁UA)∩(∁UB)为________．14．对于两个非空集合A，B，定义集合A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若M＝{1，2，3，4，5}，N＝{0，2，3，6，7}，则集合N－M的真子集个数为________．15．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________________．16．学校举办秋季运动会时，高一(1)班共有26名同学参加比赛，有12人参加游泳比赛，有9人参加田赛，有13人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有3人，同时参加游泳比赛和径赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的有________人；同时参加田赛和径赛的有________人．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．(10分)设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x，(1)求元素x应满足的条件；(2)若－2∈A，求实数x.18．(12分)已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B⊆A，求实数a组成的集合C.19．(12分)判断下列语句是否为命题，如果是，判断其是全称量词命题还是存在量词命题．①有一个实数a，a不能取对数；②对所有不等式的解集A，都有A⊆R；③三角形内角和都等于180°吗？④有的一次函数图象是曲线；⑤自然数的平方是正数．20．(12分)已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1<x<6}，C＝{x|x>a}，U＝R.(1)求A∪B，(∁UA)∩B；(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．21．(12分)已知命题p：{x|2≤x≤10}，命题q：{x|x<a或x>2a＋1}(a>0)，若p是q成立的充分不必要条件，求a的取值范围．22．(12分)设全集为R，集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2<x<9}．(1)分别求A∩B，(∁RB)∪A；(2)已知C＝{x|a<x<a＋1}，若C⊆B，求实数a取值构成的集合．参考答案1．解析：由集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{x|(x－2)·(x－1)＝0}＝{1，2}，N＝{0，1，2}，可知MN，故选B.答案：B2．解析：由题意得A＝{x|－3<x<3}，则A∩B＝{0，1，2}，所以A∩B中共有3个元素，故选D.答案：D3．答案：A4．解析：图中阴影部分可表示为(∁UB)∩A，且∁UB＝{1，5，6}，A＝{1，2}，所以(∁UB)∩A＝{1}．故选B.答案：B5．解析：根据存在量词命题的否定是全称量词命题，先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．答案：B6．解析：∵A∩B＝{1}，∴1∈B，∴1＋4＋m＝0，解得m＝－5，∴B＝{x|x2＋4x－5＝0}＝{－5，1}．答案：D7．解析：D中含有存在量词．答案：D8．解析：如图，由图可知，若a＞0，则抛物线y＝x2与直线y＝a有两个不同交点，若抛物线y＝x2与直线y＝a有两个不同交点，则a＞0，∴“a＞0”是集合A∩B中有2个元素的充要条件．答案：C9．解析：题图中阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)，∵A＝{x|－3≤2x－1≤3}＝[－1，2]，B＝{x|x>1}，∴∁UB＝(－∞，1]，∴A∩(∁UB)＝[－1，1]，故选AB.答案：AB10．解析：命题p：“∃x∈R，x2＋x＋1<0”，则¬p：“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”满足命题的否定形式，所以A正确；已知a，b∈R，“a>1且b>1”能够推出“ab>1”，“ab>1”不能推出“a>1且b>1”，所以B正确；对于C，“x＝1”时，“x2－3x＋2＝0”成立，但反之，“x2－3x＋2＝0”时，“x＝1或x＝2”，所以C不正确；若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件，满足充分与必要条件的定义，所以D正确．故选ABD.答案：ABD11．