2023学年天水市一中高二数学下学期第一学段检测试卷附答案解析

学年天水市一中高二数学下学期第一学段检测试卷（满分：150分时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点为（

）A． B． C． D．2．若函数在处的导数等于，则的值为（

）A． B． C． D．3．若在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则边上的中线的长是（

）A． B．2 C． D．34．函数的图象大致为（

）A．B．

C．

D．

5．函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．6．如图1，现有一个底面直径为高为的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（

）A． B． C． D．7．已知，则大小关系为（

）A． B． C． D．8．若对任意的，且，都有成立，则的最大值为（

）A． B．1 C．e D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知向量，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．10．定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．-2是函数的极大值点，-1是函数的极小值点B．0是函数的极小值点C．函数的单调递增区间是D．函数的单调递减区间是11．已知函数存在个不同的正数，，使得，则下列说法正确的是（

）A．的最大值为5 B．的最大值为4C．的最大值为 D．的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知向量，若，则.13．对上可导的函数，若满足，且，则的解集是．14．已知定义域为的函数，对，若存在，对任意的，有恒成立，则称为函数的“特异点”.函数在其定义域上的“特异点”个数是个.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，．

(1)求线段的长度；(2)求异面直线与所成角的余弦值．16．已知函数，且．(1)求的值；(2)设，求过点的切线方程．17．已知函数．(1)求证：当时，曲线与直线只有一个交点；(2)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围．18．二十大报告中提出：全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展.小王大学毕业后决定利用所学专业回乡自主创业，生产某农副产品.经过市场调研，生产该产品需投入年固定成本4万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，.每件产品售价8元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完.(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本）(2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？19．若时，函数取得极大值或极小值，则称为函数的极值点.已知函数，其中为正实数.(1)若函数有极值点，求的取值范围；(2)当和的几何平均数为，算术平均数为.①判断与和的几何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明；②当时，证明：.1．B【分析】结合空间直角坐标系中点的对称性计算即可得.【详解】设所求点的坐标为，根据关于平面对称的两个点的横纵坐标不变，竖坐标互为相反数，则有，故该点为.故选：B.2．D【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接计算作答.【详解】由已知得．故选：D．3．C【分析】利用中点坐标公式求出中点的坐标，根据空间两点间的距离公式即可得出中线长.【详解】由图可知：，，，由中点坐标公式可得的中点坐标为，根据空间两点间距离公式得边上的中线的长为.故选：C4．C【分析】根据题意，求得为偶函数，再利用导数求得函数的单调区间，结合选项，即可求解.【详解】由函数的定义域为，且，所以函数为偶函数，当时，，则，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.故选：C.5．A【分析】直接求导，再令，解出不等式即可.【详解】，令，解得，所以的单调递减区间为，故选：A.6．C【分析】先根据圆锥的体积公式列出等式得出；再根据导数的运算得出；最后令即可求解.【详解】设注入溶液的时间为（单位：）时，溶液的高为，则，得.因为，所以当时，，即圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为.故选：C7．D【分析】构造函数，研究其在上的单调性即可得.【详解】令，则，当时，，故在上单调递减，故，即.故选：D.8．A【分析】将已知不等式变形为，令，将问题转化为在上单调递增，利用导数可求得单调性，由此可得的最大值.【详解】由可得，由,且,所以，即，令，则在上单调递增，所以，令，则,当时，，此时在上单调递增；当时，，此时在上单调递减；所以，故.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是将恒成立的不等式变形为同一函数不同函数值之间大小关系的比较问题，通过构造函数的方式，将问题转化为函数在区间内单调的问题.9．AC【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】因为，则，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D错误；故选：AC10．BC【分析】根据导函数的正负，即可判断原函数单调性和极值，得出正确选项.【详解】由题意可得，当时，，当时，，所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，所以0是函数的极小值点，所以B，C正确，A，D错误.故选：BC11．BD【分析】作出的图象，利用的几何意义是过原点的直线与相交点的斜率，结合图象进行求解即可.【详解】的几何意义为过点，的直线的斜率.如图所示，易知直线与的图象最多只有4个交点，故的最大值为4，故A错误，B正确.当直线与曲线相切时，取得最大值，设切点为，则该直线的斜率为，又，则，所以，解得，得，所以故C错误，D正确.故选：BD.12．【分析】由空间向量数量积垂直的坐标表示列出方程即可求解.【详解】已知向量，若，则，解得.故答案为：.13．【分析】依据题意构造函数，用导数判断函数的单调性，再解不等式即可.【详解】令，，而，易知，故，则在上单调递增，而，若，则，则.故答案为：14．1【分析】根据题意知“特异点”为的极大值点，所以通过分析的极大值点个数即可得解.【详解】由题意知“特异点”为的极大值点，因为，所以，当时，，当时，，又，，故不存在.又因为，易知：当时，单调递增，故不可能有“特异点”，当时，设，则，令，则；，则；所以在上单调递增，在上单调递减，故为的极大值点，即为的“特异点”.综上所述，在其定义域内仅有一个“特异点”.故答案为：1.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是理解“特异点”的意义，发现其为的极大值点，从而得解.15．(1)；(2).【分析】（1）利用向量对应线段位置关系，应用向量加减法几何意义用，，表示出，再应用向量数量积的运算律求模长即可；（2）应用向量加减几何意义和数量积的运算律求、，再利用夹角公式求异面直线与所成角的余弦值．【详解】（1）设，，，则，，，又，则.（2）由，则，则.，故异面直线与所成角的余弦值为．16．(1)(2)【分析】（1）利用导数求解参数即可.（2）先设切点，利用导数表示斜率，建立方程求出参数，再写切线方程即可.【详解】（1）定义域为，，而，而已知，可得，解得，故的值为，（2），设切点为，设切线斜率为，而，故切线方程为，将代入方程中，可得，解得(负根舍去)，故切线方程为，17．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）当时，对求导，分析函数单调性，确定图象，可证明曲线与直线只有一个交点.（2）将既存在极大值，又存在极小值，转换为有两个变号零点问题，讨论零点位置可得实数的取值范围.【详解】（1）当时，函数，求导得：，令，得；令，得；则函数在上递增，在上递减，故，所以曲线与直线只有一个交点.（2）函数的定义域为，求导得，设，令，解得，.因为既存在极大值，又存在极小值，即在有两个变号零点，则，解得且，综上所述：的取值范围为.18．(1)(2)当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.【分析】（1）分和讨论计算即可；（2）当时，利用导数求出其最值，时，利用基本不等式求出其最值，比较大小即可.【详解】（1）由题意，当时，，当时，.所以.（2）当时，，令，解得.当，，当，；则在上单调递增，在上单调递减，所以当时，当时，，当且仅当，即时取等号.综上，当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.19．(1)(2)①答案见解析；②证明见解析【分析】（1）求导之后构造函数，利用二次函数的性质，利用对称轴，判别式，特殊值讨论即可；（2）①证明右边时先将不等式变形为，令，构造函数，求导，用导数分析单调性和极值即可证明；再将左边变形为，令，同样构造函数，求导，用导数分析单调性和极值即可证明.②恒成立问题，作差之后利用一问的结论构造函数，求导，分析单调性，再求最大值小于零即可.【详解】（1）在上有变号零点，即在上有变号零点.①若，即时，只需矛盾，②若，即