南华大核反应堆物理讲义第3章 中子慢化和慢化能谱

南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材在快中子反应堆内没有慢化剂。慢化过程并不占重要地位，大部分中子的能量是在0.1因为，如第一章所述，非弹性散射阈能特点的（另一方面，当反应堆处于稳态时，在慢化过程中，对内种子密度（或中子通量密度）能量范围的平均截面，这就要用到中子慢化能谱φ(E)。自然，反应堆内中子的能量分要知道近似的能量分布就可以了。例如，对于高能范围(E>0.1兆电子伏φ(E)可以近似地用裂变谱λ(E)来表示，而在E小于1电子伏的热能区中，则可以认为φ(E)服(1电子伏-0.1兆电子伏）内中子的近似慢化能谱分布。在粗略估计中子慢化能谱的许多近似方法中，所用的最简单的模型是：把反应堆种子本章讨论中子的慢化过程。首先讨论弹性散射过程中中子能量的变化，然后讨论无限1.中子的弹性散射过程在热中子反应堆内，中子的慢化主要靠中子与慢化剂核的弹性散射。当中子的能量比通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材此时可以认为中子是与静止的,自由的靶核发生散射碰撞。关于考虑到核的热运动和化学键影响的低能中子的散射问题，将在下册第十章后，其动量和动能守恒，并可用经典力学的方法来处理。讨论弹性碰撞时通常采用两种:坐VCM=11)(m1)v11mmvcVcmv+MV=0通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材1mv,21MV,21mv1mv,21MV,21mv21MV22c2c2c2cV1vc′=v1c上，故靶核也必定沿着与它原来运动方向成θ0角度的方向反冲。′c′221CM21CM′2′ccVCMcosθc′2E′v1A2+2Acosθc+1′ccosθc或 A2+2Acosθc+1令通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材(i)θc=0时，E′→Eax=E，此时中子没有能量损失；(ii)θc=1800时，E′→Ein。′Emin=αE′f(θc)dθc示碰撞前中子能量为E，碰撞后中子能量在E撞后，中子的能量在E′附近dE′内的几率必定等于对应的散射角在θc附近dθc内的几f(E→E′)dE′=f(θc)dθc布函数f(E→E′)。在热中子堆内，s波中子散射是主要的。实验表明：当E<10A23通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材ccθ+dθ之间的角锥元，见（图3-3）内的几率为cc)dθc==)dθcdθc2dE,=E(1C)sinθc这样，碰撞前中子能量为E，碰撞后中子能量落在E和CE之间的任一能量E,处的几碰撞后能量E,大小无关，并等于常数。或者说，散射后的能量分布是均匀的。由于散射后为了计算方便，在反应堆分析中还常用一种无量纲的量叫做“对数能降”（过去称为或式中E0为选定的参考能量，一般E0=2兆电子伏（裂变中子的平均能量或取uu,=eΔu大的对数能降增量，用γ表示，为通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材若令f(u喻u,)du,表示碰撞前中子的对数能降为u,碰撞后中子的对数能降出现在u,附近du,范围内的几率。由于对数能降与能量之间有对应关系，因而f(u喻u,)和f(E喻E,)之间应当满足下列关系式：Δu,Δu,,f(u喻u,)du,=f(E喻E,)dE,从式中我们可以看出，散射后中子的对数能降落在某一特定对数能量间隔内的几率与散射前后中子的对数能降落在某一特定对数能降间隔内的几率与散射前后中子的对数能降uu+γf(u喻u,)du,=1u在研究中子慢化过程时，有一个常用的量，就是每次碰撞中子能量的自然对数值（或对数能降）的平均变化值，叫平均对数能降增量。用ε来表示，ε为 ε=ElnE,)f(E喻E,)dE,=2ln()2ε=3关。各元素的ε值可查附录表3。若用Nc表示中子从初始能量E1慢化到能量E2所需要的平均碰撞次数。利用平均对数能降增量可以容易地求出Nc为通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材clnE1−lnE2εlnE1 2 2ε中子与核发生弹性散射后，若散射角为θ,那么,cosθ就叫做散射角的余弦。