解析：对于A，“x，y中至少有一个小于零”时，则“x＋y＜0”可能成立，故错；对于B，“a2＋b2＝0”⇒“a＝0且b＝0，”“a＝0且b＝0”⇒“a2＋b2＝0”，故正确；对于C，“ab≠0”⇒“a≠0且b≠0”，“a≠0或b≠0”不能得到“ab≠0”，故正确；对于D，若集合A是全集U的子集，可得(∁UA)∪A＝U，则“x∉∁UA”，一定“x∈A”故正确．答案：BCD12．解析：∵A中“a＝b”⇒“ac＝bc”为真命题，但当c＝0时，“ac＝bc”⇒“a＝b”为假命题，故“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故A为假命题；∵B中“a＋5是无理数”⇒“a是无理数”为真命题，“a是无理数”⇒“a＋5是无理数”也为真命题，故“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故B为真命题；∵C中“a＞b”⇒“a2＞b2”为假命题，“a2＞b2”⇒“a＞b”也为假命题，故“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，故C为假命题；∵D中{a|a＜5}{a|a＜3}，故“a＜5”是“a＜3”的必要条件，故D为真命题．答案：BD13．解析：U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，∁UA＝{5，6，7，8}，∁UB＝{1，2，7，8}，故(∁UA)∩(∁UB)＝{5，6，7，8}∩{1，2，7，8}＝{7，8}．答案：{7，8}14．解析：由题意可得，集合N－M＝{0，6，7}，∴集合N－M的真子集个数为23－1＝7.答案：715．解析：所给命题是存在量词命题；其否定应为全称量词命题．答案：∀x∈R，都有x2＋2x＋5≠016．解析：设只参加游泳比赛有x人，则12－x＝3＋3＝6，得x＝6.不参加游泳的人为26－12＝14，参加田赛未参加游泳的人为9－3＝6人，参加径赛未参加游泳的人为13－3＝10人，则同时参加田赛和径赛的人为10＋6－14＝2人．答案：6217．解析：(1)由集合元素的互异性可得x≠3且x2－2x≠x，x2－2x≠3，解得x≠－1且x≠0且x≠3.(2)若－2∈A，则x＝－2或x2－2x＝－2.由于方程x2－2x＋2＝0无解，所以x＝－2.经检验，知x＝－2符合互异性．故x＝－2.18．解析：由x2－3x＋2＝0，得x＝1，或x＝2.∴A＝{1，2}．∵B⊆A，∴对B分类讨论如下：①若B＝∅，即方程ax－2＝0无解，此时a＝0.②若B≠∅，则B＝{1}或B＝{2}．当B＝{1}时，有a－2＝0，即a＝2；当B＝{2}时，有2a－2＝0，即a＝1.综上可知，符合题意的实数a所组成的集合C＝{0，1，2}．19．解析：①②④⑤都是可以判断真假的陈述句，是命题．③是疑问句，故不是命题．因为①④含有存在量词，所以命题①④为存在量词命题．因为②含有全称量词，所以命题②为全称量词命题．因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以⑤为全称量词命题．综上所述，①④为存在量词命题，②⑤为全称量词命题，③不是命题．20．解析：(1)A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1<x<6}＝{x|1<x≤8}，∁UA＝{x|x<2或x>8}，∴(∁UA)∩B＝{x|1<x<2}．(2)∵A∩C≠∅，∴a<8.即a的取值范围为(－∞，8).21．解析：p是q的充分不必要条件，∴p⇒q，qp，∴{x|2≤x≤10}{x|x＜a或x＞2a＋1}(a＞0)画出数轴：结合数轴得a>10或2a＋1<2，故a的取值范围为a>10或0<a<eq\f(1,2).22．解析：(1)A∩B＝{x|3≤x<6}．因为∁RB＝{x|x≤2或x≥9}，所以(∁RB)∪A＝{x|x≤2或3≤x<6或x≥9}．(2)因为C⊆B，如图所示：所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥2，,a＋1≤9，))解得2≤a≤8，所以所求集合为{a|2≤a≤8}．第二章综合测试一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A={x|x2-5x-14<0},B={x|5x-10<0},则A∪B=().A.{x|-2<x<7} B.{x|2<x<7} C.{x|x<7} D.{x|x>-2}2.若m<0,n>0,且m+n<0,则下列不等式中成立的是().A.-n<m<n<-m B.-n<m<-m<n C.m<-n<-m<n D.m<-n<n<-m3.不等式x-A.{x|x>1}B.{x|x<-2}C.{x|-2<x<1}D.{x|x>1或x<-2}4.已知a>1,b>1,记M=1a+1b,N=A.M>N B.M=N C.M<N D.