专题02 X（8）字型（解析版）（北师大版）

专题02X（8）字型【基本模型】①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔；②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔．③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔．【例题精讲】例1．（基本模型）如图，正方形的对角线、相交于点，是的中点，交于点，若，则等于A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】因为四边形ABCD是正方形，E是BC中点，所以CE=AD，由相似三角形的判定定理得出△CEF∽△ADF，再根据相似三角形的对应边成比例可得出．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，E是BC中点，∴CE=AD，∵AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC，∠AFD=∠EFC，∴△CEF∽△ADF，∴∴解得DF=8，故选：D．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质及正方形的性质，先根据题意判断出△CEF∽△ADF，再根据相似三角形的对应边成比例进行解答是解答此题的关键．例2．（作辅助线构造）如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则．【答案】2【分析】延长CF、BA交于M，根据已知条件得出EF＝AF，CE＝DC，根据平行四边形的性质得出DC∥AB，DC＝AB，根据全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF，根据全等三角形的性质得出CE＝AM，求出BM＝3CE，根据相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG，根据相似三角形的性质得出比例式，再求出答案即可．【详解】解：延长CF、BA交于M，∵E是CD的中点，F是AE的中点，∴EF＝AF，CE＝DC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴CE＝AB，∠ECF＝∠M，在△CEF和△MAF中，∴△CEF≌△MAF（AAS），∴CE＝AM，∵CE＝AB，∴BM＝3CE，∵DC∥AB，∴△CEG∽△MBG，∴，∵BE＝8，∴，解得：GE＝2，故答案为：2．【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．例3．（最值问题）如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为．【答案】【分析】利用勾股定理得到BC边的长度，根据平行四边形的性质，得知OP最短即为PQ最短，利用垂线段最短得到点P的位置，再证明△CAB∽△CP′O利用对应线段的比得到OP的长度，继而得到PQ的长度．【详解】∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵四边形APCQ是平行四边形，∴PO＝QO，CO＝AO，∵PQ最短也就是PO最短，∴过O作BC的垂线OP′，∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，∴△CAB∽△CP′O，∴，∴，∴OP′＝，∴则PQ的最小值为2OP′＝，故答案为：．【点睛】考查线段的最小值问题，结合了平行四边形性质和相似三角形求线段长度，本题的关键是利用垂线段最短求解，学生要掌握转换线段的方法才能解出本题．例4．（培优综合）如图，在中，，，，点为上一点，连接，为上一点，于点，当时，求的长．【答案】【分析】将补成矩形，延长交于点，可得，结合已知可求、，再由即可求出CE．【详解】解：如解图，补成矩形，延长交于点，∵，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，，∴设，则，又∵在矩形中，，∴，∴，即，解得．∴．【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，直角三角形的性质，证明是本题的关键．例5．（与函数综合）如图，在等腰中，，点、分别在轴、轴上．（1）如图①，若点的横坐标为5，求点的坐标；（2）如图②，若轴恰好平分，交轴于点，过点作轴于点，求的值；（3）如图③，若点的坐标为，点在轴的正半轴上运动时，分别以、为边在第一、第二象限中作等腰，等腰，连接交轴于点，当点在轴上移动时，的长度是否发生改变？若不变求的值；若变化，求的取值范围．【答案】（1）（0，5）（2）（3）不变，等于2．【分析】（1）作CD⊥BO，易证△ABO≌△BCD，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题；（2）设AB＝BC＝a，根据勾股定理求出AC＝a，根据MA（即x轴）平分∠BAC，得到，求得BM＝（−1）a，MC＝（2−）a，AM＝a，再证明Rt△ABM∽Rt△CDM，得到，即CD＝，即可解答，（3）作EG⊥y轴，易证△BAO≌△EBG和△EGP≌△FBP，可得BG＝AO和PB＝PG，即可求得PB＝AO，即可解题．【详解】解：（1）如图1，作CD⊥BO于D，∵∠CBD＋∠ABO＝90°，∠ABO＋∠BAO＝90°，∴∠CBD＝∠BAO，在△ABO和△BCD中，，∴△ABO≌△BCD（AAS），∴CD＝BO＝5，∴B点坐标（0，5）；（2）设AB＝BC＝a，则AC＝a，∵MA（即x轴）平分∠BAC，∴，即MC＝BM，∵BC＝BM＋MC＝a，∴BM＋BM＝a，解得BM＝（−1）a，MC＝（2−）a则AM＝a，∵∠ABM＝∠CDM＝90°且∠AMB＝∠CMD∴Rt△ABM∽Rt△CDM，∴，即CD＝，∴；（3）的长度不变，理由如下：如图3，作EG⊥y轴于G，∵∠BAO＋∠OBA＝90°，∠OBA＋∠EBG＝90°，∴∠BAO＝∠EBG，在△BAO和△EBG中，，∴△BAO≌△EBG（AAS），∴BG＝AO，EG＝OB，∵OB＝BF，∴BF＝EG，在△EGP和△FBP中，，∴△EGP≌△FBP（AAS），∴PB＝PG，∴PB＝BG＝AO＝2．【点睛】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的证明是解本题的关键．【变式训练】1．如图，G为ABC的重心，AG=12，则AD=．【答案】18【分析】连接CG并延长交AB于点E，连接DE，根据题意，可以得到DE时△ABC的中位线，从而可以得到DE∥AC且DE=AC，然后即可得到△DEG∽△ACG，由相似三角形的性质得到DG和AG的比值，求出然后DG，即可得到结果．【详解】解：如图，连接CG并延长交AB于点E，连接DE，∵点G是△ABC的重心，∴点E和点D分别是AB和BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC且DE=AC，∴△DEG∽△ACG，∴，∵AG=12，∴DG=6，∴AD=AG+GD=18．故答案为：18．【点睛】本题考查三角形的重心、三角形的中位线、三角形相似，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．2．如图，在△ABC中，BC＝6，，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为（）A．9 B．12 C．18 D．24【答案】C【分析】如图，延长EF交BQ的延长线于G．首先证明PB＝PG，EP+PB＝EG，由EG∥BC，推出＝＝3，即可求出EG解决问题．【详解】解：如图，延长EF交BQ的延长线于G．∵，∴EG∥BC，∴∠G＝∠GBC，∵∠GBC＝∠GBP，∴∠G＝∠PBG，∴PB＝PG，∴PE+PB＝PE+PG＝EG，∵CQ＝EC，∴EQ＝3CQ，∵EG∥BC，∴△EQG∽△CQB，∴＝＝3，∵BC＝6，∴EG＝18，∴EP+PB＝EG＝18，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．3．如图，在中，、分别是、的中点，动点在射线上，交于点，的平分线交于点，当时，．【答案】12【分析】如图（见解析），延长BQ交射线EF于点M，先根据中位线定理得出，再根据角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的定义得出，从而可得，然后根据相似三角形的判定与性质得出，从而可求出EM的长．【详解】如图，延长BQ交射线EF于点M、分别是、的中点平分由得，即故答案为：12．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、相似三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．4．如图，在中，点D在BC上，，连接AD，，则线段AD的长为．