由（3-18） µc=cosθcf(θc)dc=cosθcsinθcdθc=0若用µ0表示L系内的平均散射角余弦，则µ0为µ0=cosθf(θ1)dθ1式中f(θ1)dθ1表示碰撞后中子的散射角在θ1附近dθ1内的几ccf(θ1)dθ1=f(θ)dθccµ0因而，尽管在C系内的散射是各向同性的，但在L系内的散射却是各向异性的，并且µ0 便表征散射各向异性的速度。µ0随着靶核质量数减小而增大，故靶核的质量 从中子慢化的角度来看，慢化剂应为轻元素，它应具有大的平均对数能降增量ε值。此外，通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材ε。通常把乘积εΣ叫作慢化剂的慢化能力。表3-1给出常用的四种慢化剂的慢化能力。除了要求有大的慢化能力外，显然还要求慢化剂具有小的吸收截面。否则，在堆内也是不宜采用的。为此，我们定义一个新的量εΣΣα,把它叫做慢化比。从反应堆为了观点来看，它是表示慢化剂优劣的一个重要参数，好的慢化剂不仅应具有较大的εεΣs值，从3-1可以看出，重水具有良好的慢化性能，但是其价格高。水的慢化能力εΣs值在无限介质内，裂变中子由裂变能E0慢化到热能ET所需要的平均时间，称为慢化λs(E)能量为E的中子的散射平均自由程。由于每次碰撞的平均对数能降增量等于ε。因此，在dt时间内对数能降u的增量du等于λs(E)或于是，由E0慢化剂到ET所需的慢化时间ts便等于sE0εvEETλssE0εvE如果λs与能量无关或我们用一个适当的平均值λs来代替，同时由于v=，通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材ts快中子慢化成热中子后，将在介质内扩散一段时间。我们定义无限介质内热中子在其被俘获以前所度过的平均时间，称为扩散时间，也叫做热中子平均寿期，用符号td表示。如果λα(E)为中子的平均吸收自由程，那末具有这种能量的中子的平均寿期为对于1v吸收，有Σa(E)v=Σ∂0(E0)v0,于是(3-40)式给出t(E)=式中Σ∂0是当v0在反应堆动力学计算中往往需要用到快中子裂变产生到慢化成为热中子，最后被俘获sd（3-41）2.无限均匀介质内中子的慢化能谱在前面一章节中，讨论了弹性散射过程中中子能量的变化。在这一节将讨论慢化过程化能力和吸收性等特性有关，严格讲它还是空间坐标r的函数，并与反应堆的泄漏大小有通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材2.1无限均匀介质内中子的慢化方程的总次数，记作F(r,E)F(r,E)=(Σa+Σs)φ(r,E)F(r,E)=Σt(r,E)φ(r,E)=Σt(r,E)φ(r,E)（3-42）对于物吸收介质,Σa=0则F(r,E)F(r,E)=Σsφ(r,E)。显然可以看到，这里所它是描述慢化过程的另一个极为重要的量，我们用符号q(r,E)来表示。它的定义是：每秒发生散射的次数为Σs(r,E′)φ(r,E′)，而散射函数f(E→E′)表示能量为E′的中Σs(r,E′)f(r;E′→E)φ(r,E′)dE而根据定义慢化密度q(r,E)应等于E′>E的所有能量中子慢化到E以下的中子数q(r,E)=q(r,E)=dE′Σs(r,E′)f(r;E′→E)φ(r,E′)dE这样，慢化密度q(r,E)给出了r处中子被慢化并通过某给定能量E的慢化率。用φ(E)来表示。我们观察能量E处dE能量间隔内的中子平衡。由于中子与介质Σs(E′)φ(E′)dEf′(E′→E)dE。因而每秒散射到dES(E)dE，其中S(E)为中子源强分布函数。那么根据中子平衡的稳态条件：每秒、每通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材被吸收的中子总数，这样可以写出稳态无限介质内的中子慢Σt(E)φ(E)2Σt(E)φ(E)=αdE′+S(E)同样，对于慢化密度q(E)3-43）式便可以表示成q(E)=αdE′′dE′′Σs(E′)φ(E′)dE′应该指出，在多数情况下，慢化方程（3-46）是无法求得其精确解的。只有在很有限2.2在含氢介质内的慢化首先讨论氢慢化剂和重吸收剂组成的系统内中子为简单起见，我们讨论初始能量为E0，源强为S0的单能平均分布中子源情况。