不确定5.已知当x>0时,不等式x2+ax+1≥0恒成立,则a的最小值是().A.0 B.-2 C.-3 D.-6.若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-2<x<1},则不等式ax2+(a+b)x+c-a<0的解集为().A.{x|x<-3或x>3}B.{x|-3<x<1}C.{x|-1<x<3}D.{x|x<-3或x>1}7.某辆汽车以xkm/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全,要求60≤x≤120)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为15（x-k+4500A.40≤x≤60 B.50≤x≤80 C.40≤x≤80 D.60≤x≤1008.若两个正实数x,y满足1x+4y=1,且不等式x+A.{m|-1<m<4}B.{m|m<-1或m>4}C.{m|-4<m<1}D.{m|m<0或m>3}二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9.下列说法中,正确的是().A.若a>b>0,则ac2>bc2B.若a<b<0,则a2>ab>b2C.若a>b>0且c<0,则ca2D.若a>b且1a10.已知p:x≥m,q:2+x-x2<0,下列给出的实数m的值,能使p是q的充分不必要条件的是().A.m=2 B.m=52 C.m=3 11.《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题,这种方法是后来西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多代数定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有图形如图所示,C为线段AB上的点,且AC=a,BC=b,O为AB的中点,以AB为直径作半圆,过点C作AB的垂线交半圆于点D,连接OD,AD,BD,过点C作OD的垂线,垂足为E,则该图形可以完成的所有的无字证明为().A.a+b2≥abB.a2+b2≥2ab(a>0,b>0)Cab.≥21D.a2+b12.已知x,y是正数,且2x+y=1,下列结论正确的是().A.xy的最大值为1B.4x2+y2的最小值为1C.x(x+y)的最大值为1D.x+2yxy三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13.不等式2x2+2x-4≤12的解集为14.若关于x的不等式mx2+mx+1>0在R上恒成立,则实数m的取值范围为.

15.规定记号“☉”表示一种运算,定义a☉b=ab+a+b(a,b为正实数).若1☉k<3,则k的取值范围为.

16.某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边夹角为60°(如图),考虑到防洪堤的坚固性及水泥用料等因素,要求设计其横断面的面积为93平方米,且高度不低于3米.记防洪堤横断面的腰长为x米,外周长(梯形的上底与两腰长的和)为y米,若要使堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小),则防洪堤的腰长x=;横断面外周长的最小值为.

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.在①x+1x-1已知.

(1)解不等式2x2+(2-a)x-a>0.(2)当b为何值时,ax2+bx+3≥0的解集为R?

18.求y=2x

19.(1)解不等式:x-(2)若不等式x2-2x-1>a的解集为R,求实数a的取值范围.

20.已知y=x2-a+1ax+1.(1)当a=12(2)若a>0,解关于x的不等式y≤0.

21.已知y=x2+ax+3.(1)若a=-3，试求yx(2)当-1≤x≤1时,y>a恒成立,求a的取值范围.

22.随着“新冠”疫情得到有效控制,企业进入了复工复产阶段.为了支持一家小微企业发展,某科创公司研发了一种玩具供其生产销售.根据测算,该企业每月生产该种玩具的成本p由两部分费用(单位:元)构成:①固定成本(与生产玩具套数x无关),总计2万元;②生产所需成本为5x+1200x2(1)该企业每月生产多少套玩具时,可使得平均每套所需的成本费用最少?此时每套玩具的成本费用是多少?(2)因疫情防控的需要,要求企业的复工复产逐步进行,假设复工后,企业每月生产x套,售价(单位:元)定为30+x100

