上海静安区上海市风华初级中学2022-2023学年下学期七年级期中数学试题+

上海静安区上海市风华初级中学2022—2023学年下学期七年级期中数学试题一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）1．下列各数中，是无理数的是（）A． B． C． D．02．下列运算正确的是（）A． B． C． D．3．下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是（）A． B． C． D．4．如果一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（）A．3 B．4 C．8 D．105．如图，在三角形ABC中，∠BAC＝90°，D为垂足，则下列说法中（）A．点B到AC的距离是线段BC的长 B．点B到AD的距离是线段BD的长 C．点C到AD的距离是线段CD的长 D．点C到AB的距离是线段AC的长6．下列说法正确的是（）A．经过一点一定有一条直线与已知直线平行 B．如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补 C．三角形的三条高交于一点 D．在三角形的三个外角中至少有两个钝角二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）7．（2分）已知a5＝﹣32，则实数a＝．8．（2分）比较大小：﹣2﹣3（填“＞、＝、＜”）9．（2分）2023年4月6日，一颗名为2023BU的小行星与地球擦肩而过，它与地球的最近距离约为10457.85公里（保留三个有效数字）．10．（2分）已知，在△ABC中，∠A＝∠B+∠C三角形．11．（2分）已知，直线AB和直线CD交于点O，∠BOD是它的邻补角的3倍度．12．（2分）如图，直线a∥b，直线c与直线a、b分别交于A、B两点，则∠2＝°．13．（2分）如图，直线a、b被直线c、d所截，如果∠1＝∠2，那么∠4度数为．14．（2分）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOE＝90°，且，则∠BOF＝．15．（2分）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是．16．（2分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，已知△ABC的周长是36，△ABD的周长比△BCD的周长多6．17．（2分）在同一平面内，如果∠A的两边与∠D的两边分别平行，且∠D比∠A的2倍少30°°．18．（2分）在锐角△ABC中，D、E分别是边AB和AC上的点，将这个△ABC纸片沿DE折叠，∠B＝60°，∠CEF＝10°．三、计算题：（本大题共4题，每题6分，满分24分）19．（6分）计算：．20．（6分）计算：．21．（6分）计算：．22．（6分）利用幂的运算性质计算：×÷（）．四、解答题：（本大题共4题，23-25题每题8分，26题每题10分，满分34分）23．（8分）（1）在探究“三角形的内角和等于180°”性质时，小杰提出了一种思路，现在请你将证明过程补充完整：已知：如图，在△ABC中，试说明：∠A+∠B+∠BCA＝180°．解：延长线段BC至点D，并过点C作CE∥AB．因为CE∥AB（已作），所以∠1＝．（）∠2＝．（）因为∠1+∠2+∠BCA＝180°（），所以∠A+∠B+∠BCA＝180°（）．（2）探究出三角形的内角和等于180°之后，小杰发现若∠A＝（3x+10）°，∠B＝（2x）°（6x﹣10）°时，就可以求出∠A的度数°．（3）小杰随后又思考：在射线CE上能否找到一个点F（点F与点C不重合），使得△FBA的面积与△ABC的面积相等呢？如果找到，请画出△FBA（在原图中画出一个三角形即可）．24．（8分）如图，AF、BD、CE是直线，点B在直线AC上，且∠A＝∠F，∠C＝∠D25．（8分）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，联结这些小正方形的顶点（1）如图1，联结小正方形的顶点构成了一个大正方形ABCD，那么大正方形ABCD的面积是，边长是．（2）如图2，你能通过联结小正方形的顶点构成一个面积为5的正方形吗？如果能，请在图2中画出正方形．（3）如图3，已知在数轴上点M表示的数是﹣1，利用（2），你能在数轴上找到点P，使得点P与点M的距离为，请在数轴上画出P点的位置，且P所表示的数是．（使用直尺和圆规，作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹）26．（10分）自“中欧铁路——上海号”发车以来，中欧班列逐渐开辟了一条以上海为起点，连接欧洲及“一带一路”沿线地区的商贸流通的全新通道．“中欧铁路”为了安全起见需要在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，假定主道路是平行的，即PQ∥MN（1）填空：∠BAN＝°；（2）如图2，若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动．在转动过程中，灯B射线与MN交于点P′．在灯B射线到达BQ之前，设灯A转动t秒．①当0＜t＜90时，则∠MAM′＝°，∠PBP′＝（用含t的式子表示）．②当灯A转动秒时，两灯的光束可以互相平行？（3）如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系，请说明理由．

