2024年初中升学考试真题卷湖南省张家界市中考数学试卷

第1页（共1页）2023年湖南省张家界市中考数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）的相反数是． ． ．2023 ．2．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，其主视图是． ． ． ．3．（3分）下列运算正确的是． ． ． ．4．（3分）下列说法正确的是．扇形统计图能够清楚地反映事物的变化趋势 ．对某型号电子产品的使用寿命采用全面调查的方式 ．有一种游戏的中奖概率是，则做5次这样的游戏一定会有一次中奖 ．甲、乙两组数据的平均数相等，它们的方差分别是，，则乙比甲稳定5．（3分）如图，已知直线，平分，，则的度数是． ． ． ．6．（3分）《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210文购买椽的数量为株，则符合题意的方程是． ． ． ．7．（3分）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于． ． ． ．8．（3分）如图，矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，点在上，且，反比例函数的图象经过点及矩形的对称中心，连接，，．若的面积为3，则的值为．2 ．3 ．4 ．5二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）9．（3分）“仙境张家界，峰迷全世界”，据统计，2023年“五一”节假日期间，张家界市各大景区共接待游客约864000人次．将数据864000用科学记数法表示为．10．（3分）因式分解：．11．（3分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是．12．（3分）2023年4月24日是我国第八个“中国航天日”，某校开展了一次航天知识竞赛，共选拔8名选手参加总决赛，他们的决赛成绩分别是95，92，93，89，94，90，96，88．则这8名选手决赛成绩的中位数是．13．（3分）如图，为的平分线，且，将四边形绕点逆时针方向旋转后，得到四边形，且，则四边形旋转的角度是．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标为，是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧，继续以点、、、为圆心，按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是．三、解答题（本大题共9个小题，共计58分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效）15．（5分）计算：．16．（5分）先化简，然后从，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值．17．（6分）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：甲型客车乙型客车载客量（人辆）4560租金（元辆）200300（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？18．（6分）如图，已知点，，，在同一条直线上，且，，．（1）求证：；（2）若时，求证：四边形是菱形．19．（8分）2022年4月21日新版《义务教育课程方案和课程标准年版）》正式颁布，优化了课程设置，其中将劳动教育从综合实践活动课程中独立出来．某校为了初步了解学生的劳动教育情况，对九年级学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间分为如下四组；；；，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）本次抽取的学生人数为人，扇形统计图中的值为；（2）补全条形统计图；（3）已知该校九年级有600名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有多少人？（4）若组中有3名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用列表法或树状图法，求抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率．20．（6分）“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面的点，测得奇楼顶端的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点，测得奇楼底端的俯角为，求奇楼的高度．（结果精确到，参考数据：，，21．（6分）阅读下面材料：将边长分别为，，，的正方形面积分别记为，，，．则例如：当，时，根据以上材料解答下列问题：（1）当，时，，；（2）当，时，把边长为的正方形面积记作，其中是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想；（3）当，时，令，，，，，且，求的值．22．（6分）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点和点两点，与轴交于点．点为线段上的一动点．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，求周长的最小值；（3）如图2，过动点作交抛物线第一象限部分于点，连接，，记与的面积和为，当取得最大值时，求点的坐标，并求出此时的最大值．

2023年湖南省张家界市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）的相反数是． ． ．2023 ．【答案】【分析】只有符号不同的两个数，我们称这两个数互为相反数．【解答】解：的相反数是，故选：．2．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，其主视图是． ． ． ．【答案】【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从正面看，一共有两列，从左到右小正方形的个数分别为3、1．故选：．3．（3分）下列运算正确的是． ． ． ．【答案】【分析】根据完全平方公式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则，逐项分析判断即可求解．【解答】解：．，故该选项不符合题意；．，故该选项不符合题意；．，故该选项符合题意；．，故该选项不符合题意；故选：．4．（3分）下列说法正确的是．扇形统计图能够清楚地反映事物的变化趋势 ．对某型号电子产品的使用寿命采用全面调查的方式 ．有一种游戏的中奖概率是，则做5次这样的游戏一定会有一次中奖 ．甲、乙两组数据的平均数相等，它们的方差分别是，，则乙比甲稳定【答案】【分析】分别根据扇形统计图的特点，全面调查和抽样调查，概率的意义和方差的意义判断即可．【解答】解：．折线统计图能够清楚地反映事物的变化趋势，故不符合题意；．对某型号电子产品的使用寿命采用抽样调查的方式，故不符合题意；．有一种游戏的中奖概率是，则做5次这样的游戏不一定会有一次中奖，故不符合题意；．甲、乙两组数据的平均数相等，它们的方差分别是，，则乙比甲稳定，故符合题意．故选：．5．（3分）如图，已知直线，平分，，则的度数是． ． ． ．【答案】【分析】由平角的定义可得，由角平分线的定义可得，再利用两直线平行，内错角相等即可求解．【解答】解：，，平分，，，．故选：．6．（3分）《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210文购买椽的数量为株，则符合题意的方程是． ． ． ．【答案】【分析】设6210元购买椽的数量为株，根据单价总价数量，求出一株椽的价钱为，再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案．【解答】解：设6210元购买椽的数量为株，则一株椽的价钱为，由题意得：，故选：．7．（3分）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于． ． ． ．【答案】【分析】由等边三角形的性质得到，由弧长公式求出的长，即可求出“莱洛三角形”的周长．【解答】解：是等边三角形，，，，的长，该“莱洛三角形”的周长是．故选：．8．（3分）如图，矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，点在上，且，反比例函数的图象经过点及矩形的对称中心，连接，，．若的面积为3，则的值为．2 ．3 ．4 ．5【答案】【分析】设点的坐标为，根据矩形对称中心的性质得出延长恰好经过点，，，确定，，然后结合图形及反比例函数的意义，得出，代入求解即可．【解答】解：四边形是矩形，，，设点的坐标为，矩形的对称中心，延长恰好经过点，，，点在上，且，，，，，在反比例函数的图象上，，，，，故选：．