参考答案1.C【解析】解不等式x2-5x-14<0得-2<x<7,所以A={x|-2<x<7};解不等式5x-10<0得x<2,所以B={x|x<2}.所以A∪B={x|x<7}.2.D【解析】(法一:取特殊值法)令m=-3,n=2,分别代入各选项检验,可知D正确.(法二)m+n<0⇒m<-n,n<-m,由于m<0<n,故m<-n<n<-m成立.3.C【解析】原不等式等价于(x-1)(x+2)<0,则原不等式的解集为{x|-2<x<1}.4.A【解析】M=1a+1b=a+bab≥25.B【解析】原不等式可化为a≥-x-1x,因为-x-16.D【解析】由已知得方程ax2+bx+c=0的两个根分别为x1=-2,x2=1且a<0,∴ba=1,ca=-2,∴不等式ax2+(a+b)x+c-a<0可化为x2+1+bax+c即x2+2x-3>0,解得x<-3或x>1.7.D【解析】因为汽车以120km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5L,所以15120-k+4500120=11.5,解得k=100,故每小时的油耗为15x+4500x-20L.依题意,15x+4500x-20≤9,解得45≤x≤100.又因为60≤x≤120,所以60≤x≤100.8.B【解析】因为不等式x+y4<m2-3m有解,所以x+y4min<m2-3m,因为x>0,y>0,且1x+4y=1,所以x+y4=x+y41x+4y=4xy+y当且仅当4xy=y4x,即x=2,y=8时取“=”,所以x+y4min=4,故m2即(m+1)(m-4)>0,解得m<-1或m>4,所以实数m的取值范围是{m|m>4或m<-1}.9.BC【解析】当c=0时,ac2=bc2,故A错误;a<b,a<0⇒a2>ab,a<b,b<0⇒ab>b2,∴a2>ab>b2,故B正确;由a>b>0,可得a2>b2,∴1a2<1b2,又c<0,∴根据不等式的性质,可得10.BC【解析】记A={x|x≥m},对于q:2+x-x2<0,记B={x|x<-1或x>2}.由p是q的充分不必要条件,得A是B的真子集,所以m>2,故B,C成立.11.AC【解析】∵AC=a,BC=b,∠ADB=π2∴根据图形,在Rt△ADB中,由射影定理得CD2=AC·CB,∴CD2=ab,即CD=ab.∵OD≥CD,且OD=AB2=a+b2,∴a+b2在Rt△OCD中,同理得CD2=DE·OD,∴DE=CD2OD=ab又∵CD≥DE,∴ab≥2aba+b=212.AD【解析】因为x>0,y>0,所以1=2x+y≥22x·y,所以xy≤18,当且仅当x=14,y=因为4x2+y2=4x2+(1-2x)2=8x2-4x+1=8x-142+12,又y=1-2x>0,即0<x<12,所以当x=14时,4x2+y2取得最小值x(x+y)=x(x+1-2x)=-x2+x=-x-122+14,因为0<x<12,所以由二次函数的图像(图略)可知-x2+x<14,即x(x+y)<x+2yxy=1y+2x=(2x+y)1y+2x=5+2xy+2yx13.x|-10+12≤x≤10-114.0≤m<4【解析】因为关于x的不等式mx2+mx+1>0在R上恒成立,所以分以下两种情况讨论:①当m=0时,可得1>0,符合题意;②当m≠0时,有m>0,综上所述,实数m的取值范围是0≤m<4.15.0<k<1【解析】由题意得k+1+k<3,即(k+2)·(k-1)<0,解得0<k<1.因此k的取值范围是0<k<1.16.2363【解析】设横断面的高为h,由题意得AD=BC+2·x2=BC+x,h=3∴93=12(AD+BC)h=12(2BC+x)·故BC=18x-x由h=3∴y=BC+2x=18x+3x从而y=18x+3x2≥218x·3x2=63,当且仅当17.【解析】若选①,因为x>1,所以x+1x-1=(x-1)+1当且仅当x-1=1x故最小值为3.所以a=3.(1)不等式2x2+(2-a)x-a>0,即2x2-x-3>0,解得x<-1或x>32所以所求不等式的解集为xx<-1或x>32.(2)ax2+bx+3≥0,即3x2+bx+3≥0,若此不等式的解集为R,则Δ=b2-4×3×3≤0,所以-6≤b≤6.若选②,由题意知1-a<0且-3和1是方程(1-a)x2-4x+6=0的两根,所以1-(1)不等式2x2+(2-a)x-a>0,即2x2-x-3>0,解得x<-1或x>32所以所求不等式的解集为xx<-1或x>32.(2)ax2+bx+3≥0,即3x2+bx+3≥0,若此不等式的解集为R,则Δ=b2-4×3×3≤0,所以-6≤b≤6.18.【解析】∵x>3,∴x-3>0,∴y=2x2x-3=2(x当且仅当2(x-3)=18x∴y=2x19.【解析】(1)原不等式移项并化简,得2-x2x解得32所以该不等式的解集为x32<x<2.(2)因为不等式x2-2x-1>a的解集为R,所以x2-2x-1-a>0在R上恒成立,则函数y=x2-2x-1-a的图像恒在x轴上方,与x轴无交点,从而一元二次方程x2-2x-1-a=0无实数根,所以Δ=22-4×(-1-a)<0,解得a<-2.