【答案】【分析】过作，交的延长线于，过作，交的延长线于，可求，，设，可证，由即可求解．【详解】解：如图，过作，交的延长线于，过作，交的延长线于，

，，，，，，，，，设，则，，，，，，，，，整理得：，解得：，(舍去)，，故答案：．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质，并会根据题意作出辅助线是解题的关键．5．如图，在正方形中，点为边上一点，且，点为对角线上一点，且，连接交于点，过点作于点，若，则正方形的边长为cm．【答案】【分析】如图，过F作于I点，连接FE和FA，得到设求出FE，AH，AG，证明得到最后求值即可．【详解】如图，过F作于I点，连接FE和FA，，四边形为正方形，为BC的三等分点，为BC的三等分点，设为等腰直角三角形，为AE的中点，四边形ABCD为正方形，故答案为：．【点睛】本题属于四边形综合题，是填空题压轴题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是CE=2BE，BF=2DF的利用以及这些性质的熟记．【课后训练】1．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF的面积为2，则△ABC的面积为()A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】先利用平行四边形的性质得，AD=BC，由可判断△AEF∽△CBF，根据相似三角形的性质得，然后根据三角形面积公式得，则．【详解】∵平行四边形ABCD∴，AD=BC∵E为边AD的中点∴BC=2AE∵，∴∠EAC=∠BCA又∵∠EFA=∠BFC，∴△AEF∽△CBF如图，过点F作FH⊥AD于点H，FG⊥BC于点G，则，∴，∵△AEF的面积为2，∴，故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，属于同步基础题．2．如图△ABC中，AB=AC=5，BC=8，G是△ABC的重心，GH⊥AB于H，则GH的长为．