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）9．（3分）“仙境张家界，峰迷全世界”，据统计，2023年“五一”节假日期间，张家界市各大景区共接待游客约864000人次．将数据864000用科学记数法表示为．【答案】．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．【解答】解：．故答案为：．10．（3分）因式分解：．【答案】．【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．【解答】解：．故答案为：．11．（3分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是．【答案】．【分析】根据判别式的意义得到△，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△，解得．故答案为：．12．（3分）2023年4月24日是我国第八个“中国航天日”，某校开展了一次航天知识竞赛，共选拔8名选手参加总决赛，他们的决赛成绩分别是95，92，93，89，94，90，96，88．则这8名选手决赛成绩的中位数是92.5．【答案】92.5．【分析】把题目中的数据按照从小到大排列，然后即可计算出相应的中位数．【解答】解：把数据95，92，93，89，94，90，96，88按照从小到大排列是：88，89，90，92，93，94，95，96，这组数据的中位数是，故答案为：92.5．13．（3分）如图，为的平分线，且，将四边形绕点逆时针方向旋转后，得到四边形，且，则四边形旋转的角度是．【答案】．【分析】依据为的平分线可知，，依据旋转的性质可知，旋转角为，代入数据即可得解．【解答】解：为的平分线，，，依据旋转的性质可知，旋转角为，．故答案为：．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标为，是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧，继续以点、、、为圆心，按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是．【答案】．【分析】将四分之一圆弧对应的点坐标看作顺时针旋转，再根据、、、、的坐标找到规律即可．【解答】解：点坐标为，且为点绕点顺时针旋转所得，点坐标为，又为点绕点顺时针旋转所得，点坐标为，又为点绕点顺时针旋转所得，点坐标为，又为点绕点顺时针旋转所得，点坐标为，由此可得出规律：为绕、、、四点作为圆心依次循环顺时针旋转，且半径为1、2、3、、，每次增加1．，故为以点为圆心，半径为2022的顺时针旋转所得，故点坐标为．故答案为：．三、解答题（本大题共9个小题，共计58分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效）15．（5分）计算：．【答案】4．【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式化简5个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：．16．（5分）先化简，然后从，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值．【答案】，将代入得2．【分析】先根据整式的运算法则进行运算，再化简结果，注意代入的值不可令分母为0，求解即可．【解答】解：，，，，，，将代入上式，得：原式．17．（6分）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：甲型客车乙型客车载客量（人辆）4560租金（元辆）200300（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？【答案】（1）参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车；（2）租用14辆45座客车更合算．【分析】（1）本题中的等量关系为：座客车辆数师生总数，座客车辆数师生总数，据此可列方程组求出第一小题的解；（2）需要分别计算45座客车和60座客车各自的租金，比较后再取舍．【解答】解：（1）设参加此次研学活动的师生人数是人，原计划租用辆45座客车．根据题意，得，解得．答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车；（2）租45座客车：（辆，所以需租14辆，租金为（元，租60座客车：（辆，所以需租10辆，租金为（元，，租用14辆45座客车更合算．18．（6分）如图，已知点，，，在同一条直线上，且，，．（1）求证：；（2）若时，求证：四边形是菱形．【答案】（1）（2）证明见解析．【分析】（1）由证明，得到，即可证明；（2）由，得到，推出，又，得到四边形是平行四边形，而，推出四边形是菱形．【解答】证明：（1），，，，，，，；（2），，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形．19．（8分）2022年4月21日新版《义务教育课程方案和课程标准年版）》正式颁布，优化了课程设置，其中将劳动教育从综合实践活动课程中独立出来．某校为了初步了解学生的劳动教育情况，对九年级学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间分为如下四组；；；，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）本次抽取的学生人数为50人，扇形统计图中的值为30；（2）补全条形统计图；（3）已知该校九年级有600名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有多少人？（4）若组中有3名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用列表法或树状图法，求抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率．【答案】（1）50，30；（2）图形见解析；（3）估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生约有300人；（4）．【分析】（1）由组的人数除以所占百分比得出本次抽取的学生人数，即可解决问题；（2）求出组的人数，补全条形统计图即可；（3）由该校九年级学生人数乘以参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生所占的比例即可；（4）画树状图，共有20种等可能的结果，其中抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的结果有12种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）本次抽取的学生人数为（人，，，故答案为：50，30；（2）组的人数为：（人，补全条形统计图如下：（3）（人，答：估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生约有300人；（4）若组中有3名女生，则有2名男生，画树状图如下：共有20种等可能的结果，其中抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的结果有12种，抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率是．20．（6分）“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面的点，测得奇楼顶端的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点，测得奇楼底端的俯角为，求奇楼的高度．（结果精确到，参考数据：，，【答案】奇楼的高度约为．【分析】延长交的延长线于，则，根据题意得到，，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：延长交的延长线于，则，由题意得，，，在中，，，，在中，，，，答：奇楼的高度约为．21．（6分）阅读下面材料：将边长分别为，，，的正方形面积分别记为，，，．则例如：当，时，根据以上材料解答下列问题：（1）当，时，，；（2）当，时，把边长为的正方形面积记作，其中是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想；（3）当，时，令，，，，，且，求的值．【答案】（1）；；（2）；证明见解析；（3）．【分析】（1）把，代入，，计算即可得到结论；（2）根据（1）的结论化简即可；（3）化简后，代入数值计算即可．【解答】解：，当，时，；，当，时，；故答案为：；；（2）；证明：；（3）当，时，．22．（6分）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．【答案】（1