故实数a的取值范围为a<-2.20.【解析】(1)当a=12时,有不等式y=x2-5∴x-12(x-2)≤0,∴不等式y≤0的解集为x|1(2)∵不等式y=x-1a(x-a)≤0,∴当0<a<1时,有1a该不等式的解集为x|a≤当a>1时,有1a<a,该不等式的解集为x|当a=1时,该不等式的解集为{x|x=1}.21.【解析】(1)当a=-3时,yx=x+3x-3≥23-3=当且仅当x=3x,即x=3∴yx(x>0)的最小值为3(2)当-1≤x≤1时,不等式x2+ax+3>a⇔x2+3>a(1-x).∵-1≤x≤1,∴0≤1-x≤2.当x=1时,1-x=0,x2+3>a(1-x)对一切a∈R恒成立;当x≠1时,0<1-x≤2,则a<x2∵x2+31-x=(1-x当且仅当1-x=41∴x2+31-综上所述,a的取值范围为a<2.22.【解析】(1)依题意,p=20000+5x+1200x2,则px=20000x+1当且仅当20000x=1所以每月生产2000套玩具时,可使平均每套所需的成本费用最少,此时每套玩具的成本费用为25元.(2)设月利润为s元,则s=x30+x100-20000+5x+1200x2=x2200+25x-20000≥100000,所以x2+5000x-24000000≥0,即(x+8000)(x-3000)≥0,所以x≥3000,所以30004000所以该企业的复工率至少达到75%时,才能确保月利润不少于10万元.第三章综合测试一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若，则（）A．1 B．0 C．2 D．2．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（）A． B． C． D．3．设函数，若存在实数，使在上的值域为，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．4．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.若对任意的，成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．5．已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的最小值是（）A．-9 B．-7 C．-6 D．-46．已知函数，则下列说法中正确的是（）A．若，则关于的方程有解B．若，则恒成立C．若关于的方程有解，则D．若恒成立，则7．已知，函数.若存在，使得，则实数的最大值是（）A． B． C． D．8．设奇函数在上是增函数，且，若对所有的及任意的都满足，则的取值范围是（）A． B．C． D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9．已知函数，，，则（）A．的图象与轴有2个交点 B．有最大值1，无最小值C．在上单调递增 D．是偶函数10．符号表示不超过的最大整数，如，，，定义函数，以下结论正确的是（）A．函数的定义域是R，值域为 B．方程有无数个解C．函数是奇函数 D．函数是增函数.11．已知，（常数），则（）A．当时，在R上单调递减B．当时，没有最小值C．当时，的值域为D．当时，，，有12．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则实数的值可以是（）A． B． C． D．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13．定义在上的函数满足，对任意的，恒有，则关于x的不等式的解集为________14．已知函数，，若在区间上的最大值是3，则的取值范围是______.15．记表示、、中的最小者，设函数，则等于______．16．已知的值域为，则实数的取值范围是_____．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数是定义在区间上的奇函数，且．（1）用定义证明函数在区间上单调递增；（2）解不等式．18．函数的定义域为，且对任意，都有，且，当时，有.（1）求，的值；（2）判断的单调性并加以证明；（3）求在，上的值域.19．已知函数对一切实数都有，且当时，，又.（1）试判定该函数的奇偶性；（2）试判断该函数在上的单调性；（3）求在上的最大值和最小值.20．已知函数（）是定义在上的奇函数，且.（1）求，的值；（2）判断函数在的单调性，并证明.21．已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求实数和的值；（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；（3）若对上，都有成立，求实数的取值范围.22．