上海静安区上海市风华初级中学2022—2023学年下学期七年级期中数学试题参考答案一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）1．下列各数中，是无理数的是（）A． B． C． D．0【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．【解答】解：＝7，是分数；是无限不循环小数，它是无理数；故选：C．【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．2．下列运算正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据二次根式的加减运算对A选项进行判断，根据二次根式的性质对B、C、D选项进行判断．【解答】解：A、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；B、被开方数﹣49为负数，故此选项不符合题意；C、＝3；D、，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了二次根式的加减，二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．3．下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是（）A． B． C． D．【分析】根据同位角的定义进行判断即可．【解答】解：由同位角的定义可知，选项B中的∠1和∠2不是同位角，故选：B．【点评】本题考查同位角，理解同位角的定义是正确判断的关键．4．如果一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（）A．3 B．4 C．8 D．10【分析】根据三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边即可判断．【解答】解：设第三边为x，则4＜x＜10，所以符合条件的整数为8，故选：C．【点评】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．5．如图，在三角形ABC中，∠BAC＝90°，D为垂足，则下列说法中（）A．点B到AC的距离是线段BC的长 B．点B到AD的距离是线段BD的长 C．点C到AD的距离是线段CD的长 D．点C到AB的距离是线段AC的长【分析】利用点到直线的距离定义判断即可．【解答】解：A、点B到AC的距离是线段AB的长，符合题意；B、点B到AD的距离是线段BD的长，不符合题意；C、点C到AD的距离是线段CD的长，不符合题意；D、点C到AB的距离是线段AC的长，不符合题意，故选：A．【点评】本题考查的是点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握点到直线的距离就是点到直线的垂线段的长．6．下列说法正确的是（）A．经过一点一定有一条直线与已知直线平行 B．如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补 C．三角形的三条高交于一点 D．在三角形的三个外角中至少有两个钝角【分析】根据平行线的性质，平行公理及推论，三角形外角的性质，三角形的角平分线、中线和高进行判断即可．【解答】解：A、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；B、如果两条平行的直线被第三条直线所截，故本选项不符合题意；C、三角形的三条高所在直线交于一点；D、因为三角形的内角中至少有两个锐角，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查平行线的性质，平行公理及推论，三角形外角的性质，三角形的角平分线、中线和高，正确理解题意是解题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）7．（2分）已知a5＝﹣32，则实数a＝﹣2．【分析】根据﹣32＝（﹣2）5即可得出答案．【解答】解：∵a5＝﹣32＝（﹣2）6，∴a＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】此题主要考查了有理数的乘方运算，熟练掌握乘方运算的法则是解决问题的关键．8．（2分）比较大小：﹣2＞﹣3（填“＞、＝、＜”）【分析】把根号外的因式移入根号内，再比较即可．【解答】解：|﹣2|＝7＝|＝3＝，∵＜，∴﹣2＞﹣3，故答案为：＞．【点评】本题考查了实数的大小比较的应用，主要考查了学生的比较能力．9．（2分）2023年4月6日，一颗名为2023BU的小行星与地球擦肩而过，它与地球的最近距离约为10457.85公里1.05×104（保留三个有效数字）．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．【解答】解：10457.85＝1.045785×104≈7.05×104．故答案为：1.05×105．【点评】本题考查了科学记数法与有效数字，把一个数M记成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法．规律：（1）当|a|≥1时，n的值为a的整数位数减1；（2）当|a|＜1时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0．10．（2分）已知，在△ABC中，∠A＝∠B+∠C直角三角形．【分析】利用三角形的内角和定理可得结论．【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B+∠C，∴2∠A＝180°．∴∠A＝90°．故答案为：直角．【点评】本题考查了三角形的内角和，掌握三角形的内角和定理是解决本题的关键．11．（2分）已知，直线AB和直线CD交于点O，∠BOD是它的邻补角的3倍45度．【分析】设∠BOD＝x°，则它的补角为3x°，根据邻补角互补可得x+3x＝180，再解方程即可．