【答案】【分析】首先证明，求得，再证明即可得到结论．【详解】连接并延长交于E，连接并延长交AC于F，连接EF，如图，

点是重心，是的中线，，F分别是，边的中点，是的中位线，，，，，E为BC的中点又在中，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了三角形重心，三角形重心的性质为重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了相似三角形的判定与性质．3．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设λ（λ＞0）．（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为；（2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为．【答案】【分析】（1）根据AB＝2，λ＝1，可以得到BE、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得到AE的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到EF的长，从而可以得到线段CF的长；（2）证明△ADG≌△FGC，得出点G为CD边的中点，根据三角形相似，可以得到CE和EB的比值，从而可以得到λ的值．【详解】解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAG＝∠F，又∵AG平分∠DAE，∴∠DAG＝∠EAG，∴∠EAG＝∠F，∴EA＝EF，∵AB＝2，∠B＝90°，点E为BC的中点，∴BE＝EC＝1，∴AE＝＝，∴EF＝，∴CF＝EF﹣EC＝﹣1；故答案为：﹣1；（2）证明：∵EA＝EF，EG⊥AF，∴AG＝FG，在△ADG和△FCG中，∴△ADG≌△FCG（AAS），∴DG＝CG，设CD＝2a，则CG＝a，CF＝DA＝2a，∵EG⊥AF，∠GCF＝90°，∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，∴∠EGC＝∠F，∴△EGC∽△GFC，∴，∵GC＝a，FC＝2a，∴，∴，∴EC＝a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣a＝a，∴λ＝；故答案为：．【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，熟练运用相关性质进行推理解答．4．如图，已知和是等边三角形，连接，连接并延长交于点，交于点，，，那么的长为．【答案】【分析】如图，过点F作FM⊥EG于M，根据等边三角形的性质可得∠ACB=∠ECD=60°，AB=AC，CE=CD，利用线段的和差关系可得CF=4，根据角的和差关系可得∠BCE=∠ACD，利用SAS可证明△BCE≌△ACD，可得∠BEC=∠ADC，根据∠GFE=∠CFD即可证明△GEF∽△CDF，∠EGF=∠DCF=60°，根据相似三角形的性质可得，可得，根据含30°角的直角三角形的性质可得MG=GF，设GF=2a，则EG=3a，MG=a，即可得出ME=2a，在Rt△EMF中，利用勾股定理列方程可求出a的值，进而可求出EG的长．【详解】如图，过点F作FM⊥EG于M，∵△ABC和△DCE是等边三角形，∴∠ACB=∠ECD=60°，BC=AC，CE=CD，∴∠ACB-∠ACE=∠ECD-∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∵CD=6，EF=2，CE=EF+CF，∴CF=CE-EF=CD-EF=4，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD，∴∠BEC=∠ADC，∵∠GFE=∠CFD，∴△GEF∽△CDF，∠EGF=∠DCF=60°，∴，∴，设GF=2a，则EG=3a，∵FM⊥EG，∠EGF=60°，∴∠GFM=30°，∴MG=GF=a，∴MF=a，ME=EG-MG=2a，∴EF2=ME2+MF2，即4a2+3a2=4，解得：a=，（负值舍去）∴EG=3a=．故答案为：【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，正确添加辅助线构造直角三角形是解题关键．5．如图，在矩形中，分别为边，的中点，与，分别交于点M，N．已知，，则的长为．【答案】【分析】过点E作EH∥AD，交点BF于点G，交CD于点H，证明△BEG∽△BAF，求出EG的长，再证明△EGN∽△DFN，△EGM∽△CBM，得出，，再求出BG=GF=BF=，从而求出NG和MG，可得MN的长.【详解】解：过点E作EH∥AD，交点BF于点G，交CD于点H，由题意可知：EH∥BC，∴△BEG∽△BAF，∴，∵AB=4，BC=6，点E为AB中点，F为AD中点，∴BE=2，AF=3，∴，∴EG=，∵EH∥BC，∴△EGN∽△DFN，△EGM∽△CBM，∴，,∴，，即，，∴，，∵E为AB中点，EH∥BC，∴G为BF中点，∴BG=GF=BF=，∴NG==，MG=BG=，∴MN=NG+MG=，故答案为：.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是添加辅助线EH，得到相似三角形.6．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G．（1）求证：DF•AB=BC•DG；（2）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）由BC2=BF•BA，∠ABC=∠CBF可判断△BAC∽△BCF，再由DE∥BC可判断，所以，然后利用相似三角形的性质即可得到结论；（2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，易得AH∥DE，由点E为AC的中点得AH=2EG，再利用AH∥DG可判定，则根据相似三角形的性质得，然后利用等线段代换即可．【详解】证明：（1）∵BC2=BF•BA，∴BC：BF=BA：BC，而∠ABC=∠CBF，∴，∵DE∥BC，∴，∴，∴DF：BC=DG：BA，∴DF•AB=BC•DG；（2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，∵DE∥BC，∴AH∥DE，∵点E为AC的中点，为的中位线，∴AH=2EG，∵AH∥DG，∴，∴，∴，即2DF•EG=AF•DG．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系．7．（1）如图，若为的内角平分线，请问：成立吗？并说明你的理由．（2）如图，中，，，，为上一点且，交其内角角平分线与．试求的值．【答案】(1)见解析;(2).【分析】（1）过点作交的延长线于点．由，平分证得∽，再由相似的性质证出结论；（2）连结．由（1）得，然后证得．再证明∽．最后利用相似的性质可求得结果．【详解】（1）结论成立．理由如下：如图，过点作交的延长线于点．∵，平分，∴，∴，∽，∴，∴．（2）如图，连结．∵为的内角角平分线，，，∴由（1）得，．又∵，∴，∴∴．∴．∴∽．∴．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，掌握添加辅助线的方法和能灵活应用判定定理、性质定理是解题关键．8．如图，正方形中，为边上任意点，平分交于点．如图1，若点恰好为中点，求证：；

