4.2 由平行线截得的比例线段（2大题型）（分层练习）（解析版）

第4章相似三角形4.2由平行线截得的比例线段（2大题型）分层练习考查题型一由平行判断成比例的线段1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，已知中，，若，，，则的长是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例的方法即可求解．【详解】解：在中，，∴，∴，且，，，∴，∴，故选：．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的知识，掌握以上知识是解题的关键．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C，直线分别交，，于点D，E，F，与相交于点G，且，，，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入计算，可求得答案．【详解】解：∵，，，∵直线，∴，故选：D【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）基本事实：两条线段被一组所截，所得的对应线段成比例．如图：如果，那么，，．【答案】平行线【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．【详解】基本事实：两条线段被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，如图，如果，那么，，．故答案为：平行线．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的知识，掌握性质定理是解题的关键．4．（2023·上海嘉定·模拟预测）如图，，，，则．【答案】4【分析】根据平行线分线段成比例定理得到对应边成比例，然后利用比例性质求出DE．【详解】∵l1∥l2∥l3，∴，即，∴DE=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知，如图，在中，，求证：

(1)(2)．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据成比例线段的性质求解即可；（2）根据成比例线段的性质求解即可．【详解】（1）证明：∵∴∴；（2）证明：∵∴，∴．【点睛】此题考查了成比例线段，解题的关键是熟练掌握线段成比例的性质．考查题型二由平行截线求相关线段的长或比值1．（2023秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）如图，．若，，，则的长为（

）A．6 B．15 C．16 D．18【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，可得，即可得到．【详解】解：，，即，解得：，∴，故选：D．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，D在边上，，O是的中点，连接并延长交于点E，若，则的长为（

）

A．2 B．2.5 C．3 D．4【答案】C【分析】过点D作交于F，根据平行线分线段成比例定理可得，，，再根据O是的中点，可得，进而解答即可．【详解】解：如图，作交于F，

∵，O是的中点，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．故选：C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．过分点作平行线构建平行线分线段成比例定理的基本图形是解决问题的关键．3．（2023·吉林长春·统考一模）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐．如图，，，为直线与五线谱的横线相交的三个点，则的值是．【答案】2【分析】过点作于，交于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【详解】过点作于，交于，∵，∴，故答案为：2．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．4．（2023春·北京·九年级专题练习）如图，直线，直线，与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，若，，则的长为．【答案】【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得．【详解】解：，，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．5．（2023·福建南平·校联考模拟预测）已知：如图，在中，点为边上的一点．

(1)过点作直线，交线段于点E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）所作的图形中，若，求的值．【答案】(1)作图见解析(2)【分析】（1）作，交于点，（2）利用平行线分线段比例定理即可得出结论．【详解】（1）解：如图，作，交线段于点，∴，则直线即为所作；

（2）∵，，∴，∴∴．∴的值为．【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，考查了平行线的判定，平行线分线段成比例定理．掌握基本作图和平行线分线段成比例定理是解题的关键．1．（2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）已知，，，则的长（

）

A．3 B．4 C．5 D．10【答案】D【分析】根据得到求得后根据计算即可．【详解】∵，，，∴，∴，∵，∴．故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键．2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）如图，在平行四边形中，是线段延长线上的一个点，连接，交于点，连接交于点，下列说法错误的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平行四边形的性质得到平行线，利用平行线分线段成比例定理计算判断即可．【详解】∵平行四边形，∴，∴，∴，∴，故A正确；∵平行四边形，∴，∴，∴，故C正确；∵平行四边形，∴，∴,故D正确；∵平行四边形，∴，∴，∴，故B错误；故选B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，直线，直线与分别交于点和点．若，，则的长是（）A．4 B．6 C．7 D．12【答案】B【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，再求出答案即可．【详解】解：∵，∴，∵，，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．4．（2023秋·陕西宝鸡·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，，M为的中点，连接，E为中点，连接、，若为直角，则的长为（