已知函数．（其中为常数）（1）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．参考答案1．B【解析】构造函数，由，可得，，且定义域为，是奇函数，，又易得为上的单调递增函数故选：B2．D【解析】因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．思路一：从定义入手．所以．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期．所以．故选：D．3．A【解析】由得，且由复合函数的单调性可知函数为减函数，故有，，两式相减可得，即，则，两式相加可得，记，，故有，，，代入可得，又因为，且均为非负数，故，则由二次函数的值域可得：当或时，取到最大值，但当时，，与矛盾，则取不到最小值，所以的取值范围是.故选：A.4．D【解析】由题设知：，又是定义在上的奇函数，即，∴当时，，即，而；当时，，即，而；∴综上，有，可得如下函数图象，∴对任意的有成立，即在中，或或恒成立，∴或恒成立，即有或.故选：D.5．C【解析】解：函数的图象如图所示，①当时，化为，当时，，由于关于的不等式恰有1个整数解，因此其整数解为2，又，，，则，当时．由于关于的不等式恰有1个整数解，因此其整数解为，又，，，则，②当时，对于，，解得，只考虑，则，由于时，不等式的解集中含有多于一个整数解（例如，0，，舍去．可得：实数的最小值是．故选：C．6．C【解析】对于A，若，由于，则关于的方程无解，故A错误；对于B，若，，由，时，不成立，可得不恒成立，故B错误；对于C，由可得，首先当，，等式不成立，当时，，等式不成立；若，，可取，则等式成立，故C正确；对于D，即为，即，当且时，不等式也成立，故D错.故选：C．7．B【解析】，因为存在，使得，所以，即有解，因为，则，所以有解，所以，因为，所以所以，所以的最大值为.故选：B8．C【解析】奇函数在上是增函数，则恒成立，即恒成立将看作为变量，定义域为的函数，则函数最值一定在端点上即解得或或故选9．ABC【解析】解令,得,化简得,解得或,当时，即时，此时,作出的图象，如下：当时，即时，此时,作出的图像，如下：当时，即时，此时,作出的图像，如下：当时，即时，此时,作出的图像，如下：综上，结合图形可得与轴有两个交点，故正确；结合图形可得的最大值为1，无最小值，故正确；结合图形可得在上单调递增，故正确；结合图形可得不是偶函数，故不正确；故选：．10．AB【解析】对于选项A：函数的定义域是，但，其值域为，故选项A正确；对于选项B：，可得，则，，都是方程的解，故选项B正确；对于选项C：函数的定义域是，而，如，，故函数不是奇函数，故选项C不正确；对于选项D：由选项B可知，，，当时，函数函数的值都是，所以不是增函数，故选项D不正确，故选：AB11．BD【解析】时，，，，在上不是减函数，A错；由上面讨论知时，在上是减函数，无最小值．而时递减，也无最小值，因此无最小值，当时，，是增函数，，但，不是的最小值，综上，无最小值，B正确；时，，，时，是增函数，，，∴的值域是，C错；时，时，，而时，，，因此，，使得．D正确．故选：BD．12．AB【解析】解：因为，，函数图象如下所示：，时，，，，时，，，，；，时，，，，，当，时，由解得或，若对任意，，都有，则．故选：．13．【解析】设，因为对任意的，恒有，所以函数在上为增函数，则在上为增函数，又，而，所以，所以为奇函数，综上，为奇函数，且在上为增函数，所以不等式等价于，即，亦即，可得，解得．故答案为：．14．【解析】由题易知，即，所以，又，所以.下证时，在上最大值为3.当时，，;当，若，即，则，满足;若，即，此时，而，满足;因此，符合题意.15．【解析】作出函数的图象如下图所示：直线与函数的图象交于点、、、，结合图象可知，，故答案为：.16．【解析】当时，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，则函数在区间上的值域为.所以，当时，恒成立，即恒成立，当时，函数取得最小值，，因此，实数的取值范围是.故答案为.17．（1）证明见解析（2）18．（1）f(1)=1，f(4)=3；（2）在上为增函数，证明见解析；（3）.【解析】（1）可令时，=-；令，可得f（2）=f（4）-f（2），即f（4）；（2）函数在上为增函数.证明：当时，有，可令，即有，则，可得，则在上递增；（3）由在上为增函数，可得在递增，可得为最小值，为最大值，由f（4）=f（16）-f（4）+1，可得，则的值域为.19．（1）奇函数；（2）在上是减函数；（3）最大值是是，最小值是.【解析】（1）令，得，∴，令，得，∴，∴为奇函数.（2）任取，则，∴，∴，即在上是减函数.（3）∵在上是减函数，∴最小，最大，又，∴，∴在上的最大值是是，最小值是.20．(1)，；(2)单调递增，证明见解析.