在的条件下，求的值；如图2，延长交的延长线于点，延长交的延长线于点连接当时，求证：．

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析【分析】（1）延长交的延长线于点，求出，证明，得到，通过等量代换可得结论；（2）设，则，在中，利用勾股定理求出，进而可求的值；（3）连接，首先证明，进而可求，然后可证，得出，结合可证，即可得到，问题得证．【详解】（1）证明：如图，延长交的延长线于点，

，，又平分，，，，点为中点，，又，，，，；（2）解：设，则，在中，，即，解得：或(舍去)，∴；（3）证明：如图，连接，

，，，，又，，，又，，，，，．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质等，作出合适的辅助线是解题的关键．9．如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF•AC．【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）①过G作GH∥AD交BC于H，由AG=BG，得到BH=DH，根据已知条件设DC=k，BD=4k，得到BH=DH=2k，根据平行线分线段成比例定理得到，求得GM=2MC；②过C作CN⊥AD交AD的延长线于N，则CN∥AG，根据相似三角形的性质得到，由①知GM=2MC，得到2NC=AG，根据相似三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到结论．【详解】（1）BF⊥AD，在和中，∵，∴；（2）①过G作GH∥AD交BC于H，∵AG=BG，∴BH=DH，∵BD=4DC，设DC=k，BD=4k，∴BH=DH=2k，∵GH∥AD，∴，∴GM=2MC；②过C作CN⊥AC交AD的延长线于N，则CN∥AG，∴△AGM∽△NCM，∴，由①知GM=2MC，∴2NC=AG，∵∠BAC=∠AEB=90°，∴，∴△ACN∽△BAF，∴，∵AB=