【解答】解：设∠BOD＝x°，则它的补角为3x°，x+3x＝180，x＝45，故答案为：45°．【点评】此题主要考查了邻补角，关键是掌握邻补角互补．12．（2分）如图，直线a∥b，直线c与直线a、b分别交于A、B两点，则∠2＝30°．【分析】根据垂直定义可得∠CAB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ABC＝30°，然后利用平行线的性质可得∠2＝∠ABC＝30°，即可解答．【解答】解：∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°，∵∠1＝60°，∴∠ABC＝90°﹣∠1＝30°，∵a∥b，∴∠3＝∠ABC＝30°，故答案为：30．【点评】本题考查了平行线的性质，垂线，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．13．（2分）如图，直线a、b被直线c、d所截，如果∠1＝∠2，那么∠4度数为75°．【分析】求出∠5，根据平行线的判定得出直线a∥直线b，根据平行线的性质得出即可．【解答】解：∵∠3＝105°，∴∠5＝180°﹣∠6＝75°，∵∠1＝∠2，∴直线a∥直线b，∴∠5＝∠5＝75°，故答案为：75°．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，能求出直线a∥直线b是解此题的关键．14．（2分）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOE＝90°，且，则∠BOF＝27°．【分析】根据邻补角、对顶角的定义，角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可．【解答】解：∵∠COE+∠DOE＝180°，，∴∠DOE＝180°×＝36°＝144°，∵∠AOE＝90°，∴∠AOC＝∠COE﹣∠AOE＝144°﹣90°＝54°＝∠BOD，∵OF平分∠BOD，∴∠BOF＝∠BOD＝27°．故答案为：27°．【点评】本题考查对顶角、邻补角以及角平分线，掌握邻补角、对顶角以及角平分线的定义是正确解答的关键．15．（2分）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是15°．【分析】过A点作AB∥a，利用平行线的性质得AB∥b，所以∠1＝∠2，∠3＝∠4＝30°，加上∠2+∠3＝45°，易得∠1＝15°．【解答】解：如图，过A点作AB∥a，∴∠1＝∠2，∵a∥b，∴AB∥b，∴∠3＝∠4＝30°，而∠2+∠6＝45°，∴∠2＝15°，∴∠1＝15°．故答案为15°．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．16．（2分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，已知△ABC的周长是36，△ABD的周长比△BCD的周长多614．【分析】根据三角形中线的定义可得AD＝CD，从而可得AB﹣BC＝6，再根据△ABC的周长是36，以及AB＝AC，可得2AB+BC＝36，进行计算即可解答．【解答】解：∵BD是AC边上的中线，∴AD＝CD，∵△ABD的周长比△BCD的周长多6，∴（AB+AD+BD）﹣（BC+CD+BD）＝6，∴AB﹣BC＝8，∴BC＝AB﹣6，∵△ABC的周长是36，∴AB+AC+BC＝36，∵AB＝AC，∴2AB+BC＝36，∴4AB+AB﹣6＝36，∴AB＝14，故答案为：14．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．17．（2分）在同一平面内，如果∠A的两边与∠D的两边分别平行，且∠D比∠A的2倍少30°110°．【分析】根据平行线的性质即可得答案．【解答】解：如图：∵∠A的两边与∠D的两边分别平行，∴∠A＝∠ACD，∠ACD+∠D＝180°，∴∠A+∠D＝180°，∵∠D比∠A的2倍少30°，∴2∠A﹣30°+∠A＝180°，∴∠A＝70°，∴∠D＝110°，故答案为：110．【点评】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是关键．18．（2分）在锐角△ABC中，D、E分别是边AB和AC上的点，将这个△ABC纸片沿DE折叠，∠B＝60°，∠CEF＝10°55°．【分析】先根据平行线的性质求出∠ADF的度数，再由∠CEF＝10°求出∠DEC的度数，根据翻折变换的性质求出∠EDF的度数，根据三角形内角和定理即可得出∠F的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵DF∥BC，∠B＝60°，∴∠ADF＝60°．∵△DEF由△DEA翻折而成，∴∠EDF＝∠ADF＝，∠A＝∠F．∵∠CEF＝10°，∴∠DEC＝＝85°，∴∠DEF＝85°+10°＝95°，∴∠F＝180°﹣∠EDF﹣∠DEF＝180°﹣30°﹣95°＝55°．故答案为：55°．【点评】本题考查的是翻折问题和三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．三、计算题：（本大题共4题，每题6分，满分24分）19．（6分）计算：．【分析】分别合并括号内，括号外的同类二次根式，再合并即可．【解答】解：＝＝＝．【点评】本题考查的是合并同类二次根式，熟记合并同类二次根式的法则是解本题的关键．20．（6分）计算：．【分析】先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答．【解答】解：＝2×﹣+﹣6＝6﹣+﹣4＝2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．21．（6分）计算：．