【解析】(1)因函数是上的奇函数，于是有，解得，即有，，解得，此时是上的奇函数，所以，；(2)函数在上单调递增，，，而，，，于是得，即，所以函数在上单调递增.21．（1），；（2）函数在上是增函数，证明见解析；（3）.【解析】（1）因为，函数是定义在上的奇函数，所以得，又因为，所以，（2）由（1）可知，设所以=因为，所以，所以，，即，所以，函数在上是增函数（3）由（2）可知函数在上是增函数，且是奇函数要使“对上，都有成立”即则不等式组对恒成立，所以对恒成立，所以因为，所以，，所以，，所以，所以，所以实数的取值范围是.22．（1）；.【解析】(1)由题意，当时，不等式恒成立，所以在上恒成立，令因为为开口向上的二次函数，对称轴为,且，故由在上恒成立，得或或，即或或，分别解得或或，即，故实数a的取值范围为；（2）当时，不等式恒成立即恒成立，即恒成立，所以当时恒成立，令，，所以当时，，单调递增，当时，，单调递增，故；又，即的最小值为0，所以要使当时，恒成立，则需，所以实数a的取值范围为.期末综合测试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{x|2x2－5x－3≤0}，B＝{x∈Z|x≤2}，A∩B中的元素个数为()A．2B．3C．4D．52．下列图形中不是函数的图象的是()3．设a，b∈[0，＋∞)，A＝eq\r(a)＋eq\r(b)，B＝eq\r(a＋b)，则A，B的大小关系是()A．A≤BB．A≥BC．A<BD．A>B4．如果a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是()A．ab>acB．c(b－a)>0C．cb2<ab2D．ac(a－c)<05．函数y＝eq\f(\r(1－x2),2x2－3x－2)的定义域为()A．(－∞，1]B．[－1，1]C．[1，2)∪(2，＋∞)D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))6．设A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}．若A∩B＝∅，则实数t的取值范围是()A．t<－3B．t≤－3C．t>3D．t≥37．关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是()A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B．(1，3)C．(－1，3)D．(－∞，1)∪(3，＋∞)8．已知0<x<1，则3x(3－3x)取得最大值时x的值为()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,4)D．eq\f(2,3)二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9．下列四个命题中是假命题的为()A．存在x∈Z，1<4x<3B．存在x∈Z，5x＋1＝0C．任意x∈R，x2－1＝0D．任意x∈R，x2＋x＋2>010．使不等式x2＋x－6<0成立的充分不必要条件是()A．－3<x<2B．－2<x<3C．－2<x<2D．0<x<111．已知f(2x－1)＝4x2，则下列结论正确的是()A．f(3)＝9B．f(－3)＝4C．f(x)＝x2D．f(x)＝(x＋1)212．已知x>0，y>0.若eq\f(2y,x)＋eq\f(8x,y)>m2＋2m恒成立，则实数m的值可以是()A．0B．1C．2D．3三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13．命题∃x∈R，x2－2x>0的否定是________．14．若x＝1是函数f(x)＝eq\f(a,x)＋b(a≠0)的一个零点，则函数h(x)＝ax2＋bx的零点是________．15．若对任意x>0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则a的取值范围是________.16．函数f(x)是定义在实数集R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f(3)<f(2a＋1)，则a的取值范围是________．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．(10分)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．18．(12分)已知a∈R，讨论关于x的方程|x2－6x＋8|＝a的实数解的个数．19．(12分)已知二次函数f(x)＝－x2＋2ax－a在区间[0，1]上有最大值2，求实数a的值．20．(12分)设定义在[－2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．