）

A． B．2 C．4 D．5【答案】C【分析】根据矩形的性质得出，，，进而利用矩形的判定和性质解答即可．【详解】解：连接，过点E作于F，并延长，交于点H，

∵四边形是矩形，，，，，，，∴四边形是矩形，∵E为的中点，，，，，，，，，∵M为的中点，

，，，，故选：C．【点睛】此题考查矩形的性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．5．（2023秋·安徽六安·九年级校考期中）如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，则的值是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】过点F作交AC于点G,可证．同理，可得，，；由,得，于是；设，则，，，从而得．【详解】解：过点F作交AC于点G,∴∴．∵，∴．∴．∵，∴．∵,∴．∴．设，则，∴∴．∴．∴．∴．故选：A【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理；由平行线得到线段间的数量关系是解题的关键．6．（2023秋·上海普陀·九年级校考阶段练习）如图，，，，，则．

【答案】【分析】根据已知平行线得到，然后带入求值即可．【详解】解：，，，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线找到对应成比例线段是解答本题的关键．7．（2023秋·河南郑州·九年级河南省实验中学校考阶段练习）在矩形中，，的长度不定，且，点E在上，且，点F为的中点，当是等腰三角形时，的长度为．【答案】4或9/9或4【分析】分当时，当时，当时三种情况求解即可．【详解】当时，如图，∵点F为的中点，∴，∵四边形是矩形，∴，，∴；当时，如图，作于点H，∵，∴，∴，∴，∴是的中位线，∴，∴，∴∴；当时，∵点F为的中点，∴，∴，∴点D与点E重合，∴，这与矛盾，故不符合题意，舍去．综上可知，的长度为4或9．故答案为：4或9．【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形中位线的性质，以及平行线分线段成比例定理，分类讨论是解答本题的关键．8．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，D为边的中点，点E在线段上，的延长线交边于点F，若，，则线段的长为．

【答案】【分析】过点作于点,由平行线分线段成比例定理得，求得，再结合中点进一步可得，从而得到答案．【详解】解：如图，过点作于点；则；而，，；为边的中点，，，故答案为：．

【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，正确构造平行线是解决此题的关键．9．（2023春·陕西榆林·九年级校考期中）如图，菱形的对角线相交于点O，，，点E在边上，且，点P是线段上的动点，则的最小值是．

【答案】【分析】根据菱形的对称性，作点E关于的对称点F，连接交于，则的值最小，故的长即为的最小值．过E作于G，过F作于H，连接，则，，根据菱形的性质和勾股定理可求得，进而根据平行线分线段成比例定理可得，即可求出．【详解】解：根据菱形的对称性，作点E关于的对称点F，连接交于，则的值最小，故的长即为的最小值．过E作于G，过F作于H，连接，如图，

则，，由菱形的性质可知，，由可得，，∵，，∴∴，∴在中，，∴，由平行线分线段成比例定理可得，即，∴，∴在中，．【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等，能用一条线段的长表示两条线和的最小值是解题的关键．10．（2023秋·安徽芜湖·九年级校考开学考试）如图，在正方形中，，是的中点，点在边上，且，为对角线上一点，则的最大值为．【答案】2【分析】以为对称轴作的对称点，连接并延长交于，连，依据，可得当，，三点共线时，取等于号，再求得，即可得出，，再根据为等腰直角三角形，即可得到．【详解】解：如图所示，以为对称轴作的对称点，连，根据轴对称性质可知，，，当，，三点共线时，正方形边长为，，为中点，，为中点，，，，，，，，，，为等腰直角三角形，，即的最大值为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．11．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，在中，点D是边上的一点且，请在上找一点E，使得．

【答案】见解析【分析】在三角形内部作，边交于点E，可得，于是，得．【详解】解：以点D为顶点，为边，作，边交于点E，点E即为所求．理由如下，如图，，∴．∴．∴．

【点睛】本题考查尺规作图，作一个角等于已知角，平行线的判定，平行线分线段成比例定理；由平行线得到比例线段是解题的关键．12．（2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试）如图，已知，；，，．求的长．

【答案】【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可．【详解】解：∵，，，∴，∵，∴，即，解得：．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．13．（2023春·河北石家庄·九年级校考阶段练习）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理：如图①，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图②，过点作，交的延长线于点E……任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；(2)如图③，在中，是角平分线，，，．求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）过点C作，交的延长线于点E，由，可求证，，，可得，即可求解；（2）根据（1）中的结论即可求解．【详解】（1）证明：如图②，过点C作，交的延长线于点E，∵，∴，，，∵平分，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵是角平分线，∴，∵，，，∴，解得cm．经检验符合题意．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．14．（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点均为格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点满足下列要求：

(1)在图①中，将平移，使点平移到点，画出经平移