这时单能S(E)=S0E0(0≤E≤E0)通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材式中，Σ(E)是氢的宏观散射截面，宏观吸收截面Σa(E)为了解出φ(E)，首先将该式两边微分，得0φ(E)=×exp0Σ(E′)dEΣ(E′)下面计算含氢介质内的慢化密度。它由两部分构成：一部分是由源中子经另一部分慢化密度则是由稳态通量密度分布（3-50）所形成的，它可通过（3-47）式通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材dEdE)0如果介质没有吸收,Σa(E′)=0，则由（3而q(E)=EΣ(E)φ(E)=S0这样，我们便求得，在由轻慢化的轻和重吸收剂混合物系统内，中子通量密度的能量（3-50）式右端含有积分的指数项系表征慢化过程中由于自E至E0区域内的吸收而导致通量密度的衰减，它就是第一章第6节中所提到的逃脱共振几率p(E)。这可0而由E0慢化到E时中子的逃脱共振几率p(E)，应该等于q(E)和E0处的慢化密度p(E)=q(E)S0q(E)S0q(E0)(E0E(E0E aΣ aΣaE最后，我们注意到，在（3-50）式的分母中含有Σa(E)项，因而当中子吸收截面具有共振能Er附近，由于Σa(E)的急剧增大，而且Σa(E)>>Σ(E)，因而分母a(E)>>Σ(E)]随之急剧增大，并导致φ(E)在Er附近出现相当大的下导至共振峰范围内中子通量密度的显著下降，通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材其初始能量为αE0。这种情况和氢介质不同的是源中子与核一次碰撞在着S(E)项而在E<αE0区间，S(E)将等于零。因而，必须分别处理。F(u)的变化曲线。这里能量是以对数能降为(u)单位。横坐标表示能量，选择每次碰撞的)作为单位。这样，沿横坐标的单位距离恰好撞区间相对应。可以看出，碰撞密度F(u)在E=αE0处出现剧烈的不连续性。还可以看到，在E从小于αE0到大约E=α3E0左右，F(u)在渐近值1ε上下起伏变化；而当E<α3E0时，F(u)起伏就很快消失而趋于渐近值1ε了。可以很容易地从物理上分析得出这种不连续的原因和间断值。为此，我们考察αE0稍高一点的能量区间dE。这时进入dE的中子有二个:来源一是源中子的贡献，类似于00通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材F只对α3E0以上区间产生影响。如此类推。但是多次碰撞后每一个共振峰的作用犹如一个负的种子源，因而由共振能量Er直到α3Er的间隔内将引起碰撞密度的起伏振荡。所以，只有当共振峰的间隔大于或至少等于α3Er时，才能把这F(u)趋于渐近值1ε,若初始源强或慢化密度为S，则该渐进值将等于Sε,因而可以求得要严格地求得渐进解（3-58）或（3-59）式不是特别容易的。但是，要证明它在渐进碰撞密度Σsφ(E)，即有Σsφ(E)= SεE通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材的关系式，是一个非常重要和有用的结果，在反应堆物理分析中经常要用到它。它告诉:我（见图3-7）,常用在一些近似计算中。（E）=Σs(E)φ(E)=Σ(E)φ(E)，其中Σ=Njσ为混合物中j元素的宏观散射截F(E)=0F(E′)fj(E′−E)dE′+δ(E−E0)（3-60）式中，fj(E′−E)为第j种元素的散射函数；Σs=Σ，为混合物的宏观散射截如果所有元素的散射截面都等于常数，或者都随能量作同样变化，这样，ΣΣs与能F(E)=Σsφ(E)=εjE式中εj为j种元素每次碰撞的平均对数能降增量。如果我们定义混合物的平降增量ε为εΣΣεΣΣi iisjΣisj那么，中子通量密度的渐近的分布便可:表成：由此可以看到，它与单一核的慢化剂内监禁分布（3-59）式的形式完全一样，只是其 合物的平均对数能降增量ε。它表明，对ε的平均，不是按照核子数来平均而是必须按照发生散射的概率ΣΣs来平均的；着同样也适用于平均散射角余弦µ0的平均。最后指出，上面讨论的是无吸收的情况；但是，对于有吸收情况，如果是弱吸收并且通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材仍近似服从分布，但需乘上一个因子一逃脱共振几率p(E)，即φ(E)=p(E)p(E)=exp03*.