21．(12分)高邮市清水潭旅游景点国庆期间，团队收费方案如下：不超过40人时，人均收费100元；超过40人且不超过m(40<m≤100)人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m人时，人均收费都按照m人时的标准．设景点接待有x名游客的某团队，收取总费用为y元．(1)求y关于x的函数解析式；(2)景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数增加而增加，求m的取值范围．22．(12分)已知函数f(x)＝x＋eq\f(1,x＋1)，g(x)＝ax＋5－2a(a>0).(1)判断函数f(x)在[0，1]上的单调性，并加以证明；(2)若对任意m∈[0，1]，总存在m0∈[0，1]，使得g(m0)＝f(m)成立，求实数a的取值范围．参考答案解析：A＝{x|2x2－5x－3≤0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,2)≤x≤3))，B＝{x∈Z|x≤2}，A∩B＝{0，1，2}，故选B.答案：B2．解析：对于B，因为对任意的自变量可能有两个不同的y值与其对应，这与函数的定义有唯一确定的元素y与之对应矛盾．答案：B3．解析：由题意得，B2－A2＝－2eq\r(ab)≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.答案：B4．解析：由题意知c<0，a>0，则A一定正确；B一定正确；D一定正确；当b＝0时C不正确．答案：C5．解析：由函数y＝eq\f(\r(1－x2),2x2－3x－2)得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x2≥0，,2x2－3x－2≠0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤1，,x≠2且x≠－\f(1,2)，))即－1≤x≤1且x≠－eq\f(1,2)，所以所求函数的定义域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)).答案：D6．解析：B＝{y|y≤t}，结合数轴可知t<－3.答案：A7．解析：关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax<b的解集是(1，＋∞)，∴a＝b<0，∴不等式(ax＋b)·(x－3)>0可化为(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，∴所求解集为(－1，3).答案：C解析：因为0＜x＜1，所以3x＞0，3－3x＞0，所以3x(3－3x)≤(eq\f(3x＋3－3x,2))2＝eq\f(9,4)，当且仅当3x＝3－3x，即x＝eq\f(1,2)时等号成立，故3x(3－3x)取得最大值时x的值为eq\f(1,2).故选B.答案：B9．解析：选项A中，eq\f(1,4)<x<eq\f(3,4)且x∈Z，不成立；选项B中，x＝－eq\f(1,5)，与x∈Z矛盾；选项C中，x≠±1时，x2－1≠0；选项D正确．答案：ABC10．解析：由x2＋x－6<0，得－3<x<2，故选CD.答案：CD解析：f(2x－1)＝(2x－1)2＋2(2x－1)＋1，故f(x)＝x2＋2x＋1，故选项C错误，选项D正确；f(3)＝16，f(－3)＝4，故选项A错误，选项B正确．答案：BD12．解析：因为x>0，y>0，所以eq\f(2y,x)＋eq\f(8x,y)≥8(当且仅当eq\f(2y,x)＝eq\f(8x,y)时取“＝”).若eq\f(2y,x)＋eq\f(8x,y)>m2＋2m恒成立，则m2＋2m<8，解得－4<m<2.答案：AB解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，即∀x∈R，x2－2x≤0.答案：∀x∈R，x2－2x≤0解析：因为1是函数f(x)＝eq\f(a,x)＋b(a≠0)的零点，所以a＋b＝0，即a＝－b≠0，所以h(x)＝－bx(x－1)，令h(x)＝0，解得x＝0或x＝1.答案：0或1解析：因为x＞0，所以x＋eq\f(1,x)≥2，所以eq\f(x,x2＋3x＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x)＋3)≤eq\f(1,2＋3)＝eq\f(1,5)(当且仅当x＝1时取等号)，所以eq\f(x,x2＋3x＋1)的最大值为eq\f(1,5)，所以由已知不等式恒成立得a≥eq\f(1,5).故a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\