【分析】根据算术平方根的，根据零指数幂，根据分数指数幂，然后再进行加减即可得出答案．【解答】解：＝﹣1+（﹣）＝2﹣﹣1﹣＝．【点评】此题主要考查了实数的运算，熟练掌握算术平方根的意义，零指数幂的运算法，分数指数幂的运算法则是解决问题的关键．22．（6分）利用幂的运算性质计算：×÷（）．【分析】根据幂的运算性质以及分数指数幂的意义即可求出答案【解答】解：原式＝×÷＝1．【点评】本题考查幂的运算法则，解题的关键是熟练运用幂的运算法则以及分数指数幂的意义，本题属于基础题型．四、解答题：（本大题共4题，23-25题每题8分，26题每题10分，满分34分）23．（8分）（1）在探究“三角形的内角和等于180°”性质时，小杰提出了一种思路，现在请你将证明过程补充完整：已知：如图，在△ABC中，试说明：∠A+∠B+∠BCA＝180°．解：延长线段BC至点D，并过点C作CE∥AB．因为CE∥AB（已作），所以∠1＝∠B．（两直线平行同位角相等）∠2＝∠A．（两直线平行内错角相等）因为∠1+∠2+∠BCA＝180°（平角的定义），所以∠A+∠B+∠BCA＝180°（等角代换）．（2）探究出三角形的内角和等于180°之后，小杰发现若∠A＝（3x+10）°，∠B＝（2x）°（6x﹣10）°时，就可以求出∠A的度数70°．（3）小杰随后又思考：在射线CE上能否找到一个点F（点F与点C不重合），使得△FBA的面积与△ABC的面积相等呢？如果找到，请画出△FBA（在原图中画出一个三角形即可）．【分析】（1）因为CE∥AB，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，所以∠1＝∠B，∠2＝∠A，因为∠1+∠2+∠BCA是一个平角，∠1+∠2+∠BCA＝180°，进行等角代换，所以∠A+∠B+∠BCA＝180°；（2）根据三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得∠ACD＝∠A+∠B，已知∠A＝（3x+10）°，∠B＝（2x）°，∠ACD＝（6x﹣10）°，可求得∠A的度数；（3）因为△FBA与△ABC有同一个边AB，要使△FBA的面积与△ABC的面积相等，需要使F到AB的距离等于C到AB的距离，因为CE∥AB，所以CE上的点到AB的距离相等，即射线CE上存在点F（除C点外），使得△FBA的面积与△ABC的面积相等．【解答】解：（1）因为CE∥AB（已作），所以∠1＝∠B，（两直线平行同位角相等）∠2＝∠A，（两直线平行内错角相等）因为∠4+∠2+∠BCA＝180°，（平角的定义）所以∠A+∠B+∠BCA＝180°（等角代换），故答案为：∠B，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，等角代换；（2）∵∠ACD＝∠A+∠B，∴（6x﹣10）°＝（7x+10）°+（2x）°，解得：x＝20°，∴∠A＝70°，故答案为：70；（3）∵△FBA的面积与△ABC的面积相等，∴C到AB的距离等于F到AB的距离，∵CE∥AB，∴射线CE上存在点F（除C点外），使得△FBA的面积与△ABC的面积相等，△FBA如图所示，．【点评】本题考查了三角形综合题，关键是掌握三角形内角和定理．24．（8分）如图，AF、BD、CE是直线，点B在直线AC上，且∠A＝∠F，∠C＝∠D【分析】先证明AC∥DF，得∠C＝∠FEG，再证明∠FEG＝∠D，则BD∥CE，得∠1+∠AGC＝180°，然后由对顶角相等即可得出结论．【解答】证明：如图，设AF与CE交于点G，∵∠A＝∠F，∴AC∥DF，∴∠C＝∠FEG，∵∠C＝∠D，∴∠FEG＝∠D，∴BD∥CE，∴∠1+∠AGC＝180°，∵∠2＝∠AGC，∴∠3+∠2＝180°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质以及对顶角相等等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．25．（8分）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，联结这些小正方形的顶点（1）如图1，联结小正方形的顶点构成了一个大正方形ABCD，那么大正方形ABCD的面积是2，边长是．（2）如图2，你能通过联结小正方形的顶点构成一个面积为5的正方形吗？如果能，请在图2中画出正方形．（3）如图3，已知在数轴上点M表示的数是﹣1，利用（2），你能在数轴上找到点P，使得点P与点M的距离为，请在数轴上画出P点的位置，且P所表示的数是﹣1﹣或﹣1．（使用直尺和圆规，作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹）【分析】（1）利用勾股定理求出正方形的边长，再根据正方形的面积公式计算即可．（2）画边长为的正方形即可．（3）画出一个直角边分别为1，2的直角三角形，再以点M为圆心，斜边长为半径画弧，交数轴于点P1，P2，即为所求的点，进而可得出答案．【解答】解：（1）由勾股定理得，AB＝＝，∴大正方形ABCD的边长为，面积为．故答案为：4；．（2）如图（2），正方形ABCD即为所求．（3）如图（3），画出一个直角边分别为1，再以点M为圆心，交数轴于点P4，P2，则点P1，P3均满足题意．P1所表示的数是﹣1﹣，P2所表示的数是﹣5，∴P所表示的数是﹣1﹣或﹣1．故答案为：﹣1﹣或﹣1．【点评】本题考查作图—复杂作图、实数与数轴、勾股定理、正方形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．26．（10分）自“中欧铁路——上海号”发车以来，中欧班列逐渐开辟了一条以上海为起点，连接欧洲及“一带一路”沿线地区的商贸流通的全新通道．“中欧铁路”为了安全起见需要在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停