均匀介质的共振吸收在本节，我们讨论均匀介质中具有强共振峰吸收情况下的共振吸收和逃脱共振几率的的范我们围内，中子的辐射俘获截表面往往呈现出一个系列共振峰的特征，并具有很大的在热中子反应堆内，共振吸收对链式裂变反应过程有很重要设有一由慢化剂和吸收剂组成的均匀无限介质，在整个介质内存在着均匀分布的中子源，每秒每立方放出个能量为的快中子。现在我们就来讨论在这种介质内中子慢化过程中的共振吸收问题。一般说来，除了由氢和无限重吸收剂组成的无限均匀介质以外，在这种有共振吸收的介质内的慢化问题是不能用严格的解析方法来处理的。但是我们可以用一些近似的方法来求得慢化过程中逃脱共振吸收的几率，以及表征共振吸收的一些参数，如有效共振积分等，这些参数对于反应堆分析、计算来说是极为重3.1共振峰间距很大的逃脱共振吸收几率根据第一章第六节内给出的定义，S0个初始能量为E0的中子慢化到能量以下的几率,p(E)=p(E)=S0S00Σa(E)φ(E)dE从(3-66)式可以看出,由于介质各种元素的截面随中子能量的变化是以知的,因而如果知道振区的中子能谱φ（E）,则根据(3-66)式我们就不难求得p(E)。但是,实际上要象上一节所述的那样用解析方法给出共振区中子能谱φ（E）的数学表达式是不可能的.这是由于共振吸收表现得象一个负源,由上一节讨论知道,它将引起碰撞密度和中子通量密度的起通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材伏,而很难用解析方法严格处理。同时,再有着很多共振峰的能区内.这种前一个共振峰吸收所引起的中子通量密度的起伏,就给它后面的能量较低的共振峰的中子通量密度的处理带来很大的困难。因而通常要做一些近似，首先假设共振峰不但是可分辨的而且峰与峰之间的间距足够大，例如大于弹性散射最大能量损失的三倍以上，以至于前一个共振峰引起的中子通量密度起伏在下一个共振峰前已经消失，就是说趋近于它的渐近值，那么，在这种情况下，我们可以应用上二节的知识来求得逃脱共振几其次，我们假定单个的共振峰非常陡窄，即假定共振峰所涉及的能量范围很窄或中子振峰内的一个能量间隔dE（或对应对数能降间隔∆u）首无吸收时在dE间隔内每秒单位体积内的碰撞数等于SidEE，其中ξ为吸收剂A和慢和(Σa,A+Σs)φ(E)dE因此得到=(Σa,A+Σs)φ(E)dE式中，Σa,A为吸收剂（燃料）A的宏观吸收截面，Σs为混合物的宏观散射截面，Σs=Σs,M+ΣP,A=NMσm+NAσP,A,σP,A为吸收剂的是散射截面。因而，在共振峰内的中子通量密度分布φ(E)为将（3-67）式与（3-63）是相比可以看出，由于Σa,A(E)出现在分母上，所以，在共振峰内由于截面的急剧变化将导致中子通量密度分布的下陷而低于无吸收情况是中子通量密通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材Eiσa,A(E)eff[(σa,A(E)]=σa,A(E)令第i共振峰有效共振积分Ieff,i等于Ieff,i=i(σa,A)eff则pieff,ipi裂变中子在从初始能量E0慢化至热中子能量Eth的慢化过程重要通过整个共振区的所有共振峰，因而热中子反应堆的逃脱共振吸收几率p应等于所有共振峰的pi的Ieff=Ieff,i=[σa,A(E))eff]IiEIσa,AdEΣsdE,EΣs+ΣaA,E率的表达式。但应该指出，它是在窄共振（NR）近似窄共振的假设，但与吸收剂重核的散射其平均能量损失可能小于共振的实际宽度，在这种情况下，种子在共振峰内将经受不止一次的碰撞，我们可以完全忽略吸收剂的散射作用不通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材中只计及慢化剂的散射截面，而ξ也等于慢化剂的ξ。这一近似通常称窄共振无限质IM=EIσa,A（3-75）可以看到有效共振积分Ieff,i或Ieff是表征共振吸收的一个重要的量，Ieff的增大意味式中看到，当均匀介质中吸收剂（燃料）的核子数减少时，有效共振积分或有效共振吸收截面将增大。再无限稀释（NA→0）的极限情况下有Ieff,i=Ii=Eσa,A(E)（3-76）Ii称为共振积分或无限稀释有效共振积主要是由于能量自屏现象引起共振峰内中子通量密度的下降而导致共振吸收的减小的缘[σa,A(E)]eff=σa,A(E)⋅因而，从物理意义上，有效吸收截面[σa,A(E)]eff就相当于考虑到能量自屏现象引起共振峰内中子通量密度下降而对吸收截面加一修正后的截面值。自然，[σa,A(E)]eff<σa,AE,因而Ieff<另外，有效共振积分具有与微观截面相同的量纲。事实上，采用无因次量对数能将为单位，可以看到，Ieff就是有效吸收截面在共振峰能量区间∆u内的积分，即Ieff,i=Ii=E[σa,A(E)]eff=[σ,,A(u)]effdu（3-77）（u)=Sξs系无吸收情况下的中子通量密度，则将NAIeff乘以φ0（u)就等sφ(E)dE=(σa,A)ffdu=NAIeffφ0(u)（3-78）因而，有效共振积分具有清晰的物理意义，它被普通应用与反应对分析中，除用与计算共振吸收和逃脱共振吸收几率外，还经常用来计算某个能量区间，例如∆E=（Eg,Eg−1)，上共振吸收的平均吸收截面通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材Σ=−1Σa(E)φ(E)dE=NAIeff=NAiIeff（3-79）r,g−1φ(E)dEln∆ug3.2有效共振积分的近似计算从理论上，只要对共振吸收截面采用第一章中所介绍的对数能降布勒特—魏格纳单能级公式，并将其代入（3-69）和（3-70）式对每一共振积分。考虑到吸收剂核的热运动影响，实际计算时，我们必须考虑多普勒对数能将降应而应采用考虑多普勒对数能降展宽效应的对数能降布勒特—魏格纳公式[（1-59）]。可以看到有效共振积分的计算是非常复杂的，一般必须借助复杂的数值积分来完成。这里我们不做介绍，因为它超出了教学大纲的要求。在本书下册第十章中我们将对它进行更详细反比，因此在其它条件相同的情况下，低能共振峰将吸收更多的中子，这是因为中子通量通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材根据（3-70）式，设Σs,M>>ΣP,A，略去ΣP,A(E)，同时由于能量区间∆Ej很小用1Ei代替1E并取到积分号外不会产生大的误差，并注意到矩形共振峰σr,A(E)=σ0，Ieff,i(T1)Eiσa,A(E) σ01∆E1Ei σ01∆E1Ei(1+σ01)NAσrMsMsM,而温度升高至T2由于多普对数能降效应共振展宽后 σ02∆E2Ei(1+σ02)比较这两式可以看出，两式的分子相等；但温度升高后，由于多降，σ0201，使分母减小，从而使有效共振积增加，即Ieff,i(T2)>Ieff,i(T2)。从这里也可以看出，随着稀释程度的增加，亦即使NA(NMσs,M)减小，有效共振积分亦增加，这也是由于能量自屏效应减弱是共振峰内中子通量密度增由此可见当燃料温度升高时，多普对数能降效应将使有效共振积分增加，从而是共振吸收增大。这一现象对反应堆的动态过程和安全进行来说是很重要的。今后我们还将进一前面我们曾分别地讨论了中子在无限均匀介质内的慢化能普分布问题，以及单能中子的扩散问题。然而，实际上在反应对内由于裂变而产生快中子，在反应堆内进行扩散运动的同时，便由于与慢化剂核的碰撞而逐渐递减速，从而具有不同的能量。因此，在实际的问题中往往需要求出在有限介质内慢化过程中的中子通量密度的空间—能量的分布φ(r,E)。要精确的确定它，必须解中子的输运方程（见下册第九章别的特殊情况下，它是无法用简单方法进行严格求解的。因而，通常采用一些近似的模型或方法来处理。下面我们介绍一种简单的近似模型：扩散-年龄近似。通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材现在让我们像处理单能中子那样，列出描述慢化过程中中子通量密度空间—能量分布的微分方程式。我们仍然从中子数目守恒的基本原则出发，讨论在中子能量等于E到E−dE间内中子数的平衡关系。假定扩散理论2φ(r,E)dE+Σaφ(r,E)dE=Q(r,E)dE（3-84）数。Q(r,E)则表示中子产生项，它包括二个部分：是中子源项S(r,E)dE另部(E−dE)中子数[慢化密度[q(r,E−dE)]的差值所形成的。当dE很小时，有q(r,E)−q(r,E−dE)=dE−D(E)∇2φ(r,E)dE+Σaφ(r,E)dE=−+S(r,E)（3-85）式中q(r,E)为慢化密度。在一般情况下，除非做某些近似，否则它是无法以解析形式表出子能量损失很小，即对数能降只改变一个很小的ξ值。那么，根据前面第2节讨论有q(r,E)=ξΣsφ(r,E)E这一近似传统上称为年龄近似或费米连续减速模型。因为它假设中很小得数值，也就是说每次碰撞能量的变化是很小的。这相当于2φ(r,E)+aφ(r,E)=+S(r,E)（3-87）它便叫做扩散-年龄近似方程，应用它可以求出中子通量密度得空间-能量分布及反应堆的临界问题，它是最简单并最早被采用的模型之一，2q(r,E)=−（3-88）引进一个表示能量的新的变量τ(E)，方程（3-88）式就可以变换成更简单的形式，通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材令τ与能量E的关系为dτ=du=−τ(E)=dE=02q(r,τ)=通常把方程（3-91）成为费米年龄方程，它是描述无吸收介质内慢化慢化过程中中子扩散的方程。由（3-90）式所定义的量τ(E)称为费米年龄或中子年龄。可以看出，它是表征中子能量的另一种变量。显然，当中子能量等于源能量（u=0或E=E0）时,τ=0。随着能量的降低，τ将逐渐增大。因而τ是随着中子能量的将低或中子慢化时间的增大而增大的单调函数。从这个含义上讲它具有“年龄”的意义。但是，必须强调，它并不是具有时间年龄方程（3-91）是一个标准的热传导型偏微分方程，在一些特定的情况下可以求出其解析解：其求解方法、过程在一般数理方程教材中都有详细的介绍。这里就不再叙述，q(r,τ)=(4πτ)32q(r,τ)=e−|r=r0|(4πτ)32无限介质内的平面源对在χ=0处有一单位源强的无限平面源的无限介质，有q(r,τ)=（3-94）中子年龄τ(E)是表征中子慢化过程特性的一个重要参数。在一些计算中经常要用到通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材实际上，中子年龄与慢化密度的二次空间矩[用r2(τ)表示]，亦即中子自源点产生（这时τ=0）到被慢化到年龄（能量）相当于τ(E)时所穿行的直线距离r的均方值有关。 22(穿行r且年龄慢化到τ的中子数）dVr2[4πr2q(r,τ)]drr==总的慢化中子数4πr2q(r,τ)dr 2r4e−r24τdrr2e−rr2e−r24τdr0由此，中子年龄τ(E)就等于无限介质点源发出的中子从源点至慢化到年龄等于τ(E)时所穿行的直线距离均方值的六分之一。而且τ显然具有长度平方的因次。如果我们讨论的不 2χ=2τ(3-96)然而，在实际应用中，不管对什么介质，年龄理论是否适用，我们都将直接按照（3-95）τ(E)=0(3-97)如果ξ,Σs和Σtr与能量无关（对多数重原子核是正确的对于单元素介质则有τ(E)=ln=ln(3-98)若慢化剂包括含有不同的原子核，则式中之ξ,Σs和Σtr等量均用对介质的平但是对于某些元素，不能应用上面公式计算年龄。精确的年龄数值可由实验方法测定τ(u)=22χ= φ0,2(u)(u)∞−∞χ2φ0(χ,u)dχ∞φ0χ,uχ∞φ0χ,uχ∞通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材式中φ0(x,u)为中子总通量密度，φ0,2为通量密度的二次空间矩，φ0(x,u)和φ0,2(x,u)可在热中子反应堆计算中我们特别感兴趣的是热中子年龄τth，也就是从裂变中子慢化到热能时的中子年龄。另一方面，在实验测量中经常测定慢化到铟（ln）共振能(Eln电子伏)时的中子年龄τth。显然τth=τln+τ(Eln→Ec)表3-3中给出几种常用慢化剂和堆型的τth（Ec=0.625电子伏）值。在下一章我们将会看到，在反应堆计算中经常要用到下面的定义M2=L2+τthd2)dr2r=r=r2rdrscosθd2的中子通量密度的空间-能量分布φ(r,E)的求解问题。下面我们介绍一种在核反应堆物理通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材划分成为G个能区E0，E1E1，E2……Eg−1,Eg…EG−1,EG）。每φg(r)=g−1φ(r,E)dE(3-103)g式中Eg−1分别是Eg群的能量上界和下界。φg(r)就是空间r处g群内各种能量中子的这样，对每一能群相当于单能中子。利用这些群常数可以对每一个能群